Droites remarquable dans le triangle exercices corrigés 2AC
Exercice 1:
$1)$ Construire un triangle $A B C$ quelconque.
$2)$ $a)$ Construire ( $b_{2}$ ) bissectrice de l’angle $\widehat{A}$; elle coupe $(B C)$ en $A^{\prime}$.
$b)$ Construire la droite $\left(b_{1}\right)$ bissectrice de l’angle $\widehat{B}$; elle coupe $(A C)$ en $B^{\prime}$.
$3)$ $a)$ ( $b_{1}$ ) et ( $b_{2}$ ) se coupent en $O$, marque $O$.
$4)$$a)$ Construire la droite perpendiculaire à $(A B)$ et passant par $O$ coupe la droite ( $A B$ ) en $I$.
$b)$ Construire la droite perpendiculaire à $(B C)$ et passant par $O$ coupe la droite $(B C)$ en $J$.
$c)$ Construire la perpendiculaire à $(A C)$ et passant par $O$ coupe la droite $(A C)$ en $K$.
$5)$ $a)$ Démontrer que : $O I=O J=O K$.
$b)$ En déduire que ( $b_{3}$ ) bissectrice de $\widehat{C}$ passe par $O$.
$c)$ Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les bissectrices.
$d)$ Que représente le point $O$ pour le triangle $A B C$ ?
$1)$ Construisons un triangle $A B C$ quelconque.
$2)$$ a)$ Construisons la droite $\left(b_{2}\right)$ bissectrice de l’angle $\widehat{A}$; elle coupe $(B C)$ en $A^{\prime}$.
$b)$ Construisons la droite $\left(b_{1}\right)$ bissectrice de l’angle $\widehat{B}$; elle coupe $(A C)$ en $B^{\prime}$.
$3)$ $a)$ $\left(b_{1}\right)$ et $\left(b_{2}\right)$ se coupent en $O$, marquons $O$.
$5)$ $a)$ Démontrons que : $O I=O J=O K$
En effet, on sait que Si un point $M$ appartient à la bissectrice d’un angle alors, il est équidistant des supports des deux côtés de I’angle.
Or, $O \in\left(b_{1}\right)$ bissectrice de l’angle $\widehat{B}$ donc, $O$ est équidistant des supports des deux côtés de l’angle $\widehat{B}$.
C’est-à-dire ; $d(O,(A B)=d(O,(B C)$
Comme, $d(O,(A B)=O I$ et $d(O,(B C)=O J$ alors, on obtient: $O I=O J$
De même, le point $O$ appartient à $\left(b_{2}\right)$ bissectrice de l’angle $\widehat{A}$ donc, $O$ est équidistant des supports des deux côtés de l’angle $\widehat{A}$.
Ce qui signifie : $d(O,(A B))=d(O,(A C))$
Or, $d(O,(A B))=O I$ et $d(O,(A C))=O K$
Par suite, $O I=O K$
Ainsi, $O I=O J$ et $O I=O K$
Ce qui donne alors, $O I=O J=O K$
$b)$ En déduisons que ( $b_{3}$ ) bissectrice de $\widehat{C}$ passe par $O$.
On a : $O I=O J=O K$
Alors, $O J=O K$
Ce qui signifie : $d(O,(B C))=d(O,(A C))$
Donc, le point $O$ est équidistant des supports des deux côtés de l’angle $\widehat{C}$.
Par conséquent, $O$ appartient à la bissectrice $\left(b_{3}\right)$ de l’angle $\widehat{C}$.
D’où, $\left(b_{3}\right)$ passe par $O$.
$c)$ Énonçons la propriété que nous venons de démontrer pour les bissectrices.
Propriété : Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes (se coupent en un même point).
$d)$ Le point $O$ représente le centre du cercle inscrit dans le triangle $A B C$
Exercice 2:
Construire un triangle $M N P$ tel que : $M N=6 \mathrm{~cm} ; N P=5 \mathrm{~cm}$ et $M P=7 \mathrm{~cm}$.
$1)$ La bissectrice de l’angle $\widehat{M}$ coupe $[N P]$ en $E$.
$2)$ La bissectrice de l’angle $\widehat{N}$ coupe (ME) en $I$.
$3)$ Démontrer que $(I P)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{M P N}$.
$1)$ et $2)$
$3)$ Démontrons que $(I P)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{M P N}$.
Comme la bissectrice de l’angle $\widehat{M}$ coupe le segment $[N P]$ en $E$ alors, la droite ( $M E$ ) représente la bissectrice de l’angle $\widehat{M}$. De plus, la bissectrice de l’angle $\widehat{N}$ coupe ( $M E$ ) en $I$.
Cela signifie que la bissectrice de l’angle $\widehat{M}$ et bissectrice de l’angle $\widehat{N}$ se rencontrent en $I$.
Or, dans un triangle, les trois bissectrices se coupent en un même point.
Par conséquent, la troisième bissectrice, celle de l’angle $\widehat{P}$, passe aussi par le point $I$.
Ce qui montre que $(I P)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{M P N}$.
Exercice 3:
$A B C D$ est un parallélogramme de centre $O, P$ est le milieu de $[O B]$. Les droites $(C P)$ et $(D A)$ se coupent en $R$.
$T$ est le symétrique de $R$ par rapport à $P$
Les droites $(R O)$ et ( $D T$ ) se coupent en $M$.
$1)$ Faire une figure complète.
$2)$ Montrer que $(D P)$ est une médiane de $R D T$.
$3)$ Montrer que $D O=\frac{2}{3} D P$
$4)$ Quel est le centre de gravité du triangle $R D T$.
$5)$ Démontrer que $M$ est milieu du segment $[D T]$.
$1)$ Faisons une figure complète.
$2)$ Montrons que $(D P)$ est une médiane de $R D T$.
Comme $T$ est le symétrique de $R$ par rapport à $P$ alors, $P$ est le milieu de $[R T]$
Or, la droite $(D P)$ passe par le sommet $D$ du triangle $R D T$ et par milieu $P$ du côté opposé à ce sommet.
Donc, $(D P)$ est une médiane de $R D T$.
$3)$ Montrons que $D O=\frac{2}{3} D P$
On a : $D O+O P=D P$
Or, $P$ est milieu de $[O B]$ ce qui signifie que $O P=\frac{1}{2} O B$
Donc, en remplaçant $O P$ par $\frac{1}{2} O B$, on obtient:
$D O+O P=D O+\frac{1}{2} O B=D P$
Par ailleurs, $O$ est le centre du parallélogramme $A B C D$ donc, $O$ est le milieu des deux diagonales de $A B C D$.
Ainsi, $O$ est milieu de $D B$
Alors, $O B=D O$
Donc, en remplaçant $O B=D O$, on obtient:
$D O+\frac{1}{2} O B=D O+\frac{1}{2} D O=D P$
Par suite,
$D O+\frac{1}{2} D O=D P \Rightarrow \frac{2 D O}{2}+\frac{D O}{2}=D P$
$\Rightarrow \quad \frac{2 D O+D O}{2}=D P$
$\Rightarrow \quad \frac{3 D O}{2}=D P$
$\Rightarrow \quad 3 D O=2 D P$
$\Rightarrow \quad D O=\frac{2}{3} D P$
D’où, $D O=\frac{2}{3} D P$
$4)$ $O$ est le centre de gravité du triangle $R D T$.
En effet, on sait que le centre de gravité d’un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Or, le point $O$ situé sur la médiane issue de $D$ vérifie : $D O=\frac{2}{3} D P$
Par conséquent, $O$ est le centre de gravité du triangle $R D T$.
$5)$ Démontrons que $M$ est milieu du segment $[D T]$.
La droite ( $R O$ ) passe par $R$ et par $O$ centre de gravité du triangle $R D K$ donc, ( $R O$ ) est une médiane.
On sait que : dans un triangle, une médiane est une droite passant un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Or, le côté opposé au sommet $R$ est le segment $[D T]$ et que ( $R O$ ) coupe ( $D T$ ) en $M$.
Par conséquent, $M$ est milieu de $[D T]$.
Exercice 4:
$1)$ Construire un triangle $A B C$ tel que : $A B=5 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}$ et $B C=6 \mathrm{~cm}$.
$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[A B]$ et $[A C]$.
$2) $ Montrer que les droites $(I J)$ et $(B C)$ sont parallèles puis calculer $I J$.
$3)$ Les demi-droites $[B J]$ et $[C I)$ se coupent en $G$.
$a)$ Que représentent les demi-droites $[B J)$ et $[C I)$ pour le triangle $A B C$ ?
$b)$ Que représente le point $G$ pour le triangle $A B C$ ?
$4)$ Soit $K$ le milieu du segment $[B C]$. Montrer que les points $A, G$ et $K$ sont alignés.
$5)$ On donne $A K=3 \mathrm{~cm}$. Calculer $A G$ et $G K$.
$1)$ Construisons un triangle $A B C$ tel que : $A B=5 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}$ et $B C=6 \mathrm{~cm}$.
$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[A B]$ et $[A C]$.
2) Montrons que les droites $(I J)$ et $(B C)$ sont parallèles puis calculons $I J$.
Considérons le triangle $A B C$, on remarque alors que la droite $(I J)$ passe par les points $I$ et $J$ milieux respectifs des côtés $[A B]$ et $[A C]$.
Donc, d’après le théorème de la droite des milieux les droites $(I J)$ et $(B C)$ sont parallèles.
Par ailleurs, d’après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on a : $I J=\frac{B C}{2}$
Par suite, en remplaçant $B C$ par sa valeur, on obtient: $I J=\frac{6}{2}=3$
D’où, $I J=3 \mathrm{~cm}$
$3)$ Les demi-droites $[B J)$ et $[C I)$ se coupent en $G$.
$a)$ Les demi-droites $[B J)$ et $[C I)$ sont des médianes du triangle $A B C$
$b)$ Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $A B C$
$4)$ Soit $K$ le milieu du segment $[B C]$. Montrons que les points $A, G$ et $K$ sont alignés.
En effet, la droite $(A K)$ passe par le sommet $A$ et par $K$; milieu du côté opposé à ce sommet.
Par conséquent, $(A K)$ est une médiane du triangle $A B C$.
Or, $G$ est le centre de gravité du triangle $A B C$ donc, la droite ( $A K$ ) passe par $G$.
Par suite, $A, G$ et $K$ appartiennent à la même droite $(A K)$.
D’où, les points $A, G$ et $K$ sont alignés.
$5)$ On donne $A K=3 \mathrm{~cm}$. Calculons $A G$ et $G K$.
En effet, on sait que le centre de gravité d’un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Ce qui signifie que : $A G=\frac{2}{3} A K$
Donc, en remplaçant $A K$ par sa valeur, on obtient : $A G=\frac{2 \times 3}{3}=2$
Ainsi, $A K=2 \mathrm{~cm}$
Par ailleurs, on a : $G \in[A K]$ alors, $A G+G K=A K$
Par suite,
$G K =A K-A G =3-2 =1$
D’où, $G K=1 \mathrm{~cm}$
Exercice 5:
$1)$ Construire un triangle $A B C$ quelconque.
$2)$$a)$ Construire la droite $\left(m_{1}\right)$ médiatrice de $[A B]$.
$b)$ Construire la droite $\left(m_{2}\right)$ médiatrice de $[B C]$.
$2) $$a)$ Les droites $\left(m_{1}\right)$ et ( $m_{2}$ ) se coupent en $O$.
$3)$$ a)$ Démontrer que : $O A=O B=O C$.
$b)$ En déduire que la droite $\left(m_{3}\right)$ médiatrice de $[A C]$ passe par $O$.
$c)$ Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les médiatrices.
$d)$ Que représente le point $O$ pour le triangle $A B C$ ?
$1) $ Construisons un triangle $A B C$ quelconque.
$2)$ $a)$ Construisons la droite $\left(m_{1}\right)$ médiatrice de $[A B]$.
$b)$ Construisons la droite ( $m_{2}$ ) médiatrice de $[B C]$.
$2)$ $a)$ Les droites $\left(m_{1}\right)$ et $\left(m_{2}\right)$ se coupent en $O$.
$3)$$ a)$ Démontrons que : $O A=O B=O C$.
On a : $\left(m_{1}\right)$ médiatrice de $[A B]$ et $O \in\left(m_{1}\right)$
En effet, on sait que : si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors, ce point est à égale distance des extrémités de ce segment.
Or, $O \in\left(m_{1}\right)$ médiatrice du segment $[A B]$ donc, $O$ est équidistant des extrémités $A$ et $B$ de ce segment.
Ce qui se traduit par : $O A=O B$.
De la même manière, comme $O \in\left(m_{2}\right)$ médiatrice du segment $[B C]$ alors, $O$ est à égale distance des extrémités $B$ et $C$ de ce segment.
Ce qui peut s’écrire : $O B=O C$
Ainsi, on a : $O A=O B$ et $O B=O C$
D’où, $O A=O B=O C$
$b)$ En déduisons que la droite $\left(m_{3}\right)$ médiatrice de $[A C]$ passe par $O$.
En effet, on sait que tout point situé à égale distance des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
Or, d’après le résultat de 3) a) on a : $O C=O A$
Ce qui signifie que le point $O$ est à égale distance des points $A$ et $C$.
Par conséquent, $O$ appartient à la médiatrice du segment $[A C]$.
D’où, la droite $\left(m_{3}\right)$ médiatrice de $[A C]$ passe par $O$.
$c)$ Énonçons la propriété que nous venons de démontrer pour les médiatrices.
Dans un triangle, les médiatrices des côtés se coupent en un point.
$d)$ Le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$
Exercice 6:
$1)$ Construire un triangle $A B C$ quelconque.
$2)$$ a)$ Construire $(A M)$ hauteur issue de $A$.
$b) $Construire la droite $(B N)$ hauteur issue de $B$.
$3)$ Les deux droites $(A M)$ et $(B N)$ se coupent en $H$, placer le point $H$.
$4)$$ a)$ Construire la droite $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$ passant par $A$ et parallèle à $(B C)$.
$b)$ Construire la droite $\left(A^{\prime} C^{\prime}\right)$ passant par $B$ et parallèle à $(A C)$.
$c) $Construire la droite ( $\left.B^{\prime} A^{\prime}\right)$ passant par $C$ et parallèle à $(A B)$.
$5) $Démontrer que : les quadrilatères $A B C B^{\prime} ; B C A C^{\prime}$ et $C A B A^{\prime}$ sont des parallélogrammes.
$6)$$ a)$ Démontrer que $(A H)$ est la médiatrice de $\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$.
$b)$ Démontrer que $(B H)$ est la médiatrice de $\left[A^{\prime} C^{\prime}\right]$.
$c)$ Démontrer que $(C H)$ est la troisième médiatrice du triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
$7)$$ a)$ Que représentent les médiatrices du triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ?
$b)$ Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les hauteurs du triangle.
$c) $ Que représente le point $H$ pour le triangle $A B C$
$1)$ Construisons un triangle $A B C$ quelconque.
$2)$$ a)$ Construisons ( $A M$ ) hauteur issue de $A$.
$b)$ Construisons la droite $(B N)$ hauteur issue de $B$.
$3)$ Les deux droites $(A M)$ et ( $B N$ ) se coupent en $H$, plaçons le point $H$.
$4)$$ a)$ Construisons la droite $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$ passant par $A$ et parallèle à $(B C)$.
$b)$ Construisons la droite $\left(A^{\prime} C^{\prime}\right)$ passant par $B$ et parallèle à $(A C)$.
$c)$ Construisons la droite $\left(B^{\prime} A^{\prime}\right)$ passant par $C$ et parallèle à $(A B)$.
$5)$ Démontrons que les quadrilatères $A B C B^{\prime} ; B C A C^{\prime}$ et $C A B A^{\prime}$ sont des parallélogrammes.
On a : $\left(B^{\prime} C\right) \|(A B)$ et $(B C) \|\left(B^{\prime} A\right)$
Donc, le quadrilatère $A B C A^{\prime}$ a ses côtés parallèles 2 à 2 .
Par conséquent, $A B C A^{\prime}$ est un parallélogramme.
On a : $(B C) \|\left(A C^{\prime}\right)$ et $(A C) \|\left(B C^{\prime}\right)$
Donc, le quadrilatère $B C A C^{\prime}$ a ses côtés parallèles 2 à 2 .
D’où, $B C A C^{\prime}$ est un parallélogramme.
On a: $\left(A^{\prime} C\right) \|(A B)$ et $(A C) \|\left(A^{\prime} B\right)$
Donc, le quadrilatère $C A B A^{\prime}$ a ses côtés parallèles 2 à 2 .
Par conséquent, $C A B A^{\prime}$ est un parallélogramme.
$6)$$ a)$ Démontrons que $(A H)$ est la médiatrice de $\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$.
En effet, on sait que : si deux droites sont parallèles alors, toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
Or, dans le triangle $A B C$, on a : $(A H)$ hauteur issue de $A$ donc, $(A H)$ perpendiculaire à $(B C)$.
De plus, $(B C) \|\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$
Par suite, $(A H)$ est perpendiculaire à $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$.
Par ailleurs, $A B C B^{\prime}$ et $A B C B^{\prime}$ sont des parallélogrammes alors, $B C=A C^{\prime}$ et $B C=A C^{\prime}$.
Or, $B^{\prime}, A$ et $C^{\prime}$ alignés donc, $A$ est milieu de $\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$
Ainsi, $(A H)$ est perpendiculaire à $\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$ et passe par le milieu de ce segment.
Par conséquent, $(A H)$ est la médiatrice de $\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$.
$b)$ Démontrons que $(B H)$ est la médiatrice de $\left[A^{\prime} C^{\prime}\right]$.
Dans le triangle $A B C$, on a : $(B H)$ hauteur issue de $B$ alors, $(B H)$ est perpendiculaire à ( $A C$ ).
Or, $(A C)$ est parallèle à $\left(A^{\prime} C^{\prime}\right)$.
Donc, $(B H)$ est perpendiculaire à $\left(A^{\prime} C^{\prime}\right)$.
De plus, comme $C A B A^{\prime}$ et $B C A C^{\prime}$ sont des parallélogrammes alors, on a : $A C=A^{\prime} B$ et $A C=B C^{\prime}$.
Or, les points $A^{\prime}, B$ et $C^{\prime}$ sont alignés donc, $B$ est milieu de $\left[A^{\prime} C^{\prime}\right]$
Ainsi, $(B H)$ est perpendiculaire à $\left[A^{\prime} C^{\prime}\right]$ et passe par le milieu de ce segment.
Par conséquent, $(B H)$ est la médiatrice de $\left[A^{\prime} C^{\prime}\right]$.
$c)$ Démontrons que $(\mathrm{CH})$ est la troisième médiatrice du triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
On a :
$H$ appartient à la médiatrice de $\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$ alors, $H B^{\prime}=H C^{\prime}$
$H$ appartient à la médiatrice de $\left[A^{\prime} C^{\prime}\right]$ alors, $H A^{\prime}=H C^{\prime}$
Ainsi, $H B^{\prime}=H C^{\prime}$ et $H A^{\prime}=H C^{\prime}$
Par suite, $H B^{\prime}=H A^{\prime}$ ce qui signifie que $H$ est situé à égale distance des points $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$.
Or, on sait que tout point situé à égale distance des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
Donc, $H$ appartient à la médiatrice de $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$.
De plus, $C$ est milieu de $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$.
Par conséquent, $(\mathrm{CH})$ est la troisième médiatrice du triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
$7)$$ a)$ Les médiatrices du triangle $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ représentent les hauteurs du triangle $A B C$
$b)$ Énonçons la propriété que nous venons de démontrer pour les hauteurs du triangle.
Dans un triangle, les trois hauteurs se coupent en un point.
$c)$ Le point $H$ représente l’orthocentre du triangle $A B C$
Exercice 7:
Soit $A B C D$ un parallélogramme de centre $H$. La perpendiculaire à $(D B)$ passant par $A$ et la La perpendiculaire à $(A C)$ passant par $B$ se coupent en $G$.
$1)$ Faire une figure.
$2)$ Que représente le point $H$ pour le triangle $A G B$.
$3)$ Montrer que les droites $(G H)$ et $(A B)$ sont perpendiculaires.
$4)$ Montrer que les droites $(G H)$ et $(D C)$ sont perpendiculaires.
$1)$ Faisons une figure.
$2)$ Le point $H$ est l’orthocentre du triangle $A G B$.
$3)$ Montrons que les droites $(G H)$ et $(A B)$ sont perpendiculaires.
Comme $H$ est l’orthocentre de $A G B$ alors, la droite $(G H)$ passant par le sommet $G$ et par $H$ est hauteur du triangle $A G B$.
Par suite, $(G H)$ est perpendiculaire au côté opposé au sommet $G$.
D’où, les droites $(G H)$ et $(A B)$ sont perpendiculaires.
$4)$ Montrons que les droites $(G H)$ et $(D C)$ sont perpendiculaires.
En effet, comme $A B C D$ est un parallélogramme alors, les droites $(A B)$ et $(D C)$ sont parallèles.
De plus, d’après le résultat de 3 ), les droites $(G H)$ et $(A B)$ sont perpendiculaires.
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles alors, toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
Par conséquent, les droites $(G H)$ et $(D C)$ sont perpendiculaires.
Exercice 8:
Soit $A B C$ un triangle tel que : $A B=6 \mathrm{~cm} ; A C=7 \mathrm{~cm}$ et $B C=8 \mathrm{~cm}$.
Les points $L, M$ et $N$ sont les milieux respectifs des côtés $[B C],[A B]$ et $[A C]$ d’un triangle $A B C$.
$G$ est le centre de gravité.
$1)$ Faire une figure complète.
$2)$ Démontrer que $M L N A$ est un parallélogramme. Soit $K$ sont centre.
En déduire que : $A K=\frac{1}{2} A L$ puis $K G=\frac{1}{6} A L$
$1)$ Faisons une figure complète.
$2)$ Démontrons que $M L N A$ est un parallélogramme. Soit $K$ sont centre.
Considérons le triangle $A B C$.
On a : $M$ et $L$ milieux respectifs des côtés $[A B]$ et $[B C]$.
Donc, d’après le théorème de la droite des milieux la droite $(M L)$ passant par $M$ et $L$ est parallèle à la droite $(A C)$.
Par suite, ( $M L$ ) est parallèle à $(A N)$
De la même manière, on a : $N$ et $L$ milieux respectifs des côtés $[A C]$ et $[B C]$.
Alors, d’après le théorème de la droite des milieux la droite $(N L)$ passant par $N$ et $L$ est parallèle à la droite $(A C)$.
Donc, $(N L)$ est parallèle à ( $A M$ )
Ainsi, on a : $(M L) \|(A N)$ et $(N L) \|(A M)$
Donc, le quadrilatère $M L N A$ a ses côtés parallèles 2 à 2 .
Par conséquent, c’est un parallélogramme.
• En déduisons que : $A K=\frac{1}{2} A L$ puis $K G=\frac{1}{6} A L$
Comme $K$ est le centre du parallélogramme $M L N A$ alors, $K$ est milieu de $[A L]$.
D’où, $A L=\frac{1}{2} A L$
Par ailleurs, $G$ étant le centre de gravité du triangle $A B C$ donc,
$A G=\frac{2}{3} A L$
Comme $K \in[A G]$ alors, on a : $K G+A K=A G$
Donc, $K G=A G-A K$
Par suite, en remplaçant $A G$ et $A K$ par leur expression, on obtient :
$K G =A G-A K$
$=\frac{2}{3} A L-\frac{1}{2} A L $
$ =\frac{4}{6} A L-\frac{3}{6} A L $
$ =\frac{1}{6} A L$
D’où, $K G=\frac{1}{6} A L$
Exercice 9:
$1)$ Construis un triangle $A B C$ tel que $A B=14 \mathrm{~cm}, A C=10 \mathrm{~cm}$ et $B C=12 \mathrm{~cm}$.
$2)$ Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.
$3)$ Place le point $G$ centre de gravité du triangle, le point $O$ centre du cercle circonscrit, le point $I$ centre du cercle inscrit et le point $H$ orthocentre du triangle.
$4)$ Pour ce triangle $A B C$, construis les cercles circonscrit et inscrit.
$5)$ Trace la droite qui passe par $O$ et $G$.
• Vérifie qu’elle passe par $H$.
$1) $ Construisons un triangle $A B C$ tel que $A B=14 \mathrm{~cm}, A C=10 \mathrm{~cm}$ et $B C=12 \mathrm{~cm}$.
$2)$ Construisons ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.
$3)$ Plaçons le point $G$ centre de gravité du triangle, le point $O$ centre du cercle circonscrit, le point $I$ centre du cercle inscrit et le point $H$ orthocentre du triangle.
$4)$ Pour ce triangle $A B C$, construisons les cercles circonscrit et inscrit.
$5)$ Traçons la droite qui passe par $O$ et $G$.
• Nous constatons que cette droite passe par $H$.
Exercice 10:
Construis le triangle $A B C$ tel que : $A B=3.5 \mathrm{~cm}, \widehat{A B C}=120^{\circ}$ et $B C=5 \mathrm{~cm}$.
$1)$ Trace en bleu la hauteur issue de $A$ et en vert la médiatrice du segment $[B C]$.
$2)$ Démontre que ces deux droites sont parallèles.
$1)$ Traçons en bleu la hauteur issue de $A$ et en vert la médiatrice du segment $[B C]$.
$2)$ Démontrons que ces deux droites sont parallèles.
En effet, la hauteur issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au côté opposé au sommet $A$.
Donc, la hauteur est perpendiculaire à la droite $(B C)$.
Par ailleurs, la médiatrice du segment $[B C]$ est la droite perpendiculaire à la droite $(B C)$ et passant par le milieu du segment $[B C]$.
Or, on sait que : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
D’où, la hauteur issue de $A$ et la médiatrice de $[B C]$ sont parallèles.
Droites remarquable dans le triangle exercices corrigés 2AC