Devoirs Corrigés Maths N°1 S2 Tronc commun
Modèle N°1
EXERCICE 1
(4 pts)
La courbe ci-contre est la courbe d’une fonction \(f\). On précise de plus que \(f(3,5) = 0\).
1) Donner l’ensemble de définition de \(f\). (0,5 pt)
2) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1 pts)
3) Résoudre graphiquement les inéquations : \(f(x) \geq 0\) et \(f(x) \leq 0\). (1 pts)
4) Résoudre graphiquement l’inéquation : \(f(x) > 2\). (0,5 pts)
5) Résoudre graphiquement les équations : \(f(x) = 0\) et \(f(x) = 2\). (1 pts)
EXERCICE 2
(5 pts)
Considérons la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par : \(g(x) = 4x^2 + \frac{1}{x}\).
1) Montrer que pour tous \(x\) et \(y\) de \(\mathbb{R}^*\) tels que \(x \neq y\), on a :
\(\displaystyle \frac{g(x) – g(y)}{x – y} = 4(x + y) – \frac{1}{xy}\). (1 pts)
2) Étudier la monotonie de \(g\) sur \(]-\infty, 0[\), sur \(]0, \frac{1}{2}[\) et sur \([\frac{1}{2}, +\infty[\). (3 pts)
3) Dresser le tableau de variations de \(g\). (1 pts)
EXERCICE 3
(11 pts)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques définies par : \(f(x) = -2x^2 + 4x \) et \(g(x) = \frac{x}{x-1}\).
1) Déterminer la nature de \((C_f)\) la courbe de \(f\). (1 pt)
2) Donner le tableau de variations de \(f\). (1 pt)
3) Déterminer les extrémums de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
4) a) Construire \((C_f)\). (1 pts)
b) Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) : \(f(x) = 0\), \(f(x) ≥ 0\) et \(f(x) < 0\). (1,5 pts)
5) Déterminer la nature de \((C_g)\) la courbe de \(g\). (1 pt)
6) Donner le tableau de variations de \(g\). (1 pt)
7) Déterminer les points d’intersection de \((C_g)\) avec les axes du repère. (1 pt)
8) a) Construire \((C_g)\) dans le même repère. (1,5 pts)
b) Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) : \(f(x) = g(x)\) et \(f(x) \geq g(x)\). (1 pts)
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Modèle N°2
EXERCICE 1
(5 pts)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(]0; +\infty[\) par leurs graphes.
1) Déterminer \(f(1)\) ; \(f(2)\) ; \(g(5)\) ; \(g(1)\). (1 pt)
2) Dresser le tableau de variations de \(f\). (1 pt)
3) Résoudre graphiquement les équations suivantes :
\(f(x) = 0\) ; \(g(x) = f(x)\). (1,5 pts)
4) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
\(f(x) < 3\) ; \(f(x) < g(x)\). (1,5 pts)
EXERCICE 2
(pts)
Soit \(f\) une fonction définie par :
\(\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
1) Vérifier que l’ensemble de définition de \(f\) est \(D_f = \mathbb{R}\). (1 pt)
2) Étudier la parité de la fonction \(f\). (1 pt)
3) Montrer que pour tout \(x, y \in \mathbb{R}^+\) on a :
\(\displaystyle f(x) – f(y) = \frac{(1 – xy)(x – y)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)}\). (1,5 pts)
4) Étudier le sens des variations de \(f\) sur \([0; 1]\) puis sur \([1; +\infty[\). (2 pts)
5) En déduire le sens des variations de \(f\) sur \([-1; 0]\) puis sur \(]-\infty; -1]\). (1,5 pts)
6) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
EXERCICE 3
(pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = -x^2 + 2x\)
1) Dresser le tableau des variations de \(f\) en justifiant votre réponse. (2 pts)
2) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère. (2 pts)
3) Construire la courbe \((C_f)\) dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\). (2 pts)
4) Soit \(g\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = -x^2 + 2|x|\)
a) Étudier la parité de la fonction \(g\). (1 pt)
b) Construire dans le même repère la courbe \((C_g)\) avec une autre couleur en justifiant la méthode de construction. (2 pts)
c) Discuter suivant les valeurs du paramètre \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(g(x) = m\). (2 pts)
5) Soit \(h\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(h(x) = |f(x)|\)
a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x) \geq 0\). (1 pt)
b) Tracer la courbe \((C_h)\) dans un autre repère en justifiant la méthode de construction. (2 pts)
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Devoirs Corrigés Maths N°2 S2 Tronc commun