Calcul littéral – Cours
CALCUL LITTÉRAL
Cours complet avec exemples et exercices corrigés
Objectifs d’apprentissage
- Réduire, développer et factoriser une expression littérale
- Supprimer les parenthèses dans les expressions algébriques
- Utiliser les identités remarquables pour développer et factoriser
I. Réduire une expression littérale
Définition
Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme comportant le moins de termes possibles, en effectuant la somme algébrique des termes de même nature (mêmes puissances de x).
Exemple 1 : Réduction d’expressions
A) \( A = 4x – 3 + 2x \)
\( A = 4x + 2x – 3 \)
\( A = 6x – 3 \)
B) \( B = -x + 2 – 5x – 7 \)
\( B = -x – 5x + 2 – 7 \)
\( B = -6x – 5 \)
C) \( C = 5x^2 + 7x – 4 – 2x^2 + 3 + 4x \)
\( C = 5x^2 – 2x^2 + 7x + 4x – 4 + 3 \)
\( C = 3x^2 + 11x – 1 \)
Méthode :
- Regrouper les termes de même puissance
- Additionner/soustraire les coefficients
- Écrire le résultat ordonné
Attention !
On ne peut pas additionner \( 4 + 3x \) pour obtenir \( 7x \) !
Ce sont des termes de nature différente : 4 est une constante, \( 3x \) est un terme en x.
II. Développement
Définition
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme ou d’une différence.
1. Distributivité simple
Propriété
Pour tous les nombres relatifs \( k, a \) et \( b \) :
\[ k \times (a – b) = k \times a – k \times b \]
Exemple 2 : Distributivité simple
A) \( A = 3(5x + 2) \)
\( A = 3 \times 5x + 3 \times 2 \)
\( A = 15x + 6 \)
B) \( B = 2(4 – 3x) \)
\( B = 2 \times 4 – 2 \times 3x \)
\( B = 8 – 6x \)
C) \( C = -4(3x^2 – 5) \)
\( C = -4 \times 3x^2 + 4 \times 5 \) (Attention au signe !)
\( C = -12x^2 + 20 \)
2. Double distributivité
Propriété
Pour tous les nombres relatifs \( a, b, c \) et \( d \) :
Exemple 3 : Double distributivité
A) \( A = (3x + 1)(x – 5) \)
\( A = 3x \times x – 3x \times 5 + 1 \times x – 1 \times 5 \)
\( A = 3x^2 – 15x + x – 5 \)
\( A = 3x^2 – 14x – 5 \)
B) \( B = (x – 1)(2x – 7) \)
\( B = x \times 2x – x \times 7 – 1 \times 2x + 1 \times 7 \)
\( B = 2x^2 – 7x – 2x + 7 \)
\( B = 2x^2 – 9x + 7 \)
Méthode mnémotechnique :
F = Premiers, O = Outres, I = Intérieurs, L = Derniers
(a + b)(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d
III. Factorisation
Définition
Factoriser une somme ou une différence, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Propriété (mise en évidence)
Pour tous les nombres relatifs \( k, a \) et \( b \) :
\[ k \times a – k \times b = k \times (a – b) \]
Exemple 4 : Factorisation simple
A) \( A = 7x + 14 \)
\( A = 7 \times x + 7 \times 2 \)
\( A = 7(x + 2) \)
B) \( B = 10 – 15x \)
\( B = 5 \times 2 – 5 \times 3 \times x \)
\( B = 5(2 – 3x) \)
C) \( C = 18x + 16x^2 \)
\( C = 9 \times 2 \times x + 8 \times 2 \times x \times x \)
Facteur commun : \( 2x \)
\( C = 2x(9 + 8x) \)
D) \( D = (2x + 1)(x – 5) + (2x + 1)(3x + 4) \)
Facteur commun : \( (2x + 1) \)
\( D = (2x + 1)[(x – 5) + (3x + 4)] \)
\( D = (2x + 1)(x + 3x – 5 + 4) \)
\( D = (2x + 1)(4x – 1) \)
IV. Les identités remarquables
Carré d’une somme
Exemple : \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
Carré d’une différence
Exemple : \( (3x – 1)^2 = 9x^2 – 6x + 1 \)
Produit d’une somme par une différence
Exemple : \( (4x + 3)(4x – 3) = 16x^2 – 9 \)
Exemple 5 : Utilisation des identités remarquables
Développement
\( (x + 2)^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4 \)
\( (3x – 1)^2 = (3x)^2 – 2 \times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 – 6x + 1 \)
\( (4x + 3)(4x – 3) = (4x)^2 – 3^2 = 16x^2 – 9 \)
Factorisation
\( 25x^2 + 30x + 9 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = (5x + 3)^2 \)
\( 4x^2 – 36x + 81 = (2x)^2 – 2 \times 2x \times 9 + 9^2 = (2x – 9)^2 \)
\( 36x^2 – 49 = (6x)^2 – 7^2 = (6x – 7)(6x + 7) \)
Exercices d’application
Exercice 1 : Réduction
\( 3x – 5 + x \)
\( 2x + 10 – 5x – 3 \)
\( x^2 – 4 + 6x – 3x^2 + 7 \)
\( 3x – (5 + 4x^2 – 10x) + 2 – 6x^2 \)
Exercice 2 : Développement simple
\( A = 2(x + 5) \)
\( B = 7(x – 6) \)
\( E = 6x(2x – 1) \)
\( F = -3(4x + 5) \)
Exercice 3 : Double distributivité
\( (x + 4)(x – 6) \)
\( (3x – 5)(4x – 2) \)
\( (-2x – 3)(x – 2) \)
\( (8x + 1)(-3x – 2) \)
Exercice 4 : Factorisation
\( 5x + 10 \)
\( 24 – 6x \)
\( x^2 + 7x \)
\( 16x + 12x^2 \)
Exercice 5 : Identités remarquables
Développer : \( (x + 3)^2 \), \( (2x + 5)^2 \)
Factoriser : \( 16x^2 + 40x + 25 \)
Factoriser : \( 9x^2 – 144 \)
Factoriser : \( 36 – 84x + 49x^2 \)
Corrigés (indications)
Exercice 1 : \( 3x – 5 + x = 4x – 5 \)
Exercice 2 : \( 2(x + 5) = 2x + 10 \)
Exercice 3 : \( (x + 4)(x – 6) = x^2 – 6x + 4x – 24 = x^2 – 2x – 24 \)
Exercice 4 : \( 5x + 10 = 5(x + 2) \)
Exercice 5 : \( 16x^2 + 40x + 25 = (4x + 5)^2 \)
Synthèse et méthodologie
- Pour réduire : regrouper les termes de même nature
- Pour développer : appliquer la distributivité simple ou double
- Pour factoriser : rechercher un facteur commun
- Pour les identités remarquables : reconnaître les formes \( a^2 ± 2ab + b^2 \) ou \( a^2 – b^2 \)
- Vérification : après factorisation, développer pour vérifier qu’on retrouve l’expression initiale
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