Devoirs Corrigés Maths N°2 S1 Tronc commun
Modèle N°1
Questions indépendantes：$(1×5=5 pts)$
$1)$ Déterminer les entiers relatifs qui vérifient la relation suivante : $|-2 x+3|<6$
$2)$ Montrer que le nombre: $(\sqrt{6}-\sqrt{2}) 2 \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$ est entier naturel.
$3)$ On considère les deux nombres : $a=\sqrt{10}$ et $b=\sqrt{5}+\sqrt{2}-1$
$a$- Vérifier que : $a-b=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)$
$b$- En déduire une comparaison de $a$ et $b$
$4)$ Simplifier l’expression suivante : $B=|1-\sqrt{3}|+|\sqrt{18}-4 \sqrt{2}|-\sqrt{3}-\sqrt{2}$
Exercice 1：$(1+1+1,5+1=4,5 pts)$
$A B C$ un triangle et $D$ le point tel que : $\overrightarrow{B D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$
• Le point $\boldsymbol{E}$ est le projeté de $\boldsymbol{D}$ sur $(\boldsymbol{A C})$ parallèlement à ( $\boldsymbol{A B} $ )
• Le point $\boldsymbol{F}$ est le projeté de $\boldsymbol{E}$ sur $(\boldsymbol{B C})$ parallèlement à ( $\boldsymbol{A D})$
$1)$ Construire la figure.
$2)$ Montrer que $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{D F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D C}$
$3)$ Montrer que $\frac{C D}{C B}=\frac{E D}{A B}$ et $\frac{C D}{C F}=\frac{A D}{E F}$
$4)$ Déduire que : $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D C})$
Exercice 2：$(1+2+0,5+1×2=5,5 pts)$
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que: $|a-1|<\frac{1}{2}$ et $\left|b-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{6}$
$1)$ Montrer que : $\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$ et $\frac{1}{3}<b<\frac{2}{3}$
$2)$ Encadrer chacun des nombres : $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ et $\frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}$ et $-\mathbf{3 a b}$ et $\sqrt{\boldsymbol{a b}}$
$3)$ Développer $(a+2)^{3}$
$4)$ On pose : $A=(a+2)^{3}-(6+a) a^{2}$
• Vérifier que : $A=8+12 a$, en déduire un encadrement de $A$.
Exercice 3：$(1×3=3 pts)$
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $x \leq \frac{1}{2}, y \geq \frac{3}{4}$ et $x-2 y=5$
On pose : $A=\sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}+2 x(x-1)}$ et $B=\sqrt{4 y^{2}+(2 y-3)^{2}+4 y(2 y-3)}$
$1)$ Montrer que : $A=\sqrt{(2 x-1)^{2}}$ et $B=\sqrt{(4 y-3)^{2}}$
$2)$ Simplifier les nombres $\boldsymbol{A}$ et $\boldsymbol{B}$
$3)$ Déterminer la valeur numérique du nombre $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$
Exercice 4：$(2pts)$
Soit $x$ un nombre réel strictement positif tel que : $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{5}$
• Montrer que : $\left|\sqrt{\boldsymbol{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right|=\mathbf{1}$
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Modèle N°2
Questions indépendantes：$(1,5+2+1,5+1+1=7 pts)$
$1)$ On pose : $B=\sqrt{4+2 \sqrt{3}}+\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$
Calculer $\boldsymbol{B}^{2}$ puis déduire une valeur de $\boldsymbol{B}$ plus simple.
$2)$ Soient $\boldsymbol{a}$ et $\boldsymbol{b}$ deux réels non nuls :
$a)$ Simplifier le nombre : $A=\frac{a b^{-2}\left(a^{-1} b\right)^{4}\left(a b^{-1}\right)^{2}}{a^{2} b\left(a^{2} b^{-1}\right)^{3} a^{-1} b}$
$b)$ Calculer $A$ pour : $a=10^{-\mathbf{2}}$ et $\boldsymbol{b}=\mathbf{1 0}^{\mathbf{- 3}}$.
$3)$ Factoriser les expressions suivantes:
$E=x^{3}-8+(x-2)(2 x-3) \text { et } F=(5 x-3)(x+1)-6 x+10 x^{2}+(3-5 x)^{2}$
$4)$ Résoudre dans $IR$ l’équation suivante : $4-x^{2}=(x+2)(2 x+5)$
$5)$ Donner l’écriture scientifique du nombre $\boldsymbol{G}$ tel que :
$G=15 \times 10^{2}+2 \times 10^{-2}-1,2 \times 10^{3}$
Exercice 1：$(2+2+1+1=6 pts)$
Soit $\boldsymbol{A B C}$ un triangle et $\boldsymbol{M}$ un point tel que :
$\overrightarrow{\boldsymbol{A M}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\boldsymbol{A B}}$
• $ N$ est le projeté de $\boldsymbol{M}$ sur $(A C)$ parallèlement à ( $B C)$
• $\boldsymbol{F}$ est le projeté de $N$ sur $(\boldsymbol{B C})$ parallèlement à $(\boldsymbol{A B})$
$1)$ Construire la figure.
$2)$ Montrer que $\overrightarrow{A N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{M N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
$3)$ Montrer que $\overrightarrow{\boldsymbol{C F}}=\frac{\mathbf{- 1}}{\mathbf{3}} \overrightarrow{\boldsymbol{B C}}$
$4)$ Déduire que : $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{B F}$
Exercice 2：$(1+1,5+1,5+1=6 pts)$
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que : $a=1+\sqrt{4-\frac{3}{2} \sqrt{7}}$ et $b=1+\sqrt{4+\frac{3}{2} \sqrt{7}}$
$1)$ Vérifier que : $(3-\sqrt{7})^{2}=4\left(4-\frac{3}{2} \sqrt{7}\right)$ et $(3+\sqrt{7})^{2}=4\left(4+\frac{3}{2} \sqrt{7}\right)$
$2) $Montrer que : $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\mathbf{5}$
$3)$ Montreque : $(a-1)(b-1)=\frac{1}{2}$
$4)$ En déduire la valeur du produit : $a b$
Exercice 3：$(2 pts)$
Montrer que : $\left(\frac{\sqrt{85}+1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{\sqrt{85}-1}{2}\right)^{3}=64$
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Modèle N°3
Exercice 1：$(8 pts)$
Soient $x \geq \frac{1}{2} ; y \leq 1$ et $x-y=3$.
Partie 1 : $(1,5+1+1,5 )$
$1)$ Déterminer la valeur du nombre $A$ tel que: $A=\sqrt{(2 x-1)^{2}}+\sqrt{(2 y-2)^{2}}$
$2)$ Montrer que: $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$.
$3)$ En déduire la simplification de l’écriture du nombre: $B=|x+y-5|+|x+y+2|$
Partie 2 : $(0,5+0,5+1,5+1,5)$
$1)$ Soient deux intervalles suivants : $I=]-\infty ; 3]$ et $J=[-5 ;+\infty[$
$a)$ Représenter les deux intervalles sur une droites graduée.
$b)$ Déterminer $I \cap J$ e $I \cup J$.
$2)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
$a)$ $|3 x+2|=|9 x+8|$
$b)$ $\left|5 x-\frac{1}{2}\right|>0$
Exercice 2：$(1+1,5+1,5+1,5+1,5=7 pts)$
$a$ et $b$ deux nombres réels tels que $|2 b-3| \leq 5$ et $5$ une approximation de $4 a-3$ par excès à $4$ prés.
$1)$ Montrer que $1 \leq a \leq 2$ et $-1 \leq b \leq 4$
$2)$ Simplifier le nombre $A=|a+b|+|a-2 b-4|$
$3)$ On pose: $x=\frac{6 a^{2}+b}{\sqrt{b+5}+2}$
$a)$ Montrer que : $1 \leq x \leq 7$.
$b)$ En déduire que $4$ valeur approchée de $x$ à $3$ près
Exercice 3：$(1+1,5+1,5+1,5+1,5=7 pts)$
On considère les points $A(4 ;-5) ; B(1 ; 4)$ et $C(9 ;-6)$ et la droite $(D)$ définie par la représentation paramétrique: $\left\{\begin{array}{c}x=9-8 t \\ y=-6+10 t\end{array} /(t \in \mathbb{R})\right.$
$1)$$a)$ Vérifier que les points $B$ et $C$ appartiennent à la droite ( $D$ ).
$b)$ Montrer que $5 x+4 y-21=0$ est une équation cartésienne de la droite ( $D$ ).
$2)$ Soit ( $\Delta$ ) la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{O B}$.
• Montrer que $4 x-y-21=0$ est une équation cartésienne de la droite ( $\Delta$ ).
$3)$ Déterminer le couple de coordonnées du point $I$ d’intersection des $(D)$ et ( $\Delta$ ).
$4) $Étudier la position relative des droits $(\Delta)$ et $(L)$ de l’équation: $(L): x+y=0$.
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Devoirs Corrigés Maths N°2 S1 Tronc commun