Arithmétique dans IN exercices corrigés
Exercice 1:
$1)$ Déterminer la parité des nombres suivants :
Soit n un nombre entier naturel.
$A=n(n+1)$
$B=(2 n+1)^{2021}+(4 n)^{2020} $
$C=3 n^{3}-n$
$2)$ Soit n un entier naturel. Vérifier que :
$n^{2}+5 n+7=(n+2)(n+3)+1 \text { puis montrer que } n^{2}+5 n+7 \text { est impair.}$
$1)$
On a $\mathrm{A}=\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)$
On distingue deux cas:
Si n est pair il existe un entier naturel k tel que : $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}$
donc $\mathrm{n}+1=2 \mathrm{k}+1$
Donc $n(n+1)=2 k(2 k+1)$ donc $A=2\left(2 k^{2}+k\right)$ on pose $k^{\prime}=2 k^{2}+k$ donc $k^{\prime} \in N$
Donc $\mathrm{A}=2 \mathrm{k}^{\prime}$ d’où $\quad$ A est pair
Si n est impair il existe un entier naturel $k$ tel que : $n=2 k+1$ donc $n+1=2 k+2$
Donc $\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)=(2 \mathrm{k}+1)(2 \mathrm{k}+2)$ donc $\mathrm{A}=2(2 \mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+1)$
on pose $k^{\prime}=(2 k+1)(k+1)$ donc $k^{\prime} \in N$
Donc $\mathrm{A}=2 \mathrm{k}^{\prime}$ d’où A est pair
Conclusion :
• Pour tout $n$ entier naturel $n(n+1)$ est pair
• Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est pair.
$B=(2 n+1)^{2021}+(4 n)^{2020}$
On a $2 n+1$ est impair donc $(2 n+1)^{2021}$ est aussi impair
On a $4 n=2(2 n)$ est pair donc ( $4 n$ ) ${ }^{2020}$ est aussi pair
D’où B est impair
On a $\mathrm{C}=3 \mathrm{n}^{3}-\mathrm{n}=2 \mathrm{n}^{3}+\mathrm{n}^{3}-\mathrm{n}$
Donc $\mathrm{C}=2 \mathrm{n}^{3}+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}^{2}-1\right) \quad$
Donc $\mathrm{C}=2 \mathrm{n}^{3}+\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}-1)$ $\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)$ est pair il existe un entier naturel k tel que: $\mathbf{n}(\mathbf{n}+\mathbf{1})=\mathbf{2 k}$
Donc $\mathrm{C}=2 \mathrm{n}^{3}+2 \mathrm{k}(\mathrm{n}-1)=2\left(\mathrm{n}^{3}+\mathrm{kn}-\mathrm{k}\right)$ on pose $k^{\prime}=n^{3}+k n-k$ donc $k^{\prime} \in N$
Donc $\mathrm{C}=2 \mathrm{k}^{\prime} \quad$ d’où $\quad \mathbf{C}$ est pair
$2)$ Vérifier que : $\mathbf{n}^{2}+5 \mathbf{n}+7=(\mathbf{n}+\mathbf{2})(\mathbf{n}+\mathbf{3})+\mathbf{1}$
On a $(n+2)(n+3)+1=n^{2}+3 n+2 n+6+1 \quad$
Donc $(n+2)(n+3)+1=n^{2}+5 n+7$
D’où $\mathbf{n}^{2}+5 \mathbf{n}+7=(\mathbf{n}+2)(\mathbf{n}+3)+\mathbf{1}$
On a $(\mathbf{n}+\mathbf{2})(\mathbf{n}+\mathbf{3})$ est pair il existe un entier naturel k tel que: $(\mathbf{n}+\mathbf{2})(\mathbf{n}+\mathbf{3})=\mathbf{2 k}$
Donc $\mathbf{n}^{2}+5 \mathbf{n}+7=2 \mathbf{k}+1 \quad$ d’où $\mathbf{n}^{2}+5 \mathbf{n}+7$ est impair
Exercice 2:
Déterminer la parité des nombres suivants : $n \in \mathbb{N}$ et $m \in \mathbb{N}$
$1)$ $375^{2}+648^{2}$
$2)$ $2 n+16$
$3)$ $10 n+5$
$4)$ $18 n+4 m+24$
$5)$ $2 n^{2}+7$
$6)$ $8 n^{2}+12 n m+3$
$7)$ $26 n+10 m+7$
$8)$ $n^{2}+11 n+17$
$9)$ $n^{2}+7 n+20$
$10)$ $(n+1)^{2}+7 n^{2}$
$11)$ $n^{2}+5 n$
$12)$ $n^{2}+8 n$
$13)$ $n^{2}+n$
$14)$ $n^{3}-n$
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Exercice 3:
$1)$ Développer le nombre $\mathbf{A}=(3 \mathbf{n}+2)^{2}-5 \mathbf{n}\left(\mathbf{n}+\frac{8}{5}\right)-3 \quad ; \mathrm{n} \in \mathrm{N}$
$2)$ En déduire que $A$ est un carré parfait.
$3)$ Déterminer la parité du nombre $A$.
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Exercice 4:
Soient $m$ et $n$ deux nombres entiers naturels, tel que $m>n$.
$1)$ Montrer que $m-n$ et $m+n$ ont la même parité.
$2)$ Résoudre dans $N$ l’équation $m^{2}-n^{2}=12$
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Exercice 5:
Soit a un entier naturel impair.
$1)$ Montrer que $\mathrm{a}^{2}-1$ est un multiple de $8$.
$2)$ Déduire que $a^{4}-1$ est un multiple de $16$ .
$3)$ Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels impairs, montrer que $8$ divise $m^{2}+n^{2}+6$
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Exercice 6:
$1)$ Soit $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$, montrer que : $\left(\mathrm{n}^{2}+1-\mathrm{n}\right)\left(\mathrm{n}^{2}+1+\mathrm{n}\right)=\mathrm{n}^{4}+\mathrm{n}^{2}+1$
$2)$ Montrer que $10101$ est divisible par $111$
$3)$ Montrer que $10^{8}+10^{4}+1$ est divisible Par $111$ .
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Exercice 7:
$1)$ Vérifier que pour tout $\mathrm{n} \in \mathrm{N}: \mathrm{n}^{2}+4 \mathrm{n}+9=(\mathrm{n}+3)(\mathrm{n}+1)+6$
$2)$ Déterminer toutes les valeurs de $n(n \in N)$ tel que le nombre $(n+3)$ divise $n^{2}+4 n+9$
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Exercice 8:
$1)$ Vérifier que $(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}$
$2)$ Montrer que $1000000001$ n’est pas premier
$3)$ Montrer que $213$ n’est pas premier et que $127$ est premier
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Exercice 9:
$1)$ Sans calculer, les nombres suivants sont ils premiers ?
$A=49 \times 11+7$
B $=5 \times 2 \times 7+24$
$\mathrm{C}=33+11 \times 7$
$2)$ $17^{2}$ est il premier ? même question pour 317. $\mathrm{n}+17$
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Exercice 10:
$1)$ Décomposer $1008$ et $1608$ en produit de facteurs premiers.
$2)$ Déduire $\operatorname{PGCD}(1008,1608)$ et $\operatorname{PPCM}(1008,1608)$.
$3)$ En déduire la forme irréductible de $\frac{1008}{1608}$ et de $\frac{1}{1608}+\frac{1}{1008}$
$4)$ Déterminer l’entier naturel n tel que $\mathrm{n}+4$ divise $\mathrm{n}+17$
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Exercice 11:
Soient a et b deux entiers naturels tel que : $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=\mathbf{1 8} \quad ; \quad \mathbf{P G C D}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$
$1)$ Déterminer tous les diviseurs communs de $a$ et $b$
$2)$ Sachant que $\mathrm{ab}=972$ calculer $a \vee b$ et en déduire $a$ et $b$
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Exercice 12:
Soient les entiers naturels $\mathrm{a}=2352$ et $\mathrm{b}=14850$
$1)$ Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
$2)$ Donner le nombre de diviseurs de chacun des entiers $a$ et $b$.
$3)$ Déterminer $(\operatorname{PGCD}\mathrm{a}, \mathrm{b})$ et $\operatorname{PPCM}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$.
$4)$ Déterminer le plus petit entier $p$ tel que le nombre $p\mathrm{a}$ soit un carré parfait.
$5)$ Déterminer le plus petit entier $q$ tel que le nombre $q\mathrm{b}$ soit un cube parfait
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Exercice 13:
Soit $n$ un entier naturel, $A$ et $B$ deux nombres tels que :
$A=2^{n} \times 3^{4}+2^{n} \quad \text { et } \quad B=3^{n} \times 2^{4}+3^{n}$
$1)-\mathrm{a}$ – Vérifier que : $\mathrm{A}=2^{\mathrm{n}+1} \times 41$ et $\mathrm{B}=3^{\mathrm{n}} \times 17$
$b-$ En déduire la parité de $A$ et $B$.
$c -$ Déterminer $\mathrm{PGCD}(\mathrm{A}, \mathrm{B})$ et $\mathrm{PPCM}(\mathrm{A}, \mathrm{B})$ et déduire que $A$ et $B$ sont premier entre eux.
$2)$ Montrer que : $\left(A-2^{n}\right)\left(B-3^{n}\right)$ est divisible par $1296$.
$3)$ Montrer que : $3^{n} \times A-2^{n} \times B$ est un multiple de $5$ et $13$
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Exercice 14:
On pose $\mathbf{a}=2^{3} \times 5^{2}+2^{5} \times 5$ et $\mathbf{b}=2^{2} \times 3+2^{4} \times 3$
$1)$ Ecrire sous forme d’un produit de nombres premiers les deux entiers $a$ et $b$.
$2)$ Calculer $\operatorname{PGCD}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ et $\operatorname{PPCM}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$
$3)$ Déterminer le plus petit dénominateur commun puis calculer la somme $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b}}$ et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
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Exercice 15:
$1)$ Développer le produit $\mathrm{E}=(\mathrm{n}+1)^{2}-\mathrm{n}^{2}$
$2)$ En déduire que $E$ est un entier impair pour tout $n$ de $\mathbb{N}$
$3)$ Ecrire les entiers suivants comme différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs $17,45$ et $101$ .
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Exercice 16:
Soit $n$ un entier naturel
$1)$ $-a)$ Développer le nombre : $(n+1)^{2}-n^{2}$
$b)$ En déduire que tout entier naturel impair est la différence des carrées de deux nombres consécutifs.
$2)$ Appliquer le résultat obtenu pour les nombres $19,47,53$
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Exercice 17:
Montrer que pour $n \in \mathbb{N}:(n+1) \wedge(n+2)=1$
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Exercice 18:
$1)$ Trouver toutes les solutions de l’équation : (1): $x^{2}-y^{2}=51$ dans $\mathbb{N}^{2}$
$2)$ Déterminer les couples $(a, b)$ des entiers naturels tels que : $(S):\left\{\begin{array}{c}a^{2}-b^{2}=7344 \\ a \wedge b=12\end{array}\right.$
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