Calcul trigonométrique 2
Exercice 1:
A l’aide d’un cercle trigonométrique seulement, donner toutes les valeurs possibles de $X$ vérifiant les conditions données.
$1)$ $\cos x=\frac{1}{2}$ et $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ avec : $\left.\left.x \in\right]-\pi, \pi\right]$
$2)$ $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ avec : $\left.\left.x \in\right]-\pi, \pi\right]$
$3)$ $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin x=-\frac{1}{2}$ avec : $x \in[-\pi, 3 \pi]$
$4)$ $\cos x=0$ et $\sin x=-1$ avec : $x \in[-2 \pi, 3 \pi]$
$1)$ $ x=-\frac{\pi}{3} $
$2)$ $x=\frac{\pi}{4}$
$3)$ $x \in\left\{-\frac{5 \pi}{6} ; \frac{7 \pi}{6}\right\}$
$4)$ $x \in\left\{-\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right\}$
Exercice 2:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$a)$ $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$b)$ $\cos x=-\frac{1}{2}$
$c)$ $\cos ^{2} x=\frac{1}{2}$
$a)$ $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
On sait que : $\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
donc on a : $\cos x=\cos \frac{\pi}{4}$
Donc l’ensemble des solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ est : $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{4}+2 k \pi ;-\frac{\pi}{4}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$b)$ $\cos x=-\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\cos x=-\cos \frac{\pi}{3}$
Équivaut à: $\cos x=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$
C’est-à-dire : $\cos x=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$
Sont : $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{2 \pi}{3}+2 k \pi ;-\frac{2 \pi}{3}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$c)$ $\cos ^{2} x=\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\cos ^{2} x-\frac{1}{2}=0$
Équivaut à : $\left(\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$
Équivaut à : $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C’est-à-dire : $\cos x=\cos \frac{\pi}{4}$ ou $\cos x=\cos \frac{3 \pi}{4}$
Ainsi : $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{4}+2 k \pi ;-\frac{\pi}{4}+2 k \pi ; \frac{3 \pi}{4}+2 k \pi ;-\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi\right\}$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Exercice 3:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$a)$ $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad$
$b)$ $\sin x=-\frac{1}{2} \quad$
$c)$ $\sin ^{2} x=\frac{1}{2}$
$ a)$ $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Équivaut à : $\sin x=\sin \frac{\pi}{3}$ Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont:
$S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{3}+2 k \pi ; \pi-\frac{\pi}{3}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
C’est-à-dire : $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{3}+2 k \pi ; \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$b)$ $\sin x=-\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin x=-\sin \frac{\pi}{6}$
Équivaut à : $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
Équivaut à : $-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ et $\pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right)+2 k \pi=\frac{7 \pi}{6}+2 k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$
Sont : $S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{6}+2 k \pi ; \frac{7 \pi}{6}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$c)$ $\sin ^{2} x=\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\quad \sin ^{2} x-\frac{1}{2}=0$
Équivaut à : $\left(\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$
Équivaut à : $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad$ ou $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C’est-à-dire : $\sin x=\sin \frac{\pi}{4}$ ou $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ ou $x=\pi-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$
Ou $x=-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ ou $x=\pi-\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2 k \pi: k \in \mathbb{Z}$
Ainsi : $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{4}+2 k \pi ;-\frac{\pi}{4}+2 k \pi ; \frac{5 \pi}{4}+2 k \pi ; \frac{3 \pi}{4}+2 k \pi\right\}$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Exercice 4:
$1)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\mathrm{b} \tan x=\sqrt{3}$.
$2)$ Résoudre dans $]-\pi ; \pi]$ l’équation suivante : $\tan x=\sqrt{3}$.
$1)$ On a : $\tan x=\sqrt{3}$ est définie dans $\mathbb{R}$ Équivaut à : $x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi\right\}$ avec ; $k \in \mathbb{Z}$
On sait que : $\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
donc $: \tan x=\tan \frac{\pi}{3}$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{3}+k \pi ; k \in \mathbb{Z}$
Donc L’ensemble de solution de l’équation dans $\mathbb{R}$ est : $S=\left\{\frac{\pi}{3}+k \pi ; k \in \mathbb{Z}\right\}$
$2)$ Résolution dans $]-\pi ; \pi$ ]l’équation: $\tan x=\sqrt{3}$
$\tan x=\sqrt{3}$ Équivaut à : $x=\frac{\pi}{3}+k \pi ; k \in \mathbb{Z}$
Donc les seules valeurs dans $]-\pi ; \pi]$ sont :
$x=\frac{\pi}{3}$ et $x=\frac{\pi}{3}-\pi=-\frac{2 \pi}{3}$
Par suite : $S=\left\{-\frac{2 \pi}{3} ; \frac{\pi}{3}\right\}$
Exercice 5:
$1)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $4 \tan x+4=0$
$2)$ Résoudre dans $[-\pi, \pi[1$ ‘équation suivante : $2 \cos 2 x+\sqrt{3}=0$
$3)$ Résoudre dans $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{5 \pi}{2}\right]$ 1’équation suivante : $2 \sqrt{2} \sin x+2=0$
$1)$ On a $4 \tan x+4=0$ est définie dans $\mathbb{R}$ Équivaut à : $x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi\right\}$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Donc $D=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi ; k \in \mathbb{Z}\right\}$
$4 \tan x+4=0 \quad$ Équivaut à : $\tan x=-1$
Équivaut à : $\tan x=-\tan \frac{\pi}{4}$
C’est-à-dire : $\tan x=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$
Sont : $S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$.
$2)$ $2 \cos 2 x+\sqrt{3}=0$ Equivaut à : $\cos 2 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Équivaut à : $\cos 2 x=-\cos \frac{\pi}{6}$
C’est-à-dire : $\cos 2 x=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)$
Équivaut à : $2 x=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi$ ou $2 x=-\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi$
Équivaut à : $x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi$ ou $x=-\frac{5 \pi}{12}+k \pi$ avec: $k \in \mathbb{Z}$
– Encadrement de $x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi$ :
$-\pi \leq \frac{5 \pi}{12}+k \pi<\pi \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Equivaut à: $-1 \leq \frac{5}{12}+k<1$ donc : $-1-\frac{5}{12} \leq k<1-\frac{5}{12}$
C’est-à-dire : $-\frac{17}{12} \leq k<\frac{7}{12}$
Par suite: $k=0$ ou $k=-1$
Si $k=0$ alors: $x=\frac{5 \pi}{12}+0 \pi=\frac{5 \pi}{12}$
Si $k=-1$ alors: $x=\frac{5 \pi}{12}-1 \pi=\frac{-7 \pi}{12}$
– Encadrement de : $x=-\frac{5 \pi}{12}+k \pi$ :
$-\pi \leq-\frac{5 \pi}{12}+k \pi<\pi \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Equivaut à: $-1 \leq \frac{-5}{12}+k<1$ donc : $-\frac{7}{12} \leq k<\frac{17}{12}$
Par suite: $k=0$ ou $k=1$
Si $k=0$ alors: $x=-\frac{5 \pi}{12}+0 \pi=-\frac{5 \pi}{12}$
Si $k=1$ alors: $x=-\frac{5 \pi}{12}+1 \pi=\frac{7 \pi}{12}$
Finalement: $S=\left\{-\frac{7 \pi}{12} ;-\frac{5 \pi}{12} ; \frac{5 \pi}{12} ; \frac{7 \pi}{12}\right\}$
$3)$ $2 \sqrt{2} \sin x+2=0$ Équivaut à : $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C’est-à-dire : $\sin x=-\sin \frac{\pi}{4}$
Équivaut à: $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$
L’équation a pour solutions :
$-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ et $\pi-\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2 k \pi=\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$
– Encadrement de $-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ :
$-\frac{\pi}{2} \leq-\frac{\pi}{4}+2 k \pi \leq \frac{5 \pi}{2} \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $-\frac{1}{2} \leq-\frac{1}{4}+2 k \leq \frac{5}{2}$ c’est-à-dire : $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \leq 2 k \leq \frac{5}{2}+\frac{1}{4}$
Donc $\quad-\frac{1}{8} \leq k \leq \frac{11}{8}$
C’est-à-dire : $-0,12 \leq k \leq 1,37$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=0$ ou $k=1$
Pour $k=0$ on trouve $\quad x_{1}=-\frac{\pi}{4}+2 \times 0 \pi=-\frac{\pi}{4}$
Pour $k=1$ on trouve $\quad x_{2}=-\frac{\pi}{4}+2 \times 1 \pi=\frac{7 \pi}{4}$
– Encadrement de $\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi$ :
$-\frac{\pi}{2} \leq \frac{5 \pi}{4}+2 k \pi \leq \frac{5 \pi}{2} \quad$ et $\quad k \in \mathbb{Z}$
Donc : $-\frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}+2 k \leq \frac{5}{2}$ c’est-à-dire : $-\frac{1}{2}-\frac{5}{4} \leq 2 k \leq \frac{5}{2}-\frac{5}{4}$
Donc: $-\frac{7}{8} \leq k \leq \frac{5}{8}$ c’est-à-dire : $-0,8 \leq k \leq 0,6$ et $k \in \mathbb{Z}$ donc : $k=0$
Pour $k=0$ on trouve : $x_{3}=\frac{5 \pi}{4}+2 \times 0 \pi=\frac{5 \pi}{4}$
Donc $S=\left\{-\frac{\pi}{4} ; \frac{7 \pi}{4} ; \frac{5 \pi}{4}\right\}$
Exercice 6:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
$1)$ $\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$2)$ $\sin (2 x)=\cos (3 x)$
$3)$ $\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sqrt{3}$
$1)$ on a : $\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Équivaut à : $\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$
Équivaut à : $2 x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ ou $2 x=-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$
Équivaut à : $2 x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $2 x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi$
Équivaut à : $x=-\frac{\pi}{12}+k \pi$ ou $x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont: $S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{12}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$2)$ On a: $\sin (2 x)=\cos (3 x)$
Équivaut à : $\sin (2 x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)$
Équivaut à : $2 x=\frac{\pi}{2}-3 x+2 k \pi$ ou $2 x=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)+2 k \pi$
Équivaut à : $5 x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ ou $-x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{10}+\frac{2 k \pi}{5}$ ou $x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont: $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{10}+\frac{2 k \pi}{5} / k \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{-\frac{\pi}{2}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$3)$ On a : $\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sqrt{3}$
Équivaut à $: \tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)$
Équivaut à : $\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)$
Équivaut à : $\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)$
Équivaut à : $\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+k \pi$
Équivaut à : $-x=-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+k \pi$ donc : $x=\frac{7 \pi}{12}+k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont:
$S_{\mathbb{Z}}=\left\{\frac{7 \pi}{12}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
Exercice 7:
$1 )$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation: $\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2} \quad(E)$
$2)$ En déduire dans $[-\pi ; 2 \pi[$ les solutions de l’équation ( $E$ )
$1) $ On a : $\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}$
Équivaut à : $\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sin \frac{\pi}{6}$
Équivaut à : $\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $\frac{\pi}{4}-x=\pi-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$
Équivaut à : $-x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ ou $-x=\frac{5 \pi}{6}-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{12}+2 k \pi$ ou $x=-\frac{7 \pi}{12}+2 k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont:
$S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{12}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{-\frac{7 \pi}{12}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$2) $ Résolution dans $[-\pi ; 2 \pi[$ de l’équation $(E)$
– Encadrement de : $\frac{\pi}{12}+2 k \pi$ :
$-\pi \leq \frac{\pi}{12}+2 k \pi<2 \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $-1 \leq \frac{1}{12}+2 k<2$ c’est-à-dire : $-\frac{13}{12} \leq 2 k<\frac{23}{12}$
Cela signifie que : $-\frac{13}{24} \leq k<\frac{23}{24}$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=0$ et Pour $k=0$ on trouve : $x_{1}=\frac{\pi}{12}$
– Encadrement de : $-\frac{7 \pi}{12}+2 k \pi$ :
$-\pi \leq-\frac{7 \pi}{12}+2 k \pi<2 \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $-1 \leq \frac{-7}{12}+2 k<2$ alors : $-1+\frac{7}{12} \leq 2 k<2+\frac{7}{12}$
C’est-à-dire : $-\frac{5}{24} \leq k<\frac{31}{24}$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=0$ ou $k=1$
Pour $k=0$ on trouve : $x_{2}=\frac{-7 \pi}{12}$
et Pour $k=1$ on trouve $\quad x_{3}=\frac{17 \pi}{12}$
Donc $S_{[-\pi ; 2 \pi[ }=\left\{\frac{-7 \pi}{12} ; \frac{\pi}{12} ; \frac{17 \pi}{12}\right\}$
Exercice 8:
Résoudre les équations trigonométriques suivantes.
$1)$ $\cos 2 x=\cos \left(\frac{8 \pi}{2}\right)$ dans $\mathbb{R}$ puis dans $[\pi ; 5 \pi]$
$2)$ $\sin \left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{5}\right)$ dans $\mathbb{R}$ puis dans $[-2 \pi ; 2 \pi]$
$3)$ $\cos 3 x=-\cos x$ dans $\mathbb{R}$ puis dans $[-2 \pi ; \pi]$
$4)$ $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin x$ dans $\mathbb{R}$ puis dans $[4 \pi ; 6 \pi]$
$5)$ $\sin (3 x)=\cos (2 x)$ dans $\mathbb{R}$
$1)$ On a : $\cos 2 x=\cos \left(\frac{8 \pi}{2}\right)$
Équivaut à : $\cos 2 x=\cos (4 \pi)$
Équivaut à : $\cos 2 x=\cos (0)$
Équivaut à : $2 x=0+2 k \pi$
Équivaut à : $x=k \pi$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont: $S_{\mathbb{R}}=\{k \pi / k \in \mathbb{Z}\}$
Pour la résolution dans: $[\pi ; 5 \pi]$ on va encadrer :
Encadrement de $k \pi$ : $\pi \leq k \pi \leq 5 \pi$
Équivaut à: $1 \leq k \leq 5 \quad k \in \mathbb{Z}$
Donc : $k \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}$
par suite : $x_{1}=\pi ; x_{2}=2 \pi ; x_{3}=3 \pi ; x_{4}=4 \pi ; x_{5}=5 \pi$
Donc: $S_{[\pi ; 5 \pi]}=\{\pi ; 2 \pi ; 3 \pi ; 4 \pi ; 5 \pi\}$
$2)$ on a: $\sin \left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{5}\right)$
Équivaut à : $x-\frac{2 \pi}{3}=\frac{\pi}{5}+2 k \pi$ ou $x-\frac{2 \pi}{3}=-\frac{\pi}{5}+2 k \pi$
Équivaut à : $x=\frac{13 \pi}{15}+2 k \pi$ ou $x=\frac{22 \pi}{15}+2 k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont: $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{13 \pi}{15}+2 k \pi ; \frac{22 \pi}{15}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
Pour la résolution dans : $[-2 \pi ; 2 \pi]$ on va encadrer :
– Encadrement de $\frac{13 \pi}{15}+2 k \pi$ :
$-2 \pi \leq \frac{13 \pi}{15}+2 k \pi \leq 2 \pi$
Équivaut à : $\frac{-43 \pi}{15} \leq 2 k \pi \leq \frac{17 \pi}{15}$
Équivaut à : $\frac{-43}{30} \leq k \leq \frac{17}{30} \quad k \in \mathbb{Z}$
Donc : $k \in\{-1 ; 0\}$ ce qui donne : $x_{1}=-\frac{17 \pi}{15}$;
$x_{2}=\frac{13 \pi}{15}$
– Encadrement de $\frac{22 \pi}{15}+2 k \pi$ :
$-2 \pi \leq \frac{22 \pi}{15}+2 k \pi \leq 2 \pi$
Équivaut à : $\frac{-52}{30} \leq k \leq \frac{8}{30}$
$k \in \mathbb{Z}$ Donc : $k \in\{-1 ; 0\}$
ce qui donne :$x_{3}=-\frac{8 \pi}{15} ; x_{4}=\frac{22 \pi}{15}$
Finalement : $S_{[-2 \pi ; 2 \pi]}=\left\{-\frac{17 \pi}{15} ; \frac{13 \pi}{15} ; \frac{-8 \pi}{15} ; \frac{22 \pi}{15}\right\}$
$3)$ on a: $\cos 3 x=-\cos x$
Équivaut à : $\cos 3 x=\cos (\pi-x)$
Équivaut à : $3 x=\pi-x+2 k \pi$ ou $3 x=-(\pi-x)+2 k \pi$
Équivaut à : $4 x=\pi+2 k \pi$ ou $2 x=-\pi+2 k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}$ ou $x=-\frac{\pi}{2}+k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Donc les solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ sont: $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
Pour la résolution dans : $[-2 \pi ; \pi]$ on va encadrer :
– Encadrement de $\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}$ :
$-2 \pi \leq \frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \leq \pi$
Équivaut à : $\frac{-9 \pi}{4} \leq \frac{k \pi}{2} \leq \frac{3 \pi}{4} k \in \mathbb{Z}$
C’est-à-dire: $\quad \frac{-9}{2} \leq k \leq \frac{3}{2} \quad k \in \mathbb{Z}$
Donc : $k \in\{-4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1\}$
ce qui donne : $x_{1}=-\frac{7 \pi}{4} ; x_{2}=\frac{-5 \pi}{4} ; x_{3}=\frac{-3 \pi}{4} ; x_{4}=\frac{-\pi}{4} ; x_{5}=\frac{\pi}{4} ; x_{6}=\frac{3 \pi}{4}$
– Encadrement de $-\frac{\pi}{2}+k \pi$ :
$-2 \pi \leq-\frac{\pi}{2}+k \pi \leq \pi \quad$
Équivaut à : $-\frac{3 \pi}{2} \leq k \pi \leq \frac{3 \pi}{2}$
C’est-à-dire: $\frac{-3}{2} \leq k \leq \frac{3}{2} \quad k \in \mathbb{Z}$
Donc : $k \in\{-1 ; 0 ; 1\}$
ce qui donne : $x_{7}=-\frac{3 \pi}{2} ; x_{8}=-\frac{\pi}{2} ; x_{9}=\frac{\pi}{2}$
Finalement: $S_{[-2 \pi ; \pi]}=\left\{-\frac{7 \pi}{4} ; \frac{-5 \pi}{4} ; \frac{-3 \pi}{4} ; \frac{-\pi}{4} ; \frac{\pi}{4} ; \frac{3 \pi}{4} ; \frac{-3 \pi}{2} ; \frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right\}$
$4)$ $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin x$ Équivaut à: $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin (-x)$
Équivaut à : $2 x+\frac{\pi}{4}=-x+2 k \pi$ ou $2 x+\frac{\pi}{4}=\pi-(-x)+2 k \pi$
Équivaut à : $3 x=-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ ou $x=\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi$
C’est-à-dire : $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2 k \pi}{3}$ ou $x=\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi$
Donc l’ensemble des solutions de l’équation dans est : $S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{12}+\frac{2 k \pi}{3} ; \frac{3 \pi}{4}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$.
– Encadrement de $-\frac{\pi}{12}+\frac{2 k \pi}{3}$ : $4 \pi \leq-\frac{\pi}{12}+\frac{2 k \pi}{3} \leq 6 \pi$
Équivaut à : $\frac{49 \pi}{12} \leq \frac{2 k \pi}{3} \leq \frac{73 \pi}{12}$
Équivaut à : $\frac{49}{8} \leq k \leq \frac{73}{8} \quad k \in \mathbb{Z}$
Donc: $k \in\{7 ; 8 ; 9\}$
ce qui donne : $x_{1}=\frac{55 \pi}{12} ; x_{2}=\frac{63 \pi}{12} ; x_{3}=\frac{71 \pi}{12}$
– Encadrement de $\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi$ :
$4 \pi \leq \frac{3 \pi}{4}+2 k \pi \leq 6 \pi$
Équivaut à : $\frac{13 \pi}{4} \leq 2 k \pi \leq \frac{21 \pi}{4}$
$k \in \mathbb{Z} \quad$
c’est-à-dire : $\frac{13}{8} \leq k \leq \frac{21}{8} \quad k \in \mathbb{Z}$
Donc : $k=2$
ce qui donne : $x_{4}=\frac{19 \pi}{4}$
Finalement: $S_{[4 \pi ; 6 \pi]}=\left\{\frac{55 \pi}{12} ; \frac{63 \pi}{12} ; \frac{71 \pi}{12} ; \frac{19 \pi}{4}\right\}$
$5)$ $\sin (3 x)=\cos (2 x)$ dans $\mathbb{R}$
$\sin (3 x)=\cos (2 x)$
Équivaut à : $\cos \left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)=\cos (2 x)$
Équivaut à : $\frac{\pi}{2}-3 x=2 x+2 k \pi$ ou $\frac{\pi}{2}-3 x=-2 x+2 k \pi$
Équivaut à : $5 x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ ou $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$
C’est-à-dire : $x=\frac{\pi}{10}+\frac{k \pi}{2}$ ou $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$
Donc l’ensemble des solutions de l’équation dans $\mathbb{R}$ est : $S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{10}+\frac{k \pi}{2} ; \frac{\pi}{2}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
Exercice 9:
$1)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\cos 2 x=\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
$2)$ Résoudre dans $[0 ; \pi]$ l’équation suivante : $\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
$3)$ Résoudre dans $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}$ [1’équation suivante : $\tan \left(2 x-\frac{\pi}{5}\right)=1$
$1)$ On a : $\cos 2 x=\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
Équivaut à : $2 x=x-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ ou $2 x=-\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2 k \pi$
Équivaut à : $2 x-x=-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ ou $2 x+x=\frac{\pi}{3}+2 k \pi$
équivaut à : $x=-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ ou $x=\frac{\pi}{9}+\frac{2 k \pi}{3}$et $k \in \mathbb{Z}$ $S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{3}+2 k \pi ; \frac{\pi}{9}+\frac{2 k \pi}{3} / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$2)$ On a $\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
Équivaut à : $2 x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}-x+2 k \pi$ ou $2 x-\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{4}+x+2 k \pi$
Équivaut à : $3 x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ ou $x=\pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+2 k \pi$
Donc $x=\frac{7 \pi}{36}+\frac{2 k \pi}{3}$ ou $x=\frac{13 \pi}{12}+2 k \pi$
– Encadrement de $\frac{7 \pi}{36}+\frac{2 k \pi}{3}: 0 \leq \frac{7 \pi}{36}+\frac{2 k \pi}{3} \leq \pi$
Donc $0 \leq \frac{7}{36}+\frac{2 k}{3} \leq 1$ c’est-à-dire : $-\frac{7}{24} \leq k \leq \frac{29}{36}$
Cela signifie que : $-0,29 \leq k \leq 1,2$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=0$ ou $k=1$
Pour $k=0$ on trouve : $x_{1}=\frac{7 \pi}{36}$
Pour $k=1$ on trouve : $x_{2}=\frac{7 \pi}{36}+\frac{2 \pi}{3}=\frac{31 \pi}{36}$
– Encadrement de : $x=\frac{13 \pi}{12}+2 k \pi$
$0 \leq \frac{13 \pi}{12}+2 k \pi \leq \pi \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $0 \leq \frac{13}{12}+2 k \leq 1$
c’est-à-dire : $-\frac{13}{24} \leq k \leq-\frac{1}{24}$
Cela signifie que : $-0,54 \leq k \leq-0,04$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k$ n’existe pas
– Donc $S_{[0 . \pi]}=\left\{\frac{7 \pi}{36} ; \frac{31 \pi}{36}\right\}$
$3)$ On a $\tan \left(2 x-\frac{\pi}{5}\right)=1$ est définie
Équivaut à : $2 x-\frac{\pi}{5} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$
Équivaut à : $2 x \neq \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{5}+k \pi$
Équivaut à : $2 x \neq \frac{7 \pi}{10}+k \pi$
cela signifie que : $x \neq \frac{7 \pi}{20}+\frac{k \pi}{2}, \quad$
donc $D=\mathbb{R}-\left\{\frac{7 \pi}{20}+\frac{k \pi}{2} ; k \in \mathbb{Z}\right\}$
Or on sait que : $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
Équivaut à: $\tan \left(2 x-\frac{\pi}{5}\right)=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)$
Donc : $2 x-\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{4}+k \pi$ équivaut à : $2 x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{5}+k \pi$
Équivaut à : $2 x=\frac{9 \pi}{20}+k \pi$
Équivaut à : $x=\frac{9 \pi}{40}+\frac{k \pi}{2}$
Encadrement de : $\frac{9 \pi}{40}+\frac{k \pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \prec \frac{9 \pi}{40}+\frac{k \pi}{2} \prec \frac{\pi}{2} \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $-\frac{1}{2} \prec \frac{9}{40}+\frac{k}{2} \prec \frac{1}{2}$
c’est-à-dire: $-\frac{29}{40} \prec \frac{k}{2} \prec \frac{11}{40}$
Donc : $-\frac{29}{40} \prec \frac{k}{2} \prec \frac{11}{40}$
donc : $-\frac{29}{20} \prec k \prec \frac{11}{20}$
Donc $-1,45 \prec k \prec 0,55$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=0$ ou $k=-1$
Pour $k=0$ on trouve : $x_{1}=\frac{9 \pi}{40}$
Pour $k=-1$ on trouve : $x_{2}=\frac{9 \pi}{40}-\frac{\pi}{2}=-\frac{11 \pi}{40}$
Donc $S=\left\{-\frac{11 \pi}{40} ; \frac{9 \pi}{40}\right\}$
Exercice 10:
Représenter sur un cercle trigonométrique l’ensemble des points du cercle associés aux réels $x$ vérifiant :
$1)$ $0 \leq \cos (x) \leq 1$
$2)$ $\cos (x) \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right]$
$3)$ $-1<\sin (x)<0$
$4)$ $-\frac{1}{2} \leq \sin (x) \leq 1$
$5)$ $\sin (x) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2} ; 0[\right.$
$6)$ $\cos (x) \in\left[-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
$1)$ $0 \leq \cos (x) \leq 1$
$2)$ $\cos (x) \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right]$
$3$ $-1<\sin (x)<0$
$4)$ $-\frac{1}{2} \leq \sin (x) \leq 1$
$5)$ $\sin (x) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2} ; 0[\right.$
$6)$ $\cos (x) \in\left[-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
Exercice 11:
$1)$ Résoudre dans $[0,2 \pi[$ l’inéquation suivante : $\sin x \geq \frac{1}{2}$
$2)$ Résoudre dans $\left.]-\pi, \pi\right]$ l’inéquation suivante : $\sin x \leq-\frac{1}{2}$
$3)$ Résoudre dans $\left.]-\pi, \pi\right]$ l’inéquation suivante : $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$
$4)$ Résoudre dans $\left.]-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$ l’inéquation suivante : $\cos x \leq \frac{1}{2}$
$5)$ Résoudre dans $[0 ; 2 \pi]$ l’inéquation suivante : $\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}$
$6)$ Résoudre dans $[0 ; 2 \pi]$ l’inéquation suivante : $\tan x-1 \geq 0$
$7)$ Résoudre dans $[0 ; 2 \pi]$ l’inéquation suivante : $\tan x \succ-1$
$1)$ $\sin x=\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin x=\sin \frac{\pi}{6}$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=\pi-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in[0 ; 2 \pi]$ alors : $x=\frac{\pi}{6}$ ou $x=\frac{5 \pi}{6}$
On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\sin x$ et $\frac{1}{2}$ dans $[0,2 \pi[$
On trouve que : $\sin x \geq \frac{1}{2}$ Équivaut à : $x \in\left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6}\right]$
Donc $: S=\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$
$2)$ $\sin x=-\frac{1}{2}$ Équivaut à $: \sin x=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
Équivaut à : $x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=\pi+\frac{\pi}{6}+2 k \pi$
Équivaut à : $x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=\frac{7 \pi}{6}+2 k \pi \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in]-\pi ; \pi]$ alors : $x=-\frac{\pi}{6}$ ou $x=-\frac{5 \pi}{6}$ $\sin x \leq-\frac{1}{2}$
Équivaut à : $\quad \sin x \leq-\sin \frac{\pi}{6}$
On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\sin x$ et $-\frac{1}{2}$ dans $\left.]-\pi ; \pi\right]$
On trouve que : $\sin x \leq-\frac{1}{2}$
Équivaut à : $x \in\left[-\frac{5 \pi}{6} ;-\frac{\pi}{6}\right]$
Donc $S=\left[-\frac{5 \pi}{6} ;-\frac{\pi}{6}\right]$
$3)$ $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Équivaut à : $\cos x=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ ou $x=-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in]-\pi ; \pi]$ alors : $x=-\frac{\pi}{4}$ ou $x=\frac{\pi}{4}$ $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Équivaut à : $\cos x \geq \cos \frac{\pi}{4}$
On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\cos x$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $]-\pi ; \pi]$
On trouve que : $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ Équivaut à : $x \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]$
Donc: $S=\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]$
$4)$ $\cos x=\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\cos x=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ ou $x=-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$ et $k \in 2$
Et puisque : $\left.x \in]-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$ alors : $x=-\frac{\pi}{3}$ ou $x=\frac{\pi}{3}$ $\cos x \leq \frac{1}{2}$
Équivaut à : $\cos x \leq \cos \frac{\pi}{3}$
On utilisant le cercle trigonométrique on compare : $\cos x$ et $\frac{1}{2}$
Dans $\left.]-\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$
On trouve que : $\left.S=]-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right] \cup\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$
$5)$ $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Équivaut à : $\cos x=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$
Équivaut à : $x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in[0 ; 2 \pi]$ alors : $x=\frac{11 \pi}{6}$ et $x=\frac{\pi}{6}$
(on utilisant les encadrements)
$\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}$ Équivaut à : $\cos x<\cos \frac{\pi}{6}$
On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\cos x$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[0 ; 2 \pi]$
On trouve que : $S=] \frac{\pi}{6} ; \frac{11 \pi}{6}[$
$6)$ $\tan x-1 \geq 0$ Équivaut à : $\tan x \geq 1$
– l’inéquation $\tan x-1 \geq 0$ est définie si et seulement si : $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in[0 ; 2 \pi]$ alors : $x \neq \frac{\pi}{2}$ et $x \neq \frac{3 \pi}{2}$
– Résolution de l’équation : $\tan x=1$
$\tan x=1$ Équivaut à : $\tan x=\tan \frac{\pi}{4}$
Équivaut à : $\quad x=\frac{\pi}{4}+k \pi$
Et puisque : $x \in[0 ; 2 \pi]$
Alors : $x=\frac{5 \pi}{4}$ ou $x=\frac{\pi}{4}$
On utilisant le cercle trigonométrique On compare
On trouve que : $\tan x \geq 1$
Équivaut à : $x \in\left[\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\left[\cup\left[\frac{5 \pi}{4} ; \frac{3 \pi}{2}[\right.\right.\right.$
Donc : $S=\left[\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\left[\cup\left[\frac{5 \pi}{4} ; \frac{3 \pi}{2}[\right.\right.\right.$
$7)$
– l’inéquation $\tan x \succ-1$ est définie si et seulement si : $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in[0 ; 2 \pi]$ alors : $x \neq \frac{\pi}{2}$ et $x \neq \frac{3 \pi}{2}$
– Résolution de l’équation : $\tan x=-1$ $\tan x=-1$ Équivaut à :
$\tan x=-\tan \frac{\pi}{4}=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Équivaut à : $\quad x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
Et puisque : $x \in[0 ; 2 \pi]$ alors : $x=\frac{7 \pi}{4}$ ou $x=\frac{3 \pi}{4}$
On utilisant le cercle trigonométrique
On compare $\tan x$ et -1 dans $[0 ; 2 \pi]$
On trouve que : $\tan x \succ-1$ Équivaut à :
$x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}[\cup] \frac{3 \pi}{4} ; \frac{3 \pi}{2}[\cup] \frac{7 \pi}{4} ; 2 \pi\right]$
Donc : $S=\left[0 ; \frac{\pi}{2}[\cup] \frac{3 \pi}{4} ; \frac{3 \pi}{2}[\cup] \frac{7 \pi}{4} ; 2 \pi\right]$
Exercice 12:
$1)$ $a)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivantes: $2 \sin ^{2} x-9 \sin x-5=0$ et en déduire les solutions dans $[0 ; 2 \pi]$
$b)$ Résoudre dans $[0 ; 2 \pi]$ l’inéquation suivante : $2 \sin ^{2} x-9 \sin x-5 \leq 0$
$2)$ Résoudre dans $[0 ; \pi]$ l’inéquation suivante : $(2 \cos x-1)(\tan x+1) \geq 0$
$1)$ $a)$ On pose $t=\sin x$ et l’équation $2 \sin ^{2} x-9 \sin x-5 \leq 0$ devient:
$2 t^{2}-9 t-5 \leq 0$
On cherche les racines du trinôme $2 t^{2}-9 t-5$ :
Calcul du discriminant :
$\Delta=(-9)^{2}-4 \times 2 \times(-5)=121$
Les racines sont : $t_{1}=\frac{9-\sqrt{121}}{2 \times 2}=-\frac{1}{2}$ et
$t_{2}=\frac{9+\sqrt{121}}{2 \times 2}=5$ Donc $\sin x=-\frac{1}{2}$ et $\sin x=5$
Or on sait que $-1 \leq \sin x \leq 1$ donc l’équation $\sin x=5$ n’admet pas de solutions dans $\mathbb{R}$
$\sin x=-\frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
Donc: $x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=\pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right)+2 k \pi$
Équivaut à : $x=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ou $x=\frac{7 \pi}{6}+2 k \pi$
$S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{6}+2 k \pi ; \frac{7 \pi}{6}+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
– Encadrement de $-\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ :
$0 \leq-\frac{\pi}{6}+2 k \pi \leq 2 \pi \quad$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $0 \leq-\frac{1}{6}+2 k \leq 2 \quad$ équivaut à : $\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{13}{12}$
C’est-à-dire: $\quad 0,08 \leq k \leq 1,02$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=1$
Pour $k=1$ on remplace on trouve $x_{1}=-\frac{\pi}{6}+2 \pi=\frac{11 \pi}{6}$
– Encadrement de $\frac{7 \pi}{6}+2 k \pi: 0 \leq \frac{7 \pi}{6}+2 k \pi \leq 2 \pi$
Donc $0 \leq \frac{7}{6}+2 k \leq 2$
c’est-à-dire : $-\frac{7}{12} \leq k \leq \frac{5}{12}$
Donc $-0,5 \leq k \leq 0,41$ et $k \in \mathbb{Z}$
Donc $k=0$ on remplace on trouve : $x_{2}=\frac{7 \pi}{6}$
Donc $S_{[0 ; 2 \pi]}=\left\{\frac{11 \pi}{6} ; \frac{7 \pi}{6}\right\}$
$1)$ $b)$ $2 \sin ^{2} x-9 \sin x-5 \leq 0$ ssi $2\left(\sin x+\frac{1}{2}\right)(\sin x-5) \leq 0$
Or on sait que $-1 \leq \sin x \leq 1$ donc $-1 \leq \sin x \leq 1<5$
c’est-à-dire : $\sin x-5<0$
Puisque $\sin x-5<0$ et $2>0$ alors $2\left(\sin x+\frac{1}{2}\right)(\sin x-5) \leq 0$
Équivaut à : $\sin x+\frac{1}{2} \geq 0$
Équivaut à : $\sin x \geq-\frac{1}{2}$ équivaut à : $\sin x \geq \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
L’arc en trait plein correspond à tous les points $M(x)$
Tel que: $x$ vérifie $\sin x \geq-\frac{1}{2}$
Donc
$S=\left[0 ; \frac{7 \pi}{6}\right] \cup\left[\frac{11 \pi}{6} ; 2 \pi\right]$
$2)$ l’inéquation $(2 \cos x-1)(\tan x+1) \geq 0$ est définie dans $[0 ; \pi]$ si et seulement si : $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$
Donc $D=[0 ; \pi]-\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$$2 \cos x-1 \geq 0$
Équivaut à : $\cos x \geq \frac{1}{2}$
Si et seulement si : $\cos x \geq \cos \frac{\pi}{3}$
$\tan x+1 \geq 0$ Équivaut à : $\tan x \geq-1$
Si et seulement si : $\tan x \geq \tan \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$
Donc :
$\left.\left.S=\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] \cup\right] \frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{4}\right]$
Exercice 13:
On pose : $E(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)$ avec $x \in \mathbb{R}$
$1)$ Calculer : $E(0)$ et $E(\pi)$
$2)$ Montrer que : $E(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$
$3)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation: $(E) \quad E(x)=-\sqrt{2}$
$4)$ Résoudre dans $[0 ; \pi]$ l’inéquation: $(I)$ : $E(x) \leq-\sqrt{2}$
$E(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)$
$1)$ Calcul de : $E(0)$ et $E(\pi)$
$E(0)=\sin \left(2 \times 0+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2 \times 0+\frac{3 \pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$E(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$E(\pi)=\sin \left(2 \times \pi+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2 \times \pi+\frac{3 \pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\sqrt{2}$
Car $\sin (2 \pi+x)=\sin x$ et $\cos (2 \pi+x)=\cos x$
$2)$ Démontrons que : $E(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$
pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?
$E(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)$
Donc : $E(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)-\left(-\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)\right)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$
$3)$ Résolution dans $\mathbb{R}$ de l’équation : $E(x)=-\sqrt{2}$ $E(x)=-\sqrt{2}$
Équivaut à : $2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$
Si et seulement si : $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Équivaut à : $2 x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ ou $2 x+\frac{\pi}{4}=\pi-\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2 k \pi$
Équivaut à : $x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$ ou $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$
Par conséquent : $S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{4}+k \pi ; \frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}$
$4)$ Résolution dans $[0 ; \pi]$ de l’inéquation $(I)$ : $E(x) \leq-\sqrt{2}$
Équivaut à : $2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \leq-\sqrt{2}$
Équivaut à : $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \leq-\frac{\sqrt{2}}{2}$
On pose : $2 x+\frac{\pi}{4}=X$
On a: $0 \leq x \leq \pi$ donc: $0 \leq 2 x \leq 2 \pi$
Donc: $\frac{\pi}{4} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 \pi+\frac{\pi}{4}$
c à d: $\frac{\pi}{4} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{9 \pi}{4}$
Donc: $\frac{\pi}{4} \leq X \leq \frac{9 \pi}{4}$
Et par suite la résolution de l’inéquation (I) dans l’intervalle $[0 ; \pi]$ se ramène la résolution de l’inéquation.
$\sin X \leq-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Dans l’intervalle : $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$(Voir figure)
$\sin X \leq-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Équivaut à : $\frac{5 \pi}{4} \leq X \leq \frac{7 \pi}{4}$
C’est-à-dire : $\quad \frac{5 \pi}{4} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{7 \pi}{4}$
Équivaut à : $\frac{5 \pi}{4}-\frac{\pi}{4} \leq 2 x \leq \frac{7 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}$ d’où : $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$
Par conséquent : $S_{[0 ; \pi]}=\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right]$
Exercice 14:
A partir du triangle de la figure suivante, trouvez :
$a)$ la valeur du côté $a$
$b)$ la mesure de l’angle $B$
$c)$ la valeur du côté $b$
Nous connaissons la valeur de deux angles et d’un côté du triangle :
$A=37^{\circ}$ et côté $\mathrm{c}=30 \mathrm{~cm}$ et $C=50^{\circ}$
$a)$ Calcul de la valeur du côté a : il s’agit donc d’application de la loi des sinus.
La loi des sinus nous permet d’établir la relation suivante : $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}$
Isolons-le côté a : $a=\frac{c \sin A}{\sin C}$
Donc : $a=\frac{30 \sin 37^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} \simeq \frac{30 \times 0,6018}{0,7660} \simeq 23,569 \mathrm{~cm}$
$b)$ Calcul de la valeur de l’angle $B$
Comme nous connaissons la valeur de deux des angles du triangle, il est possible de trouver la valeur du troisième : $B=180^{\circ}-(A+C)$
$B=180^{\circ}-\left(50^{\circ}+37^{\circ}\right)$
donc $: B=93^{\circ}$
$c)$ Calcul de la valeur du côté b :De la loi des sinus, nous tirons la relation suivante : $\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$
Isolons le côté $\mathrm{b}: b=\frac{c \sin B}{\sin C}$
Donc : $b=\frac{30 \sin 30^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} \simeq \frac{30 \times 0,9986}{0,7660} \simeq 39,11 \mathrm{~cm}$
C’est-à-dire :b $=39,11 \mathrm{~cm}$
Exercice 15:
$A B C$ un triangle tel que : $B C=\sqrt{3}$ et $B C A=\frac{\pi}{4}$ et $B A C=\frac{\pi}{3}$
$1)$ Calculer: $A B$
$2)$ $a)$ Vérifier que : $A B C=\frac{5 \pi}{12}$
$b)$ Calculer : $\sin \frac{5 \pi}{12}$ sachant que : $A C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ Et en déduire la valeur de $\cos \frac{\pi}{12}$.
$1)$ Nous connaissons la valeur de deux angles et d’un côté du triangle : $B C A=\frac{\pi}{4}$ et côté $B C=\sqrt{3}$ et $B A C=\frac{\pi}{3}$
La loi des sinus nous permet d’établir la relation suivante : $\frac{\sin B A C}{B C}=\frac{\sin B C A}{A B}$
Isolons-le côté $A B: A B=\frac{B C \sin \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{2}$
$2)$ $a)$ Vérifions que : $A B C=\frac{5 \pi}{12}$
Comme nous connaissons la valeur de deux des angles du triangle, il est possible de trouver la valeur du troisième : On a $A+B+C=\pi$
Donc : $B=\pi-(A+C)$
Donc : $B=\pi-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)$
c’est-à-dire : $B=\pi-\frac{7 \pi}{12}=\frac{5 \pi}{12}$
$b)$ Calcul de $\sin \frac{5 \pi}{12}$ : d’après la loi des sinus dans le triangle $A B C$ on a : $\frac{\sin B}{A C}=\frac{\sin A}{B C}$
C’est-à-dire : $\frac{\sin \frac{5 \pi}{12}}{A C}=\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{B C}$
Donc : $\sin \frac{5 \pi}{12}=\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
Déduction de la valeur de $\cos \frac{\pi}{12}$ :
On a $\cos \frac{\pi}{12}=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{5 \pi}{12}\right)=\sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
Exercice 16:
Calculer le périmètre et la surface d’un parallélogramme $A B C D$ tel que :
$B C=3 \mathrm{~cm}$ et $A B C=\frac{2 \pi}{3}$ et $A B=4 \mathrm{~cm}$
Le périmètre du parallélogramme $A B C D$ est :
$P=2(A B+A D)=2(4+3)=14 \mathrm{~cm}$
La surface du parallélogramme $A B C D$ est : $S_{A B C D}=2 S_{A B C}$
Et on a : $S_{A B C}=\frac{1}{2} A B \times B C \sin B$
Donc : $S_{A B C}=\frac{1}{2} 4 \times 3 \sin \frac{2 \pi}{3}=6 \sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=6 \sin \frac{\pi}{3}=6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$
Par suite : $S_{A B C D}=2 \times 3 \sqrt{3}=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$
Exercice 17:
$A B C$ un triangle tel que : $B C=\sqrt{2}$ et $A C=\frac{\sqrt{2}}{3}$ et $B A C=\frac{3 \pi}{4}$
$1)$ Vérifier que : $\sin \frac{3 \pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$2)$ Calculer : $\sin A B C$ et en déduire la valeur de $\cos A B C$
$1)$ Vérifions que $\sin \frac{3 \pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ :
On a : $\sin \frac{3 \pi}{4}=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$2)$ D’après la loi des sinus dans le triangle $A B C$
On a : $\frac{\sin A B C}{A C}=\frac{\sin B A C}{B C}$
C’est-à-dire : $\frac{\sin A B C}{A C}=\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{B C}$
$\sin A B C=\frac{A C \times \sin B A C}{B C}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
Et on a: $\cos ^{2} A B C+\sin ^{2} A B C=1$
Donc : $\cos ^{2} A B C=1-\sin ^{2} A B C=1-\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)^{2}=1-\frac{2}{36}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}$
Donc : $\cos A B C=\sqrt{\frac{17}{18}}$ ou $\cos A B C=-\sqrt{\frac{17}{18}}$
Mais puisque l’angle $A B C$ est aigu
Alors: $\cos A B C=\sqrt{\frac{17}{18}}$ (Angle aigu est un angle inférieur à l’angle droit,)
Calcul trigonométrique 2