Modèle N°1
Exercice 1：$(1+1+1+2=5$ pts)
1) Simplifie : $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}$
2) Comparer les nombres suivants: $7 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{6}$
3) Déduire de la question précédente une écriture simplifiée de l’expression :
$A=\sqrt{(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})^{2}}$
4) Comparer : $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ et $\frac{1}{2 \sqrt{7}}$
Exercice 2：$(3+3+1=7$ pts)
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :
$7 \leq b \leq 10 \quad \text { et } \quad-7 \leq a \leq-2$
1) Donner un encadrement de : $a+b \quad $ ; $a-b \quad ;-2 a+2 b$
2) Donner un encadrement de : $a b \quad ; \frac{a}{b} \quad ; \frac{2 a-b}{a+b}$
3) Comparer les nombres suivants : $a+7 \sqrt{3}$ et $b+5 \sqrt{6}$
Exercice 3：$(1 + 1+ 1=3$ pts)}
Soit un triangle $EDF$ rectangle en $D$.
1) Écris l’égalité de Pythagore pour ce triangle.
2) On donne : $\mathrm{EF}=5 \mathrm{~cm}$ et $\mathrm{DF}=4\mathrm{~cm}$. Calculer la longueur $ED$.
3) Calculer $DF$ avec $\mathrm{EF}=10$ et $\mathrm{ED}=6$.
Exercice 4：$(1 + 2+ 2 = 5$ pts)}
$ABCD$ est un rectangle tel que : $\mathrm{AB}=5$ et $\mathrm{BC}=2$.
$E$ est un point qui appartient au segment $[CD]$ tel que $C E=B C$.
La droite $(AE)$ coupe $(BC)$ en $F$.
1) Comparer $\frac{A B}{C E}$ et $\frac{F B}{F C}$
2) Déduire la valeur de $FC$.
3) Soit I un point du $[EF]$ tel que $EI = 1$.
J un point du $[AE] $ tel que $EJ = 1,5$.
• Montrer que $(DJ) // (CI)$.
1) Simplifie : $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}-2(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}+2 \sqrt{2}}{\sqrt{10}-2}=\frac{5 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}-2}$
2) Comparer les nombres suivants : $7 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{6}$
$(7 \sqrt{3})^{2}=49 \times 3=147 \text { et }(5 \sqrt{6})^{2}=25 \times 6=150$
Puisque : $149 < 150$
Alors: $(7 \sqrt{3})^{2}<(5 \sqrt{6})^{2}$
D’où : $7 \sqrt{3}<5 \sqrt{6}$
3) Déduire de la question précédente une écriture simplifiée de l’expression :
$A=\sqrt{(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})^{2}}$
nous avons d’aprésla question precedente : $7 \sqrt{3}<5 \sqrt{6}$
C’est-à-dire : $7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6}<0$
Donc: $A=\sqrt{(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})^{2}}=-(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})$
4)
Comme : $2<7$
On a: $\sqrt{2}<\sqrt{7}$
Donc : $-2 \sqrt{2} >-2 \sqrt{7}$
D’où : $ -4 \sqrt{2}>-2 \sqrt{7}$
Comme : $-4 \sqrt{2} \prec-2 \sqrt{7}$
Donc : $4 \sqrt{2}>2 \sqrt{7}$
D’où : $ \frac{1}{2 \sqrt{7}}>\frac{1}{4 \sqrt{2}}$
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :
$7 \leq b \leq 10 \quad \text { et } \quad-7 \leq a \leq-2$
1) Donner un encadrement de : $a+b \quad $ ; $a-b \quad ;-2 a+2 b$
• Encadrement de : $a+b$
On a: $7 \leq b \leq 10 \quad \text { et } \quad-7 \leq a \leq-2$
Alors : $-7+7 \leq a+b \leq-2+10$
Donc : $0 \leq a+b \leq 8$
• Encadrement de : $a-b$
On a : $-7 \leq a \leq-2 $
Et : $-10 \leq-b \leq-7 $
Alors : $-7+(-10) \leq a+(-b) \leq-2+(-7) $
Donc : $-17 \leq a+(-b) \leq-9$
• Encadrement de : $-2a+2b$
On a : $4 \leq-2 a \leq 14 $ et $14 \leq2 b \leq 20 $
Alors : $ 4+14 \leq-2 a +2b \leq 14 +20$
Donc : $ 18 \leq-2 a +2b \leq 34$
2) Donner un encadrement de : $a b \quad ; \frac{a}{b} \quad ; \frac{2 a-b}{a+b}$
• Encadrement de : $ab$
On a : $-7 \leq a \leq-2 et -10 \leq-b \leq-7$
Alors : $-7 \times(-10) \leq a \times(-b) \leq-2 \times(-7)$
Donc : $14 \leq a \times(-b) \leq 70$
D’où : $-70 \leq ab \leq -14$
• Encadrement de : $\frac{a}{b}$
On a: $ -10 \leq-b \leq-7 $
c.à.d. $\frac{1}{-7} \leq \frac{1}{-b} \leq \frac{1}{-10} $
Alors : $-2 \times \frac{1}{-10} \leq a \times \frac{1}{-b} \leq-7 \times \frac{1}{-7} $
Donc : $\frac{2}{10} \leq-\frac{a}{b} \leq 1 $
D’où : $-1 \leq \frac{a}{b} \leq-\frac{2}{10}$
• Encadrement de : $\frac{2a-b}{b}$
On a : $-24 \leq 2a-b \leq-11$ et $\frac{1}{-7} \leq \frac{1}{-b} \leq \frac{1}{-10} $
Alors : $-24 \times \frac{1}{-10} \leq (2a-b) \times \frac{1}{-b} \leq-11 \times \frac{1}{-7} $
Donc : $ \frac{11}{7} \leq \frac{2a-b}{-b} \leq \frac{24}{10} $
D’où : $ -\frac{24}{10} \leq \frac{2a-b}{b} \leq -\frac{11}{7} $
3) Comparer les nombres suivants : $a+7 \sqrt{3}$ et $b+5 \sqrt{6}$
$a$ prend les valeurs entre -7 et -2 et $b$ prend les valeurs entre 7 et 10
Alors : $a<b$
D’après la question N ${ }^{\circ} 2$ de l’exercice 1: $7 \sqrt{3}<5 \sqrt{6}$
Donc: $a+7 \sqrt{3}<b+5 \sqrt{6}$
Soit un triangle $EDF$ rectangle en $D$.
1) Écris l’égalité de Pythagore pour ce triangle.
Le triangle $EDF$ rectangle en $D$ , alors d’après le théorème direct de Pythagore :
$E F^{2}=E D^{2}+DF^{2}$
2) On donne : $\mathrm{EF}=5 \mathrm{~cm}$ et $\mathrm{DF}=4\mathrm{~cm}$. Calculer la longueur $ED$.
$E D^{2}=E F^{2}-D F^{2}=5^{2}-4^{2}=25-16=9$
$E D=\sqrt{9}=3$
3) Calculer $DF$ avec $\mathrm{EF}=10$ et $\mathrm{ED}=6$.
$D F^{2}=E F^{2}-E D^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64$
$D F=\sqrt{64}=8$
1) Comparer $\frac{A B}{C E}$ et $\frac{F B}{F C}$
Dans le triangle $ABF$ nous avons: $ (AB)//(EC)$
Alors d’après le théorème direct de Thalès :
$\frac{F A}{F E}=\frac{F B}{F C}=\frac{A B}{C E}$
Puisque $: \frac{A B}{C E}=\frac{5}{2}$
$\frac{F B}{F C}=\frac{A B}{C E}=\frac{5}{2}$
2) Déduire la valeur de $FC$.
Posons $FC=x$
$\frac{x+B C}{x}=\frac{5}{2} $
C’est-à-dire : $\frac{x+2}{x}=\frac{5}{2}$
$2(x+2)=5 x$
$2 x+4=5 x$
$2 x-5 x=-4$
$-3 x=-4$
Alors: $F C=x=\frac{4}{3}$
3) Soit I un point du $[EF]$ tel que $EI = 1$.
J un point du $[AE] $ tel que $EJ = 1,5$.
$\frac{E C}{E D}=\frac{2}{3} \quad$ Et $\quad \frac{E I}{E J}=\frac{1}{1,5}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$
Puisque $: \frac{E C}{E D}=\frac{E I}{E J}$ et les points $\mathrm{C}, E, F$ et $I, E, J$ sont alignés dans le même ordre.
Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès : $(DJ) // (CI)$.
Modèle N°2
Exercice 1：$(6+2=8$ pts)
1) Comparer les nombres suivants (justifier votre réponse)
$\frac{7}{3} \quad $ et $ \quad \frac{5}{6}$
$\frac{3}{7} \quad $ et $ \quad \frac{6}{5}$
$3 \sqrt{7} \quad $ et $ \quad 7 \sqrt{3}$
$\frac{7}{3}+\sqrt{5} \quad $ et $ \quad \frac{5}{6}+\sqrt{5}$
$\sqrt{3 \sqrt{7}+1} \quad $ et $ \quad \sqrt{7 \sqrt{3}+1}$
$3 \sqrt{7} \times(-2)^{5} \quad $ et $ \quad 7 \sqrt{3} \times(-2)^{5}$
2) Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tel que : $5 x+3 \sqrt{7}=5 y+7 \sqrt{3}$
• Comparer $x$ et $y$
Exercice 2：$(2+4=6$ pts)
Soient, a b et $\mathbf{c}$ trois nombres réels tels que : tels que : $2 \leq a \leq 4,-3 \leq b \leq-1$ et $\mathbf{5 \leq 2 c – 1 \leq 9 }$
1) Montrer que : $\mathbf{3 \leq c \leq 5}$
2) Encadrer : $a+b \quad $ ; $a-b \quad $ ; $ab \quad $ ; $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$
Exercice 3：$(1+1+2+2=6$ pts)
On considère la figure ci-contre telle que : $O M=1,6$; $O B=2,4$; $O C=\frac{2}{3} O D$
1) a- Montrer que $\frac{O C}{O D}=\frac{2}{3} \quad$
b- Calculer $\frac{O M}{O B} $
c- Déduire que $(MC) / /(B D)$
2) Utiliser le théorème direct de Thalès pour montrer que $3EM= 2ED$
1)
• Comparaison de : $\frac{7}{3}$ et $\frac{5}{6}$
$\frac{7}{3}=\frac{14}{6}$ et $\frac{5}{6}$
Donc $: \frac{7}{3}>\frac{5}{6}$
• Comparaison de : $\frac{3}{7} \quad $ et $ \quad \frac{6}{5}$
On a $: \frac{7}{3}>\frac{5}{6}$
Donc $: \frac{3}{7}<\frac{6}{5}$
• Comparaison de : $3 \sqrt{7}$ et $7 \sqrt{3}$
On a: $(3 \sqrt{7})^{2}=9 \times 7=63$ et $(7 \sqrt{3})^{2}=49 \times 3=147$
On a : $(3 \sqrt{7})^{2}<(7 \sqrt{3})^{2}$
Alors: $3 \sqrt{7}<7 \sqrt{3}$
• Comparaison de : $\frac{7}{3}+\sqrt{5} \quad $ et $ \quad \frac{5}{6}+\sqrt{5}$
On a $: \frac{7}{3}>\frac{5}{6}$
Donc $: \frac{7}{3}+\sqrt{5}>\frac{5}{6}+\sqrt{5}$
• Comparaison de : $\sqrt{3 \sqrt{7}+1} \quad $ et $ \quad \sqrt{7 \sqrt{3}+1}$
On a $: 3 \sqrt{7}<7 \sqrt{3}$
Alors : $3 \sqrt{7}+1<7 \sqrt{3}+1$
Donc $: \sqrt{3 \sqrt{7}+1}<\sqrt{7 \sqrt{3}+1}$
• Comparaison de : $3 \sqrt{7} \times(-2)^{5} \quad $ et $ \quad 7 \sqrt{3} \times(-2)^{5}$
On a $: 3 \sqrt{7}<7 \sqrt{3}$ et $ (-2)^{5}<0$
donc $: 3 \sqrt{7} \times(-2)^{5}>7 \sqrt{3} \times(-2)^{5}$
2)
On a : $5 x+3 \sqrt{7}=5 y+7 \sqrt{3}$
Alors : $5 x-5 y=7 \sqrt{3}-3 \sqrt{7}>0 \operatorname{car}(7 \sqrt{3}>3 \sqrt{7})$
Donc: $\mathbf{5 x – 5 y}>0$
D’où: $5 x>5 y$
Donc: $x>y$
1) On a: $\mathbf{5} \leq 2 c-1 \leq 9$
Alors : $6 \leq 2 c \leq 10$
Donc : $3 \leq c \leq 5$
2) Encadrer : $a+b \quad $ ; $a-b \quad $ ; $ab \quad $ ; $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$
• Encadrement de $a+b$:
On a : $2 \leq a \leq 4$ et $-3 \leq b \leq-1$
Alors : $2-3 \leq a+b \leq 4-1$
Donc : $-1 \leq a+b \leq 3$
• Encadrement de $a-b$:
On a : $2 \leq a \leq 4$ et $1 \leq -b \leq3$
Alors : $2+1 \leq a+(-b) \leq 4+3$
Donc : $3 \leq a-b \leq 7$
• Encadrement de $ab$:
On a : $2 \leq a \leq 4$ et $1 \leq -b \leq3$
Alors : $2×1 \leq -ab \leq 4×3$
Donc : $2 \leq -ab \leq 12$
Donc : $-12 \leq ab \leq -2$
• Encadrement de $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$ :
On a : $2 \leq a \leq 4$ et $3 \leq c \leq 5$
Alors : $\frac{1}{5} \leq \frac{1}{c} \leq \frac{1}{3}$
Donc :$\frac{2}{3} \leq \frac{a}{c} \leq \frac{4}{5}$
1) a- Montrer que $\frac{O C}{O D}=\frac{2}{3} \quad$
On a $: O C=\frac{2}{3} O D$
Donc $: \frac{O C}{O D}=\frac{2}{3}$
b- Calculer $\frac{O M}{O B} $
$\frac{O M}{O B}=\frac{1,6}{2,4}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$
c- Déduire que $(MC) / /(B D)$
On a $: \frac{O C}{O D}=\frac{O M}{O B}$
Et les points $\mathrm{O}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ et $\mathrm{O}, \mathrm{M}, \mathrm{D}$ sont alignés dans le même ordre, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès $(MC) // (BD)$
2) Utiliser le théorème direct de Thalès pour montrer que $3EM= 2ED$
Alors d’après le théorème direct de Thalès: $\frac{O C}{O D}=\frac{O M}{O B}=\frac{M C}{B D}=\frac{2}{3}$ (1)
Et aussi: $\frac{E M}{E D}=\frac{E C}{E B}=\frac{M C}{B D}=\frac{2}{3}$ (2)
D’après (1) et (2) ;$ \frac{E M}{E D}=\frac{2}{3} \quad$
Donc: $3 E M=2 E D$
Modèle N°3
Exercice 1：$(1,5+1,5=3$ pts)
Calculer et simplifier les expressions suivantes:
$A=\left[\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right]^{-2} $
$B=\frac{1}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Exercice 2：$(1,5+4+1+1,5=8$ pts)
1) Comparer: $4 \sqrt{5}$ et $6 \sqrt{2}$ puis en déduire une comparaison de: $7-4 \sqrt{5}$ et $7-6 \sqrt{2}$
2) $x$ et $y$ sont deux nombres réels tels que:
$2 \leq \sqrt{3 x+1} \leq \sqrt{10} \quad $ ; $ \quad -2 \leq y \leq-1$
a- Montrer que : $1 \leq x \leq 3$
b- Encadrer: $x+y \quad $ ; $ 3 x-y \quad $ ; $ \quad \frac{y^{2}+5}{y}$
3) $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs tels que :
$2 \leq \sqrt{b+1} \leq 3 \quad $ et $ \quad 0 \leq \frac{a^{2}-1}{3} \leq 1$
• Montrer que: $\quad 3 \leq a b \leq 16$
4) $x, y$ et $z$ sont des nombres réels strictement positifs
a- Développer: $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}$
b- En déduire que : $x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 6$
Exercice 3：$(1+1+1=3$ pts)
$A B C$ est un triangle rectangle en $A$ tel que :
$A B=2 \sqrt{5} \text { et } A C=4$
1) Calculer la longueur $B C$
2) Calculer l’aire du triangle $A B C$
3) Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC)
• Montrer que: $A H=\frac{4 \sqrt{5}}{3}$
Exercice 4：$(2+2+1=5$ pts)
$A B C$ est un triangle tel que :
$B C=6 \mathrm{~cm} ; A C=3 \mathrm{~cm} ; A B=4 \mathrm{~cm}$
Soit $M$ un point du côté $[A B]$ tel que : $B M=3 \mathrm{~cm}$
La droite parallèle à la droite ( AC ) passant par le point M coupe le côté $[B C]$ au point N (voir la figure).
1) Calculer les longueurs $M N$ et $B N$
2) Soit E le point de la demi-droite $[B A$ ) tel que:
$B E=6 \mathrm{~cm}$
Soit F le point de la demi-droite (CA) tel que:
$C F=4,5 \mathrm{~cm}$
a– Montrer que: $(E F) / /(B C)$
b- Sans calculer la distance EF, montrer que:
$E F=\frac{2}{3} B N$
Exercice 5：$(1$ pt)
On considère l’expression suivante :
$B =\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3 \sqrt{2+\sqrt{3}}} $
• Montrer que : $B =\frac{4}{3}$
$ A=\left[\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right]^{-2}$
$A =(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$
$A=3+2 \sqrt{3 \times 2}+2$
$A=5+2 \sqrt{6} $
$ B=\frac{1}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$B=\frac{3+\sqrt{6}}{(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
$ B=\frac{3+\sqrt{6}}{9-6}-\frac{\sqrt{6}}{3} $
$ B=\frac{3+\sqrt{6}-\sqrt{6}}{3}=\frac{3}{3}=1$
1) Comparons : $4 \sqrt{5}$ et $6 \sqrt{2}$ ?
$ (4 \sqrt{5})^{2}=16 \times 5=80 $
$ (6 \sqrt{2})^{2}=36 \times 2=72 $
$ \text { Puisque } 80>72$
Alors $(4 \sqrt{5})^{2}>(6 \sqrt{2})^{2}$
C.à.d. : $4 \sqrt{5}>6 \sqrt{2}$
Alors: $\cdots-4 \sqrt{5}<-6 \sqrt{2}$
Donc: $7-4 \sqrt{5}<7-6 \sqrt{2}$
2) a et $b$ deux réels tels que:
$2 \leqslant \sqrt{3 x+1} \leqslant \sqrt{10} \quad $;$ \quad -2 \leqslant y \leqslant-1$
a. Montrer que: $1 \leqslant x \leqslant 3$
$ \text { on a : } 2 \leqslant \sqrt{3 x+1} \leqslant \sqrt{10} $
$ \text { Alors: } 4 \leqslant 3 x+1 \leqslant 10 $
$ 3 \leqslant 3 x \leqslant 9 $
$ 1 \leqslant x \leqslant 3$
b. • $x+y $?
On a : $ 1 \leqslant x \leqslant 3$ et $-2 \leqslant y \leqslant-1$
Alors: $1-2 \leqslant x+y \leqslant 3-1$
$-1 \leqslant x+y \leqslant 2$
• $3 x-y$ ?
On a: $-2 \leqslant y \leqslant-1$
$1 \leqslant-y \leqslant 2$
Et on a: $3 \leqslant 3 x \leqslant 9$
Alors: $\quad 4 \leqslant 3 x-y \leqslant 11$
• $ \frac{y^{2}+5}{y} \text ?$
On a: $\quad 1 \leqslant-y \leqslant 2$
Alors : $\quad 1 \leqslant(-y)^{2} \leqslant 4$
$1+5 \leqslant y^{2}+5 \leqslant 4 $
$6 \leqslant y^{2}+5 \leqslant 9 $ (1)
$\frac{1}{2} \leqslant-\frac{1}{y} \leqslant 1 $ (2)
De (1) et (2)
Donc: $3\leqslant\left(y^{2}+5\right) \times \frac{-1}{y} \leqslant 9$
D’ou: $\quad-9 \leqslant \frac{y^{2}+5}{y} \leqslant -3$
3) Montrer que : $3 \leqslant a b \leqslant 16$
On a : $0 \leqslant \frac{a^{2}-1}{3} \leqslant 1 $
$0 \leqslant a^{2}-1 \leqslant 3 $
$1 \leqslant a^{2} \leqslant 4 $
$1 \leqslant a \leqslant 2 $
Et on a : $ 2 \leqslant \sqrt{b+1} \leqslant 3 $
Alors : $ 4 \leqslant b+1 \leqslant 9 $
Donc : $ 3 \leqslant b \leqslant 8 $
D’où : $\quad 3 \leqslant a b \leqslant 16$
4) 1) Développer $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}$
$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} =(\sqrt{x})^{2}-2 \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}}+\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} $
$ =x-2+\frac{1}{x} $
$=x+\frac{1}{x}-2$
4) b) En déduire: $x+y+z+\frac{1}{a}+\frac{1}{y}+\frac{b}{z} \geqslant 6$
De la question précédente on a:
$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}=x+\frac{1}{x}-2$
Alors $\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^{2}=y+\frac{1}{y}-2$
Et $\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^{2}=z+\frac{1}{z}-2$
Puisque $x$ et, $y$ et $z$ sont strictement positifs.
Alors :
$ x+\frac{1}{x}-2+y+\frac{1}{y}-2+3+\frac{1}{3}-2 \geqslant 0 $
$ x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z} \geqslant 2+2+2 $
D’où :
$x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geqslant 6$
1) Calculons $B C$ ?
Puisque $A B C$ est un triangle rectangle en $A$.
On a: $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2} $
$ B C^{2}=(2 \sqrt{5})^{2}+4^{2}=4 \times 5+16=36 $
Alors : $ B C=6$
2) $\mathcal{L}$ ‘aire du triangle $A B C$ :
$A=\frac{B \times H}{2}=\frac{A B \times A C}{2}=\frac{2 \sqrt{5} \times 4}{2}=4 \sqrt{5}$
3) Montrer que $A H=4 \sqrt{5}$ ?
D’après la question précédente on a $A_{A B C}= \frac{4 \sqrt{5}}{3} $
On peut écrire $A_{A B C}=\frac{A H \times B C}{2}=4 \sqrt{5}$
Alors: $A H=\frac{4 \sqrt{5} \times 2}{B C}=\frac{4 \sqrt{5} \times 2}{6}$
D’ou: $A H=\frac{4 \sqrt{5}}{3}$
1) La droite parallèle à la droite $(A C)$ passant par le point $M$ coupe le coté $[B C]$ au point $N$
C.à.d. : $(A C)//(M N)$
Alors d’après le théorème direct de Thalès:
$ \frac{B M}{B A}=\frac{B N}{B C}=\frac{M N}{A C} $
C.à.d. : $\frac{3}{4}=\frac{B N}{6}=\frac{M N}{3}$
D’où: $\frac{3}{4}=\frac{B N}{6} \rightarrow B N=\frac{3 \times 6}{4}$
Donc: $B N=\frac{18}{4}$
Et on a: $\frac{3}{4}=\frac{M N}{3} \rightarrow M N=\frac{3 \times 3}{4}$
Donc: $M N=\frac{9}{4}$
2) Soit $E$ le point de la demi-droite $[B A]$ tel que: $B E=6 \mathrm{~cm}$
Soit $F$ le point de la demi-droite [ $C A)$ tel que: $C F=4,5$
a) Montrer que: $(EF) // (B C)$
Il faut montrer d’abord que : $\frac{A F}{A C}= \frac{A E}{A B} ? $
On a :$ A E=B E-A B=6-4=2 \mathrm{~cm} $
$ A E=2 \mathrm{~cm} $
Et $A F =C F-A C=4,5-3=1,5 \mathrm{~cm} $
$A F =1,5 \mathrm{~cm}$
Alors: $\frac{A F}{A C}=\frac{13,5}{3}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$
Et. $\frac{A E}{A B}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
Puisque $\frac{A E}{A B}=\frac{A F}{A C}$
Et d’après la réciproque de Thalès alors $(E F) / /(B C)$
b) $E F=\frac{2}{3} B N$ ?
On a : $\frac{B N}{B C}=\frac{3}{4} \rightarrow B C=\frac{4}{3} B N$ (1)
Et on a: $\frac{A E}{A B}=\frac{A F}{A C}=\frac{E F}{B C}=\frac{1}{2}$ (2)
$\frac{E F}{B C}=\frac{1}{2} \rightarrow E F=\frac{1}{2} B C$
On remplace (1) Dans (2):
$E F=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} B N $
$ E F=\frac{e}{3} B N $
• Montrer que: $B=\frac{4}{3}$
$ B=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3 \sqrt{2+\sqrt{3}}}$
$B =\frac{2 \times \sqrt{2}(\sqrt{2} \times \sqrt{2}+\sqrt{2} \times \sqrt{6})}{2 \times 3 \sqrt{2+\sqrt{3}}} $
$ B=\frac{2 \sqrt{2}(2+2 \sqrt{3})}{3 \times \sqrt{2}(\sqrt{2} \times \sqrt{2+\sqrt{3}})} $
$ B=\frac{2(2+2 \sqrt{3})}{3 \sqrt{4+2 \sqrt{3}}}$
$B=\frac{2 \times 2(1+\sqrt{3})}{3 \sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}}} $
$ B=\frac{4(1+\sqrt{3})}{3(1+\sqrt{3}}$
Alors: $B=\frac{4}{3}$
Modèle N°4
Exercice 1：$(1,5+1,5+1=4$ pts)
1) Simplifier: $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}$
2) Comparer les nombres suivaris: $7 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{6}$
3) Deduire de la question précedente une écriture simplifier de l’expression: $A=\sqrt{(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})^{2}}$
Exercice 2：$(2+3+4=9$ pts)
1) a un nombre rél tel que: $a \geqslant 7$
a) Montrer que: $-2 a+1 / 4 \leqslant 0$
b) Montrer que: $-\frac{7}{a} \geqslant-3$
2) $a$ et $b$ deux réels positifs: $a<b$
a) Moutrer que: $2 a<a+b$
b) Deduire que: $a<\frac{a+b}{t}$
c) Montrer que: $a<\frac{a+b}{c}<b$
3) $x$ et $y$ deur réls tels que: $-4<y<-2$ et $3<x<5$
Donner un encadrement de: $x+y ; x-y ; x^{2}+ y^{2} ; \frac{x}{y} $
Exercice 3：$(2+3+2=7$ pts)
Soit $A B C$ un triangle tel que: $A B=8 \mathrm{~cm}, A C=6 \mathrm{~cm}, B C=4$
$E$ un point du segment $[A B]$ tel que: $A E=2$.
La droite passant par $E$ parallilement à $(B C)$ coupe $(AC)$ en $F$.
1) Construire la figure
2) Calculer : $AF$ et $EF$
3) $I \in[B A)$ tel que: $B I=10 \mathrm{~cm}, et J \in[C A)$ tel que: $CJ= 7,5 \mathrm{~cm}$.
• Montrer que $(I J) // (B C)$
1) $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}-2(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$
$=\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}+2 \sqrt{2}}{\sqrt{10}-2}=\frac{5 \sqrt{2}-2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}-2}$
2) Comparer les nombres suivants: $7 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{6}$
$(7 \sqrt{3})^{2}=49 \times 3=147$ et $(5 \sqrt{6})^{2}=25 \times 6=150$
Puisque: $147<150$
Alors: $(7 \sqrt{3})^{2}<(5 \sqrt{6})^{2}$
D’où : $7 \sqrt{3}<5 \sqrt{6}$
3) Déduire que : $A=\sqrt{(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})^{2}}$
Nous avons de la question précédente:
$7 \sqrt{3}<5 \sqrt{6}$
C.à.d.: $7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6}<0$
Donc: $A=\sqrt{(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})^{2}}=-(7 \sqrt{3}-5 \sqrt{6})$
1) a) Montrer que: $-2 a r+14 \leqslant 0$
On a :$ a \geqslant 7 \rightarrow$
Alors : $- 2a \leqslant-14$
Donc : – $2 a+14 \leqslant 0$
b) Montrer que: $-\frac{7}{a} \geqslant-1$
On a: $a \geqslant 7 $
Alors: $0<7 \leqslant a$
D’ou : $\frac{7}{a} \leqslant 1$
Alors: $-\frac{7}{a} \geqslant-1$
2) a) Montrer que: $2 a<a+b$
$a$ et $b$ deux réels positifs tel que: $0 \leqslant a<b$
On a : $a<b$
Alors $a+a<a+b$
D’où $2 a<a+b$
b) Déduire que : $a<\frac{a+b}{2}$
On a : $2 a<a+b$
Donc : $a<\frac{a+b}{2} \quad($ car $2>0)$
c) Montrer que: $a<\frac{a+b}{c}<b$
On a: $a<b$
Alors: $a+\underline{b}<b+\underline{b}$
Donc : $a+b<2 b$
De la question précédente : $a<\frac{a+b}{2}$
Alors : $\left.\frac{a+b}{2}<b\right$
Donc : $a<\frac{a+b}{2}<b$
3) On a: $-4<y<-2$ et $3<x<5$
• Encadrement de :$ x+y$
On a : $-4<y<-2$ et $3<x<5$
Donc : $-1<x+y<3$
• Encadrement de : $ x-y$
On a : $2<-y<4$ et $3<x<5$
Donc : $5<x-y<9$
• Encadrement de : $ x^{2}+y^{2}$
On a : $9<x^{2}<25$ et $4<y^{2}<16$
Donc : $ 13<x^{2}+y^{2}<41$
• Encadrement de : $\frac{x}{y}$
On a : $2<-y<4$
C.à.d. : $\frac{1}{4}<-\frac{1}{y}<\frac{1}{2} \quad$ et $3<x<5$
$\frac{3}{4}<x \times\left(-\frac{1}{y}\right)<\frac{5}{2} $
$-\frac{5}{2}<\frac{x}{y}<-\frac{3}{4}$
1) la figure
2) Calculons $AF$?
Dans le triangle $A B C$, on a: $E \in[A B], F \in[A C]$ et $(E F) //(B C)$
D’après le Théorème direct de Thalès :
$\frac{A E}{A B}=\frac{A F}{A C}$
Donc : $\frac{2}{8}=\frac{A F}{6}$
Alors: $A F=\frac{6 \times 2}{8}=\frac{3}{2}=1,5$
• Calculons $EF$?
Dans le triangle $A B C$ et d’après le Théorème direct de Thalès, on a :
$\frac{E F}{B C}=\frac{A E}{A B}=\frac{q}{4}$
D’où : $\frac{E F}{4}=\frac{2}{4}$
Alors : $E F=2$
3) Montrer que: $(I J)$ // $(B C)$ ?
On a : $\frac{B A}{B I}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
Et : $\frac{C A}{C J}=\frac{6}{7,5}=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$.
On considère le triangle $A B C$ :
$ A \in[B I] ; I \in[B A) $
$ A \in[C J] ; J \in [CA) $
Et : $\frac{B A}{B I}=\frac{C A}{C J}$
Alors selon la réciproque de Théorème de Thalès ,on a :
$(I J) //(B C)$
