Calcul trigonométrique 2 - Tronc commun sciences et Technologique

Calcul trigonométrique 2

Exercice 1:

A l’aide d’un cercle trigonométrique seulement, donner toutes les valeurs possibles de $X$ vérifiant les conditions données.

$1)$ $\cos x = \frac{1}{2}$ et $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ avec : $x \in] - π, π]$

$2)$ $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ avec : $x \in] - π, π]$

$3)$ $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin x = - \frac{1}{2}$ avec : $x \in [- π, 3 π]$

$4)$ $\cos x = 0$ et $\sin x = - 1$ avec : $x \in [- 2 π, 3 π]$

Correction de l’exercice 1

$1)$ $x = - \frac{π}{3}$

$2)$ $x = \frac{π}{4}$

$3)$ $x \in {- \frac{5 π}{6}; \frac{7 π}{6}}$

$4)$ $x \in {- \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}}$

Exercice 2:

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

$a)$ $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b)$ $\cos x = - \frac{1}{2}$

$c)$ $\cos^{2} x = \frac{1}{2}$

Correction de l’exercice 2

$a)$ $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

On sait que : $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

donc on a : $\cos x = \cos \frac{π}{4}$

Donc l’ensemble des solutions de l’équation dans $R$ est : $S_{R} = {\frac{π}{4} + 2 k π; - \frac{π}{4} + 2 k π / k \in Z}$

$b)$ $\cos x = - \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\cos x = - \cos \frac{π}{3}$

Équivaut à: $\cos x = \cos (π - \frac{π}{3})$

C’est-à-dire : $\cos x = \cos (\frac{2 π}{3})$

Donc les solutions de l’équation dans $R$

Sont : $S_{R} = {\frac{2 π}{3} + 2 k π; - \frac{2 π}{3} + 2 k π / k \in Z}$

$c)$ $\cos^{2} x = \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\cos^{2} x - \frac{1}{2} = 0$

Équivaut à : $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}) (\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$

Équivaut à : $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

C’est-à-dire : $\cos x = \cos \frac{π}{4}$ ou $\cos x = \cos \frac{3 π}{4}$

Ainsi : $S_{R} = {\frac{π}{4} + 2 k π; - \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{3 π}{4} + 2 k π; - \frac{3 π}{4} + 2 k π}$ avec $k \in Z$

Exercice 3:

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

$a)$ $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b)$ $\sin x = - \frac{1}{2}$

$c)$ $\sin^{2} x = \frac{1}{2}$

Correction de l’exercice 3

$a)$ $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Équivaut à : $\sin x = \sin \frac{π}{3}$ Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont:

$S_{R} = {\frac{π}{3} + 2 k π; π - \frac{π}{3} + 2 k π / k \in Z}$

C’est-à-dire : $S_{R} = {\frac{π}{3} + 2 k π; \frac{2 π}{3} + 2 k π / k \in Z}$

$b)$ $\sin x = - \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin x = - \sin \frac{π}{6}$

Équivaut à : $\sin x = \sin (- \frac{π}{6})$

Équivaut à : $- \frac{π}{6} + 2 k π$ et $π - (- \frac{π}{6}) + 2 k π = \frac{7 π}{6} + 2 k π$ où $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$

Sont : $S_{R} = {- \frac{π}{6} + 2 k π; \frac{7 π}{6} + 2 k π / k \in Z}$

$c)$ $\sin^{2} x = \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin^{2} x - \frac{1}{2} = 0$

Équivaut à : $(\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}) (\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$

Équivaut à : $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

C’est-à-dire : $\sin x = \sin \frac{π}{4}$ ou $\sin x = \sin (- \frac{π}{4})$

Équivaut à : $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = π - \frac{π}{4} + 2 k π$

Ou $x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = π - (- \frac{π}{4}) + 2 k π : k \in Z$

Ainsi : $S_{R} = {\frac{π}{4} + 2 k π; - \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{5 π}{4} + 2 k π; \frac{3 π}{4} + 2 k π}$ avec $k \in Z$

Exercice 4:

$1)$ Résoudre dans $R$ l’équation suivante : $b \tan x = \sqrt{3}$ .

$2)$ Résoudre dans $] - π; π]$ l’équation suivante : $\tan x = \sqrt{3}$ .

Correction de l’exercice 4

$1)$ On a : $\tan x = \sqrt{3}$ est définie dans $R$ Équivaut à : $x \in R - {\frac{π}{2} + k π}$ avec ; $k \in Z$

On sait que : $\tan \frac{π}{3} = \sqrt{3}$

donc $: \tan x = \tan \frac{π}{3}$

Équivaut à : $x = \frac{π}{3} + k π; k \in Z$

Donc L’ensemble de solution de l’équation dans $R$ est : $S = {\frac{π}{3} + k π; k \in Z}$

$2)$ Résolution dans $] - π; π$ ]l’équation: $\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$ Équivaut à : $x = \frac{π}{3} + k π; k \in Z$

Donc les seules valeurs dans $] - π; π]$ sont :

$x = \frac{π}{3}$ et $x = \frac{π}{3} - π = - \frac{2 π}{3}$

Par suite : $S = {- \frac{2 π}{3}; \frac{π}{3}}$

Exercice 5:

$1)$ Résoudre dans $R$ l’équation suivante : $4 \tan x + 4 = 0$

$2)$ Résoudre dans $[- π, π [1$ ‘équation suivante : $2 \cos 2 x + \sqrt{3} = 0$

$3)$ Résoudre dans $[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]$ 1’équation suivante : $2 \sqrt{2} \sin x + 2 = 0$

Correction de l’exercice 5

$1)$ On a $4 \tan x + 4 = 0$ est définie dans $R$ Équivaut à : $x \in R - {\frac{π}{2} + k π}$ avec $k \in Z$

Donc $D = R - {\frac{π}{2} + k π; k \in Z}$
$4 \tan x + 4 = 0$ Équivaut à : $\tan x = - 1$

Équivaut à : $\tan x = - \tan \frac{π}{4}$

C’est-à-dire : $\tan x = \tan (- \frac{π}{4})$

Donc les solutions de l’équation dans $R$

Sont : $S_{R} = {- \frac{π}{4} + k π / k \in Z}$ .

$2)$ $2 \cos 2 x + \sqrt{3} = 0$ Equivaut à : $\cos 2 x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Équivaut à : $\cos 2 x = - \cos \frac{π}{6}$

C’est-à-dire : $\cos 2 x = \cos (π - \frac{π}{6})$

Équivaut à : $2 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ ou $2 x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$

Équivaut à : $x = \frac{5 π}{12} + k π$ ou $x = - \frac{5 π}{12} + k π$ avec: $k \in Z$

– Encadrement de $x = \frac{5 π}{12} + k π$ :

$- π \leq \frac{5 π}{12} + k π < π$ et $k \in Z$

Equivaut à: $- 1 \leq \frac{5}{12} + k < 1$ donc : $- 1 - \frac{5}{12} \leq k < 1 - \frac{5}{12}$

C’est-à-dire : $- \frac{17}{12} \leq k < \frac{7}{12}$

Par suite: $k = 0$ ou $k = - 1$

Si $k = 0$ alors: $x = \frac{5 π}{12} + 0 π = \frac{5 π}{12}$

Si $k = - 1$ alors: $x = \frac{5 π}{12} - 1 π = \frac{- 7 π}{12}$

– Encadrement de : $x = - \frac{5 π}{12} + k π$ :

$- π \leq - \frac{5 π}{12} + k π < π$ et $k \in Z$

Equivaut à: $- 1 \leq \frac{- 5}{12} + k < 1$ donc : $- \frac{7}{12} \leq k < \frac{17}{12}$

Par suite: $k = 0$ ou $k = 1$

Si $k = 0$ alors: $x = - \frac{5 π}{12} + 0 π = - \frac{5 π}{12}$

Si $k = 1$ alors: $x = - \frac{5 π}{12} + 1 π = \frac{7 π}{12}$

Finalement: $S = {- \frac{7 π}{12}; - \frac{5 π}{12}; \frac{5 π}{12}; \frac{7 π}{12}}$

$3)$ $2 \sqrt{2} \sin x + 2 = 0$ Équivaut à : $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

C’est-à-dire : $\sin x = - \sin \frac{π}{4}$

Équivaut à: $\sin x = \sin (- \frac{π}{4})$

L’équation a pour solutions :

$- \frac{π}{4} + 2 k π$ et $π - (- \frac{π}{4}) + 2 k π = \frac{5 π}{4} + 2 k π$ où $k \in Z$

– Encadrement de $- \frac{π}{4} + 2 k π$ :

$- \frac{π}{2} \leq - \frac{π}{4} + 2 k π \leq \frac{5 π}{2}$ et $k \in Z$

Donc $- \frac{1}{2} \leq - \frac{1}{4} + 2 k \leq \frac{5}{2}$ c’est-à-dire : $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \leq 2 k \leq \frac{5}{2} + \frac{1}{4}$

Donc $- \frac{1}{8} \leq k \leq \frac{11}{8}$

C’est-à-dire : $- 0, 12 \leq k \leq 1, 37$ et $k \in Z$

Donc $k = 0$ ou $k = 1$

Pour $k = 0$ on trouve $x_{1} = - \frac{π}{4} + 2 \times 0 π = - \frac{π}{4}$

Pour $k = 1$ on trouve $x_{2} = - \frac{π}{4} + 2 \times 1 π = \frac{7 π}{4}$

– Encadrement de $\frac{5 π}{4} + 2 k π$ :

$- \frac{π}{2} \leq \frac{5 π}{4} + 2 k π \leq \frac{5 π}{2}$ et $k \in Z$

Donc : $- \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4} + 2 k \leq \frac{5}{2}$ c’est-à-dire : $- \frac{1}{2} - \frac{5}{4} \leq 2 k \leq \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Donc: $- \frac{7}{8} \leq k \leq \frac{5}{8}$ c’est-à-dire : $- 0, 8 \leq k \leq 0, 6$ et $k \in Z$ donc : $k = 0$

Pour $k = 0$ on trouve : $x_{3} = \frac{5 π}{4} + 2 \times 0 π = \frac{5 π}{4}$

Donc $S = {- \frac{π}{4}; \frac{7 π}{4}; \frac{5 π}{4}}$

Exercice 6:

Résoudre dans $R$ les équations suivantes:

$1)$ $\cos (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2)$ $\sin (2 x) = \cos (3 x)$

$3)$ $\tan (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$

Correction de l’exercice 6

$1)$ on a : $\cos (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Équivaut à : $\cos (2 x + \frac{π}{3}) = \cos (\frac{π}{6})$

Équivaut à : $2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $2 x = - \frac{π}{6} - \frac{π}{3} + 2 k π$

Équivaut à : $2 x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $2 x = - \frac{π}{2} + 2 k π$

Équivaut à : $x = - \frac{π}{12} + k π$ ou $x = - \frac{π}{4} + k π$ et $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont: $S_{R} = {- \frac{π}{12} + k π / k \in Z} \cup {- \frac{π}{4} + k π / k \in Z}$

$2)$ On a: $\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Équivaut à : $\sin (2 x) = \sin (\frac{π}{2} - 3 x)$

Équivaut à : $2 x = \frac{π}{2} - 3 x + 2 k π$ ou $2 x = π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 k π$

Équivaut à : $5 x = \frac{π}{2} + 2 k π$ ou $- x = \frac{π}{2} + 2 k π$ et $k \in Z$

Équivaut à : $x = \frac{π}{10} + \frac{2 k π}{5}$ ou $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ et $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont: $S_{R} = {\frac{π}{10} + \frac{2 k π}{5} / k \in Z} \cup {- \frac{π}{2} + 2 k π / k \in Z}$

$3)$ On a : $\tan (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$

Équivaut à $: \tan (\frac{π}{4} - x) = - \tan (\frac{π}{3})$

Équivaut à : $\tan (\frac{π}{4} - x) = - \tan (\frac{π}{3})$

Équivaut à : $\tan (\frac{π}{4} - x) = \tan (- \frac{π}{3})$

Équivaut à : $\frac{π}{4} - x = - \frac{π}{3} + k π$

Équivaut à : $- x = - \frac{π}{3} - \frac{π}{4} + k π$ donc : $x = \frac{7 π}{12} + k π$ et $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont:
$S_{Z} = {\frac{7 π}{12} + k π / k \in Z}$

Exercice 7:

$1)$ Résoudre dans $R$ l’équation: $\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{2} (E)$

$2)$ En déduire dans $[- π; 2 π [$ les solutions de l’équation ( $E$ )

Correction de l’exercice 7

$1)$ On a : $\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{2}$

Équivaut à : $\sin (\frac{π}{4} - x) = \sin \frac{π}{6}$

Équivaut à : $\frac{π}{4} - x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $\frac{π}{4} - x = π - \frac{π}{6} + 2 k π$

Équivaut à : $- x = \frac{π}{6} - \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $- x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{4} + 2 k π$

Équivaut à : $x = \frac{π}{12} + 2 k π$ ou $x = - \frac{7 π}{12} + 2 k π$ et $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont:
$S_{R} = {\frac{π}{12} + 2 k π / k \in Z} \cup {- \frac{7 π}{12} + 2 k π / k \in Z}$

$2)$ Résolution dans $[- π; 2 π [$ de l’équation $(E)$

– Encadrement de : $\frac{π}{12} + 2 k π$ :

$- π \leq \frac{π}{12} + 2 k π < 2 π$ et $k \in Z$

Donc $- 1 \leq \frac{1}{12} + 2 k < 2$ c’est-à-dire : $- \frac{13}{12} \leq 2 k < \frac{23}{12}$

Cela signifie que : $- \frac{13}{24} \leq k < \frac{23}{24}$ et $k \in Z$

Donc $k = 0$ et Pour $k = 0$ on trouve : $x_{1} = \frac{π}{12}$

– Encadrement de : $- \frac{7 π}{12} + 2 k π$ :

$- π \leq - \frac{7 π}{12} + 2 k π < 2 π$ et $k \in Z$

Donc $- 1 \leq \frac{- 7}{12} + 2 k < 2$ alors : $- 1 + \frac{7}{12} \leq 2 k < 2 + \frac{7}{12}$

C’est-à-dire : $- \frac{5}{24} \leq k < \frac{31}{24}$ et $k \in Z$

Donc $k = 0$ ou $k = 1$

Pour $k = 0$ on trouve : $x_{2} = \frac{- 7 π}{12}$

et Pour $k = 1$ on trouve $x_{3} = \frac{17 π}{12}$

Donc $S_{[- π; 2 π [} = {\frac{- 7 π}{12}; \frac{π}{12}; \frac{17 π}{12}}$

Exercice 8:

Résoudre les équations trigonométriques suivantes.

$1)$ $\cos 2 x = \cos (\frac{8 π}{2})$ dans $R$ puis dans $[π; 5 π]$

$2)$ $\sin (x - \frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{5})$ dans $R$ puis dans $[- 2 π; 2 π]$

$3)$ $\cos 3 x = - \cos x$ dans $R$ puis dans $[- 2 π; π]$

$4)$ $\sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \sin x$ dans $R$ puis dans $[4 π; 6 π]$

$5)$ $\sin (3 x) = \cos (2 x)$ dans $R$

Correction de l’exercice 8

$1)$ On a : $\cos 2 x = \cos (\frac{8 π}{2})$

Équivaut à : $\cos 2 x = \cos (4 π)$

Équivaut à : $\cos 2 x = \cos (0)$

Équivaut à : $2 x = 0 + 2 k π$

Équivaut à : $x = k π$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont: $S_{R} = {k π / k \in Z}$

Pour la résolution dans: $[π; 5 π]$ on va encadrer :

Encadrement de $k π$ : $π \leq k π \leq 5 π$

Équivaut à: $1 \leq k \leq 5 k \in Z$

Donc : $k \in {1; 2; 3; 4; 5}$

par suite : $x_{1} = π; x_{2} = 2 π; x_{3} = 3 π; x_{4} = 4 π; x_{5} = 5 π$

Donc: $S_{[π; 5 π]} = {π; 2 π; 3 π; 4 π; 5 π}$

$2)$ on a: $\sin (x - \frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{5})$

Équivaut à : $x - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{5} + 2 k π$ ou $x - \frac{2 π}{3} = - \frac{π}{5} + 2 k π$

Équivaut à : $x = \frac{13 π}{15} + 2 k π$ ou $x = \frac{22 π}{15} + 2 k π$ avec $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont: $S_{R} = {\frac{13 π}{15} + 2 k π; \frac{22 π}{15} + 2 k π / k \in Z}$

Pour la résolution dans : $[- 2 π; 2 π]$ on va encadrer :

– Encadrement de $\frac{13 π}{15} + 2 k π$ :

$- 2 π \leq \frac{13 π}{15} + 2 k π \leq 2 π$

Équivaut à : $\frac{- 43 π}{15} \leq 2 k π \leq \frac{17 π}{15}$

Équivaut à : $\frac{- 43}{30} \leq k \leq \frac{17}{30} k \in Z$
Donc : $k \in {- 1; 0}$ ce qui donne : $x_{1} = - \frac{17 π}{15}$ ;
$x_{2} = \frac{13 π}{15}$

– Encadrement de $\frac{22 π}{15} + 2 k π$ :

$- 2 π \leq \frac{22 π}{15} + 2 k π \leq 2 π$

Équivaut à : $\frac{- 52}{30} \leq k \leq \frac{8}{30}$

$k \in Z$ Donc : $k \in {- 1; 0}$

ce qui donne : $x_{3} = - \frac{8 π}{15}; x_{4} = \frac{22 π}{15}$

Finalement : $S_{[- 2 π; 2 π]} = {- \frac{17 π}{15}; \frac{13 π}{15}; \frac{- 8 π}{15}; \frac{22 π}{15}}$

$3)$ on a: $\cos 3 x = - \cos x$

Équivaut à : $\cos 3 x = \cos (π - x)$

Équivaut à : $3 x = π - x + 2 k π$ ou $3 x = - (π - x) + 2 k π$

Équivaut à : $4 x = π + 2 k π$ ou $2 x = - π + 2 k π$ avec $k \in Z$

Équivaut à : $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ ou $x = - \frac{π}{2} + k π$ avec $k \in Z$

Donc les solutions de l’équation dans $R$ sont: $S_{R} = {\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}; - \frac{π}{2} + k π / k \in Z}$

Pour la résolution dans : $[- 2 π; π]$ on va encadrer :

– Encadrement de $\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ :

$- 2 π \leq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} \leq π$

Équivaut à : $\frac{- 9 π}{4} \leq \frac{k π}{2} \leq \frac{3 π}{4} k \in Z$

C’est-à-dire: $\frac{- 9}{2} \leq k \leq \frac{3}{2} k \in Z$

Donc : $k \in {- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1}$

ce qui donne : $x_{1} = - \frac{7 π}{4}; x_{2} = \frac{- 5 π}{4}; x_{3} = \frac{- 3 π}{4}; x_{4} = \frac{- π}{4}; x_{5} = \frac{π}{4}; x_{6} = \frac{3 π}{4}$

– Encadrement de $- \frac{π}{2} + k π$ :

$- 2 π \leq - \frac{π}{2} + k π \leq π$

Équivaut à : $- \frac{3 π}{2} \leq k π \leq \frac{3 π}{2}$

C’est-à-dire: $\frac{- 3}{2} \leq k \leq \frac{3}{2} k \in Z$
Donc : $k \in {- 1; 0; 1}$

ce qui donne : $x_{7} = - \frac{3 π}{2}; x_{8} = - \frac{π}{2}; x_{9} = \frac{π}{2}$

Finalement: $S_{[- 2 π; π]} = {- \frac{7 π}{4}; \frac{- 5 π}{4}; \frac{- 3 π}{4}; \frac{- π}{4}; \frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}; \frac{- 3 π}{2}; \frac{- π}{2}; \frac{π}{2}}$

$4)$ $\sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \sin x$ Équivaut à: $\sin (2 x + \frac{π}{4}) = \sin (- x)$

Équivaut à : $2 x + \frac{π}{4} = - x + 2 k π$ ou $2 x + \frac{π}{4} = π - (- x) + 2 k π$

Équivaut à : $3 x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$

C’est-à-dire : $x = - \frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}$ ou $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$

Donc l’ensemble des solutions de l’équation dans est : $S_{R} = {- \frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}; \frac{3 π}{4} + 2 k π / k \in Z}$ .

– Encadrement de $- \frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}$ : $4 π \leq - \frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3} \leq 6 π$

Équivaut à : $\frac{49 π}{12} \leq \frac{2 k π}{3} \leq \frac{73 π}{12}$

Équivaut à : $\frac{49}{8} \leq k \leq \frac{73}{8} k \in Z$

Donc: $k \in {7; 8; 9}$

ce qui donne : $x_{1} = \frac{55 π}{12}; x_{2} = \frac{63 π}{12}; x_{3} = \frac{71 π}{12}$

– Encadrement de $\frac{3 π}{4} + 2 k π$ :

$4 π \leq \frac{3 π}{4} + 2 k π \leq 6 π$

Équivaut à : $\frac{13 π}{4} \leq 2 k π \leq \frac{21 π}{4}$

$k \in Z$

c’est-à-dire : $\frac{13}{8} \leq k \leq \frac{21}{8} k \in Z$
Donc : $k = 2$

ce qui donne : $x_{4} = \frac{19 π}{4}$

Finalement: $S_{[4 π; 6 π]} = {\frac{55 π}{12}; \frac{63 π}{12}; \frac{71 π}{12}; \frac{19 π}{4}}$

$5)$ $\sin (3 x) = \cos (2 x)$ dans $R$

$\sin (3 x) = \cos (2 x)$

Équivaut à : $\cos (\frac{π}{2} - 3 x) = \cos (2 x)$

Équivaut à : $\frac{π}{2} - 3 x = 2 x + 2 k π$ ou $\frac{π}{2} - 3 x = - 2 x + 2 k π$

Équivaut à : $5 x = \frac{π}{2} + 2 k π$ ou $x = \frac{π}{2} + 2 k π$

C’est-à-dire : $x = \frac{π}{10} + \frac{k π}{2}$ ou $x = \frac{π}{2} + 2 k π$

Donc l’ensemble des solutions de l’équation dans $R$ est : $S_{R} = {\frac{π}{10} + \frac{k π}{2}; \frac{π}{2} + 2 k π / k \in Z}$

Exercice 9:

$1)$ Résoudre dans $R$ l’équation suivante : $\cos 2 x = \cos (x - \frac{π}{3})$

$2)$ Résoudre dans $[0; π]$ l’équation suivante : $\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{4} - x)$

$3)$ Résoudre dans $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2}$ [1’équation suivante : $\tan (2 x - \frac{π}{5}) = 1$

Correction de l’exercice 9

$1)$ On a : $\cos 2 x = \cos (x - \frac{π}{3})$

Équivaut à : $2 x = x - \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $2 x = - (x - \frac{π}{3}) + 2 k π$

Équivaut à : $2 x - x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $2 x + x = \frac{π}{3} + 2 k π$

équivaut à : $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ et $k \in Z$ $S_{R} = {- \frac{π}{3} + 2 k π; \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3} / k \in Z}$

$2)$ On a $\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{4} - x)$

Équivaut à : $2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4} - x + 2 k π$ ou $2 x - \frac{π}{3} = π - \frac{π}{4} + x + 2 k π$

Équivaut à : $3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = π - \frac{π}{4} + \frac{π}{3} + 2 k π$

Donc $x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 k π}{3}$ ou $x = \frac{13 π}{12} + 2 k π$

– Encadrement de $\frac{7 π}{36} + \frac{2 k π}{3} : 0 \leq \frac{7 π}{36} + \frac{2 k π}{3} \leq π$

Donc $0 \leq \frac{7}{36} + \frac{2 k}{3} \leq 1$ c’est-à-dire : $- \frac{7}{24} \leq k \leq \frac{29}{36}$

Cela signifie que : $- 0, 29 \leq k \leq 1, 2$ et $k \in Z$

Donc $k = 0$ ou $k = 1$

Pour $k = 0$ on trouve : $x_{1} = \frac{7 π}{36}$

Pour $k = 1$ on trouve : $x_{2} = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π}{3} = \frac{31 π}{36}$

– Encadrement de : $x = \frac{13 π}{12} + 2 k π$

$0 \leq \frac{13 π}{12} + 2 k π \leq π$ et $k \in Z$
Donc $0 \leq \frac{13}{12} + 2 k \leq 1$

c’est-à-dire : $- \frac{13}{24} \leq k \leq - \frac{1}{24}$

Cela signifie que : $- 0, 54 \leq k \leq - 0, 04$ et $k \in Z$

Donc $k$ n’existe pas

– Donc $S_{[0 . π]} = {\frac{7 π}{36}; \frac{31 π}{36}}$

$3)$ On a $\tan (2 x - \frac{π}{5}) = 1$ est définie

Équivaut à : $2 x - \frac{π}{5} \neq \frac{π}{2} + k π$

Équivaut à : $2 x \neq \frac{π}{2} + \frac{π}{5} + k π$

Équivaut à : $2 x \neq \frac{7 π}{10} + k π$

cela signifie que : $x \neq \frac{7 π}{20} + \frac{k π}{2},$

donc $D = R - {\frac{7 π}{20} + \frac{k π}{2}; k \in Z}$

Or on sait que : $\tan (\frac{π}{4}) = 1$

Équivaut à: $\tan (2 x - \frac{π}{5}) = \tan (\frac{π}{4})$

Donc : $2 x - \frac{π}{5} = \frac{π}{4} + k π$ équivaut à : $2 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{5} + k π$

Équivaut à : $2 x = \frac{9 π}{20} + k π$

Équivaut à : $x = \frac{9 π}{40} + \frac{k π}{2}$

Encadrement de : $\frac{9 π}{40} + \frac{k π}{2}$

$- \frac{π}{2} ≺ \frac{9 π}{40} + \frac{k π}{2} ≺ \frac{π}{2}$ et $k \in Z$

Donc $- \frac{1}{2} ≺ \frac{9}{40} + \frac{k}{2} ≺ \frac{1}{2}$

c’est-à-dire: $- \frac{29}{40} ≺ \frac{k}{2} ≺ \frac{11}{40}$

Donc : $- \frac{29}{40} ≺ \frac{k}{2} ≺ \frac{11}{40}$

donc : $- \frac{29}{20} ≺ k ≺ \frac{11}{20}$

Donc $- 1, 45 ≺ k ≺ 0, 55$ et $k \in Z$

Donc $k = 0$ ou $k = - 1$

Pour $k = 0$ on trouve : $x_{1} = \frac{9 π}{40}$

Pour $k = - 1$ on trouve : $x_{2} = \frac{9 π}{40} - \frac{π}{2} = - \frac{11 π}{40}$

Donc $S = {- \frac{11 π}{40}; \frac{9 π}{40}}$

Exercice 10:

Représenter sur un cercle trigonométrique l’ensemble des points du cercle associés aux réels $x$ vérifiant :

$1)$ $0 \leq \cos (x) \leq 1$

$2)$ $\cos (x) \in [\frac{1}{2}; 1]$

$3)$ $- 1 < \sin (x) < 0$

$4)$ $- \frac{1}{2} \leq \sin (x) \leq 1$

$5)$ $\sin (x) \in [- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0 [$

$6)$ $\cos (x) \in [- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$

Correction de l’exercice 10

$1)$ $0 \leq \cos (x) \leq 1$

$2)$ $\cos (x) \in [\frac{1}{2}; 1]$

$3$ $- 1 < \sin (x) < 0$

$4)$ $- \frac{1}{2} \leq \sin (x) \leq 1$

$5)$ $\sin (x) \in [- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0 [$

$6)$ $\cos (x) \in [- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$

Exercice 11:

$1)$ Résoudre dans $[0, 2 π [$ l’inéquation suivante : $\sin x \geq \frac{1}{2}$

$2)$ Résoudre dans $] - π, π]$ l’inéquation suivante : $\sin x \leq - \frac{1}{2}$

$3)$ Résoudre dans $] - π, π]$ l’inéquation suivante : $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

$4)$ Résoudre dans $] - \frac{π}{2}; π]$ l’inéquation suivante : $\cos x \leq \frac{1}{2}$

$5)$ Résoudre dans $[0; 2 π]$ l’inéquation suivante : $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$6)$ Résoudre dans $[0; 2 π]$ l’inéquation suivante : $\tan x - 1 \geq 0$

$7)$ Résoudre dans $[0; 2 π]$ l’inéquation suivante : $\tan x ≻ - 1$

Correction de l’exercice 11

$1)$ $\sin x = \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin x = \sin \frac{π}{6}$

Équivaut à : $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = π - \frac{π}{6} + 2 k π$

Équivaut à : $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ et $k \in Z$

Et puisque : $x \in [0; 2 π]$ alors : $x = \frac{π}{6}$ ou $x = \frac{5 π}{6}$

On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\sin x$ et $\frac{1}{2}$ dans $[0, 2 π [$

On trouve que : $\sin x \geq \frac{1}{2}$ Équivaut à : $x \in [\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}]$

Donc $: S = [\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$

$2)$ $\sin x = - \frac{1}{2}$ Équivaut à $: \sin x = \sin (- \frac{π}{6})$

Équivaut à : $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = π + \frac{π}{6} + 2 k π$

Équivaut à : $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = \frac{7 π}{6} + 2 k π$ et $k \in Z$

Et puisque : $x \in] - π; π]$ alors : $x = - \frac{π}{6}$ ou $x = - \frac{5 π}{6}$ $\sin x \leq - \frac{1}{2}$

Équivaut à : $\sin x \leq - \sin \frac{π}{6}$

On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\sin x$ et $- \frac{1}{2}$ dans $] - π; π]$

On trouve que : $\sin x \leq - \frac{1}{2}$

Équivaut à : $x \in [- \frac{5 π}{6}; - \frac{π}{6}]$

Donc $S = [- \frac{5 π}{6}; - \frac{π}{6}]$

$3)$ $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Équivaut à : $\cos x = \cos (\frac{π}{4})$

Équivaut à : $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ et $k \in Z$

Et puisque : $x \in] - π; π]$ alors : $x = - \frac{π}{4}$ ou $x = \frac{π}{4}$ $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Équivaut à : $\cos x \geq \cos \frac{π}{4}$

On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\cos x$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $] - π; π]$

On trouve que : $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ Équivaut à : $x \in [- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$

Donc: $S = [- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$

$4)$ $\cos x = \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\cos x = \cos (\frac{π}{3})$

Équivaut à : $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ et $k \in 2$

Et puisque : $x \in] - \frac{π}{2}; π]$ alors : $x = - \frac{π}{3}$ ou $x = \frac{π}{3}$ $\cos x \leq \frac{1}{2}$

Équivaut à : $\cos x \leq \cos \frac{π}{3}$

On utilisant le cercle trigonométrique on compare : $\cos x$ et $\frac{1}{2}$
Dans $] - \frac{π}{2}; π]$

On trouve que : $S =] - \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}] \cup [\frac{π}{3}, π]$

$5)$ $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Équivaut à : $\cos x = \cos (\frac{π}{6})$

Équivaut à : $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ et $k \in Z$

Et puisque : $x \in [0; 2 π]$ alors : $x = \frac{11 π}{6}$ et $x = \frac{π}{6}$

(on utilisant les encadrements)

$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ Équivaut à : $\cos x < \cos \frac{π}{6}$

On utilisant le cercle trigonométrique on compare $\cos x$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[0; 2 π]$

On trouve que : $S =] \frac{π}{6}; \frac{11 π}{6} [$

$6)$ $\tan x - 1 \geq 0$ Équivaut à : $\tan x \geq 1$

– l’inéquation $\tan x - 1 \geq 0$ est définie si et seulement si : $x \neq \frac{π}{2} + k π$ avec $k \in Z$

Et puisque : $x \in [0; 2 π]$ alors : $x \neq \frac{π}{2}$ et $x \neq \frac{3 π}{2}$

– Résolution de l’équation : $\tan x = 1$

$\tan x = 1$ Équivaut à : $\tan x = \tan \frac{π}{4}$

Équivaut à : $x = \frac{π}{4} + k π$

Et puisque : $x \in [0; 2 π]$

Alors : $x = \frac{5 π}{4}$ ou $x = \frac{π}{4}$

On utilisant le cercle trigonométrique On compare

On trouve que : $\tan x \geq 1$

Équivaut à : $x \in [\frac{π}{4}; \frac{π}{2} [\cup [\frac{5 π}{4}; \frac{3 π}{2} [$

Donc : $S = [\frac{π}{4}; \frac{π}{2} [\cup [\frac{5 π}{4}; \frac{3 π}{2} [$

$7)$

– l’inéquation $\tan x ≻ - 1$ est définie si et seulement si : $x \neq \frac{π}{2} + k π$ avec $k \in Z$

Et puisque : $x \in [0; 2 π]$ alors : $x \neq \frac{π}{2}$ et $x \neq \frac{3 π}{2}$

– Résolution de l’équation : $\tan x = - 1$ $\tan x = - 1$ Équivaut à :
$\tan x = - \tan \frac{π}{4} = \tan (- \frac{π}{4})$

Équivaut à : $x = - \frac{π}{4} + k π$ avec $k \in Z$

Et puisque : $x \in [0; 2 π]$ alors : $x = \frac{7 π}{4}$ ou $x = \frac{3 π}{4}$

On utilisant le cercle trigonométrique

On compare $\tan x$ et -1 dans $[0; 2 π]$

On trouve que : $\tan x ≻ - 1$ Équivaut à :
$x \in [0; \frac{π}{2} [\cup] \frac{3 π}{4}; \frac{3 π}{2} [\cup] \frac{7 π}{4}; 2 π]$

Donc : $S = [0; \frac{π}{2} [\cup] \frac{3 π}{4}; \frac{3 π}{2} [\cup] \frac{7 π}{4}; 2 π]$

Exercice 12:

$1)$ $a)$ Résoudre dans $R$ l’équation suivantes: $2 \sin^{2} x - 9 \sin x - 5 = 0$ et en déduire les solutions dans $[0; 2 π]$

$b)$ Résoudre dans $[0; 2 π]$ l’inéquation suivante : $2 \sin^{2} x - 9 \sin x - 5 \leq 0$

$2)$ Résoudre dans $[0; π]$ l’inéquation suivante : $(2 \cos x - 1) (\tan x + 1) \geq 0$

Correction de l’exercice 12

$1)$ $a)$ On pose $t = \sin x$ et l’équation $2 \sin^{2} x - 9 \sin x - 5 \leq 0$ devient:
$2 t^{2} - 9 t - 5 \leq 0$

On cherche les racines du trinôme $2 t^{2} - 9 t - 5$ :

Calcul du discriminant :

$Δ = (- 9)^{2} - 4 \times 2 \times (- 5) = 121$

Les racines sont : $t_{1} = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \times 2} = - \frac{1}{2}$ et
$t_{2} = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \times 2} = 5$ Donc $\sin x = - \frac{1}{2}$ et $\sin x = 5$

Or on sait que $- 1 \leq \sin x \leq 1$ donc l’équation $\sin x = 5$ n’admet pas de solutions dans $R$

$\sin x = - \frac{1}{2}$ Équivaut à : $\sin x = \sin (- \frac{π}{6})$

Donc: $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = π - (- \frac{π}{6}) + 2 k π$

Équivaut à : $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = \frac{7 π}{6} + 2 k π$

$S_{R} = {- \frac{π}{6} + 2 k π; \frac{7 π}{6} + 2 k π / k \in Z}$

– Encadrement de $- \frac{π}{6} + 2 k π$ :

$0 \leq - \frac{π}{6} + 2 k π \leq 2 π$ et $k \in Z$

Donc $0 \leq - \frac{1}{6} + 2 k \leq 2$ équivaut à : $\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{13}{12}$

C’est-à-dire: $0, 08 \leq k \leq 1, 02$ et $k \in Z$

Donc $k = 1$

Pour $k = 1$ on remplace on trouve $x_{1} = - \frac{π}{6} + 2 π = \frac{11 π}{6}$

– Encadrement de $\frac{7 π}{6} + 2 k π : 0 \leq \frac{7 π}{6} + 2 k π \leq 2 π$

Donc $0 \leq \frac{7}{6} + 2 k \leq 2$

c’est-à-dire : $- \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{5}{12}$

Donc $- 0, 5 \leq k \leq 0, 41$ et $k \in Z$

Donc $k = 0$ on remplace on trouve : $x_{2} = \frac{7 π}{6}$

Donc $S_{[0; 2 π]} = {\frac{11 π}{6}; \frac{7 π}{6}}$

$1)$ $b)$ $2 \sin^{2} x - 9 \sin x - 5 \leq 0$ ssi $2 (\sin x + \frac{1}{2}) (\sin x - 5) \leq 0$

Or on sait que $- 1 \leq \sin x \leq 1$ donc $- 1 \leq \sin x \leq 1 < 5$

c’est-à-dire : $\sin x - 5 < 0$

Puisque $\sin x - 5 < 0$ et $2 > 0$ alors $2 (\sin x + \frac{1}{2}) (\sin x - 5) \leq 0$

Équivaut à : $\sin x + \frac{1}{2} \geq 0$

Équivaut à : $\sin x \geq - \frac{1}{2}$ équivaut à : $\sin x \geq \sin (- \frac{π}{6})$

L’arc en trait plein correspond à tous les points $M (x)$

Tel que: $x$ vérifie $\sin x \geq - \frac{1}{2}$

Donc

$S = [0; \frac{7 π}{6}] \cup [\frac{11 π}{6}; 2 π]$

$2)$ l’inéquation $(2 \cos x - 1) (\tan x + 1) \geq 0$ est définie dans $[0; π]$ si et seulement si : $x \neq \frac{π}{2} + k π$

Donc $D = [0; π] - {\frac{π}{2}}$ $2 \cos x - 1 \geq 0$

Équivaut à : $\cos x \geq \frac{1}{2}$

Si et seulement si : $\cos x \geq \cos \frac{π}{3}$

$\tan x + 1 \geq 0$ Équivaut à : $\tan x \geq - 1$

Si et seulement si : $\tan x \geq \tan (\frac{3 π}{4})$

Donc :

$S = [0; \frac{π}{3}] \cup] \frac{π}{2}; \frac{3 π}{4}]$

Exercice 13:

On pose : $E (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) - \cos (2 x + \frac{3 π}{4})$ avec $x \in R$

$1)$ Calculer : $E (0)$ et $E (π)$

$2)$ Montrer que : $E (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$

$3)$ Résoudre dans $R$ l’équation: $(E) E (x) = - \sqrt{2}$

$4)$ Résoudre dans $[0; π]$ l’inéquation: $(I)$ : $E (x) \leq - \sqrt{2}$

Correction de l’exercice 13

$E (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) - \cos (2 x + \frac{3 π}{4})$

$1)$ Calcul de : $E (0)$ et $E (π)$

$E (0) = \sin (2 \times 0 + \frac{π}{4}) - \cos (2 \times 0 + \frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (π - \frac{π}{4})$

$E (0) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$E (π) = \sin (2 \times π + \frac{π}{4}) - \cos (2 \times π + \frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Car $\sin (2 π + x) = \sin x$ et $\cos (2 π + x) = \cos x$

$2)$ Démontrons que : $E (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$
pour tout $x \in R$ ?

$E (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) - \cos (2 x + \frac{3 π}{4}) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) - \cos (2 x + \frac{π}{4} + \frac{π}{2})$

Donc : $E (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) - (- \sin (2 x + \frac{π}{4})) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$

$3)$ Résolution dans $R$ de l’équation : $E (x) = - \sqrt{2}$ $E (x) = - \sqrt{2}$

Équivaut à : $2 \sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Si et seulement si : $\sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Équivaut à : $2 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $2 x + \frac{π}{4} = π - (- \frac{π}{4}) + 2 k π$

Équivaut à : $x = - \frac{π}{4} + k π$ ou $x = \frac{π}{2} + k π$

Par conséquent : $S_{R} = {- \frac{π}{4} + k π; \frac{π}{2} + k π / k \in Z}$

$4)$ Résolution dans $[0; π]$ de l’inéquation $(I)$ : $E (x) \leq - \sqrt{2}$

Équivaut à : $2 \sin (2 x + \frac{π}{4}) \leq - \sqrt{2}$

Équivaut à : $\sin (2 x + \frac{π}{4}) \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$

On pose : $2 x + \frac{π}{4} = X$

On a: $0 \leq x \leq π$ donc: $0 \leq 2 x \leq 2 π$

Donc: $\frac{π}{4} \leq 2 x + \frac{π}{4} \leq 2 π + \frac{π}{4}$

c à d: $\frac{π}{4} \leq 2 x + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}$

Donc: $\frac{π}{4} \leq X \leq \frac{9 π}{4}$

Et par suite la résolution de l’inéquation (I) dans l’intervalle $[0; π]$ se ramène la résolution de l’inéquation.

$\sin X \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dans l’intervalle : $[\frac{π}{4}, \frac{9 π}{4}]$ (Voir figure)

$\sin X \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$ Équivaut à : $\frac{5 π}{4} \leq X \leq \frac{7 π}{4}$

C’est-à-dire : $\frac{5 π}{4} \leq 2 x + \frac{π}{4} \leq \frac{7 π}{4}$

Équivaut à : $\frac{5 π}{4} - \frac{π}{4} \leq 2 x \leq \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4}$ d’où : $\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{4}$

Par conséquent : $S_{[0; π]} = [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$

Exercice 14:

A partir du triangle de la figure suivante, trouvez :

$a)$ la valeur du côté $a$

$b)$ la mesure de l’angle $B$

$c)$ la valeur du côté $b$

Correction de l’exercice 14

Nous connaissons la valeur de deux angles et d’un côté du triangle :
$A = 37^{\circ}$ et côté $c = 30 cm$ et $C = 50^{\circ}$

$a)$ Calcul de la valeur du côté a : il s’agit donc d’application de la loi des sinus.
La loi des sinus nous permet d’établir la relation suivante : $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$

Isolons-le côté a : $a = \frac{c \sin A}{\sin C}$

Donc : $a = \frac{30 \sin 37^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} ≃ \frac{30 \times 0, 6018}{0, 7660} ≃ 23, 569 cm$

$b)$ Calcul de la valeur de l’angle $B$

Comme nous connaissons la valeur de deux des angles du triangle, il est possible de trouver la valeur du troisième : $B = 180^{\circ} - (A + C)$

$B = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 37^{\circ})$

donc $: B = 93^{\circ}$

$c)$ Calcul de la valeur du côté b :De la loi des sinus, nous tirons la relation suivante : $\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Isolons le côté $b : b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

Donc : $b = \frac{30 \sin 30^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} ≃ \frac{30 \times 0, 9986}{0, 7660} ≃ 39, 11 cm$

C’est-à-dire :b $= 39, 11 cm$

Exercice 15:

$A B C$ un triangle tel que : $B C = \sqrt{3}$ et $B C A = \frac{π}{4}$ et $B A C = \frac{π}{3}$

$1)$ Calculer: $A B$

$2)$ $a)$ Vérifier que : $A B C = \frac{5 π}{12}$

$b)$ Calculer : $\sin \frac{5 π}{12}$ sachant que : $A C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ Et en déduire la valeur de $\cos \frac{π}{12}$ .

Correction de l’exercice 15

$1)$ Nous connaissons la valeur de deux angles et d’un côté du triangle : $B C A = \frac{π}{4}$ et côté $B C = \sqrt{3}$ et $B A C = \frac{π}{3}$

La loi des sinus nous permet d’établir la relation suivante : $\frac{\sin B A C}{B C} = \frac{\sin B C A}{A B}$

Isolons-le côté $A B : A B = \frac{B C \sin \frac{π}{4}}{\sin \frac{π}{3}} = \frac{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$

$2)$ $a)$ Vérifions que : $A B C = \frac{5 π}{12}$

Comme nous connaissons la valeur de deux des angles du triangle, il est possible de trouver la valeur du troisième : On a $A + B + C = π$

Donc : $B = π - (A + C)$

Donc : $B = π - (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

c’est-à-dire : $B = π - \frac{7 π}{12} = \frac{5 π}{12}$

$b)$ Calcul de $\sin \frac{5 π}{12}$ : d’après la loi des sinus dans le triangle $A B C$ on a : $\frac{\sin B}{A C} = \frac{\sin A}{B C}$

C’est-à-dire : $\frac{\sin \frac{5 π}{12}}{A C} = \frac{\sin \frac{π}{3}}{B C}$

Donc : $\sin \frac{5 π}{12} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Déduction de la valeur de $\cos \frac{π}{12}$ :

On a $\cos \frac{π}{12} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{5 π}{12}) = \sin (\frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Exercice 16:

Calculer le périmètre et la surface d’un parallélogramme $A B C D$ tel que :

$B C = 3 cm$ et $A B C = \frac{2 π}{3}$ et $A B = 4 cm$

Correction de l’exercice 16

Le périmètre du parallélogramme $A B C D$ est :

$P = 2 (A B + A D) = 2 (4 + 3) = 14 cm$

La surface du parallélogramme $A B C D$ est : $S_{A B C D} = 2 S_{A B C}$

Et on a : $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \times B C \sin B$

Donc : $S_{A B C} = \frac{1}{2} 4 \times 3 \sin \frac{2 π}{3} = 6 \sin (π - \frac{π}{3}) = 6 \sin \frac{π}{3} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} {cm}^{2}$

Par suite : $S_{A B C D} = 2 \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} {cm}^{2}$

Exercice 17:

$A B C$ un triangle tel que : $B C = \sqrt{2}$ et $A C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ et $B A C = \frac{3 π}{4}$

$1)$ Vérifier que : $\sin \frac{3 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2)$ Calculer : $\sin A B C$ et en déduire la valeur de $\cos A B C$

Correction de l’exercice 17

$1)$ Vérifions que $\sin \frac{3 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

On a : $\sin \frac{3 π}{4} = \sin (π - \frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2)$ D’après la loi des sinus dans le triangle $A B C$

On a : $\frac{\sin A B C}{A C} = \frac{\sin B A C}{B C}$

C’est-à-dire : $\frac{\sin A B C}{A C} = \frac{\sin \frac{π}{3}}{B C}$

$\sin A B C = \frac{A C \times \sin B A C}{B C} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Et on a: $\cos^{2} A B C + \sin^{2} A B C = 1$

Donc : $\cos^{2} A B C = 1 - \sin^{2} A B C = 1 - {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} = 1 - \frac{2}{36} = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$

Donc : $\cos A B C = \sqrt{\frac{17}{18}}$ ou $\cos A B C = - \sqrt{\frac{17}{18}}$

Mais puisque l’angle $A B C$ est aigu

Alors: $\cos A B C = \sqrt{\frac{17}{18}}$ (Angle aigu est un angle inférieur à l’angle droit,)

Calcul trigonométrique 2