Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 3AC Biof

Modèle N°1

Exercice 1： $(1 \times 3 = 3$ pts)}

1) Compléter ce qui suit (a et b sont des nombres réels; m et n sont des nombres relatifs non nuls).

$(a - b) (a + b) = \dots$

$a^{n} \times b^{m} = \dots$

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \dots$

Exercice 2：(5pts)

1) Calculer ce qui suit $(0.5 + 0.5 + 1 = 2 p t s)$

$\sqrt{169} = \dots$

${\sqrt{(- 7)}}^{2} = \dots$

$\sqrt{\sqrt{5} + 2} \times \sqrt{\sqrt{5} - 2} = \dots$

2) Ecrire le nombre suivant sous la forme de a $\sqrt{3}$ (2pts)

$13 \sqrt{3} + 5 \sqrt{243} - 5 \sqrt{300} = \dots$

3) Ecrire le nombre suivants sans radical au dénominateur (1pt)

$A = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dots$

Exercice 3：(5pts)

1) Développer puis simplifier le maximum si possible (1+1.5=2.5pts)

$(x - 3)^{2} = \dots$

$(\sqrt{7} x + \sqrt{7})^{2} = \dots$

2) Factoriser les expressions suivantes (1+1.5=2.5pts)

$(7 x)^{2} - 25 = \dots$

$x^{2} + 2 \sqrt{7} x + 7 = \dots$

Exercice 4： $(1.5 + 1.5 = 3$ pts $)$ }

1) Montrer que $A = \frac{b}{a}$ ( $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls).

$A = b^{- 5} \times \frac{a}{b^{- 3}} \times (a b)^{3} \times a^{- 5} =$

2) Donner l’écriture scientifique de A ,sachant que $a = 8 \times 10^{17}$ et $b = 7 \times 10^{10}$

Exercice 5: $(2 + 2 = 4 p t s)$

1) Résoudre l’équation suivante.

$(x - 2)^{2} + 4 x = 0$

2) Montrons que $\sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{200}}}} = 3$

Correction d'exercice 1

1) Compléter ce qui suit (a et b sont des nombres réels; m et n sont des nombres relatifs non nuls).

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

$a^{n} \times b^{m} = a^{n + m}$

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

Correction d'exercice 2

1) Calculer ce qui suit $(0.5 + 0.5 + 1 = 2 p t s)$

$\sqrt{169} = {\sqrt{13}}^{2} = 13$

${\sqrt{(- 7)}}^{2} = 7$

$\sqrt{\sqrt{5} + 2} \times \sqrt{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2) \times (\sqrt{5} - 2)}$

$= \sqrt{(\sqrt{5})^{2} - (2)^{2}}$

$= \sqrt{5 - 4} = 1$

2) Ecrire le nombre suivant sous la forme de a $\sqrt{3}$ (2pts)

$13 \sqrt{3} + 5 \sqrt{243} - 5 \sqrt{300} = 13 \sqrt{3} + 5 \sqrt{81 \times 3} - 5 \sqrt{100 \times 3}$

$= 13 \sqrt{3} + 5 \times 9 \sqrt{3} - 5 \times 10 \sqrt{3}$

$= 13 \sqrt{3} + 45 \sqrt{3} - 50 \sqrt{3}$

$= 58 \sqrt{3} - 50 \sqrt{3}$

$= 8 \sqrt{3}$

3) Ecrire le nombre suivants sans radical au dénominateur (1pt)

$A = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$A = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

$A = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$A = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}}$

$A = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3}$

$A = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Correction d'exercice 3

1) Développer puis simplifier le maximum si possible (1+1.5=2.5pts)

$(x - 3)^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 3 + 3^{2} = x^{2} - 6 x + 9$

$(\sqrt{7} x + \sqrt{7})^{2} = (\sqrt{7} x)^{2} + 2 \times \sqrt{7} x \times \sqrt{7} + (\sqrt{7})^{2} = 7 x^{2} + 14 x + 7$

2) Factoriser les expressions suivantes (1+1.5=2.5pts)

$(7 x)^{2} - 25 = (7 x)^{2} - 5^{2} = (7 x - 5) (7 x + 5)$

$x^{2} + 2 \sqrt{7} x + 7 = (x + \sqrt{7})^{2} = (x + \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Correction d'exercice 4

1) Montrer que $A = \frac{b}{a}$ ( $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls).

$A = b^{- 5} \times \frac{a}{b^{- 3}} \times (a b)^{3} \times a^{- 5}$

$A = b^{- 5} \times \frac{a}{b^{- 3}} \times a^{3} \times b^{3} \times a^{- 5}$

$A = b^{- 5} \times \frac{b^{3}}{b^{- 3}} \times a^{3} \times a \times a^{- 5}$

$A = b^{- 5} \times b^{6} \times a^{3 + 1 - 5}$

$A = b \times a^{- 1}$

$A = \frac{b}{a}$

2) Donner l’écriture scientifique de A ,sachant que $a = 8 \times 10^{17}$ et $b = 7 \times 10^{10}$

$A = \frac{7 \times 10^{10}}{8 \times 10^{17}}$

$A = \frac{7}{8} \times \frac{10^{10}}{10^{17}}$

$A = 0, 875 \times 10^{- 7}$

$A = 8, 75 \times 10^{- 1} \times 10^{- 7}$

$A = 8, 75 \times 10^{- 8}$

Correction d'exercice 5

1) Résoudre l’équation suivante.

$(x - 2)^{2} + 4 x = 0$
$(x^{2} - 4 x + 4) + 4 x = 0$
$x^{2} - 4 x + 4 + 4 x = 0$
$x^{2} + 4 = 0$
$x^{2} = - 4$ Impossible, donc l’équation n’a pas de solution.

2) Montrons que $\sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{200}}}} = 3$

$= \sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{4 \times 2} + \sqrt{9 \times 2}}{\sqrt{2 \times 100}}}}$

$= \sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{10 \sqrt{2}}}}$

$= \sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{10 \sqrt{2}}}}$

$= \sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2 \times 5 \sqrt{2}}}}$

$= \sqrt{11 - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{1}{2}}}$

$= \sqrt{11 - \sqrt{\frac{8}{2}}}$

$= \sqrt{11 - \sqrt{4}}$

$= \sqrt{11 - 2}$

$= \sqrt{9}$

$= 3$

Modèle N°2

Durée : 1 Heure

Exercice 1：(3pts)

1) Compléter ce qui suit : $(0, 5 \times 6 = 3$ pts)

$\sqrt{a^{2}} = \dots$

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \dots$

$(a + b)^{2} = \dots$

$a^{2} - b^{2} = \dots$

$\frac{a^{- 2}}{a^{4}} = \dots$

$(a^{2})^{- 3} = \dots$

Exercice 2：(7pts)

1) Calculer ce qui suit : $(0,5 \times 2=1$ pts)

$2 \sqrt{18} = \dots$

$\sqrt{\frac{49}{3}} \times \sqrt{3} = \dots$

2) Simplifier les expressions suivantes : $(1 \times 3 = 3$ pts)

$A = 2 \sqrt{20} - 4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{500}$

$B = - 2 \sqrt{48} + 5 \sqrt{12} - \sqrt{75}$

$C = \sqrt{3 \sqrt{100} - \sqrt{4^{2} + \sqrt{81}}}$

3) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur: $(1 \times 2 = 2$ pts)

$A = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5}}$

$B = \frac{2}{3 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$

4) Résoudre l’équation suivante : 1 pts

$5 x^{2} + 1 = 7$

Exercice 3：(10pts)

1) Développe puis réduis les expressions suivantes: (1 + 1,5) pts

$A = (2 \sqrt{5} - \sqrt{3} x)^{2}$

$B = (2 x - \sqrt{2}) (2 x + \sqrt{2}) + (x + 3)^{2}$

2) Factorise les expressions suivantes : (1 + 1,5) pts

$A = 49 x^{2} - 28 x + 4$

$B = x^{2} - 9 + x + 3$

3) Ecris les nombres suivants sous la forme $a^{n}$ : $(0,75 \times 2=1,5$ pts)

$A = {(5^{2})}^{3} \times 2^{6} = \dots$

$B = \frac{3^{- 2} \times 3^{4}}{3^{5}} = \dots$

4) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants: $(0,75 \times 2=1,5$ pts)

$A = 9652, 45 \times 10^{2}$

$B = 0, 0000013 \times {(10^{2})}^{4}$

5) a) Montrer que : $\frac{3^{n - 1} \times 9^{3 n + 2}}{3^{5 n + 4}} = 3^{2 n - 1}$ avec «n» un nombre entier naturel. 1 pts

b/ Déduire la valeur de «n» tel que : $3^{2 n - 1} = 27$ 1 pts

Correction d'exercice 1

1) Compléter ce qui suit : $(0, 5 \times 6 = 3$ pts)

$\sqrt{a^{2}} = a$

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 \times a \times b + b^{2}$

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

$\frac{a^{- 2}}{a^{4}} = a^{- 2 - 4} = a^{- 6}$

$(a^{2})^{- 3} = a^{- 6}$

Correction d'exercice 2

1) Calculer ce qui suit : $(0,5 \times 2=1$ pts)

$2 \sqrt{18} = 2 \sqrt{9 \times 2} = 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

$\sqrt{\frac{49}{3}} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = \sqrt{49} = 7$

2) Simplifier les expressions suivantes : $(1 \times 3 = 3$ pts)

$A = 2 \sqrt{20} - 4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{500}$

$A = 2 \sqrt{4 \times 5} - 4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5 \times 100}$

$A = 2 \sqrt{4} \times \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{100} \times \sqrt{5}$

$A = 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 30 \sqrt{5}$

$A = 30 \sqrt{5}$

$B = - 2 \sqrt{48} + 5 \sqrt{12} - \sqrt{75}$

$B = - 2 \sqrt{16 \times 3} + 5 \sqrt{4 \times 3} - \sqrt{25 \times 3}$

$B = - 2 \sqrt{16} \times \sqrt{3} + 5 \sqrt{4} \times \sqrt{3} - \sqrt{25} \times \sqrt{3}$

$B = - 8 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}$

$B = 2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}$

$B = - 3 \sqrt{3}$

$C = \sqrt{3 \sqrt{100} - \sqrt{4^{2} + \sqrt{81}}}$

$C = \sqrt{3 \times 10 - \sqrt{16 + 9}}$

$C = \sqrt{30 - \sqrt{25}}$

$C = \sqrt{30 - 5}$

$C = \sqrt{25}$

$C = 5$

3) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur: $(1 \times 2 = 2$ pts)

$A = \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5}}$

$A = \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$A = \frac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \times \sqrt{5}}$

$A = \frac{2 \sqrt{15}}{3 \times 5}$

$A = \frac{2 \sqrt{15}}{15}$

$B = \frac{2}{3 \sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{2}{3 \sqrt{2} + \sqrt{10}} \times \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{10}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$

$B = \frac{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{10})}$

$B = \frac{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3 \sqrt{2})^{2} - (\sqrt{10})^{2}}$

$B = \frac{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10}$

$B = \frac{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{10})}{8}$

4) Résoudre l’équation suivante : 1 pt

$5 x^{2} + 1 = 7$

$5 x^{2} = 7 - 1$

$5 x^{2} = 6$

$x^{2} = \frac{6}{5} > 0$

$S = {\sqrt{\frac{6}{5}}; - \sqrt{\frac{6}{5}}}$

Correction d'exercice 3

1) Développe puis réduis les expressions suivantes: (1 + 1,5) pts

$A = (2 \sqrt{5} + \sqrt{3} x)^{2}$

$A = (2 \sqrt{5})^{2} + 2 (2 \sqrt{5} \times \sqrt{3} x) + (\sqrt{3} x)^{2}$

$A = 20 + 4 \sqrt{15} x + 3 x^{2}$

$B = (2 x - \sqrt{2}) (2 x + \sqrt{2}) + (x + 3)^{2}$

$B = (2 x)^{2} - (\sqrt{3})^{2} + x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2}$

$B = 4 x^{2} - 3 + x^{2} + 6 x + 9$

$B = 4 x^{2} + x^{2} + 6 x + 9 - 3$

$B = 5 x^{2} + 6 x + 6$

2) Factorise les expressions suivantes : (1 + 1,5) pts

$A = 49 x^{2} - 28 x + 4$

$A = (7 x - 2)^{2}$

$A = (7 x - 2) (7 x - 2)$

$B = x^{2} - 9 + x + 3$

$B = x^{2} - 3^{2} + (x + 3)$

$B = (x - 3) (x + 3) + (x + 3) \times 1$

$B = (x + 3) (x - 3 + 1)$

$B = (x + 3) (x - 2)$

3) Ecris les nombres suivants sous la forme $a^{n}$ : $(0,75 \times 2=1,5$ pts)

$A = {(5^{2})}^{3} \times 2^{6} = 5^{6} \times 2^{6} = (5 \times 2)^{6} = 10^{6}$

$B = \frac{3^{- 2} \times 3^{4}}{3^{5}} = \frac{3^{2}}{3^{5}} = 3^{2 - 5} = 3^{- 3}$

4) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants: $(0,75 \times 2=1,5$ pts)

$A = 9652, 45 \times 10^{2}$

$A = 9, 65245 \times 10^{3} \times 10^{3}$

$A = 9, 65245 \times 10^{6}$

$B = 0, 0000013 \times {(10^{2})}^{4}$

$B = 1, 3 \times 10^{- 6} \times 10^{8}$

$B = 1, 3 \times 10^{2}$

5) a) Montrer que : $\frac{3^{n - 1} \times 9^{3 n + 2}}{3^{5 n + 4}} = 3^{2 n - 1}$ avec «n» un nombre entier naturel. 1 pts

$\frac{3^{n - 1} \times 9^{3 n + 2}}{3^{5 n + 4}} = \frac{3^{n - 1} \times {(3^{2})}^{3 n + 2}}{3^{5 n + 4}}$

$= \frac{3^{n - 1} \times 3^{6 n + 4}}{3^{5 n + 4}}$

$= \frac{3^{n - 1 + (6 n + 4)}}{3^{5 n + 4}}$

$= \frac{3^{7 n + 3}}{3^{5 n + 4}}$

$= 3^{(7 n + 3) - (5 n + 4)}$

$= 3^{7 n + 3 - 5 n - 4}$

$= 3^{2 n - 1}$

b/ Déduire la valeur de «n» tel que : $3^{2 n - 1} = 27$ 1 pts

$3^{2 n - 1} = 27$

$3^{2 n - 1} = 3^{3}$

Donc: $2 n - 1 = 3$

$2 n = 3 + 1$

$n = \frac{4}{2} = 2$

Modèle N°3

Durée : 1 Heure

Exercice 1：(5pts)

Calculer et simplifier les expressions suivantes :

$A = - 5 + \frac{3}{2} \div 2 - \frac{1}{4}$

$B = {[- 3^{- 1} + {\sqrt{2}}^{- 2}]}^{- 2}$

$C = \sqrt{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}$

$D = \sqrt{2^{2} \times 3^{2} + 4^{2} - 3}$

$E = \frac{{({\sqrt{5}}^{5})}^{2} \times {({\sqrt{5}}^{3})}^{- 4}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

$F = \sqrt{80} + 3 \sqrt{45} - 2 \sqrt{125}$

Exercice 2：(2,5pts)

1) Simplifier l’expression suivante :

$G = \frac{a^{- 2} \times b \times {(a^{2} \times b^{- 1})}^{2}}{{(a \times b^{- 2})}^{- 3}} (a \neq 0 et b \neq 0)$

2) Donner la notation scientifique du nombre $M$ :

$M = \frac{2, 5 \times 0, 001 \times 900 \times 10^{3}}{15 \times {(10^{- 2})}^{- 3}}$

Exercice 3：(2,5pts)

Calculer et simplifier les expressions suivantes :

$H = (3 \sqrt{2} - 5)^{2}$

$I = (4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{7}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{7})$

$J = (\sqrt{5} + 2 \sqrt{3})^{2} - (2 \sqrt{5} - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - \sqrt{5})$

Exercice 4：(5pts)

1) Développer et réduire les expressions suivantes :

$K = (x + 5)^{2} - (x + 2) (3 x + 7)$

$L = (2 x + \sqrt{5}) (2 x - \sqrt{5}) - (x - 2 \sqrt{2})^{2}$

$N = (\sqrt{7} x + 3 \sqrt{3}) (\sqrt{7} x - 3 \sqrt{3})$

2) Factoriser les expressions suivantes:

$O = (x - 1) (x + 8) - 3 x (x - 1)$

$P = 5 x^{2} - 9 - (3 - \sqrt{5} x) (4 x - 1)$

$Q = (4 x - 7)^{2} + (4 x - 7) (x - 3)$

Exercice 5：(1,5pts)

1) Rendre rationnel le dénominateur de chaque cas :

$X = \frac{2}{3 \sqrt{2}}; Y = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$

2) Simplifier :

$Z = \frac{1 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{12}{\sqrt{3}}$

Exercice 6：(3,5pts)

On considère les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ et $b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

1) Calculer : $a^{2}; b^{2}$ et $a b$

2) En déduire la valeur de $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

3) a) Simplifier : $\sqrt{14 + 6 \sqrt{5}}$

b) En déduire la valeur du nombre $E$ tel que:

$E = (3 \sqrt{2} - \sqrt{10}) \sqrt{7 + 3 \sqrt{5}}$

Correction d'exercice 1

Calculer et simplifier les expressions suivantes :

$A = - 5 + \frac{3}{2} \div 2 - \frac{1}{4}$

$A = 5 + \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$A = 5 + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

$A = \frac{20 + 3 - 1}{4}$

$A = \frac{22 : 2}{4 : 2}$

$A = \frac{11}{2}$

$B = {[- 3^{- 1} + {\sqrt{2}}^{- 2}]}^{- 2}$

$B = {[- \frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}}]}^{- 2}$

$B = {[- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}]}^{- 2}$

$B = {[\frac{1}{6}]}^{- 2}$

$B = 6^{2}$

$B = 36$

$C = \sqrt{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}$

$C = \sqrt{2 \times 10 \times 5}$

$C = \sqrt{100}$

$C = 10$

$D = \sqrt{2^{2} \times 3^{2} + 4^{2} - 3}$

$D = \sqrt{4 \times 9 + 16 - 3}$

$D = \sqrt{36 + 16 - 3}$

$D = \sqrt{49}$

$D = 7$

$E = \frac{{({\sqrt{5}}^{5})}^{2} \times {({\sqrt{5}}^{3})}^{- 4}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

$E = \frac{{\sqrt{5}}^{10} \times {\sqrt{5}}^{- 12}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

$E = \frac{{\sqrt{5}}^{- 2}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

$E = {\sqrt{5}}^{- 4}$

$E = \frac{1}{{\sqrt{5}}^{4}}$

$E = \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} \times {\sqrt{5}}^{2}}$

$E = \frac{1}{5 \times 5}$

$E = \frac{1}{25}$

$F = \sqrt{80} + 3 \sqrt{45} - 2 \sqrt{125}$

$F = \sqrt{2^{2} \times 2^{2} \times 5} + 3 \sqrt{3^{2} \times 5} - 2 \sqrt{5^{2} \times 5}$

$F = 4 \sqrt{5} + 3 \times 3 \sqrt{5} - 2 \times 5 \sqrt{5}$

$F = \sqrt{5} (4 + 9 - 10)$

$F = 3 \sqrt{5}$

Correction d'exercice 2

1) Simplifier l’expression suivante :

$G = \frac{a^{- 2} \times b \times {(a^{2} \times b^{- 1})}^{2}}{{(a \times b^{- 2})}^{- 3}} (a \neq 0 et b \neq 0)$

$G = \frac{a^{- 2} \times b \times a^{4} \times b^{- 2}}{a^{- 3} \times b^{6}}$

$G = a^{- 2 + 4 + 3} \times b^{1 - 2 - 6}$

$G = a^{5} \times b^{- 7}$

$G = \frac{a^{5}}{b^{7}}$

2) Donner la notation scientifique du nombre $M$ :

$M = \frac{2, 5 \times 0, 001 \times 900 \times 10^{3}}{15 \times {(10^{- 2})}^{- 3}}$

$M = \frac{2, 5 \times 10^{- 3} \times 9 \times 10^{2} \times 10^{3}}{15 \times 10^{6}}$

$M = \frac{2, 5 \times 9}{15} \times 10^{- 3 + 2 + 3 - 6}$

$M = 1, 5 \times 10^{- 4}$

Correction d'exercice 3

Calculer et simplifier les expressions suivantes :

$H = (3 \sqrt{2} - 5)^{2}$

$I = (4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{7}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{7})$

$J = (\sqrt{5} + 2 \sqrt{3})^{2} - (2 \sqrt{5} - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - \sqrt{5})$

$H = (3 \sqrt{2} - 5)^{2}$
$H = (3 \sqrt{2})^{2} - 2 \times 3 \sqrt{2} \times 5 + 5^{2}$
$H = 9 \times 2 - 30 \sqrt{2} + 25$
$H = 43 - 30 \sqrt{2}$

$I = (4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{7}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{7})$
$I = (4 \sqrt{2})^{2} - (2 \sqrt{7})^{2}$
$I = 16 \times 2 - 4 \times 7$
$I = 32 - 28$
$I = 4$

$J = (\sqrt{5} + 2 \sqrt{3})^{2} - (2 \sqrt{5} - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - \sqrt{5})$

$J = {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{3} + (2 \sqrt{3})^{2} - (6 \sqrt{15} - 2 \times 5 - 3 \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{15})$

$J = 5 + 4 \sqrt{15} + 12 - (6 \sqrt{15} - 10 - 9 + \sqrt{15})$

$J = 17 + 4 \sqrt{15} - (7 \sqrt{15} - 19)$

$J = 17 + 4 \sqrt{15} - 7 \sqrt{15} + 19$

$J = 36 - 3 \sqrt{15}$

Correction d'exercice 4

1) Développer et réduire les expressions suivantes :

$K = (x + 5)^{2} - (x + 2) (3 x + 7)$
$K = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} - [x \times 3 x + x \times 7 + 2 \times 3 x + 2 \times 7]$
$K = x^{2} + 10 x + 25 - [3 x^{2} + 7 x + 6 x + 14]$
$K = x^{2} + 10 x + 25 - 3 x^{2} - 7 x - 6 x - 14$
$K = x^{2} - 3 x^{2} + 10 x - 7 x - 6 x + 25 - 14$
$K = - 2 x^{2} - 3 x + 11$

$L = (2 x + \sqrt{5}) (2 x - \sqrt{5}) - (x - 2 \sqrt{2})^{2}$
$L = (2 x)^{2} - (\sqrt{5})^{2} - (x^{2} - 2 \times x \times 2 \sqrt{2} + (2 \sqrt{2})^{2})$
$L = 4 x^{2} - 5 - (x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8)$
$= 4 x^{2} - 5 - x^{2} + 4 \sqrt{2} x - 8$
$= 3 x^{2} + 4 \sqrt{2} x - 13$

$N = (\sqrt{7} x + 3 \sqrt{3}) (\sqrt{7} x - 3 \sqrt{3})$
$N = (\sqrt{7} x)^{2} - (3 \sqrt{3})^{2}$
$N = 7 x^{2} - 9 \times 3$
$N = 7 x^{2} - 27$

2) Factoriser les expressions suivantes:

$O = (x - 1) (x + 8) - 3 x (x - 1)$
$O = (x - 1) (x + 8 - 3 x)$
$O = (x - 1) (- 2 x + 8)$

$P = 5 x^{2} - 9 - (3 - \sqrt{5} x) (4 a - 1)$
$P = (\sqrt{5} x - 3) (\sqrt{5} x + 3) - (3 - \sqrt{5} x) (4 a - 1)$
$P = (\sqrt{5} x - 3) (\sqrt{5} x + 3) + (- 3 + \sqrt{5} x) (4 x - 1)$
$P = (\sqrt{5} x - 3) [\sqrt{5} x + 3 + 4 x - 1]$
$P = (\sqrt{5} x - 3) ((\sqrt{5} + 4) x + 2)]$

$Q = (4 x - 7)^{2} + (4 x - 7) (x - 3)$
$Extra close brace or missing open brace$
$= Q = (4 x - 7) (4 x - 7 + x - 3)$
$= Q = (4 x - 7) (5 x - 10)$

Correction d'exercice 5

1) Rendre rationnel le dénominateur de chaque cas :

$X = \frac{2}{3 \sqrt{2}}$
$X = \frac{2 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$X = \frac{2 \sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$Y = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$
$Y = \frac{(3 + \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}$
$Y = \frac{(3 + \sqrt{7})^{2}}{9 - 7} = \frac{(3 + \sqrt{7})^{2}}{2}$

2) Simplifier :

$Z = \frac{3 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{12}{\sqrt{3}}$
$Z = \frac{(3 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} + \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
$Z = \frac{2 - \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4 - 3} + \frac{12 \sqrt{3}}{3}$
$Z = \frac{2 - \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{1} + \frac{12 \sqrt{3}}{3}$

$Z = 5 - 3 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$
$Z = 5 + \sqrt{3}$

Correction d'exercice 6

On considère les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ et $b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

1) Calculer : $a^{2}; b^{2}$ et $a b$

$a^{2} = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^{2}$
$a^{2} = 3 + \sqrt{5}$

$b^{2} = (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^{2}$
$b^{2} = 3 - \sqrt{5}; c a r 3 < \sqrt{5}$

2) En déduire la valeur de $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b}$

$= \frac{3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}}$

$= \frac{6}{\sqrt{3^{2} - (\sqrt{5})^{2}}}$

$= \frac{6}{\sqrt{9 - 5}}$

$= \frac{6}{2} = 3$

3) a) Simplifier : $\sqrt{14 + 6 \sqrt{5}}$

$\sqrt{14 + 6 \sqrt{5}} = \sqrt{5 + 9 + 6 \sqrt{5}}$
$= \sqrt{3^{2} + 2 \times 3 \times \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}$
$= \sqrt{(3 + \sqrt{5})^{2}}$
$= 3 + \sqrt{5}$

b) En déduire la valeur du nombre $E$ tel que:

$E = (3 \sqrt{2} - \sqrt{10}) \sqrt{7 + 3 \sqrt{5}}$

$E = \sqrt{2} (3 - \sqrt{5}) \sqrt{7 + 3 \sqrt{5}}$

$E = (3 - \sqrt{5}) \sqrt{2 \times 7 + 2 \times 3 \sqrt{5}}$

$E = (3 - \sqrt{5}) \sqrt{14 + 6 \sqrt{5}}$

$E = (3 - \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5}) (car \sqrt{14 + 6 \sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5})$

$E = 3^{2} - {\sqrt{5}}^{2} = 9 - 5$

$E = 4$

Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 3AC

Modèle N°1

Exercice 1：(1×3=3 pts)}

Exercice 2：(5pts)

Exercice 3：(5pts)

Exercice 4： (1.5+1.5=3 pts )}

Exercice 5: (2+2=4pts)

Modèle N°2

Durée : 1 Heure

Exercice 1：(3pts)

Exercice 2：(7pts)

Exercice 3：(10pts)

Modèle N°3

Durée : 1 Heure

Exercice 1：(5pts)

Exercice 2：(2,5pts)

Exercice 3：(2,5pts)

Exercice 4：(5pts)

Exercice 5：(1,5pts)

Exercice 6：(3,5pts)

Exercice 1： $(1 \times 3 = 3$ pts)}

Exercice 4： $(1.5 + 1.5 = 3$ pts $)$ }

Exercice 5: $(2 + 2 = 4 p t s)$