Équations et inéquations exercices corrigés
📝Exercice 1 :
1️⃣1) Résoudre les équations suivantes
\(3-2x-3-x = 5-x+18\)
\(7+5x = 7x-13\)
\(2x = 13-4x\)
2️⃣2) Résoudre les équations suivantes
\(3(x+1)-(x-9)+(x+3) = (x+4)+(x+2)-(11-x)\)
\(6(x-3)-3(x-2) = 4(3-x)+5\)
\(4(x-4)+25(x+1)=10(2x+3)+15\)
\(7(2x-5)-5(3x+1) = 6(x-4)-7\)
\((x-1)(x+3) = (x+4)(x-2)\)
\((x+3)(x+5) = (x+1)(x+9)\)
\(3(x-3) = (x-4)(x+1)-(x-5)(x-1)\)
🔍 Méthode de résolution pas à pas :
Pour les équations simples :
- Regrouper les termes en \(x\) d’un côté du signe « = »
- Regrouper les constantes de l’autre côté
- Simplifier chaque côté
- Isoler \(x\) en divisant par son coefficient
Pour les équations avec développement :
- Développer toutes les expressions
- Réduire les termes semblables de chaque côté
- Transposer les termes en \(x\) et les constantes
- Résoudre l’équation obtenue
1️⃣1) Résolution des équations simples
• \(3 – 2x – 3 – x = 5 – x + 18\)
\(-2x – x + x = 5 + 18 + 3 – 3\)
\(-2x = 23\)
\(x = \frac{23}{-2}\)
\(x = -\frac{23}{2}\)
L’équation admet une solution qui est \(x = -\frac{23}{2}\).
• \(7 + 5x = 7x – 13\)
\(5x – 7x = -13 – 7\)
\(-2x = -20\)
\(x = \frac{-20}{-2}\)
\(x = 10\)
L’équation admet une solution qui est \(x = 10\).
• \(2x = 13 – 4x\)
\(2x + 4x = 13\)
\(6x = 13\)
\(x = \frac{13}{6}\)
L’équation admet une solution qui est \(x = \frac{13}{6}\).
2️⃣2) Résolution des équations avec développement
• \(3(x + 1) – (x – 9) + (x + 3) = (x + 4) + (x + 2) – (11 – x)\)
\(3x + 3 – x + 9 + x + 3 = x + 4 + x + 2 – 11 + x\)
\(3x + 15 = 3x – 5\)
\(3x – 3x = -5 – 15\)
\(0x = -20\)
L’équation n’admet pas de solution.
• \(6(x – 3) – 3(x – 2) = 4(3 – x) + 5\)
\(6x – 18 – 3x + 6 = 12 – 4x + 5\)
\(3x – 12 = -4x + 17\)
\(3x + 4x = 17 + 12\)
\(7x = 29\)
\(x = \frac{29}{7}\)
L’équation admet une solution qui est \(x = \frac{29}{7}\).
• \(4(x – 4) + 25(x + 1) = 10(2x + 3) + 15\)
\(4x – 16 + 25x + 25 = 20x + 30 + 15\)
\(29x + 9 = 20x + 45\)
\(29x – 20x = 45 – 9\)
\(9x = 36\)
\(x = 4\)
L’équation admet une solution qui est \(x = 4\).
• \(7(2x – 5) – 5(3x + 1) = 6(x – 4) – 7\)
\(14x – 35 – 15x – 5 = 6x – 24 – 7\)
\(-x – 40 = 6x – 31\)
\(-x – 6x = -31 + 40\)
\(-7x = 9\)
\(x = -\frac{9}{7}\)
L’équation admet une solution qui est \(x = -\frac{9}{7}\).
• \((x – 1)(x + 3) = (x + 4)(x – 2)\)
\(x^2 + 3x – x – 3 = x^2 – 2x + 4x – 8\)
\(x^2 + 2x – 3 = x^2 + 2x – 8\)
\(x^2 – x^2 + 2x – 2x = -8 + 3\)
\(0x = -5\)
L’équation n’admet pas de solution.
• \((x + 3)(x + 5) = (x + 1)(x + 9)\)
\(x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 9x + x + 9\)
\(x^2 + 8x + 15 = x^2 + 10x + 9\)
\(x^2 – x^2 + 8x – 10x = 9 – 15\)
\(-2x = -6\)
\(x = \frac{-6}{-2}\)
\(x = 3\)
L’équation admet une solution qui est \(x = 3\).
• \(3(x – 3) = (x – 4)(x + 1) – (x – 5)(x – 1)\)
\(3x – 9 = x^2 + x – 4x – 4 – (x^2 – x – 5x + 5)\)
\(3x – 9 = x^2 – 3x – 4 – x^2 + 6x – 5\)
\(3x – 9 = 3x – 9\)
\(3x – 3x = -9 + 9\)
\(0x = 0\)
L’équation admet une infinité de solutions (tous les nombres réels).
📝Exercice 2 : Résolution d’équations avec fractions
🔢Résoudre les équations suivantes
Technique : Multiplier chaque membre par le dénominateur commun
a) \(\frac{2x}{3}+5=\frac{2x}{5}+6\)
b) \(\frac{3x}{5}-\frac{2x-7}{15}+\frac{x}{3}=0\)
c) \(\frac{3x-1}{2}-\frac{5x-2}{3}+\frac{7x-3}{4}=\frac{24}{5}\)
d) \(\frac{5x+1}{5}-\frac{3x-1}{4}=\frac{2(4x+1)}{5}\)
e) \(\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{5}=\frac{7x-12}{15}\)
🔍 Méthode de résolution pas à pas :
Étape 1 : Identifier les dénominateurs
- Lister tous les dénominateurs présents
- Calculer le PPCM de ces dénominateurs
- Vérifier les parenthèses nécessaires
Étape 2 : Éliminer les fractions
- Multiplier chaque terme par le PPCM
- Simplifier chaque fraction
- Développer et réduire
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📝Exercice 3 : Règle du produit nul
Objectif : Appliquer la règle du produit nul pour les équations
Méthode : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul
🔢Compléter les pointillés
a) \((2x + 5)(3x + 1) = 0\)
signifie que \(……………… = 0\) ou \(……………… = 0\)
b) \(6x(-x + 4) = 0\)
signifie que \(……………… = 0\) ou \(……………… = 0\)
c) \((9 – 4x)(3 + 1) = 0\)
signifie que ………………………………………………..
d) \(5x(-6 + x)(7x + 2) = 0\)
signifie que ………………………………………………..
e) \((4 – 3x)(x – 7)(6 + 5x) = 0\)
signifie que ………………………………………………..
🔍 Règle du produit nul :
Formulation mathématique :
Si \(A \times B = 0\)
alors \(A = 0\) ou \(B = 0\)
(ou les deux)
Formulation avec 3 facteurs :
Si \(A \times B \times C = 0\)
alors \(A = 0\) ou \(B = 0\) ou \(C = 0\)
(ou plusieurs)
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📝Exercice 4 : Résolution d’équations par produit nul
🔢Résoudre les équations suivantes
Rappel : Si \(A \times B = 0\) alors \(A = 0\) ou \(B = 0\)
a) \((x + 5)(x – 3) = 0\)
b) \((4x – 1)(6x + 5) = 0\)
c) \((-8x + 5)(-2 – 3x) = 0\)
d) \((3x + 4)(2 – 5x) = 0\)
e) \((5 + 3x)(7 – x) = 0\)
f) \(3x(7 + 8x) = 0\)
g) \(-8x(-3 – 6x) = 0\)
h) \((4x – 2)(2 – x) = 0\)
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📝Exercice 5 : Résolution d’équations variées
🔢Résoudre les équations suivantes
Diverses techniques : Factorisation, identités remarquables, mise en évidence
1. \((x+5)^{2}+(x+5)(x-1)=0\)
2. \((2x+3)^{2}-4=0\)
3. \((7t+11)^{2}=36\)
4. \(x^{2}-2 \times x \times 1+1^{2}=0\)
5. \(x^{2}=64\)
6. \(x^{2}+81=0\)
7. \(9x^{2}-25=0\)
8. \(x^{2}=180\)
9. \((5x+8)(4x+5)(x-7)=0\)
10. \((3x-1)(3x+1)-(3x-1)^{2}=0\)
11. \(9x^{2}+6x+1=0\)
12. \(x^{2}-5=20\)
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📝Exercice 6 :
1️⃣1) Tester (mentalement) les 4 nombres pour chaque inéquation et cocher les solutions
| Inéquations | \(x = -2\) | \(x = 0\) | \(x = 2\) | \(x = 4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x + 3 > 5\) | □ | □ | □ | □ |
| \(2x – 1 < 7\) | □ | □ | □ | □ |
| \(3x + 2 ≥ 8\) | □ | □ | □ | □ |
| \(-x + 4 ≤ 2\) | □ | □ | □ | □ |
2️⃣2) Tester l’inéquation \(4x – 3 > 9 – 2x\) pour les différentes valeurs de \(x\)
• Si \(x = 1\)
• Si \(x = 2\)
• Si \(x = 3\)
À compléter : Pour chaque valeur de \(x\), indiquez si l’inégalité est VRAIE ou FAUSSE.
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📝Exercice 7 : Résolution d’inéquations
1️⃣1) Résoudre les inéquations suivantes
\(5x > -2\)
\(7x < -3\)
\(x + 2 \geq 5\)
\(x – 5 \leq 7\)
\(-2x > 5\)
\(3x \leq -4\)
\(-3x \geq -12\)
\(28 \leq -7x\)
\(42 < 6x\)
\(-5x \geq -35\)
2️⃣2) Résoudre les inéquations suivantes
\(3x + 5 > -2\)
\(7x + 5 < -3\)
\(4 – 3x \geq 2\)
\(8x + 3 \leq 6\)
\(-3 > -5x + 7\)
\(8 – 7x \leq 4\)
\(7x + 2 > x + 6\)
\(-4x + 7 \leq 5 – x\)
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📊Exercice 8 : Représentation graphique d’inéquations
🎯Repasser en couleur la partie de l’axe décrite par chaque inéquation
Consigne : Colorier la partie de la droite numérique correspondant à chaque inéquation
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📊Exercice 8 : Représentation graphique d’inéquations
🎯
Résoudre chaque inéquation puis hachurer sur l’axe gradué la partie qui ne convient pas.
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📐Exercice 10 :
🎯Résoudre les inéquations suivantes et représenter leur ensemble de solutions sur une droite graduée
a) \(3(2x – 1) > 3x + 2\)
b) \(3x – 8 \leq 8(x – 2)\)
c) \(-2(3x + 1) \geq -x – 3\)
d) \(\frac{2x + 1}{3} – \frac{x – 1}{2} \leq 1\)
e) \(\frac{3 + 2x}{6} – \frac{3 + x}{8} < 0\)
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🔍Exercice 11 :
1️⃣1) On considère l’inéquation : \(4x + 7 > 2 – 3x\)
a) Le nombre \(0\) est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
b) Le nombre \((-1)\) est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
c) Résoudre l’inéquation \(4x + 7 > 2 – 3x\) et représenter ses solutions sur une droite graduée.
2️⃣2)
a) Parmi les nombres : \(0, -4, -5\) retrouver ceux qui sont solutions de l’inéquation \(1 – 5x \leq 21\)
b) Résoudre l’inéquation \(3x – 2 \geq x – 4\). Représenter graphiquement sur une droite graduée, les solutions de cette inéquation (hachurer la partie qui ne convient pas).
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🧮Exercice 12 :
🎯Énoncé du problème
Dans une classe de 30 élèves, la moyenne des filles est 13 ; celle des garçons, 10,5. La moyenne de la classe est 11,5.
Combien y a-t-il de garçons ?
📝 Espace pour la résolution :
1. Définir les inconnues :
2. Établir l’équation :
3. Résoudre l’équation :
4. Conclusion :
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🧮Exercice 13 :
🎯Énoncé du problème
La moyenne d’une classe à un contrôle est 10,2.
L’un des élèves n’a rien su faire et a obtenu 0.
Le professeur décide de recalculer la moyenne sans compter cet élève.
La nouvelle moyenne est 10,8.
Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?
📝 Espace pour la résolution :
1. Définir l’inconnue :
2. Exprimer la somme totale des notes (avec l’élève à 0) :
3. Exprimer la somme des notes (sans l’élève à 0) :
4. Établir l’équation :
5. Résoudre l’équation :
6. Conclusion et vérification :
💡 Indices méthodologiques :
- Rappel : Moyenne = (Somme des notes) ÷ (Nombre d’élèves)
- Astuce : Soit \(n\) le nombre total d’élèves dans la classe
- Équation : La somme des notes sans l’élève à 0 = (n-1) × 10,8
- Relation : Cette somme est aussi égale à n × 10,2 – 0
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💰Exercice 14 :
🎯Énoncé du problème
Amal possède des pièces de 20 DH et des billets de 100 DH dans son porte-monnaie.
Elle a 560 DH en tout, et a deux fois plus de pièces que de billets.
1. Combien a-t-elle de billets dans son porte-monnaie ?
2. En déduire le nombre de pièces.
📝 Espace pour la résolution :
1. Définir les inconnues :
2. Traduire les informations en équations :
3. Établir l’équation :
4. Résoudre l’équation :
5. Réponses aux questions :
Nombre de billets :
Nombre de pièces :
6. Vérification :
💡 Indices méthodologiques :
- Astuce : Soit \(b\) le nombre de billets et \(p\) le nombre de pièces
- Équation 1 : Relation entre le nombre de pièces et de billets : \(p = 2b\)
- Équation 2 : Relation monétaire : \(100b + 20p = 560\)
- Méthode : Remplacer \(p\) par \(2b\) dans la deuxième équation
- Vérification : Calculer le total avec les valeurs trouvées
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🤔Exercice 15 :
🎯Énoncé du problème
Je pense à un nombre.
Si je lui enlève 3, j’obtiens la moitié du nombre initial augmentée de 1.
À quel nombre ai-je pensé ?
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💿Exercice 16 :
🎯Énoncé du problème
Samir a acheté deux CD coûtant le même prix et il lui reste 95 DH.
Si chaque CD avait coûté 10 DH de moins, il aurait pu en acheter un de plus en dépensant toutes ses économies.
Quel est le prix d’un CD ?
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🔢Exercice 17 :
🎯Énoncé du problème
La somme de trois entiers consécutifs est comprise entre 12 et 27.
Quelles sont les valeurs possibles du plus grand de ces trois nombres ?
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📐Exercice 18 :
🎯Énoncé du problème
Le périmètre d’un rectangle est inférieur ou égal à 37 cm.
Sachant que sa largeur est égale à 5,3 cm,
Déterminer les valeurs possibles pour la longueur de ce rectangle.
(La longueur doit être supérieure à la largeur)
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🏢Exercice 19 :
🎯Énoncé du problème
Une salle rectangulaire, représentée par le rectangle \(ABCD\), peut être partagée en deux parties rectangulaires au moyen d’une cloison mobile, représentée par le segment \([MN]\).
Schéma de la salle avec cloison mobile
Dimensions : \(AD = 10\) m ; \(DC = 30\) m ; \(MB = x\)
La valeur de \(x\) permet de repérer la position de la cloison mobile.
📝 Questions à résoudre :
1) Que représente l’expression \(10(30 – x)\) exprimée en \(m^2\) ?
2) Que représente l’expression \(10x\) exprimée en \(m^2\) ?
3) Résoudre l’inéquation \(300 – 10x < 40x\)
4) Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles l’aire de la partie \(AMND\) est inférieure à quatre fois l’aire de la partie \(MBCN\)
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📊Exercice 20 :
🎯Énoncé du problème
Sonia a eu 11 notes dont la moyenne est 13,7 sur 20.
Quelles notes à son prochain devoir lui permettront d’obtenir une moyenne supérieure ou égale à 14 ?
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Équations et inéquations exercices corrigés