Droites des milieux dans un triangle exercices corrigés 2AC

Exercice 1: 

Sur la figure ci-contre, $E$ est le milieu de $[TR]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$.

$a)$ Que peut-on dire des droites $(EF) et (RS)$ ?

$b)$ Quelle relation peut-on écrire entre les longueurs EF et RS ?

Sur la figure ci-contre, $E$ est le milieu de $[TR]$ et $Fv est le milieu de$ [TS]v.
$a)$ Que peut-on dire des droites $(EF)$ et $(RS)$ ?

$E$ est le milieu de $[TR]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$.

Alors : $(EF) // (RS)$

$b)$ Quelle relation peut-on écrire entre les longueurs $EF$ et $RS$ ?

$RS = 2 EF$   ou  $EF = RS / 2$

Exercice 2:   

Construire le triangle $ABC$ tel que $AB=5cm$ ; $AC=4cm$ et $CÂB=55°$.

$1)$ Place les points $I$ et $J$ milieux respectifs des cotés $[BA]$ et $[BC]$.

$2)$ Calcule la longueur $IJ$ en justifiant clairement la démarche utilisée.

Construire le triangle $ABC$ tel que $AB=5cm$ ; $AC=4cm$ et $CÂB=55°$.

$1)$ Place les points $ I$ et $J$ milieux respectifs des cotés $[BA]$ et $[BC]$.


$2)$ Calcule la longueur $IJ$ en justifiant clairement la démarche utilisée.

$I$ et $J$ milieux respectifs des cotés $[BA]$ et $[BC]$.

Donc : $IJ = \frac{BC}{2}$ 

Pour la valeur de $BC$ on va utiliser la règle.

Exercice 3:   

Observe le dessin de Karim. Dans le triangle $KJL$, il veut montrer que les droites $(KL) $ et $(MN)$ sont parallèles.

• A l’aide du codage du dessin, rédige une démonstration.

Observe le dessin de Karim. Dans le triangle $KJL$, il veut montrer que les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont parallèles.

• A l’aide du codage du dessin, rédige une démonstration.

M et N milieux respectifs des cotés $[KJ] $ et $[LJ]$.alors les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Exercice 4:   

$RST$ est un triangle tel que $RS=8cm$, $RT=6cm$ et $TS=7cm$. $P$ est le milieu de $[RT]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$.

$1)$ Fais un dessin à main levée et code-le.

$2)$ Montre que $(RS)$et $(PF)$ sont parallèles.

$3)$ Calcule $PF$ en justifiant la démarche utilisée.

$1)$ Fais un dessin à main levée et code-le.


$2)$ Montre que $(RS)$ et $(PF)$ sont parallèles.

$P$ est le milieu de $[RT]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$ ,Alors $(RS)$ et $(PF)$ sont parallèles. 

$3)$ Calcule $PF $ en justifiant la démarche utilisée.

Tels que :$ P $est le milieu de $[RT]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$

Alors $PF = \frac{RS}{2}$

$PF =\frac{8}{2}$

$PF = 4cm$

Exercice 5: 

$EFG$ est un triangle rectangle en $F$ tel que $EF= 5 cm$ et $FG = 3,5 cm$. Soit $A$ le milieu de $[EF]$ et $B$ le milieu de $[EG]$.

$1)$ Fais un dessin en vraie grandeur et code-le

$2)$ Montre que $(AB)$ est parallèle à $(FG)$.

$3)$ Déduis-en que $(AB)$ est perpendiculaire à $(EF)$.

$1)$ Fais un dessin en vraie grandeur et code-le


$2)$ Montre que $(AB)$ est parallèle à $(FG)$.

Soit $A$ le milieu de $[EF]$ et $B$ le milieu de $[EG]$.

Alors : $(AB)//(FG)$

$3)$ Déduis-en que $(AB)$ est perpendiculaire à $(EF)$.

La droite $(FG)$ est perpendiculaire à $(EF)$. et $(AB)//(FG)$

Donc :La droite $(AB)$ est perpendiculaire à $(EF)$.

Exercice 6:   

Sur la figure ci-contre, $L$ est le milieu du segment $[JH]$ . La droite parallèle à $(HI)$ qui passe par $L$ coupe $[JI]$ en $K$ .

$a)$ Que peut-on dire du point $K$ ?

$b)$ Que peut-on affirmer pour la longueur $LK$ ?

$a)$ Que peut-on dire du point $K$ ?

$L$ est le milieu du segment $[JH]$ .

La droite parallèle à $(HI)$ qui passe par $L$ coupe $[JI]$ en $K$ ,signifier que : $(KL)//(IH)$.

Donc : $K$ est le milieu du segment $[IJ]$ .

$b)$ Que peut-on affirmer pour la longueur $LK$ ?

$LK = \frac{IH}{2}$

Exercice 7:   

Les droites vertes sont parallèles :

• Démontre que $H$ est le milieu de $[MN]$

Les droites vertes sont parallèles :
•  Démontre que $H$ est le milieu de $[MN]$

$K$ est le milieu de $[MP]$ et $(KH)//(PN)$:

Alors : $H$ est le milieu de $[MN]$

Exercice 8:   

Dans chaque cas,  répondre à la question en justifiant.

 

 Calculer $DC$:

$ABCD$ est un parallélogramme:

donc : $(BG)//(DC) $

En plus $G$ est le milieu du segment $[DE]$, alors $B$ est le milieu de $[EC]$.

Donc : $DC = 2×GB = 2×1,4 = 2,8$

 Calculer $OM$:

$M$ est le milieu de $[BC]$ et $O$ est le milieu de $[AC]$ (car :  Les deux diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu).

donc : $OM =  \frac{DC}{2} = \frac{2}{2} =1$

 Calculer $IJ$ :

$I$ est le milieu du segment $[MN]$, car $(HI)//(KN)$ et $H$ est le milieu de $[MK]$.

Et tel que : $(IJ)//(NP)$

Alors $J$ est le milieu de $[MP]$:

Donc : $ IJ =  \frac{NP}{2} =  \frac{1,6}{2} =0,8$

Que peut-on dire des cotés des triangles $ABC$ et $EFG$ :

Exercice 9:   

$1)$ Ecris les hypothèses qui résultent du codage.

$2)$ Reproduis cette figure.

$3)$ Démontre que les droites $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles.

$4)$ Démontre alors que $B$ est le milieu du segment $[AE]$.

$1)$ Ecris les hypothèses qui résultent du codage.

$F$ est le milieu du segment $[GE]$.

$G$ est le milieu du segment $[FD]$.

$C$ est le milieu du segment $[BD]$.

$2)$ Reproduis cette figure.

$3)$ Démontre que les droites $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles.

$G$ est le milieu du segment $[FD]$ et $C$ est le milieu du segment $[BD]$.

Donc : $(BF)//(CG)$

$4)$ Démontre alors que $B$ est le milieu du segment $[AE]$.

$F$ est le milieu du segment $[EG]$ et $(BF)//(CG)$ .

Alors : $B$ est le milieu du segment $[AE]$.

Exercice 10:   

1) Trace un triangle un triangle $ABC$ rectangle en $B$.

2) Place le milieu $D$ de $[AC]$.

3) Construis le point $E$, projection orthogonale de $D$ sur la droite $(BC)$.

Démontre que $E$ est le milieu de $[BC]$.

$4)$ K$ est le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(BC)$.

Que représente le point $K$ pour $[AB] $? Justifie.

$5)$ Quelle est la nature du quadrilatère $DEBK$ ? Justifie.

$1)$ et $2) $

$3) $ Démontre que $ E$ est le milieu de $[BC]$.

Tel que $E$, projection orthogonale de $D$ sur la droite $(BC)$.

$D$ est le milieu de $[AC]$.

Donc $E$ est le milieu de $[BC]$.

$4)$ $K$, projection orthogonale de $D$ sur la droite $(BC)$.

Que représente le point $K$ pour $[AB]$ ? Justifie.

$K$ est le milieu de $[AB]$.

car :

$(KD)//(BC)$ et $D$ est le milieu de $[AC]$.

$5)$ Quelle est la nature du quadrilatère $DEBK$ ? Justifie.

Le quadrilatère $DEBK$ a quatre angles droits : C’est un rectangle

Exercice 11:

Dans les deux cas, deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.

 
Recopier et compléter les égalités :

   

Dans les deux cas, deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.

 
Recopier et compléter les égalités :

$\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TU}}=\frac{\mathrm{TS}}{\mathrm{TV}}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{UV}}$


$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}=\frac{\mathrm{AJ}}{\mathrm{AL}}=\frac{\mathrm{IJ}}{\mathrm{KL}}$

Exercice 12:   

Dans les deux cas, $R$ et $S$ sont des points des côtés $[IM]$ et $[IN]$ du triangle $IMN$.

Peut-on affirmer que les droites $(RS)$ et $(MN)$ sont parallèles ? Si oui, appliquer le théorème de Thalès.

On a :

• $(RS) ⊥ (IN)$ et $(MN) ⊥ (IN)$

Alors : $(RS) // (MN)$

Donc d’après le théorème de Thalès.

$\frac{\mathrm{IR}}{\mathrm{IM}}=\frac{\mathrm{IS}}{\mathrm{IN}}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{MN}}$

Exercice 13:   

Les droites $(AR)$ et $(CN)$ sont parallèles.

Calculer $x$ et $y$ .

Les droites (AR) et (CN) sont parallèles.

Alors :

$ \frac{S A}{S C}=\frac{S R}{S N}=\frac{A R}{A N} $

$ \frac{4}{4+y}=\frac{6}{7,5}=\frac{5}{x} $

$ \bullet \frac{6}{7,5}=\frac{5}{x} $

$ x=\frac{5 \times 7,5}{6}=6,25 $

$ \bullet \frac{4}{4+y}=\frac{6}{7,5} $

$ 6 \times(4+y)=4 \times 7,5 $

$ (4+y)=\frac{4 \times 7,5}{6} $

$ 4+y=5 $

$ y=5-4=1$

Exercice 14:   

Dans le triangle $EFG$, $R$ est un point du côté $[EF]$, $S$ est un point du côté $[EG]$ et les droites $(RS)$ et $(FG)$ sont parallèles.

$a)$ Trouver $EF$.

$b)$ En déduire $RF$.

$a)$ Trouver EF.

$\frac{E R}{E F}=\frac{E S}{E G}=\frac{R S}{F G}$

$\frac{2,2}{E F}=\frac{E S}{E G}=\frac{3,4}{11,9}$

$ \bullet \frac{2,2}{E F}=\frac{3,4}{11,9}$

$\mathrm{EF}=\frac{2,2 \times 11,9}{3,4}=7,7$

$b)$ En déduire $RF$.

$ \bullet \mathrm{RF}=\mathrm{EF}-\mathrm{ER}=7,7-2,2=5,5$

Exercice 15:   

Sur la figure suivante, les droites $(MP)$ et $(BD)$ sont parallèles.

$1)$ Calculer la distance $AC$. (justifier)

$2)$ Calculer la distance $CD$. (justifier)

$1)$ Calculer la distance $AC$. (justifier)

Dans le triangle ABC les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèle.

Donc d’après le théorème de Thalès:

$ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC} $

$ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{AC}=\frac{2}{3} $

$ \bullet \frac{4}{AC}=\frac{2}{3} $

$ AC=\frac{3 \times 4}{2}=6 $

 

$2)$ Calculer la distance $CD$. (justifier)

Dans le triangle $ACD$ les droites $(NP)$ et $(CD)$ sont parallèle. Donc d’après le théorème de Thalès:

$ \frac{AP}{AD}=\frac{AN}{AC}=\frac{NP}{CD} $

$ \frac{AP}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{4}{CD} $

$ \bullet \frac{4}{6}=\frac{4}{CD} $

$ CD=\frac{6 \times 4}{4}=6 $

 

Exercice 16:   

Florent, allongé sur la plage peut voir alignés le sommet du parasol et celui de la falaise.
La tête de Florent est à 1,50m du pied du parasol.
Le parasol, de 1,60m de haut, est à 120 m de la base de la falaise.

• Calculer la hauteur de la falaise BS.

Dans le triangle FBS, on sait que :

– $ P \in[F B]$

– $O \in[F S]$

– $(OP) // (BS)$

Donc d’après le théorème de Thalès :

$\frac{T P}{T B}  =\frac{P O}{B S}=\frac{O T}{S T} $

$\frac{1,4}{112+1,4}  =\frac{1,6}{B S}=\frac{O T}{S T} $

$B S  =\frac{1,6 \times 113,4}{1,4} $

$B S  =129,6$

Les falaises mesurent $\mathbf{1 2 9 , 6} \mathbf{m}$ de haut.

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