Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 3AC

Examen local N°5

Exercice 1：$(5pts)$

$1)$ Calculer: $(1pt)$

$a=5^{-2}-\frac{26}{25}$ et $b=\left[3^{-1} \times \sqrt{6}^{2}\right]^{3}$

$2)$ Simplifier et calculer: $(4pts)$

$ d=3 \sqrt{27}-4 \sqrt{12}+\sqrt{48} $

$ f=\sqrt{\sqrt{5}-2} \times \sqrt{\sqrt{5}+2} $

$ e=(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+1) $

$ g=1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}-\sqrt{5}}$

Exercice 2：$(3,5pts)$

$1)$ Comparer les nombres $\sqrt{1+\frac{1}{8}}$ et $3 \sqrt{\frac{1}{8}}$ puis $-2 \sqrt{7}$ et $-4 \sqrt{2}$  $(1,5pts)$

• Déduire la comparaison des nombres : $(0,5pt)$

$\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ et $\frac{1}{2 \sqrt{7}}$

$2)$$ x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $(1,5pts)$

$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$ et $-5 \leqslant x \leqslant-3$

• Encadrer :$x y$ ; $y-x$ ; $2 y+x$

Exercice 3：$(4pts)$

$A B C D$ est un parallélogramme de centre $O$.

Sachant que : $A B=8, M$ est un point de $[A B]$ et $N$ est un point de $[AD] $ tel que $\frac{A N}{A D}=\frac{3}{4}$ et $(M N)$ parallèle à (BD).

$1)$ Calculer $A M$ et $M N$ sachant que : $B D=9,6$.  $(2pts)$

$2)$ $F $est le milieu de $[BC] $, montrer que: $(Q F) / /(D C)$ puis calculer $O F$. $(2pts)$

Exercice 4：$(2,5pts)$

$b$ est la mesure d’un angle aigu tel que : $2 \cos (b)=\sin (b)$

$1)$ Calculer : $\boldsymbol{\operatorname { t a n } ( b ) , \operatorname { s i n } ( b )}$ et $\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(b)$. $(2pts)$

$2)$ Calculer: $M=1+\frac{3}{\sqrt{3}} \sin \left(35^{\circ}\right)-\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right)$. $(0,5pt)$

Exercice 5：$(3pts)$

$ABC$ est un triangle et $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC) $ tel que :
$A H=4, B H=2$ et $\tan (x)=\frac{1}{2}$.


$1)$ Montrer que : $A B=2 \sqrt{5}, A C=4 \sqrt{5}$ et $C H=8$  $(2,25pts)$

$2$ Montrer que le triangle $A B C$ est rectangle en $A$. $(0,75pt)$

Exercice 6：$(2pts)$

$(C)$ est un cercle de centre $O$ et $\widehat{E O N}=110^{\circ}$

$1)$ Calculer le mesure des angles $\widehat{E M N}$ et $\widehat{E F N}$.

$2)$ Comparer les angles $\widehat{M E F}$ et $\widehat{M N F}$.

Devoir N°1 Semestre 2

Modèle N°1

Exercice 1：$(5×0,5=2,5$ pts)

  Souligner la bonne réponse

$1)$ L’équation $3 x+1=2 x+1$ a pour solution : $ 0 \quad$ ; $ \quad \frac{2}{5} \quad $ ; $ \quad \frac{-2}{5}$

$2)$ $-1$ c’est la solution de l’inéquation  $-2 \mathrm{x}+1<0 \quad $ ; $ \quad 2 \mathrm{x}+1<0 \quad $ ; $ \quad 2 \mathrm{x}+1>0$ 

$3)$ Si $A, B$ et $C$ trois points du plant alors :  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} \quad $ ; $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}} \quad $ ; $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$4)$ Si $M$ est le milieu de $[\mathrm{AB}]$ alors :  $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{0} \quad $  ; $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{0} \quad $ ;  $ \quad \mathrm{AM}+\mathrm{BM}=0$

$5)$ $ABCD$ est un parallélogramme,alors :

– $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

– $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{0}$

– $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DC}} $

Exercice 2：$(8,5$ pts)

$1)$ Résoudre les équations suivantes. $(1.5+2=3.5 \mathrm{pts})$

$7 x-1=3 x+15$

$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{4}\right)=-(\sqrt{3} x-4)$

$2)$ Résoudre l’inéquation suivante et représenter les solutions sur une droite graduée. $(2+1=3 \mathrm{pts})$

$2x-7<1+3x$

$3)$ Le périmètre d’un triangle mesure $150 cm$. le deuxième côté mesure $30cm$ de plus que le premier et le troisième côté mesure $6 cm$ de moins que le Quelles sont les longueurs des trois côtés. $(2pts)$

Indication : noté la mesure du premier coté par 𝑥

Exercice 3：$(2,5 + 1,5+ 1,5+1,5=7$ pts)

$1)$ Tracer un carré $ABCD$ de côté $5cm$ puis construire les points $E$ et $F$ les images respectives des points $B$ et $D$ par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{AC}} $           

$2)$ Simplifier (le maximum) l’expression suivante en utilisant seulement les points de la  la figure.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} $ + $\overrightarrow{\mathrm{BE}} $+$\overrightarrow{\mathrm{ED}} $ +$\overrightarrow{\mathrm{CB}} $

$3)$ Montrer que le point $C$ est le milieu de $[DE]$. 

$4)$ Donner en justifiant votre réponse l’image de triangle $ADB$.

Exercice 4：$(1+ 1 = 2$ pts)

On considère l’expression : $D= (2x + 3)^2 − (x − 4)^2 $ 

$1)$ Montrer que : $𝐷 = (3𝑥 − 1)(𝑥 + 7)$       

$2)$ Résoudre l’équation $(2𝑥 + 3)^2 − (𝑥 − 4)^2 = 0$

 

$1)$  $ 0 \quad$

$2)$  $ \quad 2 \mathrm{x}+1<0 \quad $ 

$3)$  $ \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$4)$ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{0} \quad $ 

$5)$  B est l’image de A par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{DC}} $

$1)$

$7 x-1=3 x+15$

$7 x-3 x=15+1 $

$4 x=16 $

$x=\frac{16}{4}$

L’équation admet une solution $x=4$

$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{4}\right)=-(\sqrt{3} x-4) $

$4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} x+4 \times \frac{1}{4}=-(\sqrt{3} x-4) $

$2 \sqrt{3} x+1=-\sqrt{3} x+4$

$2)$

$2 x-3 x<1+7 $
$-x<8 $
$x>-8$

Les solutions de cette inéquations sont tous les nombres réels strictement supérieurs à -8

$3)$ Appelons les côtés du triangle :

  • $a$ : le premier côté.
  • $b$ : le deuxième côté, qui mesure $30 cm$ de plus que le premier : $b=a+30$ .
  • $c$ : le troisième côté, qui mesure $6 cm$ de moins que le premier : $c=a−6$.

Le périmètre du triangle est la somme des trois côtés :

$a+b+c=150$

En remplaçant $b$ et $c$ par leurs expressions en fonction de $a$ :

$a+(a+30)+(a−6)=150$

Étapes de résolution :

  1. Simplifions l’équation :

$3a+24=150$

  1. Isolons $a$ :

$3a=150−24⇒3a=126$

$a = \frac{126}{3} = 42$

Valeurs des côtés :

$a=42 cm$

$b=a+30=42+30=72 cm$

$c=a−6=42-6=36 cm$

Conclusion :

Les longueurs des côtés du triangle sont :

  • $42 cm$
  • $72 cm$
  • $36 cm$

$1)$

$2)$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{0}$

$3)$ E est l’image du point B par la translation de vecteur $\overrightarrow{A C}$

Donc $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C E}$ $(1)$

Aussi ABCD est un carré, donc $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C} \quad$ $(2)$

D’après $(1)$ et $(2)$ $\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{C E} \quad$ c’est-à-dire que $C$ est le milieu de [DE]

$4)$  les points $E, F$ et $C$ les images respectives des points $B, D$ et $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{A C}$.

$1)$

$D=(2 x+3)^{2}-(x-4)^{2}$

$D=(2 x+3-(x-4))(2 x+3+(x-4))$

$D=(2 x+3-x+4)(2 x+3+x-4)$

$D=(x+7)(3 x-)$

$2)$ Résoudre l’équation $(2 x+3)^{2}-(x-4)^{2}=0$.

$(x+7)(3 x-1)=0$

$(x+7)=0$ Ou $(3 x-1)=0$

$x=-7 \quad$ Ou $\quad x=\frac{1}{3}$

L’équation admet deux solutions -7 et $\frac{1}{3}$

Modèle N°2

Exercice 1：$(9 pts)$

$1)$ Résoudre les équation suivantes : $(5 pts)$

$5 x-7=3 $

$8(x-3)=4 x+1 $

$(4 x-3)(2 x+9)=0 $

$16 x^{2}-4=0$

$2)$ Résoudre les inéquation suivantes : $(4 pts)$

$-9 x+5 ≥ 12$

$6 x-4 \leq-3 x+7$

$\frac{6 x-7}{3}<\frac{2 x-1}{5}$

Exercice 2： $(1+1+1,5+1+1+1+2=8,5pts)$

$ABC$ est un triangle

$1)$ Construire le point $M$ tel que : $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$2)$ Construire le point $N$ l’image de $C$ par la translation qui transforme $B$ en A .

$3)$ Montrer que $C$ est le milieu du segment [MN]

$4)$$a)$ Construire le point $E$ tel que : $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$b)$ Construire le point $F$ tel que: $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

$c)$ Construire le point $A’$ l’image de $A$ par la translation qui transforme $C$ en B .

$d)$ Montrer que les points $E$ et $F$ et $A^{\prime}$ sont alignés

Exercice 3：$(2 pts)$

Rachid a $11$ ans et son frère a $26$ ans.

Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Rachid?

1_Résoudre les équation suivantes :

2_Résoudre les inéquations suivantes :

ABC est un triangle
1- Construire le point M tel que :

2- Construire le point N l’image de C par la translation qui transforme B en A .


3- Montrer que C est le milieu du segment [MN].


4-a- Construire le point E tel que:


b- Construire le point F tel que:


c- Construire le point A’ l’image de A par la translation qui transforme C en B .

d- Montrer que les points E et F et A’ sont alignés

Rachid a 11 ans et son frère a 26 ans.
Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Rachid ?

1. Le choix de l’inconnue : 0,5 pts

Soit x le nombre d’années

2. La mise en équation : 0,5 pt

 (x+26) = 2(x+11) = 

3. Résolution de l’équation : 0,5 pt

 x + 26 = 2x + 22

  x – 2x = 22 – 26

  -x = -4

  x = 4

4. conclusion : 0,5

Dans 4 ans l’âge du frère sera le double de celui de Rachid.

 

 

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