Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 Tronc commun
Modèle N°1
Durée : 2 heures
Exercice 1: (4 points)
Soit \( n \) un entier naturel.
- Étudier la parité des nombres suivants:\( A = 2n^2 + 8n + 11 \quad \text{et} \quad B = 5n – 7 \quad \text{et} \quad C = n^4 – n^2 \)
- Montrer que \( C \) est un multiple de 4. (remarquer que:\( n^4 – n^2 = (n^4 – n)(n^2 + n) \))
Exercice 2: (8 points)
- Déterminer les nombres premiers parmi la liste suivantes: 407 ; 623 ; 929
- Soient \( a \) et \( b \) deux entiers tels que : \( a = 252 \) et \( b = 336 \).
- Décomposer \( a \) et \( b \) en produit de facteurs premiers.
- Déterminer : \( a \lor b \) et \( a \land b \)
- Simplifier les deux nombres : \( \sqrt{ab} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} \)
Exercice 3: (5 points)
\( ABC \) est un triangle. Soient \( E, F \) et \( G \) trois points du plan tels que:
- Construire une figure convenable.
- Montrer que: \( \overrightarrow{EG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} – \frac{4}{3} \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} – \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \)
- En déduire que \( E, F \) et \( G \) sont alignés.
- Montrer que \( F \) est le milieu du segment \([EG]\).
Exercice 4: (3 points)
Soit \( E \) le point du plan tel que: \( ABC \) est un triangle. \( \overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AB} \)
- Construire \( E’ \) le projeté de \( E \) sur la droite (\( AC \)) parallèlement à (\( BC \)).
- Montrer que: \( \overrightarrow{AE’} = -2\overrightarrow{AC} \)
- En déduire que: \( \overrightarrow{EE’} = -2\overrightarrow{BC} \), puis déterminer la valeur de \( \frac{EE’}{BC} \)
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Modèle N°2
Durée : 2 heures
Questions indépendantes (6 points)
1) Calculer les nombres suivants :
a = \( \sqrt{20 – 12\sqrt{5}} + 2\sqrt{125} \)
b = \( \frac{2}{7} – \frac{1}{7} \times \frac{5}{3} + \frac{1}{3} \div \frac{7}{2} \)
c = \( \frac{x^{-1} \times (x^{2})^{3}}{x^{5}} \) avec \( x \in \mathbb{R}^{*} \)
2) Soit \( n \in \mathbb{N} \) :
a) Vérifier que : \( n^{2} + 3n + 3 = (n + 1)(n + 2) + 1 \)
b) En déduire que le nombre \( n^{2} + 3n + 3 \) est impair.
3) Soient m et n deux entiers naturels.
Montrer que le nombre \( (27m + 51n) \) n’est pas premier.
4) Factoriser :
A = \( x^{3} – 8 – 4(x^{2} – 4) + 5x – 10 \)
5) Soient A et B deux points distincts. E et F les points définis par :
\( 3\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \) et \( 3\overrightarrow{AF} = 5\overrightarrow{AB} \)
Montrer que B est le milieu du segment [EF].
Exercice 1 (4,5 points)
Soient deux entiers naturels a = 600 et b = 3780
1) Montrer que :
a = \( 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} \)
b = \( 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 \)
2) Déterminer :
a ∧ b et a ∨ b
3) Simplifier les nombres :
\( \frac{a}{b} \) et \( \sqrt{a \cdot b} \)
Exercice 2 (5 points)
ABCD un parallélogramme. M et N sont deux points du plan tels que :
\( \overrightarrow{DM} = \frac{5}{2} \overrightarrow{DA} \) et \( \overrightarrow{CN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DC} \)
1) Construire les points M et N.
2) Montrer que :
\( \overrightarrow{BM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{DA} – \overrightarrow{AB} \)
\( \overrightarrow{BN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \)
3) Exprimer \( \overrightarrow{BM} \) et \( \overrightarrow{BN} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \).
4) a) Établir que : \( 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{0} \)
b) En déduire que les points B, M et N sont alignés.
Exercice 3 (4,5 points)
1) On considère le nombre \( x \) tel que :
\( x = \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{10}{3 + \sqrt{3}} \)
Montrer que : \( x \in \mathbb{N} \).
2) a) Développer :
\( (\sqrt{5} + 1)^{2} \) puis \( (\sqrt{5} – 1)^{2} \)
b) En déduire la simplification des nombres :
\( \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \) puis \( \sqrt{6 – 2\sqrt{5}} \)
c) Calculer le nombre :
\( y = (\sqrt{5} – 2 + \sqrt{\sqrt{5} + 2})^{2} \)
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Modèle N°3
Durée : 2 heures
Exercice 1 (6 points)
On considère les deux nombres \( a = 14700 \) et \( b = 16500 \)
1). Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \( a \) et \( b \).
2). En déduire \(\text{ppcm}(a,b)\) et \(\text{pgcd}(a,b)\).
3). Déterminer le nombre de diviseurs de \( a \).
4). Simplifier \(\sqrt{ab}\) et \(\frac{a}{b}\)
5). Montrer que \( 3a \) est un carré parfait.
6). Avec l’Algorithme d’Euclide, déterminer \(\text{pgcd}(630,726)\).
Exercice 2 (4 points)
Soit \( n \) un nombre entier naturel.
1). Soient \( x = n^2 – n + 1 \) et \( y = 6n^3 + 8 \)
a). Étudier la parité de \( x \) et \( y \) et déduire la parité de \( x + y \) et \( x \times y \)
2). Montrer que le nombre \( A = 4^{2n} + 16^{n+1} – 4^{2n+1} \) est multiple de 13.
3). Montrer que \( 239 \) est un nombre premier.
Exercice 3 (4 points)
1). \( a \) et \( b \) deux entiers naturels premiers entre eux.
Montrer que \( 2a + b \) et \( a \) sont premiers entre eux.
2). Déterminer tous les nombres entiers naturels \( x \) et \( y \) tel que : \( x^2 – 4y^2 = 12 \)
3). \( n \) un nombre entier naturel avec \( n \geq 4 \).
Montrer que si \( 4 \) divise \( n – 3 \) alors \( 8 \) divise \( n^2 – 1 \)
4). Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). Montrer que \( n(n – 2)(n – 1) \) est multiple de 3.
Exercice 4 (3 points)
\( ABCD \) un parallélogramme et \( M \) un point de \([BC]\) tel que \( \overrightarrow{BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \).
\( N \) est le projeté de \( M \) sur la droite (\( DC \)) parallèlement à (\( BD \)). La droite (AM) coupe (DC) en le point \( E \).
1). Faites une figure.
2). Montrer que \( \overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE} \).
3). En utilisant la projection montrer que \( \overrightarrow{DN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{DC} \).
Exercice 5 (2 points)
Soit \( ABC \) un triangle et soient \( I \), \( J \) et \( K \) les milieux de \([BC]\), \([AC]\) et \([AB]\) respectivement.
Faire une figure et montrer que : \( \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} \)
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Modèle N°4
Durée : 2 heures
Exercice 1
1- On considère les nombres suivants : a = 1008 et b = 16200
– Déterminer PGCD(a,b) et PPCM(a,b)
2- a et b et n sont des nombres réels tels que : a = 2n + 8 et b = 4n + 7
2-1 Étudier la parité de a et b.
2-2 Montrer que le nombre a + b est un multiple de 3.
3- Soit n un entier naturel, on pose : A = n² + 5n + 7
3-1 Montrer que : A = (n + 1)(n + 3) + 1
3-2 Déduire la parité de A.
Exercice 2
1- Simplifier les nombres suivants :
A = \( \frac{4}{3\sqrt{7}} + \frac{5\sqrt{63}}{75} – \frac{3\sqrt{28}}{27} + (-\sqrt{7})^3 \)
B = \( \frac{(10^{58} \times 2)^{23} \times 25^{-3}}{2} \)
2- x et y sont deux nombres réels, factoriser A et B :
A = \( (4x – 3)^2 – (x + 2)^2 \)
B = \( x^2 – y^2 + 2x + 1 \)
Exercice 3
1- Soit C un nombre négatif tel que : C = \( \sqrt{4 – \sqrt{7}} – \sqrt{4 + \sqrt{7}} \)
1-1 Calculer C².
1-2 Déduire la valeur de C.
2- On pose : D = \( \sqrt{9 – 4\sqrt{5}} \) et E = \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \)
2-1 Développer \( (2 + \sqrt{5})^2 \) et \( (2 – \sqrt{5})^2 \)
2-2 Simplifier D et E.
Exercice 4
Soit ABCD un parallélogramme, on considère les deux points E et F tels que :
\( \overrightarrow{AF} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{CE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{CD} \)
1- Construire la figure.
2- Montrer que :
\( \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \)
\( \overrightarrow{BE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{DA} – \overrightarrow{AB} \)
3- Calculer le vecteur \( \overrightarrow{BE} \) en fonction de \( \overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{AB} \)
4- Calculer le vecteur \( \overrightarrow{BE} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \)
5- Déduire que les points B et E et F sont alignés.
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Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 Tronc commun