Devoirs Corrigés Maths N°2 S1 Tronc commun

Modèle N°1

Questions indépendantes:(1×5=5pts)

1) Déterminer les entiers relatifs qui vérifient la relation suivante : |2x+3|<6

2) Montrer que le nombre: (62)22(3+1) est entier naturel.

3) On considère les deux nombres : a=10 et b=5+21

a- Vérifier que : ab=(51)(21)

b- En déduire une comparaison de a et b

4) Simplifier l’expression suivante : B=|13|+|1842|32

Exercice 1:(1+1+1,5+1=4,5pts)

ABC un triangle et D le point tel que : BD=13BC

Le point E est le projeté de D sur (AC) parallèlement à ( AB )

Le point F est le projeté de E sur (BC) parallèlement à ( AD)

1) Construire la figure.

2) Montrer que AE=13AC et DF=13DC

3) Montrer que CDCB=EDAB et CDCF=ADEF

4) Déduire que : BF=13(BC+DC)

Exercice 2:(1+2+0,5+1×2=5,5pts)

Soit a et b deux nombres réels tels que: |a1|<12 et |b12|<16

1) Montrer que : 12<a<32 et 13<b<23

2) Encadrer chacun des nombres : ab et ab et 3ab et ab

3) Développer (a+2)3

4) On pose : A=(a+2)3(6+a)a2

Vérifier que : A=8+12a, en déduire un encadrement de A.

Exercice 3:(1×3=3pts)

Soient x et y deux nombres réels tels que : x12,y34 et x2y=5

On pose : A=x2+(x1)2+2x(x1) et B=4y2+(2y3)2+4y(2y3)

1) Montrer que : A=(2x1)2 et B=(4y3)2

2) Simplifier les nombres A et B

3) Déterminer la valeur numérique du nombre A+B

Exercice 4:(2pts) 

Soit x un nombre réel strictement positif tel que : x+1x=5

Montrer que : |x1x|=1

1) Déterminer les entiers relatifs qui vérifient la relation suivante : |2x+3|<6

On a:  |2x+3|<6

Alors : 6<2x+3<6

Donc : 9<2x<3

Donc : 32<x<92

2) Montrer que le nombre: (62)22(3+1) est entier naturel.

$(\sqrt{6}-\sqrt{2}) 2 \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)=2(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2}) =2\left((\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2})^{2}\right)=2(6-2)=8 \in \mathbb{N}$

3) On considère les deux nombres : a=10 et b=5+21

a) Vérifier que : ab=(51)(21)

ab=1052+1=5×252+1

ab=5(21)(21)=(51)(21)

b) On a: 5>1 et 2>1

Alors : (51)(21)>0

Puisque : ab>0

Donc : a>b

4) Simplifier l’expression suivante : B=|13|+|1842|32

B=|13|+|1842|32

|13|=31 car :13<0

|1842|=4218 car :18<42

Donc: B=31+421832

B=31+423232

B=42421

B=1

1) Construire la figure.

2) Montrer que AE=13AC et DF=13DC

On a :

E est le projeté de D sur (AC) parallèlement à (AB)

A est le projeté de B sur (AC) parallèlement à (AB)

C est le projeté de C sur (AC) parallèlement à (AB)

Et BD=13BC

Puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité.

Donc : AE=13AC

On a :

F est le projeté de E sur (BC) parallèlement à (AD)

D est le projeté de A sur (BC) parallèlement à (AD)

C est le projeté de C sur (BC) parallèlement à (AD)

Et AE=13AC

Puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité.

Donc: DF=13DC

3) Montrer que CDCB=EDAB et CDCF=ADEF

Dans le triangle ABC les droites (DE)//(BA)

Alors d’après le théorème direct de Thalès :

CDCB=EDAB

Dans le triangle ADC les droites (AD)//(EF)

Alors d’après le théorème direct de Thalès :

CDCF=ADEF

4) Déduire que : BF=13(BC+DC)


On a : BF=BD+DF

BF=13BC+13DC

BF=13(BC+DC)

1) Montrer que : 12<a<32 et 13<b<23

• On a : |a1|<12 

Alors : 12<a1<12

12+1<a<12+1

Donc : 12<a<32

• On a : |b12|<16

Alors : |b12|<16

16<b12<16

16+12<b<16+12

Donc : 13<b<23

2) 

Encadrons : ab

12<a<32

13<b<23

1223<ab<3213

16<ab<76

Encadrons : ab

12<a<32

13<b<23

122<ab<3213

34<ab<92

Encadrons : 3ab

12<a<32

13<b<23

16<ab<1

3<3ab<12

Encadrons : ab

12<a<32

13<b<23

16<ab<1

16<ab<1

66<ab<1

3) Développer (a+2)3

On sait que : (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Alors :

(a+2)3=a3+3a2×2+3a×22+23

Donc : 

(a+2)3=a3+6a2+12a+8

4) 

Vérifier que : A=8+12a

A=a3+6a2+12a+86a2a3

A=12a+8

L’encadrement de A:

On a 12<a<32

6<12a<18

14<12a+8<26

1) Montrer que : A=(2x1)2 et B=(4y3)2

On a : A=x2+(x1)2+2x(x1)

x2+(x1)2+2x(x1)=(x+(x1))2, Identité remarquable: (a+b)2=a2+2ab+b2

Alors: A=(2x1)2

On fait la même chose pour B on trouve.

B=(2y+(2y3))2=(4y3)2

2) Simplifier les nombres A et B

A=(2x1)2=|2x1|=(2x1)=12x

Car : x12

C.à.d. : 2x10

B=(4y3)2=|4y3|=4y3

Car : y34

C.à.d. : 4y30

3) Déterminer la valeur numérique du nombre A+B

On a: x2y=5

Donc :

A+B=12x+4y3=2x+4y2=2(x2y)2=2×52=102=12

Montrer que : |x1x|=1

On a : x+1x=5

Donc: (x+1x)2=(5)2

(x)2+2×x×1x+(1x)2=5

x+2+1x=5

x+1x=3

Alors:

|x1x|=|(x1x)2|=|(x)22×x×1x+(1x)2|=|x2+1x|=|x+1x2|=|32|=|1|

Donc: |x1x|=1

Modèle N°2

Questions indépendantes:(1,5+2+1,5+1+1=7pts)

1) On pose : B=4+23+423

Calculer B2 puis déduire une valeur de B plus simple.

2)  Soient a et b deux réels non nuls :

a) Simplifier le nombre  : A=ab2(a1b)4(ab1)2a2b(a2b1)3a1b

b) Calculer A pour : a=102 et b=103.

3) Factoriser les expressions suivantes:

E=x38+(x2)(2x3) et F=(5x3)(x+1)6x+10x2+(35x)2

4) Résoudre dans IR l’équation suivante : 4x2=(x+2)(2x+5)

5) Donner l’écriture scientifique du nombre G tel que :

G=15×102+2×1021,2×103

Exercice 1:(2+2+1+1=6pts)

Soit ABC un triangle et M un point tel que :

AM=23AB

N est le projeté de M sur (AC) parallèlement à ( BC)

F est le projeté de N sur (BC) parallèlement à (AB)

1) Construire la figure.

2) Montrer que AN=23AC et MN=23BC

3) Montrer que CF=13BC

4) Déduire que : MN=BF

Exercice 2:(1+1,5+1,5+1=6pts)

Soient a et b deux réels tels que : a=1+4327 et b=1+4+327

1) Vérifier que : (37)2=4(4327) et (3+7)2=4(4+327)

2)Montrer que : a+b=5

3) Montreque : (a1)(b1)=12

4) En déduire la valeur du produit : ab

Exercice 3:(2pts)

Montrer que : (85+12)3(8512)3=64

1) On pose : B=4+23+423

B2=(4+23+423)2

B2=(4+23)2+24+23×423+(423)2

B2=|4+23|+2(4+23)(423)+|423|

B2=4+23+2(42(23)2)+423

B2=8+2(1612)=8+24=8+2×2=12

Alors : B=12=4×3=23

2)  Soient a et b deux réels non nuls :

a) Simplifier A :

A=ab2(a1b)4(ab1)2a2b(a2b1)3a1b

A=ab2×a4b4×a2b2a2b×a6b3×a1b

A=a×a4×a2a2×a6×a1×b2×b4×b2b×b3×b

A=a1a7×b0b1

A=a8×b

b) Calculer A pour a=102 et b=103

A=(102)8×(103)=1016×103=1013.

3) Factoriser les expressions suivantes:

E=x38+(x2)(2x3)

E=(x2)(x2+2x+4)+(x2)(2x3)

E=(x2)(x2+2x+4+2x3)

E=(x2)(x2+4x+1)

F=(5x3)(x+1)6x+10x2+(35x)2

F=(35x)(x+1)2x(35x)+(35x)(35x)

F=(35x)((x+1)2x+(35x))

F=(35x)(x12x+35x)

F=(35x)(8x+2)

4) Résoudre dans IR l’équation suivante : 4x2=(x+2)(2x+5)

4x2=(x2)(2x3)

(x2)(x+2)=(x2)(2x3)

(x2)(x+2)(x2)(2x3)=0

(x2)((x+2)(2x3))=0

(x2)(5x)=0

Donc :(x2)=0 ou (5x)=0

Alors l’équation admet deux solutions : x=2 et x=5

5) Donner l’écriture scientifique du nombre G tel que :

G=15×102+2×1021,2×103=15×102+0.0002×10212×102 G=(15+0,000212)×102=3,0002×102

1) Construire la figure.

2) Montrer que AN=23AC et MN=23BC

On a:

N est le projeté de M sur ( AC ) parallèlement à (BC)

C est le projeté de B sur (AC) parallèlement à (BC)

A est le projeté de A sur (AC) parallèlement à (BC)

Et AM=23AB

Et puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité

Donc: AN=23AC

Dans le triangle ABC les droites (MN)//(BC)

Alors d’après le théorème direct de Thalès :

AMAB=ANAC=MNBC=23car:AM=23AB

Alors : MNBC=23

Implique que : MN=23BC

Donc: MN=23BC

3) Montrer que CF=13BC

On a:

F est le projeté de N sur (BC) parallèlement à (AB)

B est le projeté de A sur (BC) parallèlement à ( AB )

C est le projeté de C sur (BC) parallèlement à (AB)

Et AN=23AC

Et puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité

Donc : BF=23BC

Et: BF=BC+CF=23BC

Alors : BC+CF=23BC

CF=23BCBC

Donc:
CF=13BC

4) Déduire que : MN=BF

On a : MN=23BC et BF=23BC

Donc: MN=BF

1) Vérifier que : (37)2=4(4327) et (3+7)2=4(4+327)

(37)2=967+7=1667=4(4327)

(3+7)2=9+67+7=16+67=4(4+327)

2) Montrer que : a+b=5

a+b=1+4327+1+4+327=2+(37)24+(3+7)24=2+|37|2+|3+7|2

=2+372+3+72=2+37+3+72=2+62=2+3=5

3) Montrer que : (a1)(b1)=12

a+b=1+4327+1+4+327=2+(37)24+(3+7)24=2+|37|2+|3+7|2

=2+372+3+72=2+37+3+72=2+62=2+3=5

4) En déduire la valeur du produit : ab

On a: (a1)(b1)=abab+1=ab(a+b)+1=ab5+1=ab4

Puisque: (a1)(b1)=ab4

Alors : ab4=12

Donc: ab=12+4=92

Montrer que : (85+12)3(8512)3=64

On sait que:

(a)3(b)3=(ab)(a2+ab+b2)

Alors :

(85+12)3(8512)3=((85+12)(8512))((85+12)2+(85+12)(8512)+(8512)2)

=(85+185+12)((86+2854)+(8514)+(862854))

=(86+285+84+862854)

=(2564)

=64

Modèle N°3

Exercice 1:(8pts)

Soient x12;y1 et xy=3.

Partie 1 : (1,5+1+1,5)

1) Déterminer la valeur du nombre A tel que: A=(2x1)2+(2y2)2

2) Montrer que: 12x4 et 52y1.

3) En déduire la simplification de l’écriture du nombre: B=|x+y5|+|x+y+2|

Partie 2 : (0,5+0,5+1,5+1,5)

1) Soient deux intervalles suivants : I=];3] et J=[5;+[

a) Représenter les deux intervalles sur une droites graduée.

b) Déterminer IJ e IJ.

2) Résoudre dans R :

a) |3x+2|=|9x+8|

b) |5x12|>0

Exercice 2:(1+1,5+1,5+1,5+1,5=7pts)

a et b deux nombres réels tels que |2b3|5 et 5 une approximation de 4a3 par excès à 4 prés.

1) Montrer que 1a2 et 1b4

2) Simplifier le nombre A=|a+b|+|a2b4|

3) On pose: x=6a2+bb+5+2

a) Montrer que : 1x7.

b) En déduire que 4 valeur approchée de x à 3 près

Exercice 3:(1+1,5+1,5+1,5+1,5=7pts)

On considère les points A(4;5);B(1;4) et C(9;6) et la droite (D) définie par la représentation paramétrique: {x=98ty=6+10t/(tR)

1)a) Vérifier que les points B et C appartiennent à la droite ( D ).

b) Montrer que 5x+4y21=0 est une équation cartésienne de la droite ( D ).

2) Soit ( Δ ) la droite passant par A et dirigée par le vecteur OB.

• Montrer que 4xy21=0 est une équation cartésienne de la droite ( Δ ).

3) Déterminer le couple de coordonnées du point I d’intersection des (D) et ( Δ ).

4)Étudier la position relative des droits (Δ) et (L) de l’équation: (L):x+y=0.

Soient x12;y1 et xy=3.

Partie 1 : 

1) Déterminer la valeur du nombre A tel que: A=(2x1)2+(2y2)2

A=(2x1)2+(2y2)2

A=|2x1|+|2y2|

On a : x12 donc : 2x10

Et : y1 donc : 2y20

Alors: A=2x1+22y

A=2x2y+1

A=2(xy)+1

A=2×3+1

A=7

2) Montrer que: 12x4 et 52y1.

On a : 12x et xy=3x=y+3

Et on sait que : y1y+34x4

Alors: 12x4

On a : 12x et 12y+3123y52y

Donc: 52y1

3) En déduire la simplification de l’écriture du nombre: B=|x+y5|+|x+y+2|

On a : 12x4 et 52y1

Alors : 2x+y5

Donc : 7x+y50 (intervalle négatif)

Et : 0x+y+27 (intervalle positif)

Par conséquent : B=xy+5+x+y+2

Donc : B=7

Partie 2 : (0,5+0,5+1,5+1,5)

1) Soient deux intervalles suivants : I=];3] et J=[5;+[

a) Représenter les deux intervalles sur une droites graduée.

b) Déterminer IJ e IJ.

IJ=[5;3];IJ=];+[

2) Résoudre dans R :

a) |3x+2|=|9x+8|

1er cas: 3x+2=9x+8

3x9x=82

6x=6

x=1


 2ème cas:  3x+2=(9x+8)

3x+9x=82

12x=10

x=1012=56

Donc : S=1;56

b) |5x12|>0

5x12>0 ou (5x12)>0

5x>12ou5x>12

x>110 ou x<110

S=];110[]110;+[

1) Montrer que 1a2 et 1b4

On a 5 une approximation de 4a3 par excès à $4$ prés, c’est-à-dire que :

14a35

44a8

1a2

On a : |2b3|5

C’est-à-dire que : 52b35

22b8

1b4

2) Simplifier le nombre A=|a+b|+|a2b4|

On a : 1a2 et 1b4

Alors : 0a+b6 donc : |a+b|=a+b

et 82b27a2b411a2b40

Donc: |a2b4|=(a2b4)

A=|a+b|+|a2b4|=a+ba+2b+4=3b+4

3) On pose: x=6a2+bb+5+2

a) Montrer que : 1x7.

On a : 1a2 et 1b4

1a2466a22456a2+b28

Et : 1b44b+592b+534b+5+25

Alors: 556a2+bb+5+2284

Donc : 16a2+bb+5+27

b) En déduire que 4 valeur approchée de x à 3 près

On a : 1x73x43|x4|3

Donc 4 est une valeur approchée de x à 3 près.

On considère les points A(4;5);B(1;4) et C(9;6) et la droite (D) définie par la représentation paramétrique: {x=98ty=6+10t/(tR)

1)

a) Vérifier que les points B et C appartiennent à la droite ( D ).

{xA=98tyA=6+10t{4=98t5=6+10t{49=8t5+6=10t{5=8t1=10t{t=58t=110

Donc: A(D)

{xB=98tyB=6+10t{1=98t4=6+10t{19=8t4+6=10t{8=8t10=10t{t=1t=1

Donc: B(D)

b) Montrer que 5x+4y21=0 est une équation cartésienne de la droite ( D ).

D’après la représentation paramétrique u(8;10) est le vecteur directeur de la droite (D).

10x+8y+c=0

On a : B(D)

Alors: 10xB+8yB+c=010×1+8×4+c=042+c=0c=42

Donc :

10x+8y42=2(5x+4y21)=0

5x+4y21=0

2) Soit ( Δ ) la droite passant par A et dirigée par le vecteur OB.

On a A(Δ) et OB(1;4) vecteur directeur de la droite ( Δ ), donc: xxy+c=0

Alors : 4xAyA+c=04×4+5+c=021+c=0c=21

4xy21=0

3) Déterminer le couple de coordonnées du point I d’intersection des (D) et ( Δ ).

{5x+4y21=04xy21=0{5x+4y=214xy=21{5x+4y=2116x4y=84

5x+16x+4y4y=21+84

21x=105

x=5

On remplace x dans : 5x+4y=21

25+4y=21

4y=4

y=1

Par conséquent : I(5;1)

4) Étudier la position relative des droits (Δ) et (L) de l’équation: (L):x+y=0.

( Δ ): 4xy21=0

(L):x+y=0

On a : 4×11×(1)=4+5=90

Donc les droites sont sécantes.

Devoirs Corrigés Maths N°2 S1 Tronc commun