Équation d’une droite exercices corrigés pour 3AC
Exercice 1:
Déterminer dans chacun des cas l’équation réduite de la droite $(AB)$ :
$1)$ $A(2;0)$ et $B(4;1)$
$2)$ $A(−2;1)$ et $B(−3;5)$
$3)$$A(\frac{1}{2} ; \frac{2}{3})$ et $B(\frac{7}{6} ; −\frac{1}{5})$
$4)$ $A(−1;5)$ et $B(−1;2)$
$1)$ $A(2 ; 0)$ et $B(4 ; 1)$
Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite ( $A B$ ) est donc de la forme $y=a x+b$.
$a=\frac{1-0}{4-2}=\frac{1}{2}$.
Par conséquent l’équation réduite de $(A B)$ est de la forme $y=\frac{1}{2} x+b$.
Le point $A(2 ; 0)$ appartient à la droite $(A B)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente
On obtient ainsi : $0=\frac{1}{2} \times 2+b$ soit $0=1+b$ et $b=-1$.
L’équation réduite de $(A B)$ est donc $y=\frac{1}{2} x-1$.
On vérifie avec les coordonnées de $B: \frac{1}{2} x_{B}-1=\frac{1}{2} \times 4-1=2-1=1=y_{B}(:)$
$2)$ $A(-2 ; 1)$ et $B(-3 ; 5)$
Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite ( $A B$ ) est donc de la forme $y=a x+b$.
$a=\frac{5-1}{-3-(-2)}=\frac{4}{-1}=-4$.
Par conséquent l’équation réduite de $(A B)$ est de la forme $y=-4 x+b$.
Le point $A(-2 ; 1)$ appartient à la droite $(A B)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente
On obtient ainsi : $1=-4 \times(-2)+b$ soit $1=8+b$ et $b=-7$.
L’équation réduite de $(A B)$ est donc $y=-4 x-7$.
On vérifie avec les coordonnées de $B:-4 x_{B}-7=-4 \times(-3)-7=12-7=5=y_{B} \%$
$3)$ $A\left(\frac{1}{2} ; \frac{2}{3}\right)$ et $B\left(\frac{7}{6} ;-\frac{1}{5}\right)$
Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite ( $A B$ ) est donc de la forme $y=a x+b$.
$a=\frac{-\frac{1}{5}-\frac{2}{3}}{\frac{7}{6}-\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{13}{15}}{\frac{2}{3}}=-\frac{13}{10}$.
Par conséquent l’équation réduite de $(A B)$ est de la forme $y=-\frac{13}{10} x+b$.
Le point $A\left(\frac{1}{2} ; \frac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(A B)$.
Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
On obtient ainsi : $\frac{2}{3}=-\frac{13}{10} \times \frac{1}{2}+b$ soit $\frac{2}{3}=-\frac{13}{20}+b$ et $b=\frac{79}{60}$.
L’ équation réduite de $(A B)$ est donc $y=-\frac{13}{10} x+\frac{79}{60}$.
On vérifie avec les coordonnées de $B:-\frac{13}{10} x_{B}+\frac{79}{60}=-\frac{13}{10} \times \frac{1}{2}+\frac{79}{60}=-\frac{13}{20}+\frac{79}{60}=\frac{40}{60}=\frac{1}{5}=y_{B}()$
$4)$ $A(-1 ; 5)$ et $B(-1 ; 2)$
$A$ et $B$ ont la même abscisse $-1$ .
Par conséquent l’équation réduite de $(A B)$ est $x=-1$.
Exercice 2:
Déterminer l’équation des droites $(AB)$ , $(BC)$ et $(AC)$ avec $A(2 ; 3)$ , $B(-2 ; 5)$ et $C(2 ; 5)$
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Exercice 3:
Déterminer graphiquement l’équation réduite de chacune des droites suivantes :
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Exercice 4:
Représenter graphiquement chacune des droites dont l’équation réduite est fournie.
$d_{1}: y=-2 x+3$
$ d_{2}: x=-1$
$d_{3}: y=\frac{4}{5} x-1$
$d_{4}: y=2$
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Exercice 5:
Déterminer l’équation réduite des droites dans chacun des cas :
$1)$ La droite $d_{1}$ passe par le point $A(2;3)$ et a pour coefficient directeur $a=−1$.
$2)$ La droite $d_{2}$ passe par le point $ B(−1;2)$ et son ordonnée à l’origine est $−3$.
$3)$ La droite $d_{3}$ passe par le point $C(2;5)$ et est parallèle à la droite d’équation $y=3x−1$.
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Exercice 6:
Indiquer dans chacun des cas si le point appartient à la droite.
$1)$ $A(−2;3) $ et $d_{1}$: $y=−x+1$
$2)$ $B(\sqrt{2};\sqrt{6})$ et $d_{2}$: $y=3x+6$
$3)$ $C(2;1)$ et $d_{3}$: $y=2$.
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Exercice 7:
On donne les points $A(6;−1)$,$B(2;7)$ et $C(−4;−3)$.
$1)$ Donner une équation réduite des médianes issues de $A$ et de $C$ du triangle $ABC$.
$2)$ Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle $ABC$.
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Exercice 8:
On donne les points suivants : $A(1;−2)$, $B(4;0)$ , $C(10;4)$ , $D(−2;2)$
$1)$ Les points $A,B,C$ sont-ils alignés?
$2)$ Déterminer l’équation réduite de la parallèle $(Δ)$ à $(AD)$ passant par $B$.
$3)$ Calculer la longueur $AD$.
$4)$ Soit $E$ le point d’intersection de $(Δ)$ et $(CD)$.
Déduire des questions précédentes la longueur $BE$.
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Exercice 9:
On donne les points $A(2;3) , B(6;0) , C(0;−4)$.
$1)$ Démontrer que les points $A,B,C$ forment un triangle.
$2)$ Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[BC]$.
$3)$ Déterminer l’équation réduite de la droite $(d)$ passant par $B$ et parallèle à la médiane issue de $A$.
$4)$ Vérifier les réponses précédentes à l’aide d’un graphique.
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Exercice 10:
$1)$ $d: y=5 x-3$ et $d^{\prime}: y=-5 x+3$
$2)$ $d: y=2 x-5$ et $d^{\prime}: y=2 x+3$
$3)$ $d: y=-4-x$ et $d^{\prime}: y=-4 x-1$
$4)$ $d: y=\frac{1}{3} x+2$ et $d^{\prime}: y=0,33 x$
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Exercice 11:
Le plan muni d’un repère.
On considère des droites $ d_{1}$ et $ d_{2}$ données par leurs équations.
Dans chaque cas, déterminer si $ d_{1}$et $ d_{2}$ sont parallèles, confondues ou sécantes.
$1)$$ d_{1}$ :$ y = 3x -2$ ; $ d_{2}$ : $y = 3x + 32$
$2)$ $ d_{1}$ : $x – 3y + 3 =0$ ; $ d_{2}$ : $−\frac{1}{3}x + y -1 = 0$
$3)$ $ d_{1}$ : $y = – 6$ ; $ d_{2}$ :$ x = – 6$
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Exercice 12:
Parmi les droites données dire quelles sont celles qui sont perpendiculaires:
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Exercice 13:
Dans le plan rapporté à une repère orthonormé on considère les points : $A(1 ;-4),B( 3;4),C(0 ;2)$ et $D(2 ;0)$
$1)$ Déterminons l’équation réduite de la droite $(AB)$.
$2)$ Parmi les points $C$ et $D$ déterminons le point qui appartient et le point qui n’appartient pas à la droite $(AB)$
$3)$ Déterminons l’équation réduite de la droite $(d)$ qui passe par le point $C$ et qui est parallèle à v(AB)$ .
$4)$ Déterminons l’équation réduite de la droite $(d’)$ qui passe par le point $C$ et qui est perpendiculaire à $(AB)$ .
$5)$ Déterminons l’équation réduite de la médiatrice $(Δ)$ du segment $[AB]$.
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📐Exercice 14:
🎯Énoncé du problème
Dans un repère orthonormé \( (O ; I ; J) \), on considère les points \( B(2 ; 1) \) et \( C(1 ; -1) \).
1) Déterminer l’équation réduite de la hauteur du triangle OBC issue de B.
Puis en déduire les coordonnées de N le projeté orthogonal de B sur (OC).
2) Déterminer l’équation réduite de la médiane du triangle OBC issue de B.
3) Déterminer l’équation réduite de la médiatrice du segment [OB].
4) Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle OBC.
5) Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle OBC.
Rappel :
• Hauteur : droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Médiane : droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé.
• Médiatrice : droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
• Orthocentre : point de concours des hauteurs.
• Centre du cercle circonscrit : point de concours des médiatrices.
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📏Exercice 15:
🎯Énoncé du problème
On considère la droite (D) d’équation :
\[ mx – (2 – m)y + m – 1 = 0 \]
1) Déterminer la valeur de \( m \) pour que (D) passe par le point \( E(-2; 4) \)
2) Déterminer la valeur de \( m \) pour que la pente de (D) soit égale à \(-2\)
Équation d’une droite exercices corrigés pour 3AC