Équations et inéquations exercices corrigés

Exercice 1:  

1) Résoudre les équations suivantes :

32x3x=5x+18

7+5x=7x13

2x=134x

2) Résoudre les équations suivantes :

3(x+1)(x9)+(x+3)=(x+4)+(x+2)(11x)

6(x3)3(x2)=4(3x)+5

4(x4)+25(x+1)=10(2x+3)+15

7(2x5)5(3x+1)=6(x4)7

(x1)(x+3)=(x+4)(x2)

(x+3)(x+5)=(x+1)(x+9)

3(x3)=(x4)(x+1)(x5)(x1)

1) Résoudre les équations suivantes :

32x3x=5x+18

2xx+x=5+18+33

2x=23

x=232

x=232

s={232}

7+5x=7x13

5x7x=137

2x=20

x=202

x=10

s={10}

2x=134x

2x+4x=13

6x=13

x=136

s={136}

2) Résoudre les équations suivantes :

3(x+1)(x9)+(x+3)=(x+4)+(x+2)(11x)

3x+3x+9+x+3=x+4+x+211+x

3x+15=3x5

3x3x=515

0x=20

s=

L’équation n’admet pas de solution.

6(x3)3(x2)=4(3x)+5

6x183x+6=124x+5

3x12=4x+17

3x+4x=17+12

7x=29

x=297

s={297}

4(x4)+25(x+1)=10(2x+3)+15

4x16+25x+25=20x+30+15

29x+9=20x+45

29x20x=459

9x=36

x=369

x=4

s={4}

7(2x5)5(3x+1)=6(x4)7

14x3515x5=6x247

x40=6x31

x6x=31+40

7x=9

x=97

x=97

s={97}

(x1)(x+3)=(x+4)(x2)

x2+3xx3=x22x+4x8

x2+2x3=x2+2x8

x2x2+2x2x=8+3

0x=5

s=

L’équation n’admet pas de solution.

(x+3)(x+5)=(x+1)(x+9)

x2+5x+3x+15=x2+9x+x+9

x2+8x+15=x2+10x+9

x2x2+8x10x=915

2x=6

x=62

x=3

s={3}

3(x3)=(x4)(x+1)(x5)(x1)

3x9=x2+x4x4(x2x5x+5)

3x9=x23x4x2+6x5

3x9=3x9

3x3x=99

0x=0

s=P

L’équation admet une infinité de solutions.

Exercice 2: 

Résoudre les équations suivantes :

a) 2x3+5=2x5+6

b) 3x52x715+x3=0

c) 3x125x23+7x34=245

d) 5x+153x14=2(4x+1)5

e) 2x+13x15=7x1215 

a) 2x3+5=2x5+6

2x×515+5×1515=2x×315+6×1515

10x+75=6x+90

10x6x=9075

4x=15

x=154

s={154}

b) 3x52x715+x3=0

3x×3152x715+5×x15=0

9x(2x7)+5x=0

9x2x+7+5x=0

12x=7

x=712

s={712}

c) 3x125x23+7x34=245

30×(3x1)6020×(5x2)60+15×(7x3)60=24×1260

30(3x1)20(5x2)+15(7x3)=288

90x30100x+40+105x45=288

95x=288+30+4540

95x=323

x=32395

s={32395}

d) 5x+153x14=2(4x+1)5

4×(5x+1)205×(3x1)20=4×2(4x+1)20

4(5x+1)5(3x1)=8(4x+1)

20x+415x+5=32x+8

5x+9=32x+8

5x32x=89

27x=1

x=127

x=127

S={127}

e) 2x+13x15=7x1215 

5×(2x+1)153×(x1)15=7x1215

5(2x+1)3(x1)=7x12

10x+53x+3=7x12

7x+8=7x12

7x7x=128

0x=20

s=

Exercice 3:  

Compléter les pointillés :

a)(2x+5)(3x+1)=0
signifie que =0ou=0

b)6x(x+4)=0
signifie que=0 ou ..=0

c)(94x)(3+1)=0
signifie que ………………………………………………..

d)5x(6+x)(7x+2)=0
signifie que ………………………………………………..

e)(43x)(x7)(6+5x)=0
signifie que ………………………………………………..

a) (2x+5)(3x+1)=0
signifie que 2x+5=0 ou3x+1=0

b) 6x(x+4)=0
signifie que 6x=0oux+4=0

c) $(9 – 4x)(3 + 1) = 0$
signifie que 94x=0bien sûr3+1=4

d) 5x(6+x)(7x+2)=0
signifie que  5x=0ou6+x=0ou7x+2=0

e) (43x)(x7)(6+5x)=0
signifie que  43x=0oux7=0 ou6+5x=0

Exercice 4:  

Résoudre les équations suivantes :

a)(x+5)(x3)=0

b)(4x1)(6x+5)=0

c)(8x+5)(23x)=0

d)(3x+4)(25x)=0

e)(5+3x)(7x)=0

f)3x(7+8x)=0

g)8x(36x)=0

h)(4x2)(2x)=0

a) (x+5)(x3)=0

signifie que :

x+5=0 ou x3=0

x=5 ou x=3

Les solutions de l’équation sont : 5 et 3

b) (4x1)(6x+5)=0 signifie que :

4x1=0 ou 6x+5=0

4x=1 ou 6x=5

x=14 ou x=56

Les solutions de l’équation sont : 14 et 56

c) (8x+5)(23x)=0

signifie que :

8x+5=0 ou 23x=0

8x=5 ou 3x=2

x=58 ou x=23

Les solutions de l’équation sont : 58 et 23

d) (3x+4)(25x)=0

signifie que : 3x+4=0 ou 25x=0

3x=4 ou 5x=2

x=43 ou x=25

Les solutions de l’équation sont : 43 et 25

e) (5+3x)(7x)=0

signifie que : 5+3x=0 ou 7x=0

3x=5 ou x=7

x=53 ou x=7

Les solutions de l’équation sont : 53 et 7

f)3x(7+8x)=0 signifie que :

3x=0 ou 7+8x=0

x=0 ou 8x=7

x=0 ou x=78

Les solutions de l’équation sont: 0 et 78

g) 8x(36x)=0 signifie que :

8x=0 ou 36x=0

x=0 ou 6x=3

x=0 ou x=12

Les solutions de l’équation sont : 0 et 12

h) (4x2)(2x)=0 signifie que :

4x2=0 ou 2x=0

4x=2 ou x=2

x=12 ou x=2

Les solutions de l’équation sont : 12 et 2

Exercice 5:  

Résoudre les équations suivantes :

(x+5)2+(x+5)(x1)=0

(2x+3)24=0

(7t+11)2=36

x22×x×1+12=0

x2=64

x2+81=0

9x225=0

x2=180

(5x+8)(4x+5)(x7)=0

(3x1)(3x+1)(3x1)2=0

9x2+6x+1=0

x25=20

(x+5)2+(x+5)(x1)=0
(x+5)×(x+5)+(x+5)×(x1)=0
(x+5)×[(x+5)+(x1)]=0
(x+5)×(2x+4)=0
 Si a ×b=0 alors a=0 ou b=0
x+5=0 ou 2x+4=0
x=5 ou x=42=2

S={5;2}

(2x+3)24=0
(2x+3)222=0
[(2x+3)2][(2x+3)+2]=0
(2x+1)(2x+5)=0
 Si a×b=0 alors a=0 ou b=0
2x+1=0 ou 2x+5=0
2x=1 ou 2x=5
x=12 ou x=52
x=0,5 ou x=2,5 

S={2,5;0,5}

(7t+11)2=36
(7t+11)236=0
(7t+11)262=0
[(7t+11)6][(7t+11)+6]=0
(7t+5)(7t+17)=0
 Si a×b=0 alors a=0 ou b=0
7t+5=0 ou 7t+17=0
7t=5 ou 7t=17
t=57 ou t=177

 S={57;177}

x22×x×1+12=0
(x1)2=0
Si a2=0 alors a=0
x1=0
x=1
S={1}

x2=64
64>0 donc x=64=8 ou x=64=8S={8;8}

x2+81=0
x2=81
81<0 donc l’équation n’admet pas de solution S=

9x225=0
9x2=25
x2=259
259>0 donc x=259=259=53 ou x=259=53S={53;53}

x2=180
180>0 donc x=180=36×5=36×5=65 ou x=65
S={65;65}

(5x+8)(4x+5)(x7)=0

5x+8=0 ou 4x+5=0 ou x7=0
x=85 ou x=54 ou x=7
Les solutions de cette équation sont 54;85 et 7 .

(3x1)(3x+1)(3x1)2=0
(3x1)[(3x+1)(3x1)]=0
(3x1)×2=0
3x1=0
x=13
La solution de cette équation est 13.

9x2+6x+1=0
(3x+1)2=0
x=13
La solution de cette équation est 13.

x25=20 x2=25x=5  ou x=5
Les solutions de cette équation sont 5 et 5 .

Exercice 6:  

1) Tester (mentalement) les 4 nombres pour chaque inéquation et cocher les solutions :

2) Tester l’inéquation 4x3>92x pour les différentes valeurs de x.

• Si x=1

• Si x=2

• Si x=3

3) Tester l’inéquation 43x4x+18 pour les différentes valeurs de x.

• Si x=2

• Si x=5

• Si x=2

1) Tester (mentalement) les 4 nombres pour chaque inéquation et cocher les solutions :

2) Tester l’inéquation 4x3>92x pour les différentes valeurs de x.

Si x=1

D’une part:

4x3=4×13=43=1

D’autre part :

92x=92×2=92=7

Puisque 1<7, alors 1 n’est pas une solution de l’inéquation

• Si x=2

D’une part:

4x3=4×23=83=5

D’autre part :

92x=92×2=94=5

Puisque 5=5, alors 2 n’est pas une solution de l’inéquation

• Si x=3

D’une part:

4x3=4×33=123=9

D’autre part :

92x=92×3=96=3

Puisque 9>3,  alors 3 est une solution de l’inéquation

3) Tester l’inéquation 43x4x+18 pour les différentes valeurs de x.

• Si x=2

D’une part:

43x=43×2=46=2

D’autre part :

4x+18=4×2+18=8+18=26

Puisque 2<26, alors 2 est une solution de l’inéquation

• Si x=5

D’une part:

43x=43×(5)=4+15=19

D’autre part :

4x+18=4×(5)+18=20+18=2

Puisque 19>2, alors 2 n’est pas une solution de l’inéquation

• Si x=2

D’une part:

43x=43×(2)=4+6=10

D’autre part :

4x+18=4×(2)+18=8+18=10

Puisque 1010, alors 2 n’est pas une solution de l’inéquation

Exercice 7:  

1) Résoudre les inéquations suivantes :

5x>2

 7x<3 

x+25 

x57 

2x>5

 3x4 

3x12 

287x 

42<6x 

5x35

2) Résoudre les inéquations suivantes :

 3x+5>2

7x+5<3 

43x2 

8x+36 

3>5x+7

 87x4 

7x+2>x+6 

4x+75x

1) Résoudre les inéquations suivantes :

5x>2   x>25

7x<3 x<37

x+25  x52  x3

x57 x7+5 x12

2x>5 x<52

3x4 x43

3x12 3x123 x4

287x 2877x7   x4 

42<6x x>7

5x35 x7

2) Résoudre les inéquations suivantes :

 3x+5>2 3x>25 3x>7 x>73

7x+5<3 7x<35 x<87

43x2 3x24 x23

8x+36 8x63   x38

3>5x+7  37>5x   x>2

87x4  7x48   x47

7x+2>x+6  7xx>62  6x>4 x>23

4x+75x  4x+x57 3x2 x23

Exercice 8:  

Repasser en couleur la partie de l’axe décrite par chaque inéquation :

Exercice 9:  

Résoudre chaque inéquation puis hachurer sur l’axe gradué la partie qui ne convient pas.

 

Exercice 10:  

Résoudre les inéquations suivantes et représenter leur ensemble de solutions sur une droite graduée :

a) 3(2x1)>3x+2

b) 3x88(x2)

c) 2(3x+1)x3

d) 2x+13x121

e) 3+2x63+x8<0

a)  3(2x1)>3x+26x3>3x+26x3x>2+33x>5x>53

b) 3x88(x2)

3x88x16

3x8x816

5x8

x85

 

c)  2(3x+1)x36x2x36x+x3+25x1x15

d) 2x+13x1212(2x+1)63(x1)6662(2x+1)3(x1)64x+23x+364x3x623x1

e) 3+2x63+x8<0

4(3+2x)243(3+x)24<0

4(3+2x)3(3+x)<0

12+8x93x<0

5x<3

 donc x<35

Exercice 11:  

1) On considère l’inéquation : 4x+7>23x.

a) Le nombre 0 est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.

b) Le nombre (1) est-il solution de cette inéquation ?Justifier la réponse.

c) Résoudre l’inéquation 4x+7>23x et représenter ses solutions sur une droite graduée.

2) a)  Parmi les nombres :0;(4);(5) retrouver ceux qui sont solutions de l’inéquation 15x21.

b) Résoudre l’inéquation 3x2x4. Représenter graphiquement sur une droite graduée, les solutions de cette inéquation (hachurer la partie qui ne convient pas).

1) a) Le nombre 0 est-il solution de cette inéquation?

4x+7=4×0+7=7

23x=23×0=2

7>2 donc 0 est solution de cette inéquation.

b) Le nombre (-1) est-il solution de cette inéquation?

4x+7=4×(1)+7=3

23x=23×(1)=5

3<5 donc 1 n’est pas solution de cette inéquation.

c) 4x+7>23x

7x>5

x>57

2)a) Parmi les nombres: 0;(4);(5) retrouver ceux qui sont solutions de l’inéquation 15x21 :

15×0=1121

15×(4)=212121

15×(5)=2626>21

0 et 4 sont les solutions de cette inéquation.

a) 3x2x4

2x2

x1

Exercice 12:  

Dans une classe de 30 élèves, la moyenne des filles est 13 ; celle des garçons, 10,5.
La moyenne de la classe est 11,5.

Combien y a-t-il de garçons ?

Coup de pouce : Soit x le nombre de garçons, le nombre de filles est donc …..

Le nombre de filles est 30x , on a :

La somme des notes des filles est alors 13×(30x)

La somme des notes des garçons est alors 10,5x

La somme de toutes les notes est 30×11,5

On a donc : 10,5x+13(30x)=30×11,5

10,5x+39013x=345

10,5x13x=345390

2,5x=45

x=452,5=18

Le nombre de garçons est 18.

Exercice 13:  

La moyenne d’une classe à un contrôle est 10,2. L’un des élèves n’a rien su faire et a obtenu 0.

Le professeur décide de recalculer la moyenne sans compter cet élève.

La nouvelle moyenne est 10,8.

Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?

Soit n le nombre d’élèves.

Soit S la somme de toutes les notes.

On a 10,2=Sn et 10,8=Sn1

Soit S=10,2×n et S=10,8×(n1)

Donc 10,2×n=10,8×(n1)

Equation du premier degré dont l’inconnue est n.

10,2×n=10,8×(n1)

10,2n=10,8n10,8

10,8n10,2n=10,8

n=10,80,6=18.

Il y a 18 élèves dans la classe.

Exercice 14:  

Amal possède des pièces de 20DH et des billets de 100DH dans son porte-monnaie.

Elle a 560DH en tout, et a deux fois plus de pièces que de billets.

Combien a-t-elle de billets dans son porte-monnaie ?

En déduire le nombre de pièces.

Soit x le nombre de billets de 100 DH

Le nombre de pièces de 20DH est égal à 2x.

Les x billets de 100DH représentent la somme de 100xDH.

Les 2x pièces de 20DH représentent la somme de 2x×20=40xDH

La somme totale est égale à 560DH.

On obtient donc l’équation : 100x+40x=560

140x=560

x=560140=4

S=4

Amal possède 4 billets de 100DH et 8 pièces de 20DH.

Exercice 15:  

Je pense à un nombre.

Si je lui enlève 3, j’obtiens la moitié du nombre initial augmentée de 1.

A quel nombre ai-je pensé ?

Soit x le nombre auquel j’ai pensé.

Si on lui enlève 3, on obtient le nombre x3

La moitié du nombre x augmentée de 1 est égale à : x2+1

On obtient donc l’équation : x3=x2+1

xx2=1+3

2x2x2=4

x2=4

x=2×4=8

J’ai pensé au nombre 8.

Exercice 16:  

Samir a acheté deux C.D. coûtant le même prix et il lui reste 95DH.
Si chaque C.D. avait coûté 10DH de moins, il aurait pu en acheter un de plus en dépensant toutes ses économies.

Quel est le prix d’un C.D. ?

Soit x le prix d’un C.D.

Deux C.D. coûtent 2xDH.

Arnaud possède la somme de 2x+95DH

Si un C.D. coûtait 10DH de moins, il coûterait x10DH.

Samir pourrait s’acheter 3 C.D. qui représentent la somme de 3(x1)DH.

On obtient donc l’équation : 2x+95=3(x10)

2x+95=3x30

2x3x=3095

x=125

x=125

S=125

Le prix d’un C.D. est de 125DH.

Exercice 17:  

La somme de trois entiers consécutifs est comprise entre 12 et 27.

Quelles sont les valeurs possibles du plus grand de ces trois nombres ?

Soit x le plus grand des trois entiers consécutifs.

Le précédent est égal à x1 et le plus petit est égal à x2.

La somme de ces trois entiers est égale à : (x2)+(x1)+x=3x3

12<3x3<27

12+3<3x3+3<27+3

15<3x<30

153<3x3<303

5<x<10

Le plus grand de ces trois entiers est 6,7,8 ou 9.

Exercice 18:

Le périmètre d’un rectangle est inférieur ou égal à 37cm.

Sachant que sa largeur est égale à 5,3cm, déterminer les valeurs possibles pour la longueur de ce rectangle.

(La longueur doit être supérieure à la largeur)

Soit L la longueur de ce rectangle.

L>5,3cm

Le périmètre de ce rectangle est égal à : 2L+2×5,3=2L+10,6

12<3x3<27

12+3<3x3+3<27+3

15<3x<30

153<3x3<303

5<x<10

Conclusion : la longueur de ce rectangle est comprise entre 5,3cm et 13,2cm.

Exercice 19:

Une salle rectangulaire, représentée par le rectangle ABCD sur le dessin, peut être partagée en deux parties  rectangulaires au moyen d’une cloison mobile, représentée par le segment [MN].

       Les dimensions, exprimées en mètres, sont portées sur le dessin :AD=10 ; DC=30 ;MB=x.

       La valeur de x permet de repérer la position de la cloison mobile.

1) Que représente l’expression 10(30x) exprimée en $m^{2} $?

2) Que représente l’expression 10x exprimée en $m^{2} $?

3) Résoudre l’inéquation 30010x<40x

4) Trouver les valeurs de x pour lesquelles l’aire de la partie AMND est inférieure à quatre fois l’aire de la partie MBCN

1) Que représente l’expression 10(30x) exprimée en m2

l’aire de la partie AMND  

2) Que représente l’expression 10x exprimée en m2

l’aire de la partie MBCN      

3) Résoudre l’inéquation 30010x<40x

300<40x+10x

300<50x 

x>30050

x>6                                           

4) Trouver les valeurs de x pour lesquelles l’aire de la partie AMND est inférieure à quatre fois l’aire de la partie MBCN.       

Il faut que x>6   

Exercice 20:  

Sonia a eu 11 notes dont la moyenne est 13,7 sur 20.

Quelles notes à son prochain devoir lui permettront d’obtenir une moyenne supérieure ou égale à 14 ?

Si elle a eu 11 notes et sa moyenne est de 13.720 cela signifie qu’elle a eu 11 fois 13.7

Soit x la future note de Sonia :

donc on peut l’écrire (11×13.7+x)12 (pour faire une moyenne) 14

(11×13.7+x)1214

(150.7+x)1214

150.7+x12×14

150.7+x168

150.7+x168150.7

x17.3

Il faut qu’elle ait au minimum 17.3 pour que sa moyenne soit supérieure ou égale à 14

Équations et inéquations exercices corrigés