Devoirs Corrigés Maths N°2 S1 Tronc commun

Modèle N°1

Questions indépendantes： $(1 \times 5 = 5 p t s)$

$1)$ Déterminer les entiers relatifs qui vérifient la relation suivante : $| - 2 x + 3 | < 6$

$2)$ Montrer que le nombre: $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) 2 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 1)$ est entier naturel.

$3)$ On considère les deux nombres : $a = \sqrt{10}$ et $b = \sqrt{5} + \sqrt{2} - 1$

$a$ - Vérifier que : $a - b = (\sqrt{5} - 1) (\sqrt{2} - 1)$

$b$ - En déduire une comparaison de $a$ et $b$

$4)$ Simplifier l’expression suivante : $B = | 1 - \sqrt{3} | + | \sqrt{18} - 4 \sqrt{2} | - \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Exercice 1： $(1 + 1 + 1, 5 + 1 = 4, 5 p t s)$

$A B C$ un triangle et $D$ le point tel que : $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}$

• Le point $E$ est le projeté de $D$ sur $(A C)$ parallèlement à ( $A B$ )

• Le point $F$ est le projeté de $E$ sur $(B C)$ parallèlement à ( $A D)$

$1)$ Construire la figure.

$2)$ Montrer que $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ et $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$

$3)$ Montrer que $\frac{C D}{C B} = \frac{E D}{A B}$ et $\frac{C D}{C F} = \frac{A D}{E F}$

$4)$ Déduire que : $\vec{B F} = \frac{1}{3} (\vec{B C} + \vec{D C})$

Exercice 2： $(1 + 2 + 0, 5 + 1 \times 2 = 5, 5 p t s)$

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que: $| a - 1 | < \frac{1}{2}$ et $| b - \frac{1}{2} | < \frac{1}{6}$

$1)$ Montrer que : $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ et $\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

$2)$ Encadrer chacun des nombres : $a - b$ et $\frac{a}{b}$ et $- 3 a b$ et $\sqrt{a b}$

$3)$ Développer $(a + 2)^{3}$

$4)$ On pose : $A = (a + 2)^{3} - (6 + a) a^{2}$

• Vérifier que : $A = 8 + 12 a$ , en déduire un encadrement de $A$ .

Exercice 3： $(1 \times 3 = 3 p t s)$

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $x \leq \frac{1}{2}, y \geq \frac{3}{4}$ et $x - 2 y = 5$

On pose : $A = \sqrt{x^{2} + (x - 1)^{2} + 2 x (x - 1)}$ et $B = \sqrt{4 y^{2} + (2 y - 3)^{2} + 4 y (2 y - 3)}$

$1)$ Montrer que : $A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}}$ et $B = \sqrt{(4 y - 3)^{2}}$

$2)$ Simplifier les nombres $A$ et $B$

$3)$ Déterminer la valeur numérique du nombre $A + B$

Exercice 4： $(2 p t s)$

Soit $x$ un nombre réel strictement positif tel que : $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{5}$

• Montrer que : $| \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} | = 1$

Correction des Questions indépendantes

$1)$ Déterminer les entiers relatifs qui vérifient la relation suivante : $| - 2 x + 3 | < 6$

On a: $| - 2 x + 3 | < 6$

Alors : $- 6 < - 2 x + 3 < 6$

Donc : $- 9 < - 2 x < 3$

Donc : $- \frac{3}{2} < x < \frac{9}{2}$

$2)$ Montrer que le nombre: $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) 2 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 1)$ est entier naturel.

$(\sqrt{6}-\sqrt{2}) 2 \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)=2(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2}) =2\left((\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2})^{2}\right)=2(6-2)=8 \in \mathbb{N}$

$3)$ On considère les deux nombres : $a = \sqrt{10}$ et $b = \sqrt{5} + \sqrt{2} - 1$

$a)$ Vérifier que : $a - b = (\sqrt{5} - 1) (\sqrt{2} - 1)$

$a - b = \sqrt{10} - \sqrt{5} - \sqrt{2} + 1 = \sqrt{5} \times \sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{2} + 1$

$a - b = \sqrt{5} (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{5} - 1) (\sqrt{2} - 1)$

$b)$ On a: $\sqrt{5} > 1$ et $\sqrt{2} > 1$

Alors : $(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{2} - 1) > 0$

Puisque : $a - b > 0$

Donc : $a > b$

$4)$ Simplifier l’expression suivante : $B = | 1 - \sqrt{3} | + | \sqrt{18} - 4 \sqrt{2} | - \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$B = | 1 - \sqrt{3} | + | \sqrt{18} - 4 \sqrt{2} | - \sqrt{3} - \sqrt{2}$

• $| 1 - \sqrt{3} | = \sqrt{3} - 1 car : 1 - \sqrt{3} < 0$

• $| \sqrt{18} - 4 \sqrt{2} | = 4 \sqrt{2} - \sqrt{18} car : \sqrt{18} < 4 \sqrt{2}$

Donc: $B = \sqrt{3} - 1 + 4 \sqrt{2} - \sqrt{18} - \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$B = \sqrt{3} - 1 + 4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$B = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

$B = - 1$

Correction d'exercice 1

$1)$ Construire la figure.

$2)$ Montrer que $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ et $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$

• On a :

$E$ est le projeté de $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$

$A$ est le projeté de $B$ sur $(AC)$ parallèlement à $(A B)$

$C$ est le projeté de $C$ sur $(A C)$ parallèlement à $(A B)$

Et $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}$

Puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité.

Donc : $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

• On a :

$F$ est le projeté de $E$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A D)$

$D$ est le projeté de $A$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A D)$

$C$ est le projeté de $C$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A D)$

Et $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$

Puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité.

Donc: $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$

$3)$ Montrer que $\frac{C D}{C B} = \frac{E D}{A B}$ et $\frac{C D}{C F} = \frac{A D}{E F}$

• Dans le triangle $A B C$ les droites $(D E) / / (B A)$

Alors d’après le théorème direct de Thalès :

$\frac{C D}{C B} = \frac{E D}{A B}$

• Dans le triangle $A D C$ les droites $(A D) / / (E F)$

Alors d’après le théorème direct de Thalès :

$\frac{C D}{C F} = \frac{A D}{E F}$

$4)$ Déduire que : $\vec{B F} = \frac{1}{3} (\vec{B C} + \vec{D C})$

On a : $\vec{B F} = \vec{B D} + \vec{D F}$

$\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{D C}$

$\vec{B F} = \frac{1}{3} (\vec{B C} + \vec{D C})$

Correction d'exercice 2

$1)$ Montrer que : $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ et $\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

• On a : $| a - 1 | < \frac{1}{2}$

Alors : $- \frac{1}{2} < a - 1 < \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} + 1 < a < \frac{1}{2} + 1$

Donc : $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

• On a : $| b - \frac{1}{2} | < \frac{1}{6}$

Alors : $| b - \frac{1}{2} | < \frac{1}{6}$

$- \frac{1}{6} < b - \frac{1}{2} < \frac{1}{6}$

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} < b < \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Donc : $\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

$2)$

• Encadrons : $a - b$

$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

$\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3} < a - b < \frac{3}{2} - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{6} < a - b < \frac{7}{6}$

• Encadrons : $\frac{a}{b}$

$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

$\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

$\frac{1}{\frac{2}{2}} < \frac{a}{b} < \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}$

$\frac{3}{4} < \frac{a}{b} < \frac{9}{2}$

• Encadrons : $- 3 a b$

$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

$\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

$\frac{1}{6} < a b < 1$

$- 3 < - 3 a b < - \frac{1}{2}$

• Encadrons : $\sqrt{a b}$

$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

$\frac{1}{3} < b < \frac{2}{3}$

$\frac{1}{6} < a b < 1$

$\frac{1}{\sqrt{6}} < \sqrt{a b} < 1$

$\frac{\sqrt{6}}{6} < \sqrt{a b} < 1$

$3)$ Développer $(a + 2)^{3}$

On sait que : $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Alors :

$(a + 2)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} \times 2 + 3 a \times 2^{2} + 2^{3}$

Donc :

$(a + 2)^{3} = a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8$

$4)$

• Vérifier que : $A = 8 + 12 a$

$A = a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8 - 6 a^{2} - a^{3}$

$A = 12 a + 8$

• L’encadrement de A:

On a $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

$6 < 12 a < 18$

$14 < 12 a + 8 < 26$

Correction d'exercice 3

$1)$ Montrer que : $A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}}$ et $B = \sqrt{(4 y - 3)^{2}}$

On a : $A = \sqrt{x^{2} + (x - 1)^{2} + 2 x (x - 1)}$

$x^{2} + (x - 1)^{2} + 2 x (x - 1) = (x + (x - 1))^{2}$ , Identité remarquable: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Alors: $A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}}$

On fait la même chose pour $B$ on trouve.

$B = \sqrt{(2 y + (2 y - 3))^{2}} = \sqrt{(4 y - 3)^{2}}$

$2)$ Simplifier les nombres $A$ et $B$

$A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}} = | 2 x - 1 | = - (2 x - 1) = 1 - 2 x$

Car : $x \leq \frac{1}{2}$

C.à.d. : $2 x - 1 \leq 0$

$B = \sqrt{(4 y - 3)^{2}} = | 4 y - 3 | = 4 y - 3$

Car : $y \geq \frac{3}{4}$

C.à.d. : $4 y - 3 \geq 0$

$3)$ Déterminer la valeur numérique du nombre $A + B$

On a: $x - 2 y = 5$

Donc :

$A + B = 1 - 2 x + 4 y - 3 = - 2 x + 4 y - 2 = - 2 (x - 2 y) - 2 = - 2 \times 5 - 2 = - 10 - 2 = - 12$

Correction d'exercice 4

• Montrer que : $| \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} | = 1$

On a : $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{5}$

Donc: ${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = (\sqrt{5})^{2}$

$(\sqrt{x})^{2} + 2 \times \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = 5$

$x + 2 + \frac{1}{x} = 5$

$x + \frac{1}{x} = 3$

Alors:

$| \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} | = | {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} | = | (\sqrt{x})^{2} - 2 \times \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} | = | x - 2 + \frac{1}{x} | = | x + \frac{1}{x} - 2 | = | 3 - 2 | = | 1 |$

Donc: $| \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} | = 1$

Modèle N°2

Questions indépendantes： $(1, 5 + 2 + 1, 5 + 1 + 1 = 7 p t s)$

$1)$ On pose : $B = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$

Calculer $B^{2}$ puis déduire une valeur de $B$ plus simple.

$2)$ Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls :

$a)$ Simplifier le nombre : $A = \frac{a b^{- 2} {(a^{- 1} b)}^{4} {(a b^{- 1})}^{2}}{a^{2} b {(a^{2} b^{- 1})}^{3} a^{- 1} b}$

$b)$ Calculer $A$ pour : $a = 10^{- 2}$ et $b = 10^{- 3}$ .

$3)$ Factoriser les expressions suivantes:

$E = x^{3} - 8 + (x - 2) (2 x - 3) et F = (5 x - 3) (x + 1) - 6 x + 10 x^{2} + (3 - 5 x)^{2}$

$4)$ Résoudre dans $I R$ l’équation suivante : $4 - x^{2} = (x + 2) (2 x + 5)$

$5)$ Donner l’écriture scientifique du nombre $G$ tel que :

$G = 15 \times 10^{2} + 2 \times 10^{- 2} - 1, 2 \times 10^{3}$

Exercice 1： $(2 + 2 + 1 + 1 = 6 p t s)$

Soit $A B C$ un triangle et $M$ un point tel que :

$\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

• $N$ est le projeté de $M$ sur $(A C)$ parallèlement à ( $B C)$

• $F$ est le projeté de $N$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A B)$

$1)$ Construire la figure.

$2)$ Montrer que $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ et $\vec{M N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

$3)$ Montrer que $\vec{C F} = \frac{- 1}{3} \vec{B C}$

$4)$ Déduire que : $\vec{M N} = \vec{B F}$

Exercice 2： $(1 + 1, 5 + 1, 5 + 1 = 6 p t s)$

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que : $a = 1 + \sqrt{4 - \frac{3}{2} \sqrt{7}}$ et $b = 1 + \sqrt{4 + \frac{3}{2} \sqrt{7}}$

$1)$ Vérifier que : $(3 - \sqrt{7})^{2} = 4 (4 - \frac{3}{2} \sqrt{7})$ et $(3 + \sqrt{7})^{2} = 4 (4 + \frac{3}{2} \sqrt{7})$

$2)$ Montrer que : $a + b = 5$

$3)$ Montreque : $(a - 1) (b - 1) = \frac{1}{2}$

$4)$ En déduire la valeur du produit : $a b$

Exercice 3： $(2 p t s)$

Montrer que : ${(\frac{\sqrt{85} + 1}{2})}^{3} - {(\frac{\sqrt{85} - 1}{2})}^{3} = 64$

Correction des Questions indépendantes

$1)$ On pose : $B = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$

$B^{2} = (\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}})^{2}$

$B^{2} = (\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})^{2} + 2 \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} \times \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + (\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}})^{2}$

$B^{2} = | 4 + 2 \sqrt{3} | + 2 \sqrt{(4 + 2 \sqrt{3}) (4 - 2 \sqrt{3})} + | 4 - 2 \sqrt{3} |$

$B^{2} = 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{(4^{2} - (2 \sqrt{3})^{2})} + 4 - 2 \sqrt{3}$

$B^{2} = 8 + 2 \sqrt{(16 - 12)} = 8 + 2 \sqrt{4} = 8 + 2 \times 2 = 12$

Alors : $B = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2 \sqrt{3}$

$2)$ Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls :

a) Simplifier $A$ :

$A = \frac{a b^{- 2} {(a^{- 1} b)}^{4} {(a b^{- 1})}^{2}}{a^{2} b {(a^{2} b^{- 1})}^{3} a^{- 1} b}$

$A = \frac{a b^{- 2} \times a^{- 4} b^{4} \times a^{2} b^{- 2}}{a^{2} b \times a^{6} b^{- 3} \times a^{- 1} b}$

$A = \frac{a \times a^{- 4} \times a^{2}}{a^{2} \times a^{6} \times a^{- 1}} \times \frac{b^{- 2} \times b^{4} \times b^{- 2}}{b \times b^{- 3} \times b}$

$A = \frac{a^{- 1}}{a^{7}} \times \frac{b^{0}}{b^{- 1}}$

$A = a^{- 8} \times b$

b) Calculer A pour $a = 10^{- 2}$ et $b = 10^{- 3}$

$A = {(10^{- 2})}^{- 8} \times (10^{- 3}) = 10^{16} \times 10^{- 3} = 10^{13}$ .

$3)$ Factoriser les expressions suivantes:

$E = x^{3} - 8 + (x - 2) (2 x - 3)$

$E = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (2 x - 3)$

$E = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4 + 2 x - 3)$

$E = (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1)$

$F = (5 x - 3) (x + 1) - 6 x + 10 x^{2} + (3 - 5 x)^{2}$

$F = - (3 - 5 x) (x + 1) - 2 x (3 - 5 x) + (3 - 5 x) (3 - 5 x)$

$F = (3 - 5 x) (- (x + 1) - 2 x + (3 - 5 x))$

$F = (3 - 5 x) (- x - 1 - 2 x + 3 - 5 x)$

$F = (3 - 5 x) (- 8 x + 2)$

$4)$ Résoudre dans $I R$ l’équation suivante : $4 - x^{2} = (x + 2) (2 x + 5)$

$4 - x^{2} = (x - 2) (2 x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) = (x - 2) (2 x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) - (x - 2) (2 x - 3) = 0$

$(x - 2) ((x + 2) - (2 x - 3)) = 0$

$(x - 2) (5 - x) = 0$

Donc $: (x - 2) = 0$ ou $(5 - x) = 0$

Alors l’équation admet deux solutions : $x = 2$ et $x = 5$

$5)$ Donner l’écriture scientifique du nombre $G$ tel que :

$G = 15 \times 10^{2} + 2 \times 10^{- 2} - 1, 2 \times 10^{3} = 15 \times 10^{2} + 0.0002 \times 10^{2} - 12 \times 10^{2}$ $G = (15 + 0, 0002 - 12) \times 10^{2} = 3, 0002 \times 10^{2}$

Correction d'exercice 1

$1)$ Construire la figure.

$2)$ Montrer que $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ et $\vec{M N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

• On a:

$N$ est le projeté de $M$ sur ( $A C$ ) parallèlement à $(B C)$

$C$ est le projeté de $B$ sur $(A C)$ parallèlement à $(B C)$

$A$ est le projeté de $A$ sur $(A C)$ parallèlement à $(B C)$

Et $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

Et puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité

Donc: $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A C}$

• Dans le triangle $A B C$ les droites $(M N) / / (B C)$

Alors d’après le théorème direct de Thalès :

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = \frac{2}{3} car : A M = \frac{2}{3} A B$

Alors : $\frac{M N}{B C} = \frac{2}{3}$

Implique que : $M N = \frac{2}{3} B C$

Donc: $\vec{M N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

$3)$ Montrer que $\vec{C F} = \frac{- 1}{3} \vec{B C}$

• On a:

$F$ est le projeté de $N$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A B)$

$B$ est le projeté de $A$ sur $(B C)$ parallèlement à ( $A B$ )

$C$ est le projeté de $C$ sur $(B C)$ parallèlement à $(A B)$

Et $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A C}$

Et puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité

Donc : $\vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Et: $\vec{B F} = \vec{B C} + \vec{C F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Alors : $\vec{B C} + \vec{C F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

$\vec{C F} = \frac{2}{3} \vec{B C} - \vec{B C}$

Donc:
$\vec{C F} = - \frac{1}{3} \vec{B C}$

$4)$ Déduire que : $\vec{M N} = \vec{B F}$

On a : $\vec{M N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ et $\vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Donc: $\vec{M N} = \vec{B F}$

Correction d'exercice 2

$1)$ Vérifier que : $(3 - \sqrt{7})^{2} = 4 (4 - \frac{3}{2} \sqrt{7})$ et $(3 + \sqrt{7})^{2} = 4 (4 + \frac{3}{2} \sqrt{7})$

$(3 - \sqrt{7})^{2} = 9 - 6 \sqrt{7} + 7 = 16 - 6 \sqrt{7} = 4 (4 - \frac{3}{2} \sqrt{7})$

$(3 + \sqrt{7})^{2} = 9 + 6 \sqrt{7} + 7 = 16 + 6 \sqrt{7} = 4 (4 + \frac{3}{2} \sqrt{7})$

$2)$ Montrer que : $a + b = 5$

$a + b = 1 + \sqrt{4 - \frac{3}{2} \sqrt{7}} + 1 + \sqrt{4 + \frac{3}{2} \sqrt{7}} = 2 + \sqrt{\frac{(3 - \sqrt{7})^{2}}{4}} + \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{7})^{2}}{4}} = 2 + \frac{| 3 - \sqrt{7} |}{2} + \frac{| 3 + \sqrt{7} |}{2}$

$= 2 + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} + \frac{3 + \sqrt{7}}{2} = 2 + \frac{3 - \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7}}{2} = 2 + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5$

$3)$ Montrer que : $(a - 1) (b - 1) = \frac{1}{2}$

$= 2 + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} + \frac{3 + \sqrt{7}}{2} = 2 + \frac{3 - \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7}}{2} = 2 + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5$

$4)$ En déduire la valeur du produit : $a b$

On a: $(a - 1) (b - 1) = a b - a - b + 1 = a b - (a + b) + 1 = a b - 5 + 1 = a b - 4$

Puisque: $(a - 1) (b - 1) = a b - 4$

Alors : $a b - 4 = \frac{1}{2}$

Donc: $a b = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$

Correction d'exercice 3

Montrer que : ${(\frac{\sqrt{85} + 1}{2})}^{3} - {(\frac{\sqrt{85} - 1}{2})}^{3} = 64$

On sait que:

$(a)^{3} - (b)^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

Alors :

${(\frac{\sqrt{85} + 1}{2})}^{3} - {(\frac{\sqrt{85} - 1}{2})}^{3} = ((\frac{\sqrt{85} + 1}{2}) - (\frac{\sqrt{85} - 1}{2})) ({(\frac{\sqrt{85} + 1}{2})}^{2} + (\frac{\sqrt{85} + 1}{2}) (\frac{\sqrt{85} - 1}{2}) + {(\frac{\sqrt{85} - 1}{2})}^{2})$

$= (\frac{\sqrt{85} + 1 - \sqrt{85} + 1}{2}) ((\frac{86 + 2 \sqrt{85}}{4}) + (\frac{85 - 1}{4}) + (\frac{86 - 2 \sqrt{85}}{4}))$

$= (\frac{86 + 2 \sqrt{85} + 84 + 86 - 2 \sqrt{85}}{4})$

$= (\frac{256}{4})$

$= 64$

Modèle N°3

Exercice 1： $(8 p t s)$

Soient $x \geq \frac{1}{2}; y \leq 1$ et $x - y = 3$ .

Partie 1 : $(1, 5 + 1 + 1, 5)$

$1)$ Déterminer la valeur du nombre $A$ tel que: $A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}} + \sqrt{(2 y - 2)^{2}}$

$2)$ Montrer que: $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $- \frac{5}{2} \leq y \leq 1$ .

$3)$ En déduire la simplification de l’écriture du nombre: $B = | x + y - 5 | + | x + y + 2 |$

Partie 2 : $(0, 5 + 0, 5 + 1, 5 + 1, 5)$

$1)$ Soient deux intervalles suivants : $I =] - \infty; 3]$ et $J = [- 5; + \infty [$

$a)$ Représenter les deux intervalles sur une droites graduée.

$b)$ Déterminer $I \cap J$ e $I \cup J$ .

$2)$ Résoudre dans $R$ :

$a)$ $| 3 x + 2 | = | 9 x + 8 |$

$b)$ $| 5 x - \frac{1}{2} | > 0$

Exercice 2： $(1 + 1, 5 + 1, 5 + 1, 5 + 1, 5 = 7 p t s)$

$a$ et $b$ deux nombres réels tels que $| 2 b - 3 | \leq 5$ et $5$ une approximation de $4 a - 3$ par excès à $4$ prés.

$1)$ Montrer que $1 \leq a \leq 2$ et $- 1 \leq b \leq 4$

$2)$ Simplifier le nombre $A = | a + b | + | a - 2 b - 4 |$

$3)$ On pose: $x = \frac{6 a^{2} + b}{\sqrt{b + 5} + 2}$

$a)$ Montrer que : $1 \leq x \leq 7$ .

$b)$ En déduire que $4$ valeur approchée de $x$ à $3$ près

Exercice 3： $(1 + 1, 5 + 1, 5 + 1, 5 + 1, 5 = 7 p t s)$

On considère les points $A (4; - 5); B (1; 4)$ et $C (9; - 6)$ et la droite $(D)$ définie par la représentation paramétrique: ${\begin{matrix} x = 9 - 8 t \\ y = - 6 + 10 t \end{matrix} / (t \in R)$

$1)$ $a)$ Vérifier que les points $B$ et $C$ appartiennent à la droite ( $D$ ).

$b)$ Montrer que $5 x + 4 y - 21 = 0$ est une équation cartésienne de la droite ( $D$ ).

$2)$ Soit ( $Δ$ ) la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{O B}$ .

• Montrer que $4 x - y - 21 = 0$ est une équation cartésienne de la droite ( $Δ$ ).

$3)$ Déterminer le couple de coordonnées du point $I$ d’intersection des $(D)$ et ( $Δ$ ).

$4)$ Étudier la position relative des droits $(Δ)$ et $(L)$ de l’équation: $(L) : x + y = 0$ .

Correction d'exercice 1

Soient $x \geq \frac{1}{2}; y \leq 1$ et $x - y = 3$ .

Partie 1 :

$1)$ Déterminer la valeur du nombre $A$ tel que: $A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}} + \sqrt{(2 y - 2)^{2}}$

$A = \sqrt{(2 x - 1)^{2}} + \sqrt{(2 y - 2)^{2}}$

$A = | 2 x - 1 | + | 2 y - 2 |$

On a : $x \geq \frac{1}{2}$ donc : $2 x - 1 \geq 0$

Et : $y \leq 1$ donc : $2 y - 2 \leq 0$

Alors: $A = 2 x - 1 + 2 - 2 y$

$A = 2 x - 2 y + 1$

$A = 2 (x - y) + 1$

$A = 2 \times 3 + 1$

$A = 7$

$2)$ Montrer que: $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $- \frac{5}{2} \leq y \leq 1$ .

On a : $\frac{1}{2} \leq x$ et $x - y = 3 \Rightarrow x = y + 3$

Et on sait que : $y \leq 1 \Rightarrow y + 3 \leq 4 \Rightarrow x \leq 4$

Alors: $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$

On a : $\frac{1}{2} \leq x$ et $\frac{1}{2} \leq y + 3 \Rightarrow \frac{1}{2} - 3 \leq y \Rightarrow - \frac{5}{2} \leq y$

Donc: $- \frac{5}{2} \leq y \leq 1$

$3)$ En déduire la simplification de l’écriture du nombre: $B = | x + y - 5 | + | x + y + 2 |$

On a : $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $- \frac{5}{2} \leq y \leq 1$

Alors : $- 2 \leq x + y \leq 5$

Donc : $- 7 \leq x + y - 5 \leq 0$ (intervalle négatif)

Et : $0 \leq x + y + 2 \leq 7$ (intervalle positif)

Par conséquent : $B = - x - y + 5 + x + y + 2$

Donc : $B = 7$

Partie 2 : $(0, 5 + 0, 5 + 1, 5 + 1, 5)$

$1)$ Soient deux intervalles suivants : $I =] - \infty; 3]$ et $J = [- 5; + \infty [$

$a)$ Représenter les deux intervalles sur une droites graduée.

$b)$ Déterminer $I \cap J$ e $I \cup J$ .

$I \cap J = [- 5; 3]; I \cup J =] - \infty; + \infty [$

$2)$ Résoudre dans $R$ :

$a)$ $| 3 x + 2 | = | 9 x + 8 |$

1er cas: $3 x + 2 = 9 x + 8$

$3 x - 9 x = 8 - 2$

$- 6 x = 6$

$x = - 1$

2ème cas: $3 x + 2 = - (9 x + 8)$

$3 x + 9 x = - 8 - 2$

$12 x = - 10$

$x = \frac{- 10}{12} = \frac{- 5}{6}$

Donc : $S = - 1; \frac{- 5}{6}$

$b)$ $| 5 x - \frac{1}{2} | > 0$

$5 x - \frac{1}{2} > 0$ ou $- (5 x - \frac{1}{2}) > 0$

$5 x > \frac{1}{2} o u - 5 x > - \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{10}$ ou $x < \frac{1}{10}$

$S =] - \infty; \frac{1}{10} [\cup] \frac{1}{10}; + \infty [$

Correction d'exercice 2

$1)$ Montrer que $1 \leq a \leq 2$ et $- 1 \leq b \leq 4$

On a $5$ une approximation de $4 a - 3$ par excès à $4$ prés, c’est-à-dire que :

$1 \leq 4 a - 3 \leq 5$

$4 \leq 4 a \leq 8$

$1 \leq a \leq 2$

On a : $| 2 b - 3 | \leq 5$

C’est-à-dire que : $- 5 \leq 2 b - 3 \leq 5$

$- 2 \leq 2 b \leq 8$

$- 1 \leq b \leq 4$

$2)$ Simplifier le nombre $A = | a + b | + | a - 2 b - 4 |$

On a : $1 \leq a \leq 2$ et $- 1 \leq b \leq 4$

Alors : $0 \leq a + b \leq 6$ donc : $| a + b | = a + b$

et $- 8 \leq - 2 b \leq 2 \Rightarrow - 7 \leq a - 2 b \leq 4 \Rightarrow - 11 \leq a - 2 b - 4 \leq 0$

Donc: $| a - 2 b - 4 | = - (a - 2 b - 4)$

$A = | a + b | + | a - 2 b - 4 | = a + b - a + 2 b + 4 = 3 b + 4$

$3)$ On pose: $x = \frac{6 a^{2} + b}{\sqrt{b + 5} + 2}$

$a)$ Montrer que : $1 \leq x \leq 7$ .

On a : $1 \leq a \leq 2$ et $- 1 \leq b \leq 4$

$1 \leq a^{2} \leq 4 \Rightarrow 6 \leq 6 a^{2} \leq 24 \Rightarrow 5 \leq 6 a^{2} + b \leq 28$

Et : $- 1 \leq b \leq 4 \Rightarrow 4 \leq b + 5 \leq 9 \Rightarrow 2 \leq \sqrt{b + 5} \leq 3 \Rightarrow 4 \leq \sqrt{b + 5} + 2 \leq 5$

Alors: $\frac{5}{5} \leq \frac{6 a^{2} + b}{\sqrt{b + 5} + 2} \leq \frac{28}{4}$

Donc : $1 \leq \frac{6 a^{2} + b}{\sqrt{b + 5} + 2} \leq 7$

$b)$ En déduire que $4$ valeur approchée de $x$ à $3$ près

On a : $1 \leq x \leq 7 \Rightarrow - 3 \leq x - 4 \leq 3 \Rightarrow | x - 4 | \leq 3$

Donc $4$ est une valeur approchée de $x$ à $3$ près.

Correction d'exercice 3

$1)$

$a)$ Vérifier que les points $B$ et $C$ appartiennent à la droite ( $D$ ).

${\begin{cases} x_{A} = 9 - 8 t \\ y_{A} = - 6 + 10 t \end{cases} \Rightarrow {\begin{matrix} 4 = 9 - 8 t \\ - 5 = - 6 + 10 t \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 4 - 9 = - 8 t \\ - 5 + 6 = 10 t \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} - 5 = - 8 t \\ 1 = 10 t \end{matrix} \Rightarrow {\begin{cases} t = \frac{5}{8} \\ t = \frac{1}{10} \end{cases}$

Donc: $A \notin (D)$

${\begin{cases} x_{B} = 9 - 8 t \\ y_{B} = - 6 + 10 t \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} 1 = 9 - 8 t \\ 4 = - 6 + 10 t \end{cases} \Rightarrow {\begin{matrix} 1 - 9 = - 8 t \\ 4 + 6 = 10 t \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} - 8 = - 8 t \\ 10 = 10 t \end{matrix} \Rightarrow {\begin{cases} t = 1 \\ t = 1 \end{cases}$

Donc: $B \in (D)$

$b)$ Montrer que $5 x + 4 y - 21 = 0$ est une équation cartésienne de la droite ( $D$ ).

D’après la représentation paramétrique $\vec{u} (- 8; 10)$ est le vecteur directeur de la droite (D).

$10 x + 8 y + c = 0$

On a : $B \in (D)$

Alors: $10 x_{B} + 8 y_{B} + c = 0 \Rightarrow 10 \times 1 + 8 \times 4 + c = 0 \Rightarrow 42 + c = 0 \Rightarrow c = - 42$

Donc :

$10 x + 8 y - 42 = 2 (5 x + 4 y - 21) = 0$

$5 x + 4 y - 21 = 0$

$2)$ Soit ( $Δ$ ) la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{O B}$ .

On a $A \in (Δ)$ et $\vec{O B} (1; 4)$ vecteur directeur de la droite ( $Δ$ ), donc: $x x - y + c = 0$

Alors : $4 x_{A} - y_{A} + c = 0 \Rightarrow 4 \times 4 + 5 + c = 0 \Rightarrow 21 + c = 0 \Rightarrow c = - 21$

$4 x - y - 21 = 0$

$3)$ Déterminer le couple de coordonnées du point $I$ d’intersection des $(D)$ et ( $Δ$ ).

${\begin{cases} 5 x + 4 y - 21 = 0 \\ 4 x - y - 21 = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} 5 x + 4 y = 21 \\ 4 x - y = 21 \end{cases} \Rightarrow {\begin{matrix} 5 x + 4 y = 21 \\ 16 x - 4 y = 84 \end{matrix}$

$5 x + 16 x + 4 y - 4 y = 21 + 84$

$21 x = 105$

$x = 5$

On remplace $x$ dans : $5 x + 4 y = 21$

$25 + 4 y = 21$

$4 y = - 4$

$y = - 1$

Par conséquent : $I (5; - 1)$

$4)$ Étudier la position relative des droits $(Δ)$ et $(L)$ de l’équation: $(L) : x + y = 0$ .

( $Δ$ ): $4 x - y - 21 = 0$

$(L) : x + y = 0$

On a : $4 \times 1 - 1 \times (- 1) = 4 + 5 = 9 \neq 0$

Donc les droites sont sécantes.

Devoirs Corrigés Maths N°2 S1 Tronc commun