Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 3AC
Devoir Surveillé N°1-1
Mathématiques
3ème Année Collège
1 heure
20 points
Exercice 1 : (1 × 3 = 3 pts)
3 pts
1) Compléter ce qui suit (\(a\) et \(b\) sont des nombres réels; \(m\) et \(n\) sont des nombres relatifs non nuls).
\((a-b)(a+b) = \cdots\)
\(a^{n} \times b^{m} = \cdots\)
\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \cdots\)
Exercice 2 : (5 pts)
5 pts
1) Calculer ce qui suit : (0,5 + 0,5 + 1 = 2 pts)
\(\sqrt{169} = \cdots\)
\(\sqrt{(-7)^{2}} = \cdots\)
\(\sqrt{\sqrt{5} + 2} \times \sqrt{\sqrt{5} – 2} = \cdots\)
2) Écrire le nombre suivant sous la forme de \(a\sqrt{3}\) : (2 pts)
\(13\sqrt{3} + 5\sqrt{243} – 5\sqrt{300} = \cdots\)
3) Écrire le nombre suivant sans radical au dénominateur : (1 pt)
\(A = \frac{1}{\sqrt{5} – \sqrt{3}} = \cdots\)
Exercice 3 : (5 pts)
5 pts
1) Développer puis simplifier le maximum si possible : (1 + 1,5 = 2,5 pts)
\((x – 3)^{2} = \cdots\)
\((\sqrt{7}x + \sqrt{7})^{2} = \cdots\)
2) Factoriser les expressions suivantes : (1 + 1,5 = 2,5 pts)
\((7x)^{2} – 25 = \cdots\)
\(x^{2} + 2\sqrt{7}x + 7 = \cdots\)
Exercice 4 : (3 pts)
3 pts
1) Montrer que \(A = \frac{b}{a}\) (\(a\) et \(b\) sont des nombres réels non nuls). (1,5 pt)
\(A = b^{-5} \times \frac{a}{b^{-3}} \times (ab)^{3} \times a^{-5} = \cdots\)
2) Donner l’écriture scientifique de \(A\), sachant que \(a = 8 \times 10^{17}\) et \(b = 7 \times 10^{10}\). (1,5 pt)
Exercice 5 : (4 pts)
4 pts
1) Résoudre l’équation suivante : (2 pts)
\((x – 2)^{2} + 4x = 0\)
2) Montrer que : (2 pts)
\(\sqrt{11 – \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{200}}}} = 3\)
Corrigé du Devoir Surveillé N°1-1
Exercice 1 : (3 pts)
3 pts
1) Compléter ce qui suit (\(a\) et \(b\) sont des nombres réels; \(m\) et \(n\) sont des nombres relatifs non nuls).
\((a-b)(a+b) = \cdots\)
\((a-b)(a+b) = \color{#27ae60}{a^{2} – b^{2}}\)
✓ C’est l’identité remarquable : \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\)
\(a^{n} \times b^{m} = \cdots\)
\(a^{n} \times b^{m} = \color{#27ae60}{a^{n} \times b^{m}}\)
✓ On ne peut pas simplifier davantage car les bases sont différentes.
\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \cdots\)
\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \color{#27ae60}{\sqrt{ab}}\)
✓ Règle : \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
✅ Réponses finales :
\((a-b)(a+b) = a^{2} – b^{2}\) | \(a^{n} \times b^{m} = a^{n} \times b^{m}\) | \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
Exercice 2 : (5 pts)
5 pts
1) Calculer ce qui suit : (0,5 + 0,5 + 1 = 2 pts)
\(\sqrt{169}\)
\(\sqrt{169} = \color{#27ae60}{13}\)
\(\sqrt{(-7)^{2}}\)
\(\sqrt{(-7)^{2}} = \sqrt{49} = \color{#27ae60}{7}\)
\(\sqrt{\sqrt{5} + 2} \times \sqrt{\sqrt{5} – 2}\)
\(\sqrt{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} – 2)} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 – 2^2}\)
\(= \sqrt{5 – 4} = \sqrt{1} = \color{#27ae60}{1}\)
✓ Utilisation de l’identité : \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
2) Écrire le nombre suivant sous la forme de \(a\sqrt{3}\) : (2 pts)
\(13\sqrt{3} + 5\sqrt{243} – 5\sqrt{300}\)
\(\sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = \sqrt{81} \times \sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)
\(\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
Alors : \(13\sqrt{3} + 5 \times 9\sqrt{3} – 5 \times 10\sqrt{3}\)
\(= 13\sqrt{3} + 45\sqrt{3} – 50\sqrt{3}\)
\(= (13 + 45 – 50)\sqrt{3} = \color{#27ae60}{8\sqrt{3}}\)
3) Écrire le nombre suivant sans radical au dénominateur : (1 pt)
\(A = \frac{1}{\sqrt{5} – \sqrt{3}}\)
On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\) :
\(A = \frac{1}{\sqrt{5} – \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)
\(A = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{3})^2}\)
\(A = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 – 3} = \color{#27ae60}{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}}\)
✓ Utilisation de la quantité conjuguée pour rendre le dénominateur rationnel.
✅ Réponses finales :
\(\sqrt{169} = 13\) | \(\sqrt{(-7)^2} = 7\) | \(\sqrt{\sqrt{5} + 2} \times \sqrt{\sqrt{5} – 2} = 1\)
\(13\sqrt{3} + 5\sqrt{243} – 5\sqrt{300} = 8\sqrt{3}\) | \(A = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}\)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée de ce devoir.
Devoir Surveillé N°1-2
Exercice 1 : (3 pts)
3 pts1) Compléter ce qui suit : (0,5 × 6 = 3 pts)
\(\sqrt{a^{2}} = \cdots\)
\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \cdots\)
\((a + b)^{2} = \cdots\)
\(a^{2} – b^{2} = \cdots\)
\(\frac{a^{-2}}{a^{4}} = \cdots\)
\((a^{2})^{-3} = \cdots\)
Exercice 2 : (7 pts)
7 pts1) Calculer ce qui suit : (0,5 × 2 = 1 pt)
\(2\sqrt{18} = \cdots\)
\(\sqrt{\frac{49}{3}} \times \sqrt{3} = \cdots\)
2) Simplifier les expressions suivantes : (1 × 3 = 3 pts)
\(A = 2\sqrt{20} – 4\sqrt{5} + 3\sqrt{500}\)
\(B = -2\sqrt{48} + 5\sqrt{12} – \sqrt{75}\)
\(C = \sqrt{3\sqrt{100} – \sqrt{4^{2} + \sqrt{81}}}\)
3) Écrire les nombres suivants sans radical au dénominateur : (1 × 2 = 2 pts)
\(A = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}\)
\(B = \frac{2}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}\)
4) Résoudre l’équation suivante : (1 pt)
\(5x^{2} + 1 = 7\)
Exercice 3 : (10 pts)
10 pts1) Développer puis réduire les expressions suivantes : (1 + 1,5 = 2,5 pts)
\(A = (2\sqrt{5} – \sqrt{3}x)^{2}\)
\(B = (2x – \sqrt{2})(2x + \sqrt{2}) + (x + 3)^{2}\)
2) Factoriser les expressions suivantes : (1 + 1,5 = 2,5 pts)
\(A = 49x^{2} – 28x + 4\)
\(B = x^{2} – 9 + x + 3\)
3) Écrire les nombres suivants sous la forme \(a^{n}\) : (0,75 × 2 = 1,5 pt)
\(A = (5^{2})^{3} \times 2^{6} = \cdots\)
\(B = \frac{3^{-2} \times 3^{4}}{3^{5}} = \cdots\)
4) Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : (0,75 × 2 = 1,5 pt)
\(A = 9652,45 \times 10^{2}\)
\(B = 0,0000013 \times (10^{2})^{4}\)
5) a) Montrer que : \(\frac{3^{n-1} \times 9^{3n+2}}{3^{5n+4}} = 3^{2n-1}\) avec \(n\) un nombre entier naturel. (1 pt)
b) Déduire la valeur de \(n\) tel que : \(3^{2n-1} = 27\). (1 pt)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée de ce devoir.
Devoir Surveillé N°1-3
Exercice 1 : (5 pts)
5 ptsCalculer et simplifier les expressions suivantes :
\(A = -5 + \frac{3}{2} \div 2 – \frac{1}{4}\)
\(B = \left[-3^{-1} + \sqrt{2}^{-2}\right]^{-2}\)
\(C = \sqrt{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}\)
\(D = \sqrt{2^{2} \times 3^{2} + 4^{2} – 3}\)
\(E = \frac{(\sqrt{5}^{5})^{2} \times (\sqrt{5}^{3})^{-4}}{\sqrt{5}^{2}}\)
\(F = \sqrt{80} + 3\sqrt{45} – 2\sqrt{125}\)
Exercice 2 : (2,5 pts)
2,5 pts1) Simplifier l’expression suivante : (1,5 pt)
\(G = \frac{a^{-2} \times b \times (a^{2} \times b^{-1})^{2}}{(a \times b^{-2})^{-3}} \quad (a \neq 0 \text{ et } b \neq 0)\)
2) Donner la notation scientifique du nombre \(M\) : (1 pt)
\(M = \frac{2,5 \times 0,001 \times 900 \times 10^{3}}{15 \times (10^{-2})^{-3}}\)
Exercice 3 : (2,5 pts)
2,5 ptsCalculer et simplifier les expressions suivantes : (0,5 + 1 + 1 = 2,5 pts)
\(H = (3\sqrt{2} – 5)^{2}\)
\(I = (4\sqrt{2} + 2\sqrt{7})(4\sqrt{2} – 2\sqrt{7})\)
\(J = (\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^{2} – (2\sqrt{5} – \sqrt{3})(3\sqrt{3} – \sqrt{5})\)
Exercice 4 : (5 pts)
5 pts1) Développer et réduire les expressions suivantes : ( 2,5 pts)
\(K = (x + 5)^{2} – (x + 2)(3x + 7)\)
\(L = (2x + \sqrt{5})(2x – \sqrt{5}) – (x – 2\sqrt{2})^{2}\)
\(N = (\sqrt{7}x + 3\sqrt{3})(\sqrt{7}x – 3\sqrt{3})\)
2) Factoriser les expressions suivantes : ( 2,5 pts)
\(O = (x – 1)(x + 8) – 3x(x – 1)\)
\(P = 5x^{2} – 9 – (3 – \sqrt{5}x)(4x – 1)\)
\(Q = (4x – 7)^{2} + (4x – 7)(x – 3)\)
Exercice 5 : (1,5 pt)
1,5 pt1) Rendre rationnel le dénominateur de chaque cas : (0,75 pt)
\(X = \frac{2}{3\sqrt{2}} \quad ; \quad Y = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 – \sqrt{7}}\)
2) Simplifier : (0,75 pt)
\(Z = \frac{1 – \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{12}{\sqrt{3}}\)
Exercice 6 : (3,5 pts)
3,5 ptsOn considère les deux nombres réels \(a\) et \(b\) tels que :
\(a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} \quad \text{et} \quad b = \sqrt{3 – \sqrt{5}}\)
1) Calculer : \(a^{2} \quad ; \quad b^{2} \quad \text{et} \quad ab\) (1,5 pt)
2) En déduire la valeur de \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) (1 pt)
3) a) Simplifier : \(\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}\) (0,5 pt)
b) En déduire la valeur du nombre \(E\) tel que : (0,5 pt)
\(E = (3\sqrt{2} – \sqrt{10})\sqrt{7 + 3\sqrt{5}}\)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée de ce devoir.
Devoir Surveillé N°1-4
Exercice 1 : (3 pts)
3 ptsCalculer \(A\), \(B\) et \(C\) sachant que :
\(A = \left( \frac{3}{4} \right)^2 – \left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{-2}\)
\(B = \frac{1 – \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} – 3^{-1}\)
\(C = \frac{-8}{3} \times \frac{27}{8} + 3^2\)
Exercice 2 : (2 pts)
2 pts\(a\) est un nombre réel non nul.
Écrire \(E\) et \(F\) sous forme de puissances :
\(E = \left[ (-3)^2 \right]^4 \times \left( \frac{1}{9} \right)^{-2} \times (27)^{-3}\)
\(F = \frac{a^{-5} \times (a^2)^{5}}{a^3}\)
Exercice 3 : (3 pts)
3 pts\(a\) et \(b\) sont deux rationnels non nuls.
On pose :
\(M = \frac{(a^3 b^{-2})^{-3} \times b^3}{((a^2)^4 \times b^{-3})^{-2} \times a^5}\)
1) Montrer que \(M = a^2 b^3\). (1 pt)
2) Sachant que \(a = 4 \times 10^{-2}\) et \(b = 10^2\), calculer \(M\). (1 pt)
3) Donner l’écriture scientifique de \(M\). (1 pt)
Exercice 4 : (3 pts)
3 ptsOn pose :
\(N = (3x + 1)^2 – (x – 3)^2\)
1) Développer et réduire \(N\). (1,5 pt)
2) Prouver que : \(N = (4x – 2)(2x + 4)\). (1,5 pt)
Exercice 5 : (5 pts)
5 ptsDonner une écriture simplifiée de chacun des nombres suivants :
\(I = 2\sqrt{18} – 3\sqrt{50} + 5\sqrt{8}\)
\(J = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{5} – \sqrt{2})^2\)
\(K = \sqrt{\frac{9}{2}} + 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} – \sqrt{8} \times \sqrt{(2019)^2}\)
\(L = (\sqrt{3} + 2)^2 (7 – 4\sqrt{3}) \times 2020\)
\(M = \frac{\sqrt{15} \times \sqrt{42} \times \sqrt{44}}{\sqrt{77} \times \sqrt{18} \times \sqrt{5}}\)
Exercice 6 : (2 pts)
2 pts1) Développer et réduire \((3 – \sqrt{3})^2\). (1 pt)
2) En déduire la valeur de \(\sqrt{12 – 6\sqrt{3}} + \sqrt{3}\). (1 pt)
Exercice 7 : (2 pts)
2 ptsRendre rationnel le dénominateur de chacun des nombres suivants :
\(a = \frac{6}{\sqrt{2}} \quad ; \quad b = \frac{1}{2 – \sqrt{2}} \quad ; \quad c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}\)
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée de ce devoir.
Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 3AC