Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 3AC

Examen local N°5

Exercice 1：$(5pts)$

$1)$ Calculer: $(1pt)$

$a=5^{-2}-\frac{26}{25}$ et $b=\left[3^{-1} \times \sqrt{6}^{2}\right]^{3}$

$2)$ Simplifier et calculer: $(4pts)$

$ d=3 \sqrt{27}-4 \sqrt{12}+\sqrt{48} $

$ f=\sqrt{\sqrt{5}-2} \times \sqrt{\sqrt{5}+2} $

$ e=(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+1) $

$ g=1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}-\sqrt{5}}$

Exercice 2：$(3,5pts)$

$1)$ Comparer les nombres $\sqrt{1+\frac{1}{8}}$ et $3 \sqrt{\frac{1}{8}}$ puis $-2 \sqrt{7}$ et $-4 \sqrt{2}$  $(1,5pts)$

• Déduire la comparaison des nombres : $(0,5pt)$

$\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ et $\frac{1}{2 \sqrt{7}}$

$2)$$ x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $(1,5pts)$

$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$ et $-5 \leqslant x \leqslant-3$

• Encadrer :$x y$ ; $y-x$ ; $2 y+x$

Exercice 3：$(4pts)$

$A B C D$ est un parallélogramme de centre $O$.

Sachant que : $A B=8, M$ est un point de $[A B]$ et $N$ est un point de $[AD] $ tel que $\frac{A N}{A D}=\frac{3}{4}$ et $(M N)$ parallèle à (BD).

$1)$ Calculer $A M$ et $M N$ sachant que : $B D=9,6$.  $(2pts)$

$2)$ $F $est le milieu de $[BC] $, montrer que: $(Q F) / /(D C)$ puis calculer $O F$. $(2pts)$

Exercice 4：$(2,5pts)$

$b$ est la mesure d’un angle aigu tel que : $2 \cos (b)=\sin (b)$

$1)$ Calculer : $\boldsymbol{\operatorname { t a n } ( b ) , \operatorname { s i n } ( b )}$ et $\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(b)$. $(2pts)$

$2)$ Calculer: $M=1+\frac{3}{\sqrt{3}} \sin \left(35^{\circ}\right)-\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right)$. $(0,5pt)$

Exercice 5：$(3pts)$

$ABC$ est un triangle et $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC) $ tel que :
$A H=4, B H=2$ et $\tan (x)=\frac{1}{2}$.


$1)$ Montrer que : $A B=2 \sqrt{5}, A C=4 \sqrt{5}$ et $C H=8$  $(2,25pts)$

$2$ Montrer que le triangle $A B C$ est rectangle en $A$. $(0,75pt)$

Exercice 6：$(2pts)$

$(C)$ est un cercle de centre $O$ et $\widehat{E O N}=110^{\circ}$

$1)$ Calculer le mesure des angles $\widehat{E M N}$ et $\widehat{E F N}$.

$2)$ Comparer les angles $\widehat{M E F}$ et $\widehat{M N F}$.

Devoir N°1 Semestre 2

Modèle N°1

Exercice 1：$(5×0,5=2,5$ pts)

  Souligner la bonne réponse

$1)$ L’équation $3 x+1=2 x+1$ a pour solution : $ 0 \quad$ ; $ \quad \frac{2}{5} \quad $ ; $ \quad \frac{-2}{5}$

$2)$ $-1$ c’est la solution de l’inéquation  $-2 \mathrm{x}+1<0 \quad $ ; $ \quad 2 \mathrm{x}+1<0 \quad $ ; $ \quad 2 \mathrm{x}+1>0$ 

$3)$ Si $A, B$ et $C$ trois points du plant alors :  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} \quad $ ; $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}} \quad $ ; $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$4)$ Si $M$ est le milieu de $[\mathrm{AB}]$ alors :  $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{0} \quad $  ; $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{0} \quad $ ;  $ \quad \mathrm{AM}+\mathrm{BM}=0$

$5)$ $ABCD$ est un parallélogramme,alors :

– $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

– $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{0}$

– $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DC}} $

Exercice 2：$(8,5$ pts)

$1)$ Résoudre les équations suivantes. $(1.5+2=3.5 \mathrm{pts})$

$7 x-1=3 x+15$

$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{4}\right)=-(\sqrt{3} x-4)$

$2)$ Résoudre l’inéquation suivante et représenter les solutions sur une droite graduée. $(2+1=3 \mathrm{pts})$

$2x-7<1+3x$

$3)$ Le périmètre d’un triangle mesure $150 cm$. le deuxième côté mesure $30cm$ de plus que le premier et le troisième côté mesure $6 cm$ de moins que le Quelles sont les longueurs des trois côtés. $(2pts)$

Indication : noté la mesure du premier coté par 𝑥

Exercice 3：$(2,5 + 1,5+ 1,5+1,5=7$ pts)

$1)$ Tracer un carré $ABCD$ de côté $5cm$ puis construire les points $E$ et $F$ les images respectives des points $B$ et $D$ par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{AC}} $           

$2)$ Simplifier (le maximum) l’expression suivante en utilisant seulement les points de la  la figure.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} $ + $\overrightarrow{\mathrm{BE}} $+$\overrightarrow{\mathrm{ED}} $ +$\overrightarrow{\mathrm{CB}} $

$3)$ Montrer que le point $C$ est le milieu de $[DE]$. 

$4)$ Donner en justifiant votre réponse l’image de triangle $ADB$.

Exercice 4：$(1+ 1 = 2$ pts)

On considère l’expression : $D= (2x + 3)^2 − (x − 4)^2 $ 

$1)$ Montrer que : $𝐷 = (3𝑥 − 1)(𝑥 + 7)$       

$2)$ Résoudre l’équation $(2𝑥 + 3)^2 − (𝑥 − 4)^2 = 0$

 $1)$  $ 0 \quad$

$2)$  $ \quad 2 \mathrm{x}+1<0 \quad $ 

$3)$  $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$4)$ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{0} \quad $ 

$5)$  B est l’image de A par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{DC}} $

$1)$

$7 x-1=3 x+15$

$7 x-3 x=15+1 $

$4 x=16 $

$x=\frac{16}{4}$

L’équation admet une solution $x=4$

$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{4}\right)=-(\sqrt{3} x-4) $

$4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} x+4 \times \frac{1}{4}=-(\sqrt{3} x-4) $

$2 \sqrt{3} x+1=-\sqrt{3} x+4$

$2)$

$2 x-3 x<1+7 $
$-x<8 $
$x>-8$

Les solutions de cette inéquations sont tous les nombres réels strictement supérieurs à -8

$3)$ Appelons les côtés du triangle :

  • $a$ : le premier côté.
  • $b$ : le deuxième côté, qui mesure $30 cm$ de plus que le premier : $b=a+30$ .
  • $c$ : le troisième côté, qui mesure $6 cm$ de moins que le premier : $c=a−6$.

Le périmètre du triangle est la somme des trois côtés :

$a+b+c=150$

En remplaçant $b$ et $c$ par leurs expressions en fonction de $a$ :

$a+(a+30)+(a−6)=150$

Étapes de résolution :

  1. Simplifions l’équation :

$3a+24=150$

  1. Isolons $a$ :

$3a=150−24⇒3a=126$

$a = \frac{126}{3} = 42$

Valeurs des côtés :

$a=42 cm$

$b=a+30=42+30=72 cm$

$c=a−6=42-6=36 cm$

Conclusion :

Les longueurs des côtés du triangle sont :

  • $42 cm$
  • $72 cm$
  • $36 cm$

$1)$

$2)$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{0}$

$3)$ E est l’image du point B par la translation de vecteur $\overrightarrow{A C}$

Donc $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C E}$ $(1)$

Aussi ABCD est un carré, donc $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C} \quad$ $(2)$

D’après $(1)$ et $(2)$ $\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{C E} \quad$ c’est-à-dire que $C$ est le milieu de [DE]

$4)$  les points $E, F$ et $C$ les images respectives des points $B, D$ et $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{A C}$.

$1)$

$D=(2 x+3)^{2}-(x-4)^{2}$

$D=(2 x+3-(x-4))(2 x+3+(x-4))$

$D=(2 x+3-x+4)(2 x+3+x-4)$

$D=(x+7)(3 x-)$

$2)$ Résoudre l’équation $(2 x+3)^{2}-(x-4)^{2}=0$.

$(x+7)(3 x-1)=0$

$(x+7)=0$ Ou $(3 x-1)=0$

$x=-7 \quad$ Ou $\quad x=\frac{1}{3}$

L’équation admet deux solutions -7 et $\frac{1}{3}$

Modèle N°2

Exercice 1：$(9 pts)$

$1)$ Résoudre les équations suivantes : $(5 pts)$

$5 x-7=3 $

$8(x-3)=4 x+1 $

$(4 x-3)(2 x+9)=0 $

$16 x^{2}-4=0$

$2)$ Résoudre les inéquations suivantes : $(4 pts)$

$-9 x+5 ≥ 12$

$6 x-4 \leq-3 x+7$

$\frac{6 x-7}{3}<\frac{2 x-1}{5}$

Exercice 2： $(1+1+1,5+1+1+1+2=8,5pts)$

$ABC$ est un triangle

$1)$ Construire le point $M$ tel que : $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$2)$ Construire le point $N$ l’image de $C$ par la translation qui transforme $B$ en A .

$3)$ Montrer que $C$ est le milieu du segment [MN]

$4)$$a)$ Construire le point $E$ tel que : $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$b)$ Construire le point $F$ tel que: $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

$c)$ Construire le point $A’$ l’image de $A$ par la translation qui transforme $C$ en B .

$d)$ Montrer que les points $E$ et $F$ et $A^{\prime}$ sont alignés

Exercice 3：$(2 pts)$

Rachid a $11$ ans et son frère a $26$ ans.

Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Rachid?

$1)$

$ 5 x-7=3 $

$ 5 x=3+7 $

$ x=\frac{10}{5}=2$

L’équation admet une solution $x=2$

$8(x-3)=4 x+1 $

$8 x-24=4 x+1 $

$8 x-4 x=24+1 $

$4 x=25 $

$x=\frac{25}{4}$

L’équation admet une solution $x=\frac{25}{4}$

$(4 x-3)(2 x+9)=0 $

$(4 x-3)=0 \quad $  Ou $ \quad  (2 x+9)=0 $

$4 x=3 \quad $  Ou $ \quad 2 x=-9 $

$x=\frac{3}{4} \quad $ Ou  $ \quad x=\frac{-9}{2}$

L’équation admet deux solutions $x=\frac{3}{4}$ et $x=\frac{-9}{2}$

$16 x^{2}-4=0 $

$(4 x)^{2}-2^{2}=0 $

$(4 x-2)(4 x+2)=0 $

$(4 x-2)=0 \quad $ Ou $ \quad (4 x+2)=0$

 $4 x=2 \quad $  Ou $\quad 4 x=-2$

$x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}  \quad $ Ou $ \quad x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} $

L’équation admet deux solutions $x=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{-1}{2}$

$2)$

$-9 x+5 \geq 12 $

$-9 x \geq 12-5 $

$-9 x \geq 7 $

$x \leq \frac{7}{-9}$

Les solutions de cette inéquations sont tous les nombres réels inférieurs ou égaux à $-\frac{7}{9}$

$6 x-4 \leq-3 x+7 $

$6 x+3 x \leq 7+4 $

$9 x \leq 11 $

$x \leq \frac{11}{9}$

Les solutions de cette inéquations sont tous les nombres réels inférieurs ou
égaux à $\frac{11}{9}$

$\frac{6 x-7}{3} <\frac{2 x-1}{5} $

$\frac{5(6 x-7)}{15}  <\frac{3(2 x-1)}{15} $

$5(6 x-7)  <3(2 x-1) $

$30 x-35  <6 x-3 $

$30 x-6 x  <-3+35 $

$24 x  <31 $

$x  <\frac{31}{24}$

Les solutions de cette inéquations sont tous les nombres réels strictement inférieurs à $\frac{31}{24}$

$1)$ 

$2)$


$3)$

• $N$ l’image de $C$ par la translation qui transforme $B$ en $\mathbf{A}$,c’est à dire que : $\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C N} \quad $ $(1)$

• $ABMC$ est un parallélogramme, c’est à dire que :
$\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{M C} \quad $ $(2)$

Alors d’après $(1)$ et $(2)$ $: \overrightarrow{M C}=\overrightarrow{C N}$

Donc $C$ est le milieu du segment $ [MN]$

$4)$-$a)$

 


$b)$

$c)$

$d)$

On a :$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}A}}= \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

Alors : $\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}+\overrightarrow{\mathrm{EA}}= \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= \overrightarrow{\mathrm{BC}} -\overrightarrow{\mathrm{EA}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BF}} +\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}} +\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AA^{\prime}}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}F}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= -\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}F}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}E}}= \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A^{\prime}F}}$

Donc  les points E et F et A’ sont alignés

$1.$ Le choix de l’inconnue : $(0,5 pt)$

Soit x le nombre d’années

$2.$ La mise en équation : $(0,5 pt)$

$ (x+26) = 2(x+11) $

$3.$ Résolution de l’équation : $(0,5 pt)$

$ x + 26 = 2x + 22$

$  x – 2x = 22 – 26$

$  -x = -4$

$ x = 4$

$4.$ conclusion : $(0,5 pt)$

Dans $4$ ans l’âge du frère sera le double de celui de Rachid.

Modèle N°3

Exercice 1：$(9 pts)$

$1)$ Résoudre les équations suivantes : $(1+1+1,5=4,5pts)$

$4 x-5=2x+2 $

$(3x-2)(5-x)=0 $

$\frac{2 x+2}{5}-\frac{3x}{10}=\frac{1}{2}$

$2)$ Résoudre les inéquations suivantes : $(1,5+1,5=3pts)$

$2 x-5 ≥ x+2$

$2(x+3)>3(2x-4)$

$3)$ Un parc de loisirs propose deux tarifs: $\begin{aligned} & \text { Tarif } 1 \text { : } 70 \text { Dh par entrée } \\ & \text { Tarif } 2 \text { : un abonnement annuel de } 350 \text { Dh puis } 20 \text { Dh par entrée }\end{aligned}$

• A partir de combien d’entrées le tarif 2 est-elle plus avantageuse que le tarif 1 ?

Exercice 2： $(1+1+1,5+1+1+1+2=8,5pts)$

$I-$ Simplifier les écritures des vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles:

* $\overrightarrow{\boldsymbol{C B}}+\overrightarrow{\boldsymbol{D A}}+\overrightarrow{\boldsymbol{B D}}=$

** $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C B}=$

$II-$ Soit $A B C$ un triangle.

$1)$ Construis le point $E$ tel que : $\overrightarrow{A E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$

$2)$ Construis le point $F$ tel que $: \overrightarrow{\boldsymbol{E F}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\boldsymbol{C B}}$

$3)$ Construis le point $H$ tel que $: \overrightarrow{A H}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$

$4)$ Montrer que $(E F) / /(B C)$

$5)$ Montrer que : $\overrightarrow{\boldsymbol{E F}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$

$6)$ Montrer que : $\overrightarrow{\boldsymbol{E H}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$

$7)$ Déduire que $E, F$ et $H$ sont des points alignés .

Exercice 3：$(2 pts)$

Soit $A B C$ un triangle et $T$ la translation qui transforme le point $B$ au point $C$.

$1)$ Construis le point $E$ l’image du point $A$ par la translation $T$.

$2)$ Construis le point $D$ l’image du point $C$ par la translation $T$.

$3)$ Déterminer l’image du triangle $A B C$ par la translation $T$. Justifie.

$1)$ 

• $4 x-5=2x+2 $

$4 x-2x=2+5 $

$2x=7 $

$x=\frac{7}{2}$

L’équation admet une solution : $x=\frac{7}{2}$

• $(3x-2)(5-x)=0 $

Soit $(3x-2)=0 $ ou $(5-x)=0 $

Donc : $x=\frac{2}{5} $ ou $x=5 $

L’équation admet deux solutions : $x=\frac{2}{5} $ et $x=5 $

• $\frac{2 x+2}{5}-\frac{3x}{10}=\frac{1}{2}$

 $\frac{2(2 x+2)}{10}-\frac{3x}{10}=\frac{5}{10}$

 $2(2 x+2)-3x=5$

$4x+4-3x=5$

$x=1$

L’équation admet une solution : $x=1$

$2)$ Résoudre les inéquations suivantes : $(1,5+1,5=3pts)$

• $2 x-5 ≥ x+2$

$2 x-x ≥ 2+5$

$x ≥ 7$

Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres réels superieurs ou égaux à $7$

• $2(x+3)>3(2x-4)$

$2x+6>6x-12$

$2x-6x>-6-12$

$-4x>-18$

$x<\frac{18}{4}$

$x<\frac{9}{2}$

Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres réels inferieurs ou égaux à $\frac{9}{2}$

$3)$

Soit x  le nombre d’entrées.

Tarif 1 : Chaque entrée coûte $70 Dh$, donc le coût total est : $𝐶1 = 70 x $

Tarif 2 : L’abonnement coûte $350 Dh$ et chaque entrée supplémentaire coûte $20 Dh$, donc le coût total est : $𝐶2 = 350 + 20 x$ 

Nous devons trouver à partir de quelle valeur de le tarif 2 devient plus avantageux, c’est-à-dire lorsque : $𝐶 2 < 𝐶 1$ 

​Substituons les expressions : $ 350 + 20 x < 70x$ 

Résolvons cette inéquation : $ 350 < 70 x − 20 x$

$350 < 50x $

$\frac{350}{50}<x$

$7<x$

 Donc, à partir de 8 entrées, le tarif 2 devient plus avantageux.

$I-$

$ \overrightarrow{\boldsymbol{C B}}+\overrightarrow{\boldsymbol{D A}}+\overrightarrow{\boldsymbol{B D}}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{\boldsymbol{B D}}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{\boldsymbol{C A}}$

$\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C B}=$

$ =\overrightarrow{\boldsymbol{A B}}+\overrightarrow{\boldsymbol{D B}}+\overrightarrow{\boldsymbol{C A}}-\overrightarrow{\boldsymbol{C B}}+\overrightarrow{\boldsymbol{B C}} $

$ =\overrightarrow{\overrightarrow{A B}}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C A} $

$ =\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C A} $

$ =\overrightarrow{A A}+\overrightarrow{D B} $

$ =\overrightarrow{\mathbf{0}}+\overrightarrow{D B} $

$ =\overrightarrow{D B}$

$II-$

$1)$

$2)$

$3)$

$4)$ On a : $\overrightarrow{\boldsymbol{E F}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\boldsymbol{C B}}$

C’est-à-dire que :

$\overrightarrow{E F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$

Donc les vecteurs $\overrightarrow{E F}$ et $\overrightarrow{B C}$ sont colinéaires.

Alors $(EF) // (BC)$

$5)$

On a: $\overrightarrow{E F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$

$\overrightarrow{E F}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C})$

$\overrightarrow{E F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}$

Donc : $\overrightarrow{E F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$

$6)$

On a : $\overrightarrow{A H}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$

$\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E H}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$

$\overrightarrow{E H}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A E}$

$\overrightarrow{E H}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B} \quad$, car $\overrightarrow{A E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$

$\overrightarrow{E H}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}+\frac{2}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$

Donc: $\overrightarrow{E H}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$

$7)$

$\overrightarrow{E H}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$

$\overrightarrow{E F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$

La relation entre les deux vecteurs $\overrightarrow{\boldsymbol{E F}}$ et $\overrightarrow{\boldsymbol{E H}}$ est :

$\overrightarrow{E F}=3\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right)$

$\overrightarrow{E F}=3 \overrightarrow{E H}$

Donc les points E,F et $H$ sont alignés.

$1)$ et $2)$

$4)$

On a le point $E$ l’image du point $A$ par la translation $T$.

Et le point $C$ l’image du point $B$ par la translation $T$.

Et le point $D$ l’image du point $C$ par la translation $T$.

Alors : l’image du triangle $A B C$ par la translation $T$ est le triangle $ECD$

Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 3AC