Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 2AC

Devoir N°1 Semestre 2

Modèle N°1

Exercice 1：$(9 \mathrm{pts})$

$1)$ Réduire les expressions suivantes : $(1+1=2 \mathrm{pts})$

$4 x+4-3 x-4=$

$3 x^{2}+2 x-x^{2}-5 x+4=$ $\qquad$

$2)$ Développer et réduire les expressions suivantes : $(1+1+1=3 \mathrm{pts})$

$4(x-3)=$

$-3(-x+8)+5=$

$(x+1)(2 x-4)$

$3)$ Factoriser au maximum les expressions suivantes : $(1+1+1+1=4 \mathrm{pts})$

$7 x-7 y=$

$5 x+5=$

$6 x^{2}+12 x=$

$\frac{3}{5} x-\frac{7}{15} x^{2}=$  

Exercice 2：$(9 \mathrm{pts})$

$1)$ Soit l’équation suivante $2(x+1)+14=10+5 x$.

$a)$ 0 est-il solution de l’équation ? $(1 \mathrm{pt})$

$b)$ 2 est-il solution de l’équation ? $(1 \mathrm{pt})$

$2)$ Résoudre les équations suivantes : $(2+2=4 \mathrm{pts})$

$5x+6=-2x-1$

$\frac{3}{4} +\frac{x}{2}=\frac{5}{8}$

$3)$ Déterminer la valeur de $x$ pour que le périmètre du rectangle soit égal à 27 cm . $(2 \mathrm{pts})$

Exercice 3：$(3 \mathrm{pts})$

$1)$ Développer : $(0,5+0,5=1 \mathrm{pt})$

$(a+b)^{2}=$

$(x+\frac{2}{3})^{2}=$

$2)$ Factoriser : $(0,5+0,5=1 \mathrm{pt})$

$a^{2}-b^{2}=$

$25-x^{2}=$

$3)$ Déduire les solutions de l’équation $25-x^{2}=0$. $(1 \mathrm{pt})$

$1)$

$ 4 x+4-3 x-4=4 x-3 x+4-4=x $

$ 3 x^{2}+2 x-x^{2}-5 x+4=3 x^{2}-x^{2}+2 x-5 x+4=2 x^{2}-3 x+4$

$2)$

$4(x-3)=4 \times x-4 \times 3=4 x-12$

$-3(-x+8)+5=-3 \times(-x)-3 \times 8+5=3 x-24+5=3 x-19$

$(x+1)(2 x-4)=x \times 2 x-x \times 4+1 \times 2 x-1 \times 4=2 x^{2}-4 x+2 x-4=2 x^{2}-2 x-4$

$3)$ 

$ 7 x-7 y=7(x-y) $

$ 5 x+5=5 \times x+5 \times 1=5(x+1) $

$ 6 x^{2}+12 x=6 x \times x+6 x \times 2=6 x(x+2) $

$ \frac{3}{5} x-\frac{7}{15} x^{2}=\frac{1}{5} x \times 3-\frac{1}{5} x \times \frac{7}{3} x=\frac{1}{5} x\left(3-\frac{7}{3} x\right)$

$1)$-$a)$

$ 2(0+1)+14=10+5 \times 0 $

$ 2 \times(1)+14=10+0 $

$ 16=10 \text { impossible }$

$ \text { Donc } 0 \text { n’est une solution de l’équation }$

$b)$ 2 est-il solution ?

$2(2+1)+14=10+5 \times 2$

$2 \times(3)+14=10+10$

$20=20$

Donc 2 est une solution de l’équation

$2)$

$5 x+6=-2 x-1$

$5 x+2 x=-1-6$

$7 x=-7$

$x=\frac{-7}{7}=-1$

L’équation admet une solution $x=-1$

$\frac{6}{8}+\frac{4 x}{8}=\frac{5}{8}$

$6+4 x=5$

$4 x=5-6$

$4 x=-1$

L’équation admet une solution $x=\frac{-1}{4}$

$3)$

$2(\text { Largeur }+ \text { Longueur })=27 $

$2( x+(x+3))=27 $

$2 x+2(x+3)=27 $

$4 x=21 $

$ \text { la valeur de } x \text { est } \frac{21}{4}$

$1)$ 

$ (a+b)^{2}=a^{2}+2 \times a \times b+b^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

$ \left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=x^{2}+2 \times x \times \frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=x^{2}+\frac{4}{3} x+\frac{4}{9}$

$2)$

$ a^{2}-b^{2}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b}) $

$ 25-x^{2}=5^{2}-x^{2}=(x-5)(x+5)$

$3)$ Déduire les solutions de l’équation $25-x^{2}=0$.

$25-x^{2}=0 $

$(x-5)(x+5)=0 $

$x-5=0  \text { Ou }  x+5=0$

Donc l’équation admet deux solutions $x=5$ et $x=-5$

Modèle N°2

Exercice 1：$(10 \mathrm{pts})$

$1)$ Développe puis réduis les expressions suivantes : $(6×1 \mathrm{pts}=6\mathrm{pts})$

$A=2 x(1-x)$

$B=3 x(5 x-1)-2 x(5 x+2) $

$C=(2 x-1)(x+3)$

$D=(3 x-2)^{2} $

$E=(x-3)(x+3) $

$F=(2 x-5)(2 x+5)-(2 x+3)^{2} $

$2)$ Factoriser les expressions suivantes : $(4×1 \mathrm{pts}=4\mathrm{pts})$

$ G=36 x^{2}+12 x \quad $

$H=\left(x-\frac{9}{7}\right)(x-3)+\left(x-\frac{9}{7}\right)(x+10)$

$I=x^{2}-8 x+16 $

$J=9 x^{2}-100$

Exercice 2：$(9 \mathrm{pts})$

$1)$ On donne l’expression suivante : $E=16-(2 x+3)^{2}$

$a)$ Développer et réduire $\boldsymbol{E}$.

$b)$ Factoriser $\boldsymbol{E}$.

$c)$ Calculer la valeur de $\boldsymbol{E}$ pour $x=\frac{1}{2}$

$2)$ Soit $x$ et $y$ deux nombres rationnels :

• Montrer que : $\quad(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$

Exercice 3：$(3 \mathrm{pts})$

MNP$ est un triangle rectangle en $M$ tels que : $MN= 4 cm$ et $MP= 3 cm$

Soit $C$ le milieu de $[PN]$.

$1)$ Faire une figure.

$2)$ Quel est l’orthocentre du triangle $MNP$ ?

$3)$ Construire le point $G$ centre de gravité du triangle

$4)$ Calculer $MG$  sachant que :$ MC= 6 cm$

$1)$

$A  =2 x(1-x) $
$= 2 x \times 1-2 x \times x $
$ =2 x+2 x^{2} $

$B =3 x(5 x-1)-2 x(5 x+2) $
$ =3 x \times 5 x-3 x \times 1-2 x \times 5 x-2 \times 3 x $
$ =15 x^{2}-3 x-10 x^{2}-4 x $
$ =5 x^{2}-7 x$

$C=(2 x-1)(x+3)$
$=2 x \times x+2 x \times 3-1 \times x-1 \times 3$
$=2 x^{2}+6 x-x-3$
$=2 x^{2}+5 x-3$

$D=(3 x-2)^{2}$
$=(3 x)^{2}-2 \times 3 x \times 2+2^{2}$
$=9 x^{2}-12 x+4$

$E=(x-3)(x+3)$
$=x^{2}-3^{2}$
$=x^{2}-9$

$ F=(2 x-5)(2 x+5)-(2 x+3)^{2} $
$ =(2 x)^{2}-5^{2}-\left((2 x)^{2}-2 \times 2 x \times 3+3^{2}\right) $
$ =4 x^{2}-25-\left(4 x^{2}-12 x+9\right) $
$ =4 x^{2}-25-4 x^{2}+12 x-9 $
$ =12 x-34$

$2)$

$G=36 x^{2}+12 x=6 x \times 6 x+6 x \times 2=6 x(6 x+2)$

$H=\left(x-\frac{9}{7}\right)(x-3)+\left(x-\frac{9}{7}\right)(x+10)$

$H=\left(x-\frac{9}{7}\right)(x-3+x+10)$

$H=\left(x-\frac{9}{7}\right)(2 x+7)$

$I=x^{2}-2 \times x \times 4+4^{2}=(x-4)^{2}=(x-4)(x-4)$

$J=9 x^{2}-100=(3 x)^{2}-10^{2}=(3 x-10)(3 x+10)$

$1)- a)$

$E  =16-(2 x+3)^{2}=16-\left((2 x)^{2}+2 \times 2 x \times 3+3^{2}\right) $

$ =16-\left(4 x^{2}+12 x+9\right)=16-4 x^{2}-12 x-9 $

$=-4 x^{2}-12 x+7$

$b)$

$E =4^{2}-(2 x+3)^{2}=(4-(2 x+3))(4+(2 x+3)) $

$E =(1-2 x)(7+2 x) $

$c)$

$E =\left(1-2 \times \frac{1}{2}\right)\left(7+2 \times \frac{1}{2}\right)=(1-1)(7+1)=0$

$2)$

$ (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}+x^{2}-2 x y+y^{2} $

$ =2 x^{2}+2 y^{2}=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$

$1)$ Faire une figure.

$2)$   L’orthocentre d’un triangle rectangle est de manière évidente le sommet où se trouve l’angle droit, donc le point $M$

$3)$ 

$4)$ $MG = \frac{MC}{3} = \frac{6}{3} = 2cm$

Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 2AC