Calcul vectoriel dans le plan

 Calcul vectoriel dans le plan

I. Égalité de deux vecteurs – Somme de deux vecteurs

Soient A et B deux points et soit \(\vec{u} = \vec{AB}\) un vecteur non nul.

Le vecteur \(\vec{u}\) est caractérisé par :

• Sa direction : la droite (AB)
• Son sens : de A vers B
• Sa norme : \(||\vec{u}|| = AB\)

Propriété :

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
On écrit alors : \(\vec{u} = \vec{v}\)

Opposés : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont opposés si et seulement s’ils ont la même direction, la même norme, mais des sens contraires.
On écrit : \(\vec{u} = -\vec{v}\)

Exemple : \(\vec{AB} = -\vec{BA}\)

Parallélogramme : ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
\(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) ou encore \(\vec{AB} = \vec{DC}\)

Relation de chasles : $A ,B$ et $C$ trois points du plan :

\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)

On dit alors que : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\)

II. La colinéarité de deux vecteurs – Alignement de trois points

Définition :

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que :
\(\vec{u} = k \vec{v}\) ou \(\vec{v} = k \vec{u}\)

Propriété :
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
C’est-à-dire : \(\vec{AB} = k \vec{AC}\) ou \(\vec{AC} = k \vec{AB}\)

III. Propriétés du milieu d’un segment

Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• \(I\) est le milieu de \([AB]\)
• \(\vec{AB} = 2 \vec{AI}\)
• \(\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}\)
• Pour tout point M du plan : \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2 \vec{MI}\)