Droites remarquable dans le triangle -Cours
Les Droites Remarquables dans un Triangle
I- Les médiatrices
1) La médiatrice d’un segment
Définition 1 :
La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
Propriété 1 :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant à ses extrémités.
Point E ∈ médiatrice de [AB]
⇒ EA = EB
Propriété 2 :
Si un point est équidistant aux extrémités d’un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
MA = MB
⇒ M ∈ médiatrice de [AB]
2) Les médiatrices d’un triangle
Définition 2 :
La médiatrice d’un triangle est la médiatrice de l’un de ses côtés.
Propriété 3 :
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
Cas particuliers :
Triangle obtusangle :
Le centre du cercle circonscrit se trouve à l’extérieur du triangle.
Triangle rectangle :
Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Résumé des propriétés
- La médiatrice est perpendiculaire au segment en son milieu
- Tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités
- Les 3 médiatrices d’un triangle se coupent en un point unique
- Ce point est le centre du cercle passant par les 3 sommets
- Position particulière pour les triangles rectangles et obtusangles
Remarque 1 :
Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de construire seulement deux médiatrices de ce triangle.
II- Les bissectrices
1) La bissectrice d’un angle
Définition 3 :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet de l’angle qui le partage en deux angles de même mesure.
Propriété 4 :
Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC
III- Les hauteurs
1) La hauteur d’un triangle
Définition 4 :
La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
La droite (AH) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC
Propriété 5 :
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.
Triangle rectangle :
L’orthocentre est le sommet de l’angle droit.
H
Triangle obtusangle :
L’orthocentre est à l’extérieur du triangle.
H
Cas particuliers
Triangle isocèle
Dans un triangle ABC isocèle en A :
- La hauteur issue de A
- La bissectrice de l’angle Â
- La médiatrice de la base [BC]
sont confondues.
Cette droite unique est également un axe de symétrie du triangle.
Triangle équilatéral
Dans un triangle ABC équilatéral :
- La hauteur issue d’un sommet
- Les bissectrices des angles
- La médiatrice du côté opposé
sont confondues.
Le triangle possède trois axes de symétrie, un pour chaque sommet.
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