Développement et factorisation – Cours
CALCUL LITTÉRAL
Cours complet avec exemples et exercices
I. Expression littérale
Définition
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient des lettres représentant des nombres inconnus.
Exemple :
Remarque
Dans une expression littérale, le signe « × » est souvent omis entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres.
Exemple : \( 2a \) signifie \( 2 \times a \)
Quand une même lettre est utilisée plusieurs fois dans une expression littérale, elle désigne toujours le même nombre.
Activité ❶ : Simplifier une expression littérale
1) Calculer les expressions suivantes en remplaçant a, b, c par leurs valeurs telles que : a = 10 ; b = 5 ; c = -3
| Expression | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| \( a – c \) | \( 10 – (-3) \) | \( 13 \) |
| \( a \times c + b \) | \( 10 \times (-3) + 5 \) | \( -25 \) |
| \( a \times (c + b) \) | \( 10 \times ( -3 + 5 ) \) | \( 20 \) |
2) Soit d un nombre décimal. Simplifier les expressions suivantes :
\( A = 10 + 19d + 11d – 5 \) ⇒ \( A = 5 + 30d \)
\( B = 2d + 7 – 6d + 13 + d \) ⇒ \( B = 20 – 3d \)
II. Développement de k(a+b) et k(a-b)
Règle ❶ : Produit d’un nombre par une somme
Pour tout nombre k, a et b :
De même : \( k(a – b) = ka – kb \)
Exemples :
\( 3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15 \)
\( -2(y – 4) = -2 \times y – (-2) \times 4 = -2y + 8 \)
\( 5(2a + 3b) = 5 \times 2a + 5 \times 3b = 10a + 15b \)
III. Développement de (a+b)(c+d)
Règle ❷ : Produit de deux sommes
Pour multiplier une somme par une somme, on multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la deuxième somme.
Exemple :
Développer l’expression E telle que :
\( E = (x + 3)(x – 2) \)
\( E = x \times x + x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2) \)
\( E = x^2 – 2x + 3x – 6 = x^2 + x – 6 \)
IV. Factorisation d’une expression littérale
Règle ❸ : Factorisation
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en un produit.
C’est l’opération inverse du développement.
Exemples :
\( 3x + 3y = 3(x + y) \)
\( 5a – 10 = 5(a – 2) \)
\( 2x^2 + 4x = 2x(x + 2) \)
V. Les identités remarquables
Règle ❹ : Identités remarquables
Exemples :
\( (x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \)
\( (3 – y)^2 = 3^2 – 2 \times 3 \times y + y^2 = 9 – 6y + y^2 \)
\( (2a + 3b)(2a – 3b) = (2a)^2 – (3b)^2 = 4a^2 – 9b^2 \)
Exercices d’application
Exercice 1 : Simplifier
\( A = (-3) \times a + 4 \)
\( B = 2 \times a + 3 \times b + 5 \times a \)
\( C = (-5) \times x + 3y \)
\( D = (-x) + 7 \times x – 6 \)
Exercice 2 : Développer
\( 3(x + 4) \)
\( -2(y – 5) \)
\( 4(2a + 3b) \)
\( -5(3x – 2y) \)
Exercice 3 : Développer
\( (x + 2)(x + 3) \)
\( (a – 4)(a + 5) \)
\( (2x + 1)(3x – 2) \)
\( (3 – y)(y + 4) \)
Exercice 4 : Factoriser
\( 6x + 9 \)
\( 4a – 8b \)
\( 3x^2 + 6x \)
\( 5y – 15y^2 \)
Exercice 5 : Identités remarquables
\( (x + 4)^2 \)
\( (2a – 3)^2 \)
\( (5 + y)(5 – y) \)
\( (3x + 2)^2 \)
Corrigés (indications)
Exercice 1 : \( B = 7a + 3b \)
Exercice 2 : \( 3(x + 4) = 3x + 12 \)
Exercice 3 : \( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 \)
Exercice 4 : \( 6x + 9 = 3(2x + 3) \)
Exercice 5 : \( (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \)
Synthèse et conseils
- Pour simplifier : regrouper les termes semblables
- Pour développer : appliquer la distributivité
- Pour factoriser : rechercher le facteur commun
- Pour les identités remarquables : connaître les trois formules par cœur
- Attention aux signes : particulièrement avec les nombres négatifs
Développement et factorisation – Cours