Exemple 1 :

Points A, B, C sur le cercle :

• $\widehat{ABC}$ intercepte $\stackrel{\frown}{AC}$

• $\widehat{BAC}$ intercepte $\stackrel{\frown}{BC}$

• $\widehat{ACB}$ intercepte $\stackrel{\frown}{AB}$

Exemple 2 :

O est le centre du cercle :

• $\widehat{AOB}$ intercepte $\stackrel{\frown}{AB}$

• $\widehat{BOC}$ intercepte $\stackrel{\frown}{BC}$

• $\widehat{AOC}$ intercepte $\stackrel{\frown}{AC}$

Propriété 1 : Angles inscrits même arc

Deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux :

$\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$ (interceptent $\stackrel{\frown}{AC}$)

Propriété 2 : Relation angle au centre/inscrit

L’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit interceptant le même arc :

$\widehat{AOC} = 2 \times \widehat{ADC}$

Propriété 3 : Triangle rectangle

Soit [AC] un diamètre du cercle et D un point de ce cercle. Alors le triangle ADC est rectangle en D.

Démonstration :

L’angle inscrit $\widehat{CDA}$ intercepte le même arc de cercle $\stackrel{\frown}{AC}$ que l’angle au centre $\widehat{COA}$ ,donc nous avons $\widehat{COA}=2 \times \widehat{CDA}$.

Comme les points A, O et C sont alignés, nous avons $\widehat{AOC}= 180^\circ$ (angle plat)

On en déduit que l’angle $\widehat{ADC}$ mesure 90°, c’est‐à‐dire que le triangle ADC est rectangle en D.

Et : $\widehat{ABC} = 90^\circ$