Modèle N°1
Exercice 1：$(1 \times 3=3$ pts)}
1) Compléter ce qui suit (a et b sont des nombres réels; m et n sont des nombres relatifs non nuls).
$(a-b)(a+b)=\ldots$
$a^{n}\times b^{m} =\ldots$
$\sqrt{a}\times\sqrt{b} =\ldots$
Exercice 2：(5pts)
1) Calculer ce qui suit $(0.5+0.5+1=2 p t s)$
$ \sqrt{169}=\ldots $
$\sqrt{(-7)}^{2}=\ldots$
$\sqrt{\sqrt{5}+2} \times \sqrt{\sqrt{5}-2}=\ldots$
2) Ecrire le nombre suivant sous la forme de a $\sqrt{3}$ (2pts)
$13 \sqrt{3}+5 \sqrt{243}-5 \sqrt{300}=\ldots$
3) Ecrire le nombre suivants sans radical au dénominateur (1pt)
$A=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\ldots$
Exercice 3：(5pts)
1) Développer puis simplifier le maximum si possible (1+1.5=2.5pts)
$(x-3)^{2}=\ldots$
$(\sqrt{7} x+\sqrt{7})^{2}=\ldots$
2) Factoriser les expressions suivantes (1+1.5=2.5pts)
$(7 x)^{2}-25=\ldots$
$x^{2}+2 \sqrt{7} x+7=\ldots$
Exercice 4： $(1.5+1.5=3$ pts $)$}
1) Montrer que $A=\frac{b}{a}$ ( $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls).
$A=b^{-5} \times \frac{a}{b^{-3}} \times(a b)^{3} \times a^{-5}=$ $\qquad$ $\qquad$
2) Donner l’écriture scientifique de A ,sachant que $a=8×10^{17}$ et $b=7×10^{10}$
Exercice 5: $(2+2=4 pts)$
1) Résoudre l’équation suivante.
$(x-2)^{2}+4 x=0$
2) Montrons que $\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{200}}}}=3$
1) Compléter ce qui suit (a et b sont des nombres réels; m et n sont des nombres relatifs non nuls).
$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$
$a^{n}\times b^{m} =a^{n+m}$
$\sqrt{a}\times\sqrt{b} =\sqrt{a×b}$
1) Calculer ce qui suit $(0.5+0.5+1=2 p t s)$
$ \sqrt{169}=\sqrt{13}^{2} =13$
$\sqrt{(-7)}^{2}=7$
$\sqrt{\sqrt{5}+2} \times \sqrt{\sqrt{5}-2}=\sqrt{(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)}$
$ =\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(2)^{2}}$
$ =\sqrt{5-4}=1$
2) Ecrire le nombre suivant sous la forme de a $\sqrt{3}$ (2pts)
$13 \sqrt{3}+5 \sqrt{243}-5 \sqrt{300}=13 \sqrt{3}+5 \sqrt{81×3}-5 \sqrt{100×3}$
$ =13 \sqrt{3}+5× 9\sqrt{3}-5 × 10\sqrt{3}$
$ =13 \sqrt{3}+45\sqrt{3}- 50\sqrt{3}$
$ =58 \sqrt{3} – 50\sqrt{3}$
$ =8\sqrt{3}$
3) Ecrire le nombre suivants sans radical au dénominateur (1pt)
$A=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
$A=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$A=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$
$A=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$
$A=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5 – 3}$
$A=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}$
1) Développer puis simplifier le maximum si possible (1+1.5=2.5pts)
$(x-3)^{2}=x^{2}-2×x×3+3^{2}= x^{2}-6x+9$
$(\sqrt{7} x+\sqrt{7})^{2}=(\sqrt{7} x)^{2}+2×\sqrt{7} x×\sqrt{7} +(\sqrt{7})^{2} = 7x^{2}+14x+7$
2) Factoriser les expressions suivantes (1+1.5=2.5pts)
$(7 x)^{2}-25=(7 x)^{2} – 5^{2}=(7x-5)(7x+5)$
$x^{2}+2 \sqrt{7} x+7=( x+\sqrt{7})^{2} =( x+\sqrt{7})( x+\sqrt{7}) $
1) Montrer que $A=\frac{b}{a}$ ( $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls).
$A=b^{-5} \times \frac{a}{b^{-3}} \times(a b)^{3} \times a^{-5}$ $\qquad$ $\qquad$
$A=b^{-5} \times \frac{a}{b^{-3}} \times a^{3}\times b^{3} \times a^{-5}$ $\qquad$ $\qquad$
$A=b^{-5} \times \frac{b^{3}}{b^{-3}} \times a^{3}\times a \times a^{-5}$ $\qquad$ $\qquad$
$A=b^{-5} \times b^{6} \times a^{3+1-5}$ $\qquad$ $\qquad$
$A=b \times a^{-1} $ $\qquad$ $\qquad$
$A=\frac{b}{a}$
2) Donner l’écriture scientifique de A ,sachant que $a=8×10^{17}$ et $b=7×10^{10}$
$A=\frac{7×10^{10}}{8×10^{17}}$
$A=\frac{7}{8}\times \frac{10^{10}}{10^{17}}$
$A= 0,875\times {10^{-7}}$
$A= 8,75\times {10^{-1}}\times {10^{-7}}$
$A= 8,75\times {10^{-8}}$
1) Résoudre l’équation suivante.
$(x-2)^{2}+4 x=0$
$\left(x^{2}-4 x+4\right)+4 x=0$
$x^{2}-4 x+4+4 x=0$
$x^{2}+4=0$
$x^{2}=-4 \quad$ Impossible, donc l’équation n’a pas de solution.
2) Montrons que $\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{\sqrt{200}}}}=3$
$=\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{4×2}+\sqrt{9×2}}{\sqrt{2×100}}}}$
$=\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}}}$
$=\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}}}$
$=\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2×5\sqrt{2}}}}$
$=\sqrt{11-\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}}}$
$=\sqrt{11-\sqrt{\frac{8}{2}}}$
$=\sqrt{11-\sqrt{4}}$
$=\sqrt{11-2}$
$=\sqrt{9}$
$=3$
Modèle N°2
Durée : 1 Heure
Exercice 1：(3pts)
1) Compléter ce qui suit : $(0,5 \times 6=3$ pts)
$\sqrt{a^{2}} =\ldots$
$\sqrt{a}\times\sqrt{b} =\ldots$
$(a+b)^{2} =\ldots$
$a^{2}-b^{2} =\ldots$
$\frac{a^{-2}}{a^{4}}=\ldots$
$(a^{2})^{-3} =\ldots$
Exercice 2：(7pts)
1) Calculer ce qui suit : $(0,5 \times 2=1$ pts)
$2 \sqrt{18}=\ldots$
$\sqrt{\frac{49}{3}} \times \sqrt{3}=\ldots$
2) Simplifier les expressions suivantes : $(1 \times 3=3$ pts)
$A=2 \sqrt{20}-4 \sqrt{5}+3 \sqrt{500}$
$B=-2 \sqrt{48}+5 \sqrt{12}- \sqrt{75}$
$C= \sqrt{3 \sqrt{100}- \sqrt{4^{2}+\sqrt{81}} }$
3) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur: $(1 \times 2=2$ pts)
$A=\frac{3 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5}}$
$B=\frac{2 }{3 \sqrt{2}+\sqrt{10}}$
4) Résoudre l’équation suivante : 1 pts
$5x^{2}+1=7$
Exercice 3：(10pts)
1) Développe puis réduis les expressions suivantes: (1 + 1,5) pts
$A=(2 \sqrt{5}-\sqrt{3} x)^{2}$
$B=(2 x-\sqrt{2} )(2 x+\sqrt{2} )+(x+3)^{2}$
2) Factorise les expressions suivantes : (1 + 1,5) pts
$A=49 x^{2}-28 x+4$
$B=x^{2}-9+ x+3$
3) Ecris les nombres suivants sous la forme $a^{n}$ : $(0,75 \times 2=1,5$ pts)
$A=\left(5^{2}\right)^{3} \times 2^{6}=\ldots$
$B=\frac{3^{-2} \times 3^{4}}{3^{5}}=\ldots$
4) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants: $(0,75 \times 2=1,5$ pts)
$A=9652,45 \times 10^{2}$
$B=0,0000013 \times {(10^{2})}^{4}$
5) a) Montrer que : $\frac{3^{n-1} \times 9^{3 n+2}}{3^{5 n+4}}=3^{2 n-1}$ avec «n» un nombre entier naturel. 1 pts
b/ Déduire la valeur de «n» tel que : $3^{2 n-1}=27$ 1 pts
1) Compléter ce qui suit : $(0,5 \times 6=3$ pts)
$\sqrt{a^{2}} =a $
$\sqrt{a}\times\sqrt{b} =\sqrt{a×b}$
$(a+b)^{2} =a^{2}+2×a×b+b^{2}$
$a^{2}-b^{2} =(a-b)(a+b) $
$\frac{a^{-2}}{a^{4}}=a^{-2-4}=a^{-6}$
$(a^{2})^{-3} =a^{-6}$
1) Calculer ce qui suit : $(0,5 \times 2=1$ pts)
$2 \sqrt{18}=2 \sqrt{9 \times 2}=2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{2}=2 \times 3 \times \sqrt{2} \\=6 \sqrt{2}$
$\sqrt{\frac{49}{3}} \times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}=\sqrt{49}=7$
2) Simplifier les expressions suivantes : $(1 \times 3=3$ pts)
$A=2 \sqrt{20}-4 \sqrt{5}+3 \sqrt{500}$
$A=2 \sqrt{4×5}-4 \sqrt{5}+3 \sqrt{5×100}$
$A=2 \sqrt{4}×\sqrt{5}-4 \sqrt{5}+3 \sqrt{100}×\sqrt{5}$
$A=4\sqrt{5}-4 \sqrt{5}+30\sqrt{5}$
$A=30\sqrt{5}$
$B=-2 \sqrt{48}+5 \sqrt{12}- \sqrt{75}$
$B=-2 \sqrt{16×3}+5 \sqrt{4×3}- \sqrt{25×3}$
$B=-2 \sqrt{16}×\sqrt{3}+5 \sqrt{4}×\sqrt{3}- \sqrt{25}×\sqrt{3}$
$B=-8\sqrt{3}+10\sqrt{3}- 5\sqrt{3}$
$B=2\sqrt{3}- 5\sqrt{3}$
$B=- 3\sqrt{3}$
$C= \sqrt{3 \sqrt{100}- \sqrt{4^{2}+\sqrt{81}} }$
$C= \sqrt{3 ×10- \sqrt{16+9} }$
$C= \sqrt{30- \sqrt{25} }$
$C= \sqrt{30- 5 }$
$C= \sqrt{25 }$
$C= 5$
3) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur: $(1 \times 2=2$ pts)
$A=\frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5}}$
$A=\frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5}} \times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
$A=\frac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \times \sqrt{5}} $
$ A=\frac{2 \sqrt{15}}{3 \times 5}$
$A=\frac{2 \sqrt{15}}{15} $
$B=\frac{2}{3 \sqrt{2}+\sqrt{10}}=\frac{2}{3 \sqrt{2}+\sqrt{10}} \times \frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{10}}{3 \sqrt{2}-\sqrt{10}} $
$B=\frac{2(3 \sqrt{2}-\sqrt{10})}{(3 \sqrt{2}+\sqrt{10})(3 \sqrt{2}-\sqrt{10})}$
$B=\frac{2(3 \sqrt{2}-\sqrt{10})}{(3 \sqrt{2})^{2}-(\sqrt{10})^{2}}$
$B=\frac{2(3 \sqrt{2}-\sqrt{10})}{18-10}$
$B=\frac{2(3 \sqrt{2}-\sqrt{10})}{8}$
4) Résoudre l’équation suivante : 1 pt
$5x^{2}+1=7$
$5 x^{2}=7-1$
$5 x^{2}=6$
$x^{2}=\frac{6}{5}>0$
$S=\left\{\sqrt{\frac{6}{5}} ;-\sqrt{\frac{6}{5}}\right\}$
1) Développe puis réduis les expressions suivantes: (1 + 1,5) pts
$A=(2 \sqrt{5}+\sqrt{3} x)^{2}$
$A=(2 \sqrt{5})^{2}+2(2 \sqrt{5} \times \sqrt{3} x)+(\sqrt{3} x)^{2}$
$A=20+4 \sqrt{15} x+3 x^{2}$
$B=(2 x-\sqrt{2} )(2 x+\sqrt{2} )+(x+3)^{2}$
$B=(2 x)^{2}-(\sqrt{3})^{2}+x^{2}+2 \times x \times 3+3^{2}$
$B=4 x^{2}-3+x^{2}+6 x+9$
$ B=4 x^{2}+x^{2}+6 x+9-3$
$B=5 x^{2}+6 x+6$
2) Factorise les expressions suivantes : (1 + 1,5) pts
$A=49 x^{2}-28 x+4 $
$A=(7 x-2)^{2}$
$A=(7 x-2)(7 x-2)$
$B=x^{2}-9+ x+3$
$B=x^{2}-3^{2}+(x+3)$
$B=(x-3)(x+3)+(x+3) \times 1 $
$B=(x+3)(x-3+1) $
$B=(x+3)(x-2)$
3) Ecris les nombres suivants sous la forme $a^{n}$ : $(0,75 \times 2=1,5$ pts)
$A=\left(5^{2}\right)^{3} \times 2^{6}=5^{6} \times 2^{6}=(5 \times 2)^{6}=10^{6}$
$B=\frac{3^{-2} \times 3^{4}}{3^{5}}=\frac{3^{2}}{3^{5}}=3^{2-5}=3^{-3}$
4) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants: $(0,75 \times 2=1,5$ pts)
$A=9652,45 \times 10^{2}$
$A=9,65245 \times 10^{3} \times 10^{3} $
$A=9,65245 \times 10^{6}$
$B=0,0000013 \times {(10^{2})}^{4}$
$B=1,3 \times 10^{-6} \times 10^{8}$
$B=1,3 \times 10^{2}$
5) a) Montrer que : $\frac{3^{n-1} \times 9^{3 n+2}}{3^{5 n+4}}=3^{2 n-1}$ avec «n» un nombre entier naturel. 1 pts
$\frac{3^{n-1} \times 9^{3 n+2}}{3^{5 n+4}}=\frac{3^{n-1} \times\left(3^{2}\right)^{3 n+2}}{3^{5 n+4}} $
$=\frac{3^{n-1} \times 3^{6 n+4}}{3^{5 n+4}}$
$=\frac{3^{n-1+(6 n+4)}}{3^{5 n+4}} $
$=\frac{3^{7 n+3}}{3^{5 n+4}}$
$=3^{(7 n+3)-(5 n+4)} $
$=3^{7 n+3-5 n-4} $
$=3^{2 n-1}$
b/ Déduire la valeur de «n» tel que : $3^{2 n-1}=27$ 1 pts
$ 3^{2 n-1}=27$
$ 3^{2 n-1}=3^{3}$
Donc: $2 n-1=3$
$2 n=3+1$
$n=\frac{4}{2}=2$
Modèle N°3
Durée : 1 Heure
Exercice 1：(5pts)
Calculer et simplifier les expressions suivantes :
$A=-5+\frac{3}{2} \div 2-\frac{1}{4}$
$B=\left[-3^{-1}+\sqrt{2}^{-2}\right]^{-2}$
$C=\sqrt{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{5} \quad$
$ D=\sqrt{2^{2} \times 3^{2}+4^{2}-3}$
$E=\frac{\left(\sqrt{5}^{5}\right)^{2} \times\left(\sqrt{5}^{3}\right)^{-4}}{\sqrt{5}^{2}}$
$ F=\sqrt{80}+3 \sqrt{45}-2 \sqrt{125}$
Exercice 2：(2,5pts)
1) Simplifier l’expression suivante :
$ G=\frac{a^{-2} \times b \times\left(a^{2} \times b^{-1}\right)^{2}}{\left(a \times b^{-2}\right)^{-3}}(a \neq 0 \text { et } b \neq 0)$
2) Donner la notation scientifique du nombre $M$ :
$ M=\frac{2,5 \times 0,001 \times 900 \times 10^{3}}{15\times\left(10^{-2}\right)^{-3}}$
Exercice 3：(2,5pts)
Calculer et simplifier les expressions suivantes :
$H=(3 \sqrt{2}-5)^{2} $
$I=(4 \sqrt{2}+2 \sqrt{7})(4 \sqrt{2}-2 \sqrt{7}) $
$J=(\sqrt{5}+2 \sqrt{3})^{2}-(2 \sqrt{5}-\sqrt{3})(3 \sqrt{3}-\sqrt{5})$
Exercice 4：(5pts)
1) Développer et réduire les expressions suivantes :
$K=(x+5)^{2}-(x+2)(3 x+7)$
$L=(2 x+\sqrt{5})(2 x-\sqrt{5})-(x-2 \sqrt{2})^{2}$
$N=(\sqrt{7} x+3 \sqrt{3})(\sqrt{7} x-3 \sqrt{3})$
2) Factoriser les expressions suivantes:
$O=(x-1)(x+8)-3 x(x-1) $
$P=5 x^{2}-9-(3-\sqrt{5} x)(4 x-1)$
$Q=(4 x-7)^{2}+(4 x-7)(x-3)$
Exercice 5：(1,5pts)
1) Rendre rationnel le dénominateur de chaque cas :
$X=\frac{2}{3 \sqrt{2}} \quad ; \quad Y=\frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$
2) Simplifier :
$Z=\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{12}{\sqrt{3}}$
Exercice 6：(3,5pts)
On considère les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a=\sqrt{3+\sqrt{5}}\quad$ et $\quad b=\sqrt{3-\sqrt{5}}$
1) Calculer : $a^{2} \quad; \quad b^{2}\quad$ et $\quad a b$
2) En déduire la valeur de $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
3) a) Simplifier : $\sqrt{14+6 \sqrt{5}}$
b) En déduire la valeur du nombre $E$ tel que:
$E=(3 \sqrt{2}-\sqrt{10}) \sqrt{7+3 \sqrt{5}}$
Calculer et simplifier les expressions suivantes :
$A=-5+\frac{3}{2} \div 2-\frac{1}{4}$
$A=5+\frac{3}{2} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{4}$
$A=5+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$
$A=\frac{20+3-1}{4}$
$A=\frac{22: 2}{4: 2}$
$A=\frac{11}{2}$
$B=\left[-3^{-1}+\sqrt{2}^{-2}\right]^{-2}$
$B=\left[-\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}^{2}}\right]^{-2}$
$B=\left[-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right]^{-2}$
$B=\left[\frac{1}{6}\right]^{-2}$
$B=6^{2}$
$B=36$
$C=\sqrt{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{5} \quad$
$C=\sqrt{2×10×5} \quad$
$C=\sqrt{100} \quad$
$C=10 \quad$
$ D=\sqrt{2^{2} \times 3^{2}+4^{2}-3}$
$ D=\sqrt{4 \times 9+16-3}$
$ D=\sqrt{36+16-3}$
$ D=\sqrt{49}$
$ D=7$
$E=\frac{\left(\sqrt{5}^{5}\right)^{2} \times\left(\sqrt{5}^{3}\right)^{-4}}{\sqrt{5}^{2}}$
$E=\frac{\sqrt{5}^{10} \times\sqrt{5}^{-12}}{\sqrt{5}^{2}}$
$E=\frac{\sqrt{5}^{-2} }{\sqrt{5}^{2}}$
$E=\sqrt{5}^{-4}$
$E=\frac{1}{\sqrt{5}^{4}}$
$E=\frac{1}{\sqrt{5}^{2}×\sqrt{5}^{2}}$
$E=\frac{1}{5×5}$
$E=\frac{1}{25}$
$ F=\sqrt{80}+3 \sqrt{45}-2 \sqrt{125}$
$F=\sqrt{2^{2} \times 2^{2} \times 5}+3 \sqrt{3^{2} \times 5}-2 \sqrt{5^{2} \times 5}$
$F=4 \sqrt{5}+3 \times 3 \sqrt{5}-2 \times 5 \sqrt{5}$
$F=\sqrt{5}(4+9-10) $
$F=3 \sqrt{5}$
1) Simplifier l’expression suivante :
$ G=\frac{a^{-2} \times b \times\left(a^{2} \times b^{-1}\right)^{2}}{\left(a \times b^{-2}\right)^{-3}}(a \neq 0 \text { et } b \neq 0)$
$G=\frac{a^{-2} \times b \times a^{4} \times b^{-2}}{a^{-3} \times b^{6}}$
$G=a^{-2+4+3} \times b^{1-2-6}$
$G=a^{5} \times b^{-7}$
$G=\frac{a^{5}}{b^{7}}$
2) Donner la notation scientifique du nombre $M$ :
$ M=\frac{2,5 \times 0,001 \times 900 \times 10^{3}}{15 \times\left(10^{-2}\right)^{-3}}$
$M=\frac{2,5 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{2} \times 10^{3}}{15 \times 10^{6}}$
$M=\frac{2,5 \times 9}{15} \times 10^{-3+2+3-6} $
$M=1,5 \times 10^{-4}$
Calculer et simplifier les expressions suivantes :
$H=(3 \sqrt{2}-5)^{2} $
$I=(4 \sqrt{2}+2 \sqrt{7})(4 \sqrt{2}-2 \sqrt{7}) $
$J=(\sqrt{5}+2 \sqrt{3})^{2}-(2 \sqrt{5}-\sqrt{3})(3 \sqrt{3}-\sqrt{5})$
$H=(3 \sqrt{2}-5)^{2}$
$H=(3 \sqrt{2})^{2}-2 \times 3 \sqrt{2} \times 5+5^{2}$
$H=9 \times 2-30 \sqrt{2}+25$
$H=43-30 \sqrt{2}$
$I=(4 \sqrt{2}+2 \sqrt{7})(4 \sqrt{2}-2 \sqrt{7})$
$I=(4 \sqrt{2})^{2}-(2 \sqrt{7})^{2}$
$I=16 \times 2-4 \times 7$
$I=32-28$
$I=4$
$J=(\sqrt{5}+2 \sqrt{3})^{2}-(2 \sqrt{5}-\sqrt{3})(3 \sqrt{3}-\sqrt{5})$
$J=\sqrt{5}^{2} + 2\sqrt{5} \times 2 \sqrt{3}+(2 \sqrt{3})^{2}-(6 \sqrt{15}-2 \times 5-3 \sqrt{3}\times\sqrt{3}+\sqrt{15})$
$J=5 + 4\sqrt{15} +12-(6 \sqrt{15}-10-9+\sqrt{15})$
$J=17+4 \sqrt{15}-(7 \sqrt{15}-19)$
$J=17+4 \sqrt{15}-7 \sqrt{15}+19$
$J=36-3 \sqrt{15}$
1) Développer et réduire les expressions suivantes :
$K =(x+5)^{2}-(x+2)(3 x+7) $
$K=x^{2}+2 \times x \times 5+5^{2}-[x \times 3 x+x \times 7+2 \times 3 x+2 \times 7] $
$K=x^{2}+10 x+25-\left[3 x^{2}+7 x+6 x+14\right] $
$K=x^{2}+10 x+25-3 x^{2}-7 x-6 x-14$
$K=x^{2}-3 x^{2}+10 x-7 x-6 x+25-14$
$K=-2x^{2}-3 x+11$
$L =(2 x+\sqrt{5})(2 x-\sqrt{5})-(x-2 \sqrt{2})^{2}$
$L=(2 x)^{2}-(\sqrt{5})^{2}-\left(x^{2}-2 \times x \times 2 \sqrt{2}+(2 \sqrt{2})^{2}\right) $
$L=4 x^{2}-5-(x^{2}-4 \sqrt{2} x+8) $
$=4 x^{2}-5-x^{2}+4 \sqrt{2} x-8 $
$=3 x^{2}+4 \sqrt{2} x-13$
$N =(\sqrt{7} x+3 \sqrt{3})(\sqrt{7} x-3 \sqrt{3})$
$N =(\sqrt{7} x)^{2}-(3 \sqrt{3})^{2}$
$N =7 x^{2}-9 \times 3 $
$N =7 x^{2}-27$
2) Factoriser les expressions suivantes:
$O=(x-1)(x+8)-3 x(x-1) $
$O=(x-1)(x+8-3 x) $
$O=(x-1)(-2 x+8)$
$P=5 x^{2}-9-(3-\sqrt{5} x)(4 a-1) $
$P=(\sqrt{5} x-3)(\sqrt{5} x+3)-(3-\sqrt{5} x)(4 a-1) $
$P=(\sqrt{5} x-3)(\sqrt{5} x+3)+(-3+\sqrt{5} x)(4 x-1)$
$P=(\sqrt{5} x-3)[\sqrt{5} x+3+4 x-1]$
$P=(\sqrt{5} x-3)((\sqrt{5}+4) x+2)]$
$Q=(4 x-7)^{2}+(4 x-7)(x-3)$
$Q=(4 x-7)(4 x-7)}+(4 x-7)(x-3)$
$=Q=(4 x-7)(4 x-7+x-3)$
$=Q=(4 x-7)(5 x-10)$
1) Rendre rationnel le dénominateur de chaque cas :
$X=\frac{2}{3 \sqrt{2}}$
$X=\frac{2 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$X=\frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
$Y=\frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} $
$Y=\frac{(3+\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} $
$Y=\frac{(3+\sqrt{7})^{2}}{9-7}=\frac{(3+\sqrt{7})^{2}}{2}$
2) Simplifier :
$Z =\frac{3-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{12}{\sqrt{3}} $
$Z=\frac{(3-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} $
$Z=\frac{2-\sqrt{3}-2 \sqrt{3}+3}{4-3}+\frac{12 \sqrt{3}}{3}$
$Z=\frac{2-\sqrt{3}-2 \sqrt{3}+3}{1}+\frac{12 \sqrt{3}}{3}$
$Z=5-3 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}$
$Z=5 + \sqrt{3}$
On considère les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a=\sqrt{3+\sqrt{5}}\quad$ et $\quad b=\sqrt{3-\sqrt{5}}$
1) Calculer : $a^{2} \quad; \quad b^{2}\quad$ et $\quad a b$
$a^{2}=(\sqrt{3+\sqrt{5}})^{2} $
$a^{2}=3+\sqrt{5} $
$b^{2}=(\sqrt{3-\sqrt{5}})^{2}$
$b^{2}=3-\sqrt{5} ; car 3<\sqrt{5} $
2) En déduire la valeur de $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}$
$=\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}} $
$=\frac{6}{\sqrt{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}}}$
$=\frac{6}{\sqrt{9-5}}$
$=\frac{6}{2}=3$
3) a) Simplifier : $\sqrt{14+6 \sqrt{5}}$
$ \sqrt{14+6 \sqrt{5}}=\sqrt{5+9+6 \sqrt{5}} $
$ =\sqrt{3^{2}+2 \times 3 \times \sqrt{5}+\sqrt{5}^{2} }$
$ =\sqrt{(3+\sqrt{5})^{2}} $
$ =3+\sqrt{5}$
b) En déduire la valeur du nombre $E$ tel que:
$E=(3 \sqrt{2}-\sqrt{10}) \sqrt{7+3 \sqrt{5}}$
$E= \sqrt{2}(3-\sqrt{5}) \sqrt{7+3 \sqrt{5}}$
$E=(3-\sqrt{5}) \sqrt{2 \times 7+2 \times 3 \sqrt{5}}$
$E=(3-\sqrt{5}) \sqrt{14+6 \sqrt{5}}$
$E=(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) \quad(\text { car } \sqrt{14+6 \sqrt{5}}=3+\sqrt{5})$
$E=3^{2}-\sqrt{5}^{2}=9-5$
$E=4$