Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 Tronc commun
EXERCICE 1
(9 pts)I. Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O.
1. Trouver les abscisses curvilignes principales des points :
\(A\left(\frac{267\pi}{6}\right)\) et \(B\left(\frac{-238\pi}{3}\right)\) et \(C\left(\frac{25\pi}{4}\right)\)
2. Déterminer la mesure principale des mesures suivantes :
\(\left(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}}\right)\) et \(\left(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OA}}\right)\) et \(\left(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}}\right)\)
3. Déterminer \(\cos\left(\overline{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}}\right)\) et \(\sin\left(\overline{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OA}}\right)\)
4. Représenter les points A, B et C sur le cercle trigonométrique.
II. On pose :
\(A(x) = 3\cos(x+3\pi) – 2\sin(x+\pi) + \cos\left(\frac{9\pi}{2}+x\right) + 2\sin\left(\frac{9\pi}{2}-x\right)\)
1. Montrer que : \(A(x) = \sin(x) – \cos(x)\)
2. Calculer : \(A(0)\), \(A\left(-\frac{\pi}{2}\right)\) et \(A\left(\frac{13\pi}{2}\right)\)
3. Montrer que : \(\left[A(x)\right]^2 = \frac{(1-\tan x)^2}{1+\tan^2 x}\)
EXERCICE 2
(7 pts)1. Résoudre dans l’intervalle I les équations et les inéquations suivantes :
- • \(2\cos(x) – 1 = 0\) et \(2\cos(x) – 1 < 0\) ; avec \(I = [0;2\pi]\)
- • \(\sqrt{2}\sin(x) + 1 = 0\) et \(\sqrt{2}\sin(x) + 1 \geq 0\) ; avec \(I = [-\pi;\pi]\)
- • \(3\tan(x) – 3 = 0\) et \(3\tan(x) – 3 \leq 0\) ; avec \(I = [0;2\pi]\)
2. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation suivante : \(\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0\)
3. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation suivante : \((2\cos(x)-1)(3\tan(x)-3) < 0\)
EXERCICE 3
(4 pts)1) a) Résoudre dans ℝ le système suivant :
\(\begin{cases} 4x – 3y = -1 \\ 9x – 5y = 3 \end{cases}\)
b) En déduire les solutions du système :
\(\begin{cases} 4\sqrt{x} – \frac{3}{2y-1} = -1 \\ 9\sqrt{x} – \frac{5}{2y-1} = 3 \end{cases}\)
2) Résoudre graphiquement le système suivant :
\(\begin{cases} x – 2y + 1 > 0 \\ x + y – 3 < 0 \end{cases}\)
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EXERCICE 1
(9 pts)
I. Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O.
1. Trouver les abscisses curvilignes principales des points :
\(A\left(\frac{-3\pi}{4}\right)\) et \(B\left(5\pi\right)\) et \(C\left(\frac{2003\pi}{2}\right)\)
2. Déterminer la mesure principale des mesures suivantes :
\(\left(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}}\right)\) et \(\left(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OA}}\right)\) et \(\left(\widehat{\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}}\right)\)
3. Déterminer \(\cos\left(\overline{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}}\right)\) et \(\sin\left(\overline{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}}\right)\)
4. Représenter les points A, B et C sur le cercle trigonométrique.
II. Soit \(x \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right[\) , on considère l’expression suivante :
\(B(x) = \cos^2(x) + \sin(3\pi – x) \times \sin(4\pi + x) + 2\cos\left(\frac{5\pi}{2}+x\right) \times \cos(x)\)
1. Montrer que : \(B(x) = 1 – 2\sin(x)\cos(x)\)
2. Calculer : \(B(0)\), \(B\left(\frac{\pi}{4}\right)\) et \(B\left(\frac{13\pi}{2}\right)\)
3. Montrer que : \(B(x) = 1 – \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\)
EXERCICE 2
(7 pts)
1. Résoudre dans l’intervalle I les équations et les inéquations suivantes :
- • \(\sqrt{2}\cos(x) – 1 = 0\) et \(\sqrt{2}\cos(x) – 1 < 0\) ; avec \(I = [0;2\pi]\)
- • \(2\sin(x) + 1 = 0\) et \(2\sin(x) + 1 \geq 0\) ; avec \(I = [-\pi;\pi]\)
- • \(\sqrt{3}\tan(x) – 3 = 0\) et \(\sqrt{3}\tan(x) – 3 \leq 0\) ; avec \(I = [0;2\pi]\)
2. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation suivante : \(\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) – 1 = 0\)
3. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation suivante : \(\left(\sqrt{2}\cos(x)-1\right)\left(\sqrt{3}\tan(x)-3\right) < 0\)
EXERCICE 3
(4 pts)
1. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
- • \(f(x) = -x^2 + 4x – 3\)
- • \(f(x) = \frac{3x – 1}{x + 1}\)
- • \(f(x) = \sqrt{2x – 3} – \frac{1}{x}\)
2. Comparer les fonctions suivantes :
\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} – 2}\) et \(g(x) = \frac{\sqrt{x} + 2}{x – 4}\)
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EXERCICE 1
(4 pts)
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on pose :
\(A(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(x – \frac{\pi}{2}\right) – \sin\left(x – \frac{\pi}{2}\right)\)
1. Montrer que : \(A(x) = 2\cos(x)\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(A(x) = \sqrt{2}\)
3. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi; \pi]\) l’inéquation \(A(x) < \sqrt{2}\)
EXERCICE 2
(4 pts)
Soit ABC un triangle tels que :
\(AB = \sqrt{3}\) et \(AC = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\) et \(BC = \sqrt{2}\) et \(\widehat{BCA} = \frac{\pi}{3}\)
1. Calculer \(\sin(\widehat{BAC})\), puis déduire une mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).
2. Vérifier que \(\widehat{ABC} = \frac{5\pi}{12}\)
3. Sachant que \(\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}\), calculer \(\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\)
EXERCICE 3
(12 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(6x^2 – x – 1 = 0\) et \(-9x^2 + 12x – 4 = 0\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \((6x^2 – x – 1)(-9x^2 + 12x – 4) \geq 0\)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système suivant :
\(\begin{cases} 2x – 3y = -2 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}\)
4. En déduire les solutions du système :
\(\begin{cases} \frac{2}{x} – 3y^2 = -2 \\ \frac{-1}{x} + 2y^2 = 3 \end{cases}\)
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Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 Tronc commun