Droites des milieux dans un triangle exercices corrigés 2AC
Exercice 1:
Sur la figure ci-contre, $E$ est le milieu de $[TR]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$.
$a)$ Que peut-on dire des droites $(EF) et (RS)$ ?
$b)$ Quelle relation peut-on écrire entre les longueurs EF et RS ?
Sur la figure ci-contre, $E$ est le milieu de $[TR]$ et $Fv est le milieu de$ [TS]v.
$a)$ Que peut-on dire des droites $(EF)$ et $(RS)$ ?
$E$ est le milieu de $[TR]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$.
Alors : $(EF) // (RS)$
$b)$ Quelle relation peut-on écrire entre les longueurs $EF$ et $RS$ ?
$RS = 2 EF$ ou $EF = RS / 2$
Exercice 2:
Construire le triangle $ABC$ tel que $AB=5cm$ ; $AC=4cm$ et $CÂB=55°$.
$1)$ Place les points $I$ et $J$ milieux respectifs des cotés $[BA]$ et $[BC]$.
$2)$ Calcule la longueur $IJ$ en justifiant clairement la démarche utilisée.
Construire le triangle $ABC$ tel que $AB=5cm$ ; $AC=4cm$ et $CÂB=55°$.
$1)$ Place les points $ I$ et $J$ milieux respectifs des cotés $[BA]$ et $[BC]$.
$2)$ Calcule la longueur $IJ$ en justifiant clairement la démarche utilisée.
$I$ et $J$ milieux respectifs des cotés $[BA]$ et $[BC]$.
Donc : $IJ = \frac{BC}{2}$
Pour la valeur de $BC$ on va utiliser la règle.
Exercice 3:
Observe le dessin de Karim. Dans le triangle $KJL$, il veut montrer que les droites $(KL) $ et $(MN)$ sont parallèles.
• A l’aide du codage du dessin, rédige une démonstration.
Observe le dessin de Karim. Dans le triangle $KJL$, il veut montrer que les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont parallèles.
• A l’aide du codage du dessin, rédige une démonstration.
M et N milieux respectifs des cotés $[KJ] $ et $[LJ]$.alors les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont parallèles.
Exercice 4:
$RST$ est un triangle tel que $RS=8cm$, $RT=6cm$ et $TS=7cm$. $P$ est le milieu de $[RT]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$.
$1)$ Fais un dessin à main levée et code-le.
$2)$ Montre que $(RS)$et $(PF)$ sont parallèles.
$3)$ Calcule $PF$ en justifiant la démarche utilisée.
$1)$ Fais un dessin à main levée et code-le.
$2)$ Montre que $(RS)$ et $(PF)$ sont parallèles.
$P$ est le milieu de $[RT]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$ ,Alors $(RS)$ et $(PF)$ sont parallèles.
$3)$ Calcule $PF $ en justifiant la démarche utilisée.
Tels que :$ P $est le milieu de $[RT]$ et $F$ est le milieu de $[TS]$
Alors $PF = \frac{RS}{2}$
$PF =\frac{8}{2}$
$PF = 4cm$
Exercice 5:
$EFG$ est un triangle rectangle en $F$ tel que $EF= 5 cm$ et $FG = 3,5 cm$. Soit $A$ le milieu de $[EF]$ et $B$ le milieu de $[EG]$.
$1)$ Fais un dessin en vraie grandeur et code-le
$2)$ Montre que $(AB)$ est parallèle à $(FG)$.
$3)$ Déduis-en que $(AB)$ est perpendiculaire à $(EF)$.
$1)$ Fais un dessin en vraie grandeur et code-le
$2)$ Montre que $(AB)$ est parallèle à $(FG)$.
Soit $A$ le milieu de $[EF]$ et $B$ le milieu de $[EG]$.
Alors : $(AB)//(FG)$
$3)$ Déduis-en que $(AB)$ est perpendiculaire à $(EF)$.
La droite $(FG)$ est perpendiculaire à $(EF)$. et $(AB)//(FG)$
Donc :La droite $(AB)$ est perpendiculaire à $(EF)$.
Exercice 6:
Sur la figure ci-contre, $L$ est le milieu du segment $[JH]$ . La droite parallèle à $(HI)$ qui passe par $L$ coupe $[JI]$ en $K$ .
$a)$ Que peut-on dire du point $K$ ?
$b)$ Que peut-on affirmer pour la longueur $LK$ ?
$a)$ Que peut-on dire du point $K$ ?
$L$ est le milieu du segment $[JH]$ .
La droite parallèle à $(HI)$ qui passe par $L$ coupe $[JI]$ en $K$ ,signifier que : $(KL)//(IH)$.
Donc : $K$ est le milieu du segment $[IJ]$ .
$b)$ Que peut-on affirmer pour la longueur $LK$ ?
$LK = \frac{IH}{2}$
Exercice 7:
Les droites vertes sont parallèles :
• Démontre que $H$ est le milieu de $[MN]$
Les droites vertes sont parallèles :
• Démontre que $H$ est le milieu de $[MN]$
$K$ est le milieu de $[MP]$ et $(KH)//(PN)$:
Alors : $H$ est le milieu de $[MN]$
Exercice 8:
Dans chaque cas, répondre à la question en justifiant.
• Calculer $DC$:
$ABCD$ est un parallélogramme:
donc : $(BG)//(DC) $
En plus $G$ est le milieu du segment $[DE]$, alors $B$ est le milieu de $[EC]$.
Donc : $DC = 2×GB = 2×1,4 = 2,8$
• Calculer $OM$:
$M$ est le milieu de $[BC]$ et $O$ est le milieu de $[AC]$ (car : Les deux diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu).
donc : $OM = \frac{DC}{2} = \frac{2}{2} =1$
• Calculer $IJ$ :
$I$ est le milieu du segment $[MN]$, car $(HI)//(KN)$ et $H$ est le milieu de $[MK]$.
Et tel que : $(IJ)//(NP)$
Alors $J$ est le milieu de $[MP]$:
Donc : $ IJ = \frac{NP}{2} = \frac{1,6}{2} =0,8$
• Que peut-on dire des cotés des triangles $ABC$ et $EFG$ :
Exercice 9:
$1)$ Ecris les hypothèses qui résultent du codage.
$2)$ Reproduis cette figure.
$3)$ Démontre que les droites $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles.
$4)$ Démontre alors que $B$ est le milieu du segment $[AE]$.
$1)$ Ecris les hypothèses qui résultent du codage.
$F$ est le milieu du segment $[GE]$.
$G$ est le milieu du segment $[FD]$.
$C$ est le milieu du segment $[BD]$.
$2)$ Reproduis cette figure.
$3)$ Démontre que les droites $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles.
$G$ est le milieu du segment $[FD]$ et $C$ est le milieu du segment $[BD]$.
Donc : $(BF)//(CG)$
$4)$ Démontre alors que $B$ est le milieu du segment $[AE]$.
$F$ est le milieu du segment $[EG]$ et $(BF)//(CG)$ .
Alors : $B$ est le milieu du segment $[AE]$.
Exercice 10:
1) Trace un triangle un triangle $ABC$ rectangle en $B$.
2) Place le milieu $D$ de $[AC]$.
3) Construis le point $E$, projection orthogonale de $D$ sur la droite $(BC)$.
• Démontre que $E$ est le milieu de $[BC]$.
$4)$ K$ est le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(BC)$.
Que représente le point $K$ pour $[AB] $? Justifie.
$5)$ Quelle est la nature du quadrilatère $DEBK$ ? Justifie.
$1)$ et $2) $
$3) $ Démontre que $ E$ est le milieu de $[BC]$.
Tel que $E$, projection orthogonale de $D$ sur la droite $(BC)$.
$D$ est le milieu de $[AC]$.
Donc $E$ est le milieu de $[BC]$.
$4)$ $K$, projection orthogonale de $D$ sur la droite $(BC)$.
Que représente le point $K$ pour $[AB]$ ? Justifie.
$K$ est le milieu de $[AB]$.
car :
$(KD)//(BC)$ et $D$ est le milieu de $[AC]$.
$5)$ Quelle est la nature du quadrilatère $DEBK$ ? Justifie.
Le quadrilatère $DEBK$ a quatre angles droits : C’est un rectangle
Exercice 11:
Dans les deux cas, deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.
Recopier et compléter les égalités :
Dans les deux cas, deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.
Recopier et compléter les égalités :
$\frac{\mathrm{TR}}{\mathrm{TU}}=\frac{\mathrm{TS}}{\mathrm{TV}}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{UV}}$
$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}=\frac{\mathrm{AJ}}{\mathrm{AL}}=\frac{\mathrm{IJ}}{\mathrm{KL}}$
Exercice 12:
Dans les deux cas, $R$ et $S$ sont des points des côtés $[IM]$ et $[IN]$ du triangle $IMN$.
• Peut-on affirmer que les droites $(RS)$ et $(MN)$ sont parallèles ? Si oui, appliquer le théorème de Thalès.
On a :
• $(RS) ⊥ (IN)$ et $(MN) ⊥ (IN)$
Alors : $(RS) // (MN)$
Donc d’après le théorème de Thalès.
$\frac{\mathrm{IR}}{\mathrm{IM}}=\frac{\mathrm{IS}}{\mathrm{IN}}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{MN}}$
Exercice 13:
Les droites $(AR)$ et $(CN)$ sont parallèles.
• Calculer $x$ et $y$ .
Les droites (AR) et (CN) sont parallèles.
Alors :
$ \frac{S A}{S C}=\frac{S R}{S N}=\frac{A R}{A N} $
$ \frac{4}{4+y}=\frac{6}{7,5}=\frac{5}{x} $
$ \bullet \frac{6}{7,5}=\frac{5}{x} $
$ x=\frac{5 \times 7,5}{6}=6,25 $
$ \bullet \frac{4}{4+y}=\frac{6}{7,5} $
$ 6 \times(4+y)=4 \times 7,5 $
$ (4+y)=\frac{4 \times 7,5}{6} $
$ 4+y=5 $
$ y=5-4=1$
Exercice 14:
Dans le triangle $EFG$, $R$ est un point du côté $[EF]$, $S$ est un point du côté $[EG]$ et les droites $(RS)$ et $(FG)$ sont parallèles.
$a)$ Trouver $EF$.
$b)$ En déduire $RF$.
$a)$ Trouver EF.
$\frac{E R}{E F}=\frac{E S}{E G}=\frac{R S}{F G}$
$\frac{2,2}{E F}=\frac{E S}{E G}=\frac{3,4}{11,9}$
$ \bullet \frac{2,2}{E F}=\frac{3,4}{11,9}$
$\mathrm{EF}=\frac{2,2 \times 11,9}{3,4}=7,7$
$b)$ En déduire $RF$.
$ \bullet \mathrm{RF}=\mathrm{EF}-\mathrm{ER}=7,7-2,2=5,5$
Exercice 15:
Sur la figure suivante, les droites $(MP)$ et $(BD)$ sont parallèles.
$1)$ Calculer la distance $AC$. (justifier)
$2)$ Calculer la distance $CD$. (justifier)
$1)$ Calculer la distance $AC$. (justifier)
Dans le triangle ABC les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèle.
Donc d’après le théorème de Thalès:
$ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC} $
$ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{AC}=\frac{2}{3} $
$ \bullet \frac{4}{AC}=\frac{2}{3} $
$ AC=\frac{3 \times 4}{2}=6 $
$2)$ Calculer la distance $CD$. (justifier)
Dans le triangle $ACD$ les droites $(NP)$ et $(CD)$ sont parallèle. Donc d’après le théorème de Thalès:
$ \frac{AP}{AD}=\frac{AN}{AC}=\frac{NP}{CD} $
$ \frac{AP}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{4}{CD} $
$ \bullet \frac{4}{6}=\frac{4}{CD} $
$ CD=\frac{6 \times 4}{4}=6 $
Exercice 16:
Florent, allongé sur la plage peut voir alignés le sommet du parasol et celui de la falaise.
La tête de Florent est à 1,50m du pied du parasol.
Le parasol, de 1,60m de haut, est à 120 m de la base de la falaise.
• Calculer la hauteur de la falaise BS.
Dans le triangle FBS, on sait que :
– $ P \in[F B]$
– $O \in[F S]$
– $(OP) // (BS)$
Donc d’après le théorème de Thalès :
$\frac{T P}{T B} =\frac{P O}{B S}=\frac{O T}{S T} $
$\frac{1,4}{112+1,4} =\frac{1,6}{B S}=\frac{O T}{S T} $
$B S =\frac{1,6 \times 113,4}{1,4} $
$B S =129,6$
Les falaises mesurent $\mathbf{1 2 9 , 6} \mathbf{m}$ de haut.
Droites des milieux dans un triangle exercices corrigés 2AC