Devoirs Corrigés Maths N°3 S1 3AC

Modèle N°1

Exercice 1:$(4×0,5=2$ pts)

$1)$  Compléter par: Vrai ou Faux

* Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté$……..$

* Le sinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent sur l’hypoténuse$……..$

* Si $\hat{x}$ un angle aigu, alors : $\cos {\hat{x}} +\sin {\hat{x}} =1$$……..$

* Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure$……..$

Exercice 2:$(1,5+1,5+1,5+2+1,5=8$ pts)

$1)$ Soit $E F G$ un triangle, avec : $E F=4 ; E G=2 \sqrt{5}$ et $F G=6$.

• Montrer que $E F G$ est un triangle rectangle et préciser en quel sommet.

$2)$ Calculer $: \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \widehat{\boldsymbol{F}};  \boldsymbol{\operatorname { s i n }} \widehat{\boldsymbol{F}} ; \boldsymbol{\operatorname { t a n }} \widehat{\boldsymbol{F}}$

$3)$ Calculer $: \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \widehat{\boldsymbol{G}} ; \sin \widehat{\boldsymbol{G}} ; \tan \widehat{\boldsymbol{G}}$

$4)$ Soit $I$ le milieu de $[E F]$ et $H$ sa projeté orthogonal sur la droite (FG).

$4-1) $ Calculer $I G$.

$4-2)$ Calculer $I H$.

Exercice 3:$(1 + 1+ 1,5+1,5+2=7$ pts)

Soit un triangle $EDF$ rectangle en $D$.

$1)$  Soit $x$ un angle aigu tel que : $\cos x=\frac{2}{5}$.

$1-1)$ Calculer: $\sin x$

$1-2)$ Calculer: $\tan x$

$2)$ Calculer :

 $A=2 \cos ^{2} 17^{\circ}+1+2 \sin ^{2} 17^{\circ}$

$B=3 \sin ^{2} 10^{\circ}+\sqrt{5} \cos 20^{\circ}+3 \sin ^{2} 80^{\circ}-\sqrt{5} \sin 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \times \tan 40^{\circ}$

$3)$ Montrer que : $\frac{(\cos x+\sin x)^{2}-1}{1-\cos ^{2} x}=\frac{2}{\tan x}$

Exercice 4:$(1 + 1+ 1 = 3$ pts)

Soit la figure ci-contre tel que $O$ est le centre du cercle.

$A, B, N$ et $M$ sont des points du cercle tel que : $\widehat{A M B}=45^{\circ}$.

$1)$ Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{A N B}$. Justifier votre réponse.

$2)$ Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{A O B}$. Justifier votre réponse.

$3)$ Déduire que le triangle $A O B$ est rectangle isocèle.

$1)$  Compléter par: Vrai ou Faux

* Vrai

* Faux

* Faux

* Faux

$1)$ Soit $E F G$ un triangle, avec : $E F=4 ; E G=2 \sqrt{5}$ et $F G=6$.

$F G^{2}=6^{2}=36$ et $E F^{2}+E G^{2}=4^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=16+20=36$

Puisque : $E F^{2}+E G^{2}=F G^{2}$

Alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ EFG$ est rectangle en $ E$.

$2)$ Calculer :

$ \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \widehat{\boldsymbol{F}}=\frac{EF}{FG}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$  \boldsymbol{\operatorname { s i n }} \widehat{\boldsymbol{F}}=\frac{EG}{FG}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\boldsymbol{\operatorname { t a n }} \widehat{\boldsymbol{F}}=\frac{EG}{EF}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

$3)$ Calculer :

$ \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \widehat{\boldsymbol{G}} =\frac{EG}{FG}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

$ \sin \widehat{\boldsymbol{G}}=\frac{EF}{FG}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$ \tan \widehat{\boldsymbol{G}}=\frac{EF}{EG}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$4)$ Soit $I$ le milieu de $[E F]$ et $H$ sa projeté orthogonal sur la droite (FG).

$4-1) $ Calculer $I G$.

Le triangle $IEG$ est rectangle en $E$.

Alors d’après le théorème direct de pythagore :

$I G^{2}= IE^{2}+E G^{2}$

$I G^{2}= 2^{2}+(2\sqrt{5})^{2}$

$I G^{2}= 4+20$

$I G^{2}=24$

$I G=2\sqrt{6}$

$4-2)$ Calculer $I H$.

On a : $ \sin \widehat{E\boldsymbol{F}G}=\sin \widehat{I\boldsymbol{F}H}$

C’est à dire que : $\frac{EG}{FG}=\frac{IH}{FI}$

Donc : $\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{IH}{2}$

Alors : $IH=\frac{2\sqrt{5}}{6}×2$

Donc : $IH=\frac{2\sqrt{5}}{3}$

$1)$  Soit $x$ un angle aigu tel que : $\cos x=\frac{2}{5}$.

$1-1)$ Calculons $\sin x$ :

On sait que : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$

Alors : $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=1-\frac{4}{25}=\frac{21}{25}$

Donc : $\sin x=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$

$1-2)$  Calculons $\boldsymbol{\operatorname { t a n }} \boldsymbol{x}$ :

On sait que $: \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$

$2)$ Calculer :

 $A=2 \cos ^{2} 17^{\circ}+1+2 \sin ^{2} 17^{\circ}$

 $A=2 \cos ^{2} 17^{\circ}+2 \sin ^{2} 17^{\circ}+1$

 $A=2×( \cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ})+1$

 $A=2×( 1)+1$

 $A=3$

$B=3 \sin ^{2} 10^{\circ}+\sqrt{5} \cos 20^{\circ}+3 \sin ^{2} 80^{\circ}-\sqrt{5} \sin 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \times \tan 40^{\circ}$

$B=3 \sin ^{2} 10^{\circ}+3 \sin ^{2} 80^{\circ}+\sqrt{5} \cos 20^{\circ}-\sqrt{5} \sin 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \times \tan 40^{\circ}$

$B=3 \sin ^{2} 10^{\circ}+3 \cos ^{2} 10^{\circ}+\sqrt{5} \cos 20^{\circ}-\sqrt{5} \cos20^{\circ}-\tan 50^{\circ} \times \frac{1}{\tan 50^{\circ} }$

$B=3×1- \frac{\tan 50^{\circ}}{\tan 50^{\circ} }$

$B=3×1- 1$

$B=2$

$3)$ Montrer que : $\frac{(\cos x+\sin x)^{2}-1}{1-\cos ^{2} x}=\frac{2}{\tan x}$

$\frac{(\sin x+\cos x)^{2}-1}{1-\cos ^{2} x}=\frac{\left(\sin ^{2} x+2 \cos x \times \sin x+\cos ^{2} x\right)-1}{\sin ^{2} x}$

$\frac{\left(\sin ^{2} x+2 \cos x \times \sin x+\cos ^{2} x\right)-1}{\sin ^{2} x}=\frac{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \cos x \times \sin x\right)-1}{\sin ^{2} x}$

$\frac{(1+2 \cos x \times \sin x)-1}{\sin ^{2} x}=\frac{2 \cos x \times \sin x}{\sin ^{2} x}=\frac{2 \cos x}{\sin x}=\frac{2}{\tan x}$

 $1)$ Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{A N B}$. Justifier votre réponse.

 $\widehat{A N B}$ et  $\widehat{A M B}$ deux angles inscrits interceptent le même arc $\overparen{A B}$ , alors ils ont la même mesure.

$\widehat{A N B}=\widehat{A M B}=45°$

$2)$ Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{A O B}$. Justifier votre réponse.

On a $\widehat{A O B}$ est un angle au centre et $\widehat{A M B}$ est un angle inscrit interceptent le même arc $\overparen{A B}$.

Donc : $\widehat{A O B}=2×\widehat{A M B}=2×45°=90°$

$3)$ Déduire que le triangle $A O B$ est rectangle isocèle.

On a : $\widehat{A O B}=90°$

Et : $OA=OB$ car c’est le rayon.

Donc : le triangle $A O B$ est rectangle isocèle.

Modèle N°2

Exercice 1:$(4×1,5=6$ pts)

Soit $E F G$ un triangle tel que: $E F=5 ; E G=1 2$ et $F G=13$ .

• Calculer $\cos \hat{F}$ , $\tan \hat{F}, \sin \hat{F} \quad et \quad \sin \hat{G}$  .

Exercice 2:$(2 + 2+ 2+1,5+1,5=9$ pts )

$1)$ Soit $x$ un angle aigu tel que :$ \frac{4 \cos x-9 \sin x}{2 \cos x-3 \sin x}=4 $

Calculer  $\tan x$

$2)$ Soit $x$ un angle aigu tel que : $\cos x-\sin x=\sqrt{2} \cdot \sin x$

$a)$ Montrer que: $\cos x+\sin x=\sqrt{2} \cos x$

$b)$ Calculer $\cos x$ et $\sin x$

$3)$ Calculer

$ A=3 \cos 37^{\circ}+\sin ^{2} 19^{\circ}+\sin ^{2} 71^{\circ}+3 \cos ^{2} 53^{\circ} $

$ B=\frac{1}{\tan ^{2} 57^{\circ}+1}-\frac{\tan ^{\circ} 33^{\circ}}{\tan ^{2} 33^{\circ}+1}$

Exercice 3:$(1,5+2+1,5=5$ pts )

Soit la figure ci-contre tel que $\theta$ est le centre du cercle.

$A, B, C$ et $M$ sont des points du cercle tel que: $A B C$ est un triangle équilatéral.

$1)$ Déterminer la mesure de l’angle $A \widehat{M }B$. Justifier votre réponse.

$2)- a)$ Déterminer la mesure de l’angle $A \widehat{M }C$, puis déduire la mesure de l’angle $B \widehat{M }C$.

$b)$ Déterminer la mesure de l’angle $\hat{A O B}$

On doit montrer que $EFG$ est un triangle rectangle.

On a : $E F^{2}+E G^{2}=5^{2}+1 2^{2}=25+144$

$E F^{2}+E G^{2}=169$

et $F G^{2}=133^{2}=169$

Alors: $E F^{2}+E G^{2}=F G^{2}$

Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, le triangle $E F G$ est rectangle en $E$

$ \tan \hat{F}=\frac{E G}{E F}=\frac{1 2}{5} $

$ \sin \hat{G}=\frac{E F}{F G}=\frac{5}{13} \$

$\sin \hat{F}=\frac{E G}{F G}=\frac{12}{13} $

$ \cos \hat{F}=\frac{E F}{F G}=\frac{5}{13}$

$1)$ Calculons $\tan x$ :

On a: $ \frac{4 \cos x-9 \sin x}{2 \cos x-3 \sin x}=4$

Alors: $4(2 \cos x-3 \sin x)=4 \cos x-9 \sin x$

$8 \cos x-12 \sin x  =4 \cos x-9 \sin x $

$8 \cos x-4 \cos x  =-9 \sin x+12 \sin x $

$4 \cos x  =3 \sin x$

Donc: $\quad \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3}$

D’où :

$\tan x=\frac{4}{3}$

$2)$ $a)$ Montrons que: $\cos x+\sin x=\sqrt{2} \cos x$

on a: $\cos x-\sin x=\sqrt{2} \sin x$

Alars: $\quad \cos x=\sqrt{e} \sin x+\sin x$

c.a.d $\cos x=(\sqrt{2}+1) \sin x$

on a : $\cos x+\sin x=\sqrt{2} \sin x+\sin x+\sin x$

$\cos x+\sin x=\sqrt{2} \sin x+2 \sin x $

$\cos x+\sin x=\sqrt{2} \sin x \cdot(\sqrt{2}+1)$

$\cos \sqrt{2} \times \sqrt{2}=2$

Alors: $\cos x+\sin x=\sqrt{2} \cos x$

Donc: $\Rightarrow \cos x+\sin x=\sqrt{2} \cos x$

$b)$ Calculons $\cos x$ et $\sin x$ :

On a: $\cos x+\sin x=\sqrt{2} \cos x$

C.à.d. $\quad \sin x=\sqrt{1} \cos x-\cos x$

$\sin x=(\sqrt{2}-1) \cos x$

on sait que: $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$

Alors: $\cos ^{2} x+[(n-1)+x]^{2}=1$

$ \cos ^{2} x+(\sqrt{2}-1)^{2} \cos ^{2} x=1 $

$ \cos ^{2} x\left(1+(\sqrt{2}-1)^{2}\right)=1$

$\cos ^{2} x(1+(2-2 \sqrt{2}+1))=1 $

$\cos ^{2} x(1+3-2 \sqrt{2})=1 $

$\cos ^{2} x(4-2 \sqrt{2})=1$

$\cos ^{2} x(4-2 \sqrt{2})=1 $

$2(2-\sqrt{2}) \cos ^{2} x=1 $

$\cos ^{2} x=\frac{1}{2(2-\sqrt{2})} $

$\cos ^{2} x=\frac{2+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}$

C.à.d.  $\cos ^{2} x=\frac{2+\sqrt{2}}{2\left(2^{2}-\sqrt{2}^{2}\right)}=\frac{2+\sqrt{2}}{2(4-2)} $

$ \cos ^{2} x=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Alors : $\cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

On sait que: $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$

D’où: $\cos ^{2}: \sin ^{2} x  =1-\cos ^{2} x $

$\sin ^{2} x  =1-\left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)$

Alors: $\sin ^{2} x=\frac{4-(2+\sqrt{2})}{4}$

$\sin ^{2} x=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

D’où: $\cos : \sin x=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$3)$ $A=3 \cos ^{2} 37^{\circ}+\sin ^{2} 19^{\circ}+\sin ^{2} 71^{\circ}+3 \cos ^{2} 53^{\circ}$

On a: $37^{\circ}+53^{\circ}=90^{\circ}$ et $19^{\circ}+71^{\circ}=90^{\circ}$

Alors :

$A  =3 \cos ^{2} 37^{\circ}+\sin ^{2} 19^{\circ}+\sin ^{2} 71^{\circ}+3 \cos ^{2} 53^{\circ} $

$A =3 \cos ^{2} 37^{\circ}+\sin ^{2} 19+\cos ^{2} 19^{\circ}+3 \sin ^{2} 37^{\circ}$

$A =3\left(\cos ^{2} 37^{\circ}+\sin ^{2} 37\right)+\left(\sin ^{2} 19^{\circ}+\cos ^{2} 19^{\circ}\right) $

$A =3 \times 1+7 $

$A  =4$

$ B=\frac{1}{\tan ^{2} 57^{\circ}+1}-\frac{\tan ^{2} 33}{\tan ^{2} 33^{\circ}+1}$

On a: $57^{\circ}+33^{\circ}=90^{\circ}$

D’où: $\tan 57^{\circ}=\frac{1}{\tan 33^{\circ}}$

Alors: $\frac{\beta}{\tan ^{2} 57^{\circ}+1}=\frac{\beta}{\frac{\beta}{\tan 33^{\circ}}+1}$

$B=\frac{\beta}{\frac{s+\tan 33^{\circ}}{\tan 33^{\circ}}}=\frac{\tan 33^{\circ}}{1+\tan 33^{\circ}} $

$B=0$

$1)$ $A \hat{M} B$ ?

On a $A B C$ un triangle équilatéral.

Alors :

$A \hat{B} C =C \hat{A}B=B \hat{A} C=60^{\circ}$

Et on sait que l’angle inscrit $\hat{A M B}$ et l’angle inscrit $A \hat{C} B$ interceptent le même arc $\widehat{A B}$, alors ses angles ont même mesure.

Donc: $\hat{A M B}=\hat{A C B}=60^{\circ}$

Alors: $A \hat{M B}=60^{\circ}$

$2)$$a)$ $A \hat{M} C$?

On a les deux angles inscrits $A \hat{M} C$ et $A \hat{B }C$ interceptent le même arc, alors ces angles ont même mesure.

D’où : $A \hat{M} C=A \hat{B} C=60^{\circ}$

Alors $A \hat{M} C=60^{\circ}$

(*) $B \hat{M} C$

On a: $\quad B \hat{M} C=A \hat{M} B+A \hat{M} C$

Alors: $B \hat{M} C=120^{\circ}$

$b)$ On sait que l’angle inscrit $A \widehat{C B}$ intercepte le même arc $\widehat{A B}$ que l’angle au centre $\hat{A O B}$.

Donc: $A \hat{O} B=2 A \hat{C} B$

Or: $A \hat{C} B=60^{\circ}$

Alors: $A \hat{O} B=2 \times 60=120^{\circ}$

Devoirs Corrigés Maths N°3 S1 3AC