Équation d’une droite – Cours
ÉQUATION D’UNE DROITE
Équation réduite d’une droite
Définition
Dans un repère orthonormé \( (O, I, J) \), l’équation réduite d’une droite \( (D) \) non parallèle à l’axe des ordonnées s’écrit sous la forme :
\( (D) : y = mx + p \)
m est appelé le coefficient directeur de la droite \( (D) \)
p est appelé l’ordonnée à l’origine
Exemples
Exemple 1 : \( (D) : y = 3x + 4 \)
• Coefficient directeur : \( m = 3 \)
• Ordonnée à l’origine : \( p = 4 \)
Exemple 2 : \( (\Delta) : y = \frac{2}{3}x – 1 \)
• Coefficient directeur : \( m = \frac{2}{3} \)
• Ordonnée à l’origine : \( p = -1 \)
Point appartenant à une droite
Soit \( (D) : y = mx + p \) et \( A(x_A, y_A) \) un point du plan.
\( A \in (D) \) ⇔ \( y_A = mx_A + p \))
Exemple :
Dans le plan muni d’un repère \( (O, I, J) \) on considère la droite \( (D) : y = 2x – 3 \).
Le point \( A(1, -1) \) appartient-il à \( (D) \) ?
Vérification : \( 2x_A – 3 = 2 \times 1 – 3 = 2 – 3 = -1 = y_A \)
Conclusion : \( A \in (D) \) car \( y_A = 2x_A – 3 \)
Tracer une droite définie par son équation
Pour tracer une droite définie par son équation, on détermine deux points distincts de cette droite.
Exemple :
Tracer la droite \( (D) : y = -2x + 3 \)
Méthode :
- Choisir \( x_A = 1 \) : \( y_A = -2 \times 1 + 3 = 1 \) ⇒ \( A(1, 1) \)
- Choisir \( x_B = 2 \) : \( y_B = -2 \times 2 + 3 = -1 \) ⇒ \( B(2, -1) \)
- Placer A et B dans le repère
- Tracer la droite passant par A et B
Détermination de l’équation d’une droite
1. Par un point et le coefficient directeur
Propriété : Si une droite passe par le point \( A(x_A, y_A) \) et a pour coefficient directeur \( m \), alors son équation est :
\( y = m(x – x_A) + y_A \)
Exemple :
Déterminer l’équation de la droite \( (D) \) de coefficient directeur \( -4 \) passant par \( A(2, -1) \).
Solution : \( y = -4(x – 2) + (-1) = -4x + 8 – 1 = -4x + 7 \)
Donc \( (D) : y = -4x + 7 \)
2. Par deux points distincts
Propriété : Soit \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) deux points avec \( x_A \neq x_B \).
Le coefficient directeur est : \( m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} \)
L’équation réduite est ensuite déterminée en utilisant un des points.
Exemple :
Déterminer l’équation réduite de la droite \( (AB) \) avec \( A(0, 4) \) et \( B(-2, 0) \).
Étape 1 : \( m = \frac{0 – 4}{-2 – 0} = \frac{-4}{-2} = 2 \)
Étape 2 : \( y = 2x + p \)
Étape 3 : A ∈ (AB) ⇒ \( 4 = 2 \times 0 + p \) ⇒ \( p = 4 \)
Équation : \( y = 2x + 4 \)
3. Droite passant par un point et parallèle à une droite donnée
Pour une droite parallèle à \( (D) : y = mx + p \) passant par \( M(x_M, y_M) \) :
• Même coefficient directeur \( m \)
• Équation : \( y = m(x – x_M) + y_M \)
Exemple :
Déterminer l’équation de la droite \( (L) \) passant par \( M(3, -1) \) et parallèle à \( (D_1) : y = 2x – 6 \).
Solution : \( y = 2(x – 3) + (-1) = 2x – 6 – 1 = 2x – 7 \)
Donc \( (L) : y = 2x – 7 \)
Parallélisme et perpendicularité
1. Condition de parallélisme
Propriété : Soit \( (D) : y = mx + p \) et \( (D’) : y = m’x + p’ \)
\( (D) // (D’) \) ⇔ \( m = m’ \))
Exemple :
Considérons \( (D) : y = 4x + 5 \) et \( (\Delta) : y = 4x – 1 \).
Vérification : \( m_D = 4 \) et \( m_\Delta = 4 \)
Puisque \( m_D = m_\Delta \), on a \( (D) // (\Delta) \)
2. Condition de perpendicularité
Propriété : Soit \( (D) : y = mx + p \) et \( (D’) : y = m’x + p’ \)
\( (D) \perp (D’) \) ⇔ \( m × m’ = -1 \))
Exemple :
Considérons \( (D) : y = 3x + 2 \) et \( (\Delta) : y = -\frac{1}{3}x – 7 \).
Vérification : \( m_D × m_\Delta = 3 × (-\frac{1}{3}) = -1 \)
Puisque \( m_D × m_\Delta = -1 \), on a \( (D) \perp (\Delta) \)
3. Droite perpendiculaire passant par un point
Pour une droite perpendiculaire à \( (D) : y = mx + p \) passant par \( M(x_M, y_M) \) :
• Coefficient directeur : \( m’ = -\frac{1}{m} \)
• Équation : \( y = m'(x – x_M) + y_M \)
Exemple :
Déterminer l’équation de la droite \( (\Delta) \) passant par \( M(-2, -3) \) et perpendiculaire à \( (D_1) : y = 2x – 6 \).
Étape 1 : \( m_{D_1} = 2 \) ⇒ \( m_\Delta = -\frac{1}{2} \)
Étape 2 : \( y = -\frac{1}{2}(x – (-2)) + (-3) = -\frac{1}{2}(x + 2) – 3 \)
Étape 3 : \( y = -\frac{1}{2}x – 1 – 3 = -\frac{1}{2}x – 4 \)
Donc \( (\Delta) : y = -\frac{1}{2}x – 4 \)
Applications géométriques
1. Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB].
Exemple :
Soient \( A(3, 4) \) et \( B(2, -3) \). Déterminer l’équation de la médiatrice de [AB].
Étape 1 : Milieu M de [AB] : \( M(\frac{3+2}{2}, \frac{4+(-3)}{2}) = M(2.5, 0.5) \)
Étape 2 : Coefficient directeur de (AB) : \( m_{AB} = \frac{-3-4}{2-3} = \frac{-7}{-1} = 7 \)
Étape 3 : Coefficient directeur de la médiatrice : \( m = -\frac{1}{7} \)
Étape 4 : Équation : \( y = -\frac{1}{7}(x – 2.5) + 0.5 \)
2. Triangle rectangle
Un triangle ABC est rectangle en B si et seulement si \( (AB) \perp (BC) \).
Exemple :
Soient \( A(1, -1) \), \( B(2, 1) \) et \( C(0, 2) \). Montrer que ABC est un triangle rectangle.
Étape 1 : \( m_{AB} = \frac{1 – (-1)}{2 – 1} = \frac{2}{1} = 2 \)
Étape 2 : \( m_{BC} = \frac{2 – 1}{0 – 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \)
Étape 3 : \( m_{AB} × m_{BC} = 2 × (-\frac{1}{2}) = -1 \)
Donc \( (AB) \perp (BC) \) ⇒ ABC est rectangle en B.
3. Point d’intersection avec les axes
Pour une droite \( (D) : y = mx + p \) :
• Avec l’axe des ordonnées : \( x = 0 \) ⇒ \( y = p \) ⇒ point \( (0, p) \)
• Avec l’axe des abscisses : \( y = 0 \) ⇒ \( 0 = mx + p \) ⇒ \( x = -\frac{p}{m} \)
Exemple :
Pour \( (D) : y = 2x + 3 \) :
• Avec l’axe des ordonnées : \( x = 0 \) ⇒ \( y = 3 \) ⇒ point \( (0, 3) \)
• Avec l’axe des abscisses : \( y = 0 \) ⇒ \( 0 = 2x + 3 \) ⇒ \( x = -\frac{3}{2} \) ⇒ point \( (-\frac{3}{2}, 0) \)
Droites particulières
Droite horizontale
Équation : \( y = p \)
Coefficient directeur = 0
Exemple : \( y = 4 \)
Droite verticale
Équation : \( x = k \)
Pas d’équation réduite
Exemple : \( x = -2 \)
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