Devoirs Corrigés Maths N°3 S2 Tronc commun
Modèle 1
EXERCICE 1
(5 pts)
\(SABD\) est un tétraèdre de base le triangle \(BAD\) rectangle en \(A\) tel que \((SA)\) est perpendiculaire aux droites \((AD)\) et \((AB)\).
Soit \(E\) un point de \([BD]\).
1) Montrer que la droite \((SA)\) est orthogonale au plan \((ABD)\). (1 pt)
2) En déduire que la droite \((SA)\) est orthogonale à la droite \((BD)\). (1 pt)
3) Quelle est la nature du triangle \(SAE\) ? (1 pt)
4) Sachant que \(SA = 5\text{cm}\), \(AD = 2\text{cm}\) et \(AB = 6\text{cm}\), calculer le volume du solide \(SABD\). (2 pts)
EXERCICE 2
(3 pts)
\(ABCD\) est un tétraèdre régulier, et \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
1) Démontrer que la droite \((AB)\) est orthogonale au plan \((CID)\). (1,5 pts)
2) En déduire que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales. (1,5 pts)
EXERCICE 3
(6 pts)
On connaît la distribution des fréquences de poids (en kg) pour 200 personnes réalisée au cours d’une étude sur l’obésité :
| Tranche de poids (xᵢ) | Fr | Effectifs | ECC |
|---|---|---|---|
| [60,70[ | 0,175 | ||
| [70,80[ | 0,145 | ||
| [80,90[ | 0,2 | ||
| [90,100[ | 0,235 | ||
| [100,110[ | 0,16 | ||
| [110,120[ | 0,035 | ||
| [120,130[ | 0,05 |
1) Recopier et compléter ce tableau. (2 pts)
2) Calculer la moyenne \(M_o\) de cette série. (1,5 pts)
3) Déterminer la classe modale de cette série. (0,5 pt)
4) Construire l’histogramme de cette série. (2 pts)
EXERCICE 4
(6 pts)
Le tableau suivant donne la répartition des notes d’une classe de 35 élèves :
| Note | 2 | 4 | 5 | 6 | 9 | 11 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 3 | 2 | 2 | 6 | 4 | 4 | 5 | 3 | 3 | 2 |
| ECC | |||||||||||
| ECDF | |||||||||||
| FCC | |||||||||||
| FCD |
1) Recopier et compléter ce tableau. (2 pts)
2) Déterminer la médiane de cette série. (1 pt)
3) Déterminer le pourcentage des élèves ayant au moins la moyenne. (1 pt)
4) Construire le polygone des effectifs cumulés de cette série. (2 pts)
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Modèle 2
Questions indépendantes
(4.5 pts)
1) Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
\(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 – 1}}{x^3 – 3x + 2}\)
\(g(x) = \dfrac{1}{x^2 – |x|}\)
\(h(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 -1}{x}}\)
2) Étudier la parité de la fonction \(R\) définie par :
\(R(x) = |3x – 2| – |3x + 2|\)
3) On donne : \(BC = 4\), \(AC = 7\), \(AB = 5\). Déterminer :
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
4) En déduire : \(\cos(\widehat{C})\) et \(\cos(\widehat{A})\).
EXERCICE 1
(7.5 pts)
1) On considère la fonction \(f\) définie par :
\(f(x) = \dfrac{x – 2}{x + 1}\)
a) Donner le tableau de variations de la fonction \(f\).
b) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
c) Déterminer le point d’intersection de \((C_f)\) avec la droite \(\Delta : y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}\).
d) Tracer \((C_f)\) et la droite \(\Delta \).dans un repère orthonormé.
2) Résoudre graphiquement : \(f(x) + \dfrac{1}{3}x – \dfrac{2}{3} > 0\).
3) On considère la fonction \(g\) définie par :
\(g(x) = \dfrac{|x| – 2}{|x| + 1}\)
a) Tracer \((C_g)\).
b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\).
EXERCICE 2
(3.5 pts)
Soit \(ABM\) un triangle tel que :
\(AB = 2\sqrt{2}\), \(AM = 3\) et \(\widehat{BAM} = \dfrac{\pi}{4}\).
1) Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM}\), puis en déduire la distance \(BM\).
2) Soit \(I\) le milieu de \([BM]\) et \(J\) le milieu de \([AB]\).
a) Calculer la distance \(AI\) (théoreme de la médiane).
b) Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AJ}\).
EXERCICE 3
(4.5 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. \(M\) et \(N\) sont deux points tels que :
\(\overrightarrow{CM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{DC}\) .
1) Montrer que la droite \((BN)\) est l’image de la droite \((AM)\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2) On considère l’homothétie \(h\) de centre \(M\) qui transforme \(B\) en \(C\).
a) Démontrer que le rapport de l’homothétie \(h\) est \(-2\).
b) Montrer que l’image de la droite \((AB)\) par l’homothétie \(h\) est la droite \((CD)\).
3) Soit \(K\) le point tel que \(\overrightarrow{KM} = 2\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que \(h(N) = K\).
b) Démontrer que \(AM = \dfrac{1}{2}CK\).
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