Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 Tronc commun
Devoir Surveillé N°1-1
Exercice 1 : Arithmétique dans \(\mathbb{N}\) & Nombres premiers
4 pts
1. Décomposer les entiers 540 et 396 en produits de facteurs premiers, puis déterminer \(\text{PGCD}(540; 396)\) et \(\text{PPCM}(540; 396)\). (2 pts)
2. Les nombres 607 et 997 sont-ils premiers ? Justifier votre réponse. (2 pts)
Exercice 2 : Parité & Divisibilité
4 pts
1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(n^2 + n + 3\) est un nombre impair. (2 pts)
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\) :
a) S’assurer que : \(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n+1)(n+2)\). (1 pt)
b) Montrer que le nombre \(n^3 + 3n^2 + 2n\) est divisible par 3. (1 pt)
Exercice 3 : Systèmes d’équations & Divisibilité
4 pts
Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels tels que \(m > n\).
1. Montrer que \(m + n\) et \(m – n\) ont la même parité. (1.5 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) l’équation : \(m^2 – n^2 = 96\). (2.5 pts)
Exercice 4 : Calcul vectoriel dans le plan
5 pts
Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Soit \(I\), \(J\) et \(E\) des points tels que : \(\vec{BI} = \frac{1}{4}\vec{BA}\), \(\vec{AJ} = \frac{3}{2}\vec{AD}\) et \(\vec{BE} = -\frac{1}{2}\vec{BA}\).
1. Construire la figure. (1 pt)
2. Montrer que \(\vec{OI} = -\frac{1}{4}\vec{BA} – \frac{1}{2}\vec{BC}\) et que \(\vec{OJ} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \vec{BC}\). En déduire que les points \(O\), \(I\) et \(J\) sont alignés. (2 pts)
3. Montrer que \(I\) est le milieu du segment \([AE]\). (1 pt)
4. Montrer que \((IJ) // (CE)\). (1 pt)
Exercice 5 : Projection & Alignement
3 pts
Soit \(ABCD\) un parallélogramme tel que \(AD = 6\text{ cm}\). Soit \(I\) et \(J\) deux points tels que \(\vec{AI} = -\frac{1}{4}\vec{AB}\) et \(AJ = 4{,}5\text{ cm}\) avec \(J \in [AD]\). Soit \(K\) l’intersection de \((AC)\) et \((IJ)\). On considère \(B’\) et \(D’\) les projections de \(B\) et \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((IJ)\).
1. Construire la figure, puis montrer que \(\vec{AJ} = \frac{3}{4}\vec{AD}\). (1 pt)
2. Montrer que \([AC]\) et \([B’D’]\) ont le même milieu. (0.5 pt)
3. Montrer que \(\vec{AK} = -\frac{1}{4}\vec{AB’}\) et \(\vec{AK} = \frac{3}{4}\vec{AD’}\). (0.75 pt)
4. Exprimer \(\vec{AC}\) en fonction de \(\vec{AK}\). (0.75 pt)
Exercice 1 : Arithmétique & Nombres premiers (4 pts)
Corrigé
1. Décomposition en facteurs premiers et PGCD / PPCM
(2 pts)
Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers
- Pour 540 : On divise successivement par les nombres premiers.
\(540 = 2 \times 270 = 2 \times 2 \times 135 = 2^2 \times 3 \times 45 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 15 = 2^2 \times 3^2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^3 \times 5\). - Pour 396 : \(396 = 2 \times 198 = 2 \times 2 \times 99 = 2^2 \times 3 \times 33 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 11 = 2^2 \times 3^2 \times 11\).
Étape 2 : Calcul du PGCD
- On prend les facteurs communs avec le plus petit exposant.
- Facteurs communs : \(2^2\) et \(3^2\).
- \(\text{PGCD}(540; 396) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\).
Étape 3 : Calcul du PPCM
- On prend tous les facteurs avec le plus grand exposant.
- Facteurs : \(2^2\), \(3^3\), \(5\), \(11\).
- \(\text{PPCM}(540; 396) = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 11 = 4 \times 27 \times 5 \times 11 = 5940\).
2. Primalité de 607 et 997
(2 pts)
Méthode : Pour vérifier qu’un nombre est premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.
Pour 607 :
- \(\sqrt{607} \approx 24,6\). Les nombres premiers à tester sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- 607 n’est divisible par aucun d’eux (pas pair, pas multiple de 3, pas de 5, etc.).
- Conclusion : 607 est un nombre premier.
Pour 997 :
- \(\sqrt{997} \approx 31,6\). Les nombres premiers à tester sont jusqu’à 31.
- 997 n’est divisible par aucun de ces nombres premiers.
- Conclusion : 997 est un nombre premier.
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Devoir Surveillé N°1-2
Exercice 1
4 pts
1. Soit \(n\) un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants :(2 pts)
2. Montrer que \(C\) est un multiple de 4. (Remarquer que : \( n^4 – n^2 = (n^2 – n)(n^2 + n) \)) (2 pts)
Exercice 2
8 pts
1. Déterminer les nombres premiers parmi la liste suivante : 407 ; 623 ; 929. (2 pts)
2. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que : \(a = 252\) et \(b = 336\).
a) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers. (2 pts)
b) Déterminer : \(a \lor b\) (PPCM) et \(a \land b\) (PGCD). (2 pts)
c) Simplifier les deux nombres : \(\sqrt{ab}\) et \(\frac{a}{b}\). (2 pts)
Exercice 3
5 pts
\(ABC\) est un triangle. Soient \(E\), \(F\) et \(G\) trois points du plan tels que :
1. Construire une figure convenable. (0.5 pt)
2. Montrer que : \(\overrightarrow{EG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} – \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). (2 pts)
3. En déduire que \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés. (1.5 pts)
4. Montrer que \(F\) est le milieu du segment \([EG]\). (1 pt)
Exercice 4
3 pts
Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(E\) le point du plan tel que : \(\overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AB}\).
1. Construire \(E’\) le projeté de \(E\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). (0.5 pt)
2. Montrer que : \(\overrightarrow{AE’} = -2\overrightarrow{AC}\). (1.5 pts)
3. En déduire que : \(\overrightarrow{EE’} = -2\overrightarrow{BC}\), puis déterminer la valeur de \(\frac{EE’}{BC}\). (1 pt)
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Devoir Surveillé N°1-3
Questions indépendantes
7 pts
1) Calculer les nombres suivants : (2 pts)
a) \( \sqrt{29 – 12\sqrt{5}} + 2\sqrt{125} \) (1 pt)
b) \( \frac{2}{7} – \frac{1}{7} \times \frac{5}{3} + \frac{1}{3} \div \frac{7}{2} \) (0.5 pt)
c) \( \frac{x^{-1} \times (x^{2})^{3}}{x^{5}} \) avec \( x \in \mathbb{R}^{*} \) (0.5 pt)
2) Soit \( n \in \mathbb{N} \) : (2 pts)
a) Vérifier que : \( n^{2} + 3n + 3 = (n + 1)(n + 2) + 1 \) (1 pt)
b) En déduire que le nombre \( n^{2} + 3n + 3 \) est impair. (1 pt)
3) Soient m et n deux entiers naturels. (1 pt)
Montrer que le nombre \( (27m + 51n) \) n’est pas premier.
4) Factoriser : (1 pt)
A = \( x^{3} – 8 – 4(x^{2} – 4) + 5x – 10 \)
5) Soient A et B deux points distincts. E et F les points définis par : (1 pt)
\( 3\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \) et \( 3\overrightarrow{AF} = 5\overrightarrow{AB} \)
Montrer que B est le milieu du segment [EF].
Exercice 1
4 pts
Soient deux entiers naturels a = 600 et b = 3780
1) Montrer que : (1.5 pts)
a = \( 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} \)
b = \( 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 \)
2) Déterminer : (1 pt)
a ∧ b (PGCD) et a ∨ b (PPCM)
3) Simplifier les nombres : (1.5 pts)
\( \frac{a}{b} \) et \( \sqrt{a \cdot b} \)
Exercice 2
5 pts
ABCD un parallélogramme. M et N sont deux points du plan tels que :
\( \overrightarrow{DM} = \frac{5}{2} \overrightarrow{DA} \) et \( \overrightarrow{CN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DC} \)
1) Construire les points M et N. (0.5 pt)
2) Montrer que : (1.5 pts)
\( \overrightarrow{BM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{DA} – \overrightarrow{AB} \)
\( \overrightarrow{BN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \)
3) Exprimer \( \overrightarrow{BM} \) et \( \overrightarrow{BN} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \). (1 pt)
4) a) Établir que : \( 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{0} \) (1 pt)
b) En déduire que les points B, M et N sont alignés. (1 pt)
Exercice 3
4 pts
1) On considère le nombre \( x \) tel que : (1 pt)
\( x = \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{10}{3 + \sqrt{3}} \)
Montrer que : \( x \in \mathbb{N} \).
2) a) Développer : (1 pt)
\( (\sqrt{5} + 1)^{2} \) puis \( (\sqrt{5} – 1)^{2} \)
b) En déduire la simplification des nombres : (1 pt)
\( \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \) puis \( \sqrt{6 – 2\sqrt{5}} \)
c) Calculer le nombre : (1 pt)
\( y = (\sqrt{5} – 2 + \sqrt{\sqrt{5} + 2})^{2} \)
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Devoir Surveillé N°1-4
Exercice 1
6 pts
On considère les deux nombres \( a = 14700 \) et \( b = 16500 \)
1). Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \( a \) et \( b \). (1.5 pts)
2). En déduire \(\text{ppcm}(a,b)\) et \(\text{pgcd}(a,b)\). (1 pt)
3). Déterminer le nombre de diviseurs de \( a \). (1 pt)
4). Simplifier \(\sqrt{ab}\) et \(\frac{a}{b}\) (1 pt)
5). Montrer que \( 3a \) est un carré parfait. (0.5 pt)
6). Avec l’Algorithme d’Euclide, déterminer \(\text{pgcd}(630,726)\). (1 pt)
Exercice 2
4 pts
Soit \( n \) un nombre entier naturel.
1). Soient \( x = n^2 – n + 1 \) et \( y = 6n^3 + 8 \)
a). Étudier la parité de \( x \) et \( y \) et déduire la parité de \( x + y \) et \( x \times y \) (2 pts)
2). Montrer que le nombre \( A = 4^{2n} + 16^{n+1} – 4^{2n+1} \) est multiple de 13. (1 pt)
3). Montrer que \( 239 \) est un nombre premier. (1 pt)
Exercice 3
4 pts
1). \( a \) et \( b \) deux entiers naturels premiers entre eux.
Montrer que \( 2a + b \) et \( a \) sont premiers entre eux. (1 pt)
2). Déterminer tous les nombres entiers naturels \( x \) et \( y \) tel que : \( x^2 – 4y^2 = 12 \) (1.5 pts)
3). \( n \) un nombre entier naturel avec \( n \geq 4 \).
Montrer que si \( 4 \) divise \( n – 3 \) alors \( 8 \) divise \( n^2 – 1 \) (0.75 pt)
4). Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). Montrer que \( n(n – 2)(n – 1) \) est multiple de 3. (0.75 pt)
Exercice 4
3 pts
\( ABCD \) un parallélogramme et \( M \) un point de \([BC]\) tel que \( \overrightarrow{BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \).
\( N \) est le projeté de \( M \) sur la droite (\( DC \)) parallèlement à (\( BD \)). La droite (AM) coupe (DC) en le point \( E \).
1). Faites une figure. (0.5 pt)
2). Montrer que \( \overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE} \). (1.25 pts)
3). En utilisant la projection montrer que \( \overrightarrow{DN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{DC} \). (1.25 pts)
Exercice 5
2 pts
Soit \( ABC \) un triangle et soient \( I \), \( J \) et \( K \) les milieux de \([BC]\), \([AC]\) et \([AB]\) respectivement.
Faire une figure et montrer que : \( \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} \) (2 pts)
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Devoir Surveillé N°1-5
Exercice 1
6 pts
1- On considère les nombres suivants : a = 1008 et b = 16200 (2 pts)
– Déterminer PGCD(a,b) et PPCM(a,b)
2- a et b et n sont des nombres réels tels que : a = 2n + 8 et b = 4n + 7 (2 pts)
2-1 Étudier la parité de a et b. (1 pt)
2-2 Montrer que le nombre a + b est un multiple de 3. (1 pt)
3- Soit n un entier naturel, on pose : A = n² + 5n + 7 (2 pts)
3-1 Montrer que : A = (n + 1)(n + 3) + 1 (1 pt)
3-2 Déduire la parité de A. (1 pt)
Exercice 2
4 pts
1- Simplifier les nombres suivants : (2 pts)
A = \( \frac{4}{3\sqrt{7}} + \frac{5\sqrt{63}}{75} – \frac{3\sqrt{28}}{27} + (-\sqrt{7})^3 \) (1 pt)
B = \( \frac{(10^{58} \times 2)^{23} \times 25^{-3}}{2} \) (1 pt)
2- x et y sont deux nombres réels, factoriser A et B : (2 pts)
A = \( (4x – 3)^2 – (x + 2)^2 \) (1 pt)
B = \( x^2 – y^2 + 2x + 1 \) (1 pt)
Exercice 3
5 pts
1- Soit C un nombre négatif tel que : C = \( \sqrt{4 – \sqrt{7}} – \sqrt{4 + \sqrt{7}} \) (2 pts)
1-1 Calculer C². (1 pt)
1-2 Déduire la valeur de C. (1 pt)
2- On pose : D = \( \sqrt{9 – 4\sqrt{5}} \) et E = \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) (3 pts)
2-1 Développer \( (2 + \sqrt{5})^2 \) et \( (2 – \sqrt{5})^2 \) (1 pt)
2-2 Simplifier D et E. (2 pts)
Exercice 4
5 pts
Soit ABCD un parallélogramme, on considère les deux points E et F tels que :
\( \overrightarrow{AF} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{CE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{CD} \)
1- Construire la figure. (0.5 pt)
2- Montrer que : (1.5 pts)
\( \overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \)
\( \overrightarrow{BE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{DA} – \overrightarrow{AB} \)
3- Calculer le vecteur \( \overrightarrow{BE} \) en fonction de \( \overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{AB} \) (1 pt)
4- Calculer le vecteur \( \overrightarrow{BE} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \) (1 pt)
5- Déduire que les points B et E et F sont alignés. (1 pt)
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Devoirs Corrigés Maths N°1 S1 Tronc commun