Calcul littéral 2AC exercices corrigés
📐Exercice 1 :
Réduire les expressions suivantes :
❓Expressions à réduire :
\(A = 2x^{2} + 3x + 5 – x^{2} + 2x – 4\)
\(B = 6x^{2} – 5x + 9 – 7x^{2} + 3x – 3\)
\(C = 6x – 5x^{2} + 7 – x^{2} + 3x – 12\)
\(D = 5 + 6x – 3 + 7x^{2} – x – 9 + x^{2} – 12x^{2} – 4x – 10\)
\(E = x^{3} + 6 – 8x + x^{2} – 3x^{3} – 5 + 3x^{2} – 3x – 2x^{2}\)
\(F = -4x + x^{2} – 6 + 5x^{2} + 3x – 10 – 8x^{2} + 2x\)
\(G = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^{2} – \frac{1}{3} + \frac{5}{2}x – \frac{3}{2}x^{2} + \frac{7}{4}x\)
Méthode : Regrouper les termes de même degré (x² avec x², x avec x, constantes avec constantes)
\(A = 2x^{2} + 3x + 5 – x^{2} + 2x – 4\)
Étape 1 : Regrouper les termes similaires
\(A = 2x^{2} – x^{2} + 3x + 2x + 5 – 4\)
Étape 2 : Factoriser par x² et x
\(A = x^{2} \times (2 – 1) + x \times (3 + 2) + 5 – 4\)
Étape 3 : Effectuer les calculs
\(A = x^{2} + 5x + 1\)
\(B = 6x^{2} – 5x + 9 – 7x^{2} + 3x – 3\)
Étape 1 : Regrouper les termes de même degré
\(B = 6x^{2} – 7x^{2} – 5x + 3x + 9 – 3\)
Étape 2 : Effectuer les calculs
\(B = -x^{2} – 2x + 6\)
\(C = 6x – 5x^{2} + 7 – x^{2} + 3x – 12\)
Étape 1 : Regrouper les termes (attention aux signes négatifs)
\(C = -5x^{2} – x^{2} + 6x + 3x + 7 – 12\)
Étape 2 : Additionner les coefficients
\(C = -6x^{2} + 9x – 5\)
\(D = 5 + 6x – 3 + 7x^{2} – x – 9 + x^{2} – 12x^{2} – 4x – 10\)
Étape 1 : Regrouper tous les termes similaires
\(D = 7x^{2} + x^{2} – 12x^{2} + 6x – x – 4x + 5 – 3 – 9 – 10\)
Étape 2 : Factoriser et calculer les constantes
\(D = x^{2}(7 + 1 – 12) + x(6 – 1 – 4) + 5 – 22\)
Étape 3 : Simplifier chaque groupe
\(D = -4x^{2} + x – 17\)
\(E = x^{3} + 6 – 8x + x^{2} – 3x^{3} – 5 + 3x^{2} – 3x – 2x^{2}\)
Étape 1 : Regrouper par degré (x³, x², x, constantes)
\(E = x^{3} – 3x^{3} + x^{2} + 3x^{2} – 2x^{2} – 8x – 3x + 6 – 5\)
Étape 2 : Factoriser chaque groupe
\(E = x^{3}(1 – 3) + x^{2}(1 + 3 – 2) + x(-8 – 3) + 6 – 5\)
Étape 3 : Calculer chaque parenthèse
\(E = -2x^{3} + 2x^{2} – 11x + 1\)
\(F = -4x + x^{2} – 6 + 5x^{2} + 3x – 10 – 8x^{2} + 2x\)
Étape 1 : Regrouper les termes
\(F = x^{2} + 5x^{2} – 8x^{2} – 4x + 3x + 2x – 6 – 10\)
Étape 2 : Factoriser x² et x
\(F = x^{2}(1 + 5 – 8) + x(-4 + 3 + 2) – 6 – 10\)
Étape 3 : Calculer les sommes
\(F = -2x^{2} + x – 16\)
\(G = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^{2} – \frac{1}{3} + \frac{5}{2}x – \frac{3}{2}x^{2} + \frac{7}{4}x\)
Étape 1 : Regrouper les termes avec fractions
\(G = \frac{3}{4}x^{2} – \frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x + \frac{7}{4}x – \frac{1}{3}\)
Étape 2 : Factoriser x² et x
\(G = x^{2}\left(\frac{3}{4} – \frac{3}{2}\right) + x\left(\frac{1}{2} + \frac{5}{2} + \frac{7}{4}\right) – \frac{1}{3}\)
Étape 3 : Mettre au même dénominateur
\(G = x^{2}\left(\frac{3}{4} – \frac{6}{4}\right) + x\left(\frac{2}{4} + \frac{10}{4} + \frac{7}{4}\right) – \frac{1}{3}\)
Étape 4 : Calculer les fractions
\(G = -\frac{3}{4}x^{2} + \frac{19}{4}x – \frac{1}{3}\)
📐Exercice 2 :
Méthode : Supprimer les parenthèses en appliquant la règle des signes, puis réduire
Rappel : + devant une parenthèse → on conserve les signes à l’intérieur
– devant une parenthèse → on change tous les signes à l’intérieur
❓Expressions à réduire :
\(A = (x + 3) – (x + 5) – (x – 7)\)
\(B = -\left(x^{2} – x\right) – (x – 1) – \left(1 – x^{2}\right)\)
\(C = x^{2} – \left(3x^{2} – 5x^{2}\right) + \left(x^{2} – 8x^{2}\right) – 2x^{2}\)
\(D = -4x + x^{2} – \left(6 + 5x^{2}\right) + 3x – \left(10 – 8x^{2}\right) + 2x\)
\(E = -\left(4 + 3x – 2x^{2}\right) – \left(4x – x^{2}\right) – \left(x^{2} – x\right)\)
\(F = 2x^{3} + 4 – \left(-6x^{2} + x\right) – \left(-2x + 9x^{3}\right) – \left(3x^{2} – 9x\right)\)
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📐Exercice 3 :
❓Expressions à réduire :
\(A = -(-2x + 2) + 3x + 9\)
\(C = -(5x – 1) + 2 – 3x\)
\(E = -(8x + 8) – 9x – 6\)
\(G = -(5x – 8) – 6 – 7x\)
\(B = -6x – (-7x + 8) + 2\)
\(D = -5 – 7x + (2x + 2)\)
\(F = (-4x – 9) + 3x + 8\)
\(H = 6x – (-10x – 4) – 8\)
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📐Exercice 4 :
Objectif : Maîtriser la multiplication des termes et le calcul des carrés
Rappel des règles :
• \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) (addition des exposants)
• \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
• \((-a)^2 = a^2\) (un carré est toujours positif)
• \(-(a)^2 = -a^2\) (le carré s’applique d’abord, puis le signe moins)
1️⃣1) Réduire ces produits :
a. \(2a \times 5 =\)
c. \(4a \times (-2a) =\)
e. \(6a \times 7a =\)
g. \((-2a) \times 5a^2 =\)
i. \(2a^3 \times (-3a) =\)
b. \(6 \times 5a =\)
d. \((-2a) \times (-7a) =\)
f. \(3a^2 \times 2a =\)
h. \((-a^2) \times a =\)
j. \(5a^2 \times 3a^4 =\)
2️⃣2) Réduire ces carrés :
\((2x)^2 =\)
\(-(3x)^2 =\)
\((5x^2)^2 =\)
\((-5x^4)^2 =\)
\(-2(3x^2)^2 =\)
\((-3x)^2 =\)
\((-x^2)^2 =\)
\(-(-7x)^2 =\)
\((2x^3)^2 =\)
\((-3x^3)^2 =\)
3️⃣3) Réduire ces produits ou carrés :
\(\frac{2}{3}x \times \frac{4}{5}x =\)
\(\left(-\frac{5}{2}x\right) \times \frac{2}{3}x^2 =\)
\(\left(\frac{5}{4}x^3\right)^2 =\)
\(-3\left(\frac{5}{3}x\right)^2 =\)
\(\left(\frac{1}{2}x\right)^2 =\)
\(\left(\frac{3}{7}x^2\right)^2 =\)
\(\frac{2}{7}(3x)^2 =\)
\(\frac{10}{7}x^3 \times \frac{3}{5}x^2 =\)
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📐Exercice 5 :
Objectif : Appliquer la distributivité simple : \(k(a + b) = ka + kb\) et \(k(a – b) = ka – kb\)
Méthode : Multiplier le facteur extérieur par chaque terme à l’intérieur des parenthèses
❓Développer les expressions suivantes :
1. \(3(a + 6) =\)
3. \(a(a + 6) =\)
5. \(7(x^2 – 5) =\)
7. \(-2(x – 4) =\)
9. \(-x(3x – x^2) =\)
2. \(3(x + 4) =\)
4. \(b(7 – b) =\)
6. \(5(a^2 – 3) =\)
8. \(-6(2 – 3x) =\)
10. \(x^2(-4x + 5) =\)
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📐Exercice 6 :
❓Développer et réduire les expressions suivantes :
\(A = 9x(-2x – 10)\)
\(C = 4(-5x – 3)\)
\(E = (10x – 9) \times 7\)
\(G = -8(-10x – 7)\)
\(B = (7x + 2) \times 7x\)
\(D = (-10x + 5) \times 4\)
\(F = (x – 10) \times (-x)\)
\(H = -7x(-5x – 10)\)
💡 Astuce :
La multiplication est commutative : \(a \times b = b \times a\).
Ainsi, \((7x + 2) \times 7x = 7x \times (7x + 2)\), ce qui facilite l’application de la distributivité.
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📐Exercice 7 : Développement de doubles distributivités
Objectif : Appliquer la double distributivité \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
Méthode : Multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde parenthèse
❓Développer les expressions suivantes :
1. \((x + t)(y + z) =\)
3. \((3 + x)(2 + y) =\)
5. \((a + 2)(b + 7) =\)
7. \((c + d)(a + b) =\)
9. \((x + 2)(x + 3) =\)
2. \((a + x)(b + y) =\)
4. \((x + 6)(y + 4) =\)
6. \((b + a)(d + c) =\)
8. \((1 + x)(y + 1) =\)
10. \((2x + 1)(x + 5) =\)
Mémoire : « Premier avec premier, premier avec deuxième, deuxième avec premier, deuxième avec deuxième »
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📐Exercice 8 :
❓Développer et réduire les expressions suivantes :
\(A = (-7x + 7)(-x – 1)\)
\(C = (7x – 7)(10x + 8)\)
\(E = (-x – 2)(-4x – 7)\)
\(B = (-8x + 6)(4x + 10)\)
\(D = (-7x – 1)(-3x + 6)\)
\(F = (6x – 4)(8x – 5)\)
💡 Conseil important pour les signes :
Quand vous développez avec des signes négatifs, écrivez d’abord toutes les multiplications avec leurs signes,
puis calculez les signes étape par étape. Exemple : \((-a) \times (-b) = +ab\)
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📐Exercice 9 :
1
Souligner le facteur commun dans chaque expression :
A : \(3x + 3y\)
B : \(-3a + 3b\)
C : \(7x + 12x\)
D : \(-6(3x-2)-(3x-2)(x-4)\)
E : \((x+2)(x+1)+(x+2)(7x-5)\)
F : \((2x+1)^2+(2x+1)(x+3)\)
G : \((x+1)(2x-3)+(x+1)(5x+1)\)
H : \((3x-4)(2-x)-(3x-4)^2\)
I : \((6x+4)(2+3x)+(2+3x)(7-x)\)
J : \((3+x)(5x+2)+(x+3)^2\)
2
Factoriser chaque expression avec \(ka + kb = k(a + b)\) :
A : \(4x + 4y =\)
B : \(6 \times 9 + 6 \times 3 =\)
C : \(8a + 8b =\)
D : \(5 \times 3 + 3 \times 14 =\)
E : \(2 + 2x =\)
F : \(7a + 7 =\)
G : \(4x^2 + 4x =\)
H : \(6y + 6y^2 =\)
I : \(3x^2 + 5x =\)
J : \(2ab + b^2 =\)
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📐Exercice 10 :
Objectif : Factoriser en identifiant un facteur commun qui est une expression entre parenthèses
Méthode : Appliquer \(kA + kB = k(A + B)\) où \(k\) est une expression entre parenthèses
📝Exemple :
\(\mathbf{Z} = (x+1)(x-2) + 5(x+1)\)
\(\mathbf{Z} = (x+1)[(x-2) + 5]\) (on met \((x+1)\) en facteur)
\(\mathbf{Z} = (x+1)(x+3)\) (on réduit l’expression dans les crochets)
❓Factoriser les expressions suivantes comme dans l’exemple :
\(A = (x-3)(2x+1) + 7(2x+1)\)
\(C = (3-x)(4x+1) – 8(4x+1)\)
\(E = -6(3x-2) – (3x-2)(x-4)\)
\(G = (x+2)(x+1) + (x+2)(7x-5)\)
\(I = (2x+1)^2 + (2x+1)(x+3)\)
\(B = (x+1)(x+2) – 5(x+2)\)
\(D = 5(1+2x) – (x+1)(1+2x)\)
\(F = (x+1)(3-x) + (x+1)(2+5x)\)
\(H = (x+1)^2 + (x+1)(3x+1)\)
\(J = (x-3)^2 – (x-3)(4x+1)\)
💡 Méthode à suivre :
- Identifier le facteur commun (l’expression entre parenthèses qui se répète)
- Mettre ce facteur commun en facteur (devant des crochets)
- Dans les crochets, écrire ce qui reste après avoir sorti le facteur commun
Attention : Ne pas oublier de réduire l’expression dans les crochets après avoir factorisé.
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📝Exercice 11 :
Méthode : Repérer dans l’expression soulignée un facteur commun avec l’autre terme, le mettre en évidence, puis factoriser
📘Exemple détaillé :
Z = (x-1)(x-2) + (2x-2)(x+7)
Étape 1 : On remarque que 2x-2 = 2(x-1)
Étape 2 : Z = (x-1)(x-2) + 2(x-1)(x+7)
Étape 3 : Z = (x-1)[(x-2) + 2(x+7)]
Étape 4 : Z = (x-1)(x-2+2x+14)
Étape 5 : Z = (x-1)(3x+12) = 3(x-1)(x+4)
❓Transformer l’expression soulignée, faire apparaître le facteur commun, puis factoriser :
A = (x+1)(x+2) + (2x+2)(3x-4)
B = (x-1)(2x+1) + (6x+3)(3-x)
C = (10x-5)(x+2) + (1-x)(2x-1)
D = (4x+4)(1-2x) + (x+1)²
E = (2x+1)² – (x+3)(10x+5)
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📝Exercice 12 :
📘Exemple détaillé :
Exemple : \(12x^3 – 18x^2 + 6x\)
Étape 1 : Chercher le PGCD des coefficients : PGCD(12, 18, 6) = 6
Étape 2 : Chercher la plus petite puissance de x : \(x^1\) (car x a pour exposant 3, 2 et 1)
Étape 3 : Facteur commun = \(6x\)
Étape 4 : \(12x^3 – 18x^2 + 6x = 6x(2x^2 – 3x + 1)\)
❓Factoriser au maximum les expressions suivantes :
\(A = 5x – xy\)
\(B = a^2 + 3ab\)
\(C = 12a – 12ab\)
\(D = 60x^3 – 24x^5 + 36x^2\)
\(E = 7x^2 – 28x^4 + 70x^3\)
\(F = 3(2+x) + (2+x) \times y\)
\(G = (x-3) + 2x(x-3)\)
\(H = (5x+2y)(5+x) + 2(5x+2y)\)
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📝Exercice 13 :
📘Exemple détaillé :
Exemple : \(24x^3y^2 – 36x^2y^4 + 12x^4y\)
Étape 1 : PGCD des coefficients : PGCD(24, 36, 12) = 12
Étape 2 : Plus petite puissance de x : \(x^2\) (exposants 3, 2, 4)
Étape 3 : Plus petite puissance de y : \(y^1\) (exposants 2, 4, 1)
Étape 4 : Facteur commun = \(12x^2y\)
Étape 5 : \(24x^3y^2 – 36x^2y^4 + 12x^4y = 12x^2y(2xy – 3y^3 + x^2)\)
❓Factoriser au maximum les expressions suivantes (écrire toutes les étapes) :
\(B = 78x^2 + 54x^7 + 42x^5\)
\(C = 42x^5y^3 – 30x^2y^7 – 18x^4y^4\)
\(D = 45x^4y^7z^2 – 30x^3y^4z + 15x^3y^3\)
\(E = (3-2x)(5-x) – (3-2x)(7-4x)\)
\(F = (7-4x)(x+4) – (x+4)(7+3x)\)
\(G = (5+2x)(5-x) – (5+2x)\)
\(H = (7-9x)(1+x) – 3(7-9x)\)
\(I = (2+x)^2 + 3(2+x)\)
📋 Méthode à suivre pour la factorisation maximale :
- Pour B, C, D : Chercher le PGCD des coefficients et les plus petites puissances de chaque variable
- Pour E, F, G, H, I : Identifier le facteur commun entre parenthèses
- Attention : Pour G, écrire \((5+2x)\) comme \((5+2x) \times 1\) pour faire apparaître le facteur commun
- Pour I : Développer \((2+x)^2\) en \((2+x)(2+x)\) pour voir le facteur commun
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📝Exercice 14 :
Rappel : \((ax)^2 = a^2 \times x^2\) et pour les produits : multiplier les coefficients entre eux
1️⃣1) Donner le carré de chaque expression :
a. \((3x)^2 = 9x^2\)
b. \((2x)^2 =\)
c. \((5x)^2 =\)
d. \((6x)^2 =\)
e. \((9x)^2 =\)
f. \((7x)^2 =\)
g. \((10t)^2 =\)
h. \((4a)^2 =\)
i. \((-5x)^2 =\)
2️⃣2) Réduire chaque produit :
a. \(2 \times 3x \times 4 = 24x\)
b. \(3 \times 5x \times 2x =\)
c. \(4 \times 2x \times 5 =\)
d. \(x \times 8 \times 2x =\)
e. \(3 \times x \times 2x =\)
f. \(7 \times 4 \times 2x =\)
g. \(2 \times 7x \times 3 =\)
h. \(3 \times 5x \times 2x =\)
i. \(2 \times 6x \times 3x =\)
j. \(4 \times 10x \times 6x =\)
📋 Méthode à suivre :
Pour la partie 1 (carrés) :
- \((ax)^2 = a^2 \times x^2\)
- Exemple : \((3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2\)
- Attention aux signes : \((-5x)^2 = 25x^2\)
Pour la partie 2 (produits) :
- Multiplier les coefficients entre eux
- Multiplier les variables entre elles
- Exemple : \(2 \times 3x \times 4 = 2 \times 3 \times 4 \times x = 24x\)
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📝Exercice 15 : Développement avec les identités remarquables
Objectif : Développer des expressions en utilisant les trois identités remarquables
Méthode : Appliquer les formules \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)
1️⃣1) Développer en utilisant : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
A = \((3+x)^2\)
B = \((x+5)^2\)
C = \((2x+1)^2\)
D = \((1+3x)^2\)
E = \((3x+2)^2\)
F = \((5x+3)^2\)
G = \((x^2+1)^2\)
H = \((3+4x)^2\)
2️⃣2) Développer en utilisant : \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
A = \((x-2)^2\)
B = \((1-3x)^2\)
C = \((3-x)^2\)
D = \((2x-1)^2\)
E = \((3-5x)^2\)
F = \((3x-2)^2\)
G = \((4x-3)^2\)
H = \((4-3x^2)^2\)
3️⃣3) Développer en utilisant : \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)
A = \((x+2)(x-2)\)
B = \((x+3)(x-3)\)
C = \((3x-1)(3x+1)\)
D = \((2x+1)(2x-1)\)
E = \((5+3x)(5-3x)\)
F = \((3x-2)(3x+2)\)
G = \((3+4x)(3-4x)\)
H = \((4x^2+3)(4x^2-3)\)
Attention : Identifier correctement \(a\) et \(b\) dans chaque expression avant d’appliquer la formule.
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📝Exercice 16 : Retrouver l’expression initiale à partir de son carré
Objectif : Retrouver l’expression dont on connaît le carré
Méthode : Si \((ax)^2 = a^2x^2\), alors pour retrouver \(ax\) à partir de \(a^2x^2\), on prend la racine carrée du coefficient et on conserve la variable
📘Exemple détaillé :
Exemple : \(4x^2 = (2x)^2\)
Étape 1 : Trouver la racine carrée du coefficient : \(\sqrt{4} = 2\)
Étape 2 : Conserver la variable : \(x\) (attention : \(\sqrt{x^2} = x\))
Étape 3 : Écrire le résultat : \(2x\)
Vérification : \((2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4x^2\) ✓
❓Retrouver l’expression dont on connaît le carré :
a. \(4x^2 = (2x)^2\)
b. \(9x^2 = (\quad)^2\)
c. \(36x^2 = (\quad)^2\)
d. \(25x^2 = (\quad)^2\)
e. \(49x^2 = (\quad)^2\)
f. \(81x^2 = (\quad)^2\)
g. \(100t^2 = (\quad)^2\)
h. \(400a^2 = (\quad)^2\)
i. \(144b^2 = (\quad)^2\)
j. \(16y^2 = (\quad)^2\)
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📝Exercice 17 : Factorisation avec les identités remarquables
Objectif : Factoriser des expressions en utilisant les trois identités remarquables
Méthode : Reconnaître les formes \(a^2 + 2ab + b^2\), \(a^2 – 2ab + b^2\) et \(a^2 – b^2\)
1️⃣1) Factoriser avec : \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
Reconnaître : Un carré + double produit + un autre carré
A = \(x^2 + 10x + 25\)
B = \(x^2 + 6x + 9\)
C = \(36 + 12x + x^2\)
D = \(4x^2 + 12x + 9\)
E = \(16x^2 + 40x + 25\)
2️⃣2) Factoriser avec : \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
Reconnaître : Un carré – double produit + un autre carré
A = \(x^2 – 2x + 1\)
B = \(4x^2 – 20x + 25\)
C = \(9 – 6x + x^2\)
D = \(36x^2 – 12x + 1\)
E = \(100 – 40x + 4x^2\)
3️⃣3) Factoriser avec : \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)
Reconnaître : Différence de deux carrés
A = \(x^2 – 4\)
B = \(9 – x^2\)
C = \(x^2 – 16\)
E = \(25 – x^2\)
F = \(4x^2 – 9\)
G = \(16 – 9x^2\)
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📝Exercice 18 :
1️⃣Factoriser avec : \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)
Reconnaître : Une différence de deux carrés
A = \((x+1)^{2}-4\)
B = \((2x-1)^{2}-(5+x)^{2}\)
C = \((x+1)^{2}-(2x+3)^{2}\)
2️⃣Factoriser par mise en évidence
Reconnaître : Un facteur commun ou une expression à développer d’abord
D = \((x+2)(x+1)+(x^{2}-1)\)
E = \((2x+1)(x-2)-(x^{2}-4)\)
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Calcul littéral 2AC exercices corrigés