Calcul trigonométrique 2 – cours

CALCUL TRIGONOMÉTRIQUE 2
Équations, inéquations et propriétés géométriques

Équations trigonométriques

Équation de forme cos(x) = a

Propriété : Soit \(a \in \mathbb{R}\)

Si \(a \notin [-1,1]\) alors l’équation \(\cos x = a\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
Si \(a \in ]-1,1[\) alors il existe un nombre réel \(\alpha\) tel que \(\cos(\alpha) = a\).

Donc l’équation devient \(\cos(x) = \cos(\alpha)\). Alors :

\[x = \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

L’ensemble des solutions est :
\[S = \{\alpha + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \cup \{-\alpha + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\]

Équation de forme sin(x) = a

Propriété : Soit \(a \in \mathbb{R}\)

Si \(a \notin [-1,1]\) alors l’équation \(\sin x = a\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
Si \(a \in ]-1,1[\) alors il existe un nombre réel \(\alpha\) tel que \(\sin(\alpha) = a\).

Donc l’équation devient \(\sin(x) = \sin(\alpha)\). Alors :

\[x = \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{ou} \quad x = \pi – \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

L’ensemble des solutions est :
\[S = \{\alpha + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi – \alpha + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\]

Exemples

Exemple 1 : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos(x) = \frac{1}{2}\)

On a \(\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\), donc \(\cos(x) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Solutions : \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)

Exemple 2 : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

On a \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\), donc \(\sin(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

Solutions : \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)

Cas particuliers et équation tan(x) = a

Cas particuliers à connaître

Pour cos(x)

\(\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
\(\cos(x) = 1 \Rightarrow x = 2k\pi\)
\(\cos(x) = -1 \Rightarrow x = \pi + 2k\pi\)

Pour sin(x)

\(\sin(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi\)
\(\sin(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)
\(\sin(x) = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)

Équation de forme tan(x) = a

Propriété : Soit \(a \in \mathbb{R}\) ; on considère l’équation \(\tan(x) = a\).

Il existe un nombre réel unique \(\alpha\) tel que \(\tan(\alpha) = a\). Alors l’équation devient \(\tan(x) = \tan(\alpha)\).

Par conséquent : \(x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

L’ensemble des solutions est : \(S = \{\alpha + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\)

Exemple : Résoudre \(\tan(x) = 1\)

On a \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), donc \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\)

Inéquations trigonométriques

Pour résoudre une inéquation trigonométrique de forme \(\cos(x) \ge a\), \(\cos(x) \le a\), \(\sin(x) \ge a\) ou \(\sin(x) \le a\), on suit les étapes suivantes :

Résoudre l’équation \(\cos(x) = a\) (respectivement \(\sin(x) = a\))
Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
Marquer sur les axes les valeurs satisfaisant l’inéquation puis déterminer sur le cercle trigonométrique les arcs correspondants

Exemple 1 : \(\cos(x) > \frac{1}{2}\) sur \(]-\pi, \pi[\)

On résout d’abord \(\cos(x) = \frac{1}{2}\), ce qui donne \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi\).

Sur le cercle trigonométrique, \(\cos(x) > \frac{1}{2}\) pour \(x \in \left]-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right[\) sur \(]-\pi, \pi[\).

Exemple 2 : \(\sin(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(]-\pi, \pi]\)

On résout d’abord \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ce qui donne \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\).

Sur le cercle trigonométrique, \(\sin(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) pour \(x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\) sur \(]-\pi, \pi]\).

Remarque : Pour résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle donné, on la résout d’abord sur \(\mathbb{R}\) puis on encadre les solutions sur cet intervalle pour trouver les valeurs possibles de l’entier \(k\).