Équations et inéquations exercices corrigés
Exercice 1:
$1)$ Résoudre les équations suivantes :
$3-2x-3-x = 5-x+18$
$7+5x = 7x-13$
$2x = 13-4x$
$2) $ Résoudre les équations suivantes :
$3 (x+1)-(x-9)+(x+3) = (x+4)+(x+2)-(11-x)$
$6(x-3)-3(x-2) = 4(3-x)+5$
$4(x-4)+25(x+1)=10(2x+3)+15$
$7(2x-5)-5(3x+1) = 6(x-4)-7$
$(x-1)(x+3) = (x+4)(x-2)$
$(x + 3)(x + 5) = (x + 1)(x + 9)$
$3(x-3) = (x-4)(x+1)-(x-5)(x-1)$
$1)$ Résoudre les équations suivantes :
• $3 – 2x – 3 – x = 5 – x + 18$
$-2 x-x+x =5+18+3-3 $
$-2x =23 $
$x =\frac{23}{-2} $
$x =-\frac{23}{2} $
$s =\left\{-\frac{23}{2}\right\}$
• $7 + 5x = 7x – 13$
$5 x-7 x =-13-7 $
$-2 x =-20 $
$x =\frac{-20}{-2} $
$x =10 $
$s=\{10\}$
• $2x = 13 – 4x$
$2 x+4 x =13 $
$6 x =13 $
$x =\frac{13}{6}$
$s=\left\{\frac{13}{6}\right\}$
$2) $ Résoudre les équations suivantes :
• $3 (x + 1) – (x – 9) + (x + 3) = (x + 4) + (x + 2) – (11 – x)$
$3 x+3-x+9+x+3=x+4+x+2-11+x$
$3 x+15 =3 x-5 $
$3 x-3 x =-5-15 $
$0 x =-20 $
$ s=\varnothing$
L’équation n’admet pas de solution.
• $6(x – 3) -3(x – 2) = 4(3 – x) + 5$
$6 x-18-3 x+6=12-4 x+5$
$3 x-12=-4 x+17$
$3 x+4 x=17+1 2$
$7 x=29$
$x=\frac{29}{7}$
$s=\left\{\frac{29}{7}\right\}$
• $4(x – 4) + 25(x + 1) = 10(2x + 3) + 15$
$4 x-16+25 x+25 =20 x+30+15 $
$29 x+9 =20 x+45 $
$29 x-20 x =45-9 $
$9 x =36 $
$x =\frac{36}{9} $
$x =4 $
$ s=\{4\}$
• $7(2x – 5) – 5(3x + 1) = 6(x – 4) – 7$
$ 1 4 x – 3 5 – 1 5 x – 5=6 x-24-7 $
$-x-40=6 x-31 $
$-x-6 x=-31+40 $
$-7 x=9 $
$ x=\frac{9}{-7} $
$ x=-\frac{9}{7} $
$ s=\left\{-\frac{9}{7}\right\} $
• $(x – 1)(x + 3) = (x + 4)(x – 2)$
$ x^{2}+3 x-x-3=x^{2}-2 x+4 x-8 $
$ x^{2}+2 x-3=x^{2}+2 x-8 $
$ x^{2}-x^{2}+2 x-2 x=-8+3 $
$ 0 x=-5 $
$ s=\varnothing$
L’équation n’admet pas de solution.
• $(x + 3)(x + 5) = (x + 1)(x + 9)$
$x^{2}+5 x+3 x+15 =x^{2}+9 x+x+9 $
$x^{2}+8 x+15 =x^{2}+10 x+9 $
$x^{2}-x^{2}+8 x-10 x =9-15 $
$-2 x =-6$
$x=\frac{-6}{-2}$
$x=3$
$s=\{3\}$
• $3(x – 3) = (x – 4)(x + 1) – (x – 5)(x – 1)$
$3 x-9 =x^{2}+x-4 x-4-\left(x^{2}-x-5 x+5\right) $
$3 x-9 =x^{2}-3 x-4-x^{2}+6 x-5 $
$3 x-9= 3 x-9 $
$3 x-3 x= -9-9 $
$0 x= 0 $
$ s=P$
L’équation admet une infinité de solutions.
Exercice 2:
Résoudre les équations suivantes :
$a)$ $\frac{2 x}{3}+5=\frac{2 x}{5}+6$
$b)$ $\frac{3 x}{5}-\frac{2 x-7}{15}+\frac{x}{3}=0$
$c)$ $\frac{3 x-1}{2}-\frac{5 x-2}{3}+\frac{7 x-3}{4}=\frac{24}{5}$
$d)$ $\frac{5 x+1}{5}-\frac{3 x-1}{4}=\frac{2(4 x+1)}{5}$
$e)$ $\frac{2 x+1}{3}-\frac{x-1}{5}=\frac{7 x-12}{15}$
$a)$ $\frac{2 x}{3}+5=\frac{2 x}{5}+6$
$\frac{2 \mathrm{x} \times 5}{15}+\frac{5 \times 15}{15}=\frac{2 \mathrm{x} \times 3}{15}+\frac{6 \times 15}{15}$
$10 x+75=6 x+90$
$10 x-6 x=90-75$
$4 x=15$
$x=\frac{15}{4}$
$s=\left\{\frac{15}{4}\right\}$
$b)$ $\frac{3 x}{5}-\frac{2 x-7}{15}+\frac{x}{3}=0$
$\frac{3 x \times 3}{15}-\frac{2 x-7}{15}+\frac{5 \times x}{15}=0$
$9 x-(2 x-7)+5 x=0$
$9 x-2 x+7+5 x=0$
$12 x=-7$
$x=-\frac{7}{12}$
$s=\left\{-\frac{7}{12}\right\}$
$c)$ $\frac{3 x-1}{2}-\frac{5 x-2}{3}+\frac{7 x-3}{4}=\frac{24}{5}$
$\frac{30 \times(3 x-1)}{60}-\frac{20 \times(5 x-2)}{60}+ \frac{15 \times(7 x-3)}{60}=\frac{24 \times 12}{60}$
$ 30(3 x-1)-20(5 x-2)+15(7 x-3)=288 $
$ 90 x-30-100 x+40+105 x-45=288 $
$ 95 x=288+30+45-40 $
$ 95 x=323 $
$ x=\frac{323}{95} $
$ s=\left\{\frac{323}{95}\right\}$
$d)$ $\frac{5 x+1}{5}-\frac{3 x-1}{4}=\frac{2(4 x+1)}{5}$
$\frac{4 \times(5 x+1)}{20}-\frac{5 \times(3 x-1)}{20}=\frac{4 \times 2(4 x+1)}{20} $
$ 4(5 x+1)-5(3 x-1)=8(4 x+1) $
$20 x+4-15 x+5=32 x+8 $
$ 5 x+9=32 x+8 $
$ 5 x-32 x=8-9 $
$-27 x=-1 $
$ x=\frac{-1}{-27} $
$ x=\frac{1}{27} $
$ S=\left\{\frac{1}{27}\right\}$
$e)$ $\frac{2 x+1}{3}-\frac{x-1}{5}=\frac{7 x-12}{15}$
$\frac{5 \times(2 x+1)}{15}-\frac{3 \times(x-1)}{15}=\frac{7 x-12}{15} $
$ 5(2 x+1)-3(x-1)=7 x-12 $
$ 10 x+5-3 x+3=7 x-12 $
$7 x+8=7 x-12 $
$ 7 x-7 x=-12-8 $
$ 0 x=-20 $
$s=\varnothing$
Exercice 3:
Compléter les pointillés :
$a)$$ (2x + 5)(3x + 1) = 0$
signifie que $……………… = 0 \quad $ou$\quad ……………… = 0$
$b)$$ 6x(-x + 4) = 0$
signifie que$ ……………… = 0 \quad$ ou $\quad…………….. = 0$
$c)$$ (9 – 4x)(3 + 1) = 0$
signifie que ………………………………………………..
$d)$$ 5x(-6 + x)(7x + 2) = 0$
signifie que ………………………………………………..
$e) $$(4 – 3x)(x – 7)(6 + 5x) = 0$
signifie que ………………………………………………..
$a)$ $(2x + 5)(3x + 1) = 0$
signifie que $2x + 5 = 0 \quad$ ou$\quad 3x + 1 = 0$
$b)$ $6x(-x + 4) = 0$
signifie que $6x = 0 \quad $ou$\quad -x + 4 = 0$
$c)$ $(9 – 4x)(3 + 1) = 0$
signifie que $9 – 4x = 0 \quad $bien sûr$\quad 3 + 1 = 4$
$d)$ $5x(-6 + x)(7x + 2) = 0$
signifie que $5x = 0 \quad $ou$ \quad -6 + x = 0 \quad $ou$ \quad 7x + 2 = 0$
$e)$ $(4 – 3x)(x – 7)(6 + 5x) = 0$
signifie que $4 – 3x = 0 \quad $ou$ \quad x – 7 = 0 \quad $ ou$ \quad 6 + 5x = 0$
Exercice 4:
Résoudre les équations suivantes :
$a)$$ (x + 5)(x–3) = 0$
$b)$$ (4x–1)(6x + 5) = 0$
$c) $$(-8x + 5)(-2–3x) = 0$
$d)$$ (3x+4)(2–5x) = 0$
$e)$$ (5 + 3x)(7–x) = 0$
$f)$$ 3x(7+8x) = 0$
$g) $$-8x(-3–6x) = 0$
$h)$$ (4x–2)(2–x) = 0$
$a)$ $\quad(x+5)(x-3)=0$
signifie que :
$x+5 =0 \text { ou } x-3=0$
$x =-5 \text { ou } x=3$
Les solutions de l’équation sont : $-5 \text { et } 3$
$b)$ $\quad(4 x-1)(6 x+5)=0$ signifie que :
$4 x-1=0 \text { ou } 6 x+5=0 $
$4 x=1 \text { ou } 6 x=-5 $
$x=\frac{1}{4} \text { ou } x=-\frac{5}{6}$
Les solutions de l’équation sont : $\frac{1}{4} \text { et }-\frac{5}{6}$
$c)$ $\quad(-8 x+5)(-2-3 x)=0$
signifie que :
$-8 x+5=0 \text { ou }-2-3 x=0 $
$-8 x=-5 \text { ou }-3 x=2 $
$x=\frac{5}{8} \text { ou } x=-\frac{2}{3}$
Les solutions de l’équation sont : $\frac{5}{8} \text { et }-\frac{2}{3}$
$d)$ $\quad(3 x+4)(2-5 x)=0$
signifie que : $3 x+4=0 \text { ou } 2-5 x=0$
$3 x=-4 \text { ou }-5 x=-2 $
$x=-\frac{4}{3} \text { ou } x=\frac{2}{5}$
Les solutions de l’équation sont : $-\frac{4}{3} \text { et } \frac{2}{5}$
$e)$ $\quad(5+3 x)(7-x)=0$
signifie que : $5+3 x=0 \text { ou } 7-x=0 $
$3 x=-5 \text { ou }-x=-7 $
$x=-\frac{5}{3} \text { ou } x=7$
Les solutions de l’équation sont : $-\frac{5}{3} \text { et } 7$
$f)$$\quad 3 x(7+8 x)=0$ signifie que :
$3 x =0 \text { ou } 7+8 x=0 $
$x =0 \text { ou } 8 x=-7 $
$x =0 \text { ou } x=-\frac{7}{8}$
Les solutions de l’équation sont: $0 \text { et }-\frac{7}{8}$
$g)$ $\quad-8 x(-3-6 x)=0$ signifie que :
$-8 x=0 \text { ou }-3-6 x=0 $
$x=0 \text { ou }-6 x=3 $
$x=0 \text { ou } x=-\frac{1}{2}$
Les solutions de l’équation sont : $0 $ et $-\frac{1}{2}$
$h)$ $\quad(4 x-2)(2-x)=0$ signifie que :
$4 x-2=0 \text { ou } 2-x=0 $
$4 x=2 \text { ou }-x=-2 $
$x=\frac{1}{2} \text { ou } x=2$
Les solutions de l’équation sont : $\frac{1}{2} \text { et } 2$
Exercice 5:
Résoudre les équations suivantes :
$ (x+5)^{2}+(x+5)(x-1)=0 $
$ (2 x+3)^{2}-4=0 $
$ (7 t+11)^{2}=36 $
$x^{2}-2 \times x \times 1+1^{2}=0$
$x^{2}=64$
$x^{2}+81=0$
$9 x^{2}-25=0$
$x^{2}=180$
$(5 x+8)(4 x+5)(x-7)=0$
$(3 x-1)(3 x+1)-(3 x-1)^{2}=0$
$9 x^{2}+6 x+1=0$
$x^{2}-5=20$
$ (x+5)^{2}+(x+5)(x-1)=0 $
$ (x+5) \times(x+5)+(x+5) \times(x-1)=0 $
$ (x+5) \times[(x+5)+(x-1)]=0 $
$ (x+5) \times(2 x+4)=0 $
$ \text { Si a } \times b=0 \text { alors } a=0 \text { ou } b=0 $
$ x+5=0 \quad \text { ou } \quad 2 x+4=0 $
$ x=-5 \quad \text { ou } \quad x=\frac{-4}{2}=-2 \quad $
$S=\{-5 ;-2\}$
$ (2 x+3)^{2}-4=0 $
$ (2 x+3)^{2}-2^{2}=0 $
$ {[(2 x+3)-2][(2 x+3)+2]=0} $
$ (2 x+1)(2 x+5)=0 $
$ \text { Si } a \times b=0 \text { alors } a=0 \text { ou } b=0 $
$ 2 x+1=0 \text { ou } 2 x+5=0 $
$ 2 x=-1 \text { ou } 2 x=-5 $
$ x=-\frac{1}{2} \text { ou } x=-\frac{5}{2} $
$ x=-0,5 \text { ou } x=-2,5 $
$ S=\{-2,5 ;-0,5\} $
$ (7 t+11)^{2}=36 $
$ (7 t+11)^{2}-36=0$
$ (7 \mathrm{t}+11)^{2}-6^{2}=0 $
$ {[(7 \mathrm{t}+11)-6][(7 \mathrm{t}+11)+6]=0} $
$ (7 t+5)(7 t+17)=0 $
$\text { Si } a \times b=0 \text { alors } a=0 \text { ou } b=0 $
$ 7 \mathrm{t}+5=0 \quad \text { ou } \quad 7 \mathrm{t}+17=0 $
$7 \mathrm{t}=-5 \quad \text { ou } \quad 7 \mathrm{t}=-17$
$\mathrm{t}=\frac{-5}{7} \quad \text { ou } \quad \mathrm{t}=\frac{-17}{7} \quad$
$\mathrm{~S}=\left\{-\frac{5}{7} ;-\frac{17}{7}\right\}$
$x^{2}-2 \times x \times 1+1^{2}=0$
$(x-1)^{2}=0$
Si $a^{2}=0$ alors $a=0$
$x-1=0$
$x=1$
$S=\{1\}$
$x^{2}=64$
$64>0$ donc $x=\sqrt{64}=8 \quad$ ou $\quad x=-\sqrt{64}=-8 \quad S=\{8 ;-8\}$
$x^{2}+81=0$
$x^{2}=-81$
$- 81 < 0$ donc l’équation n’admet pas de solution $\mathbf{S}=\varnothing$
$9 x^{2}-25=0$
$9 x^{2}=25$
$x^{2}=\frac{25}{9}$
$\frac{25}{9}>0$ donc $x=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}$ ou $x=-\sqrt{\frac{25}{9}}=-\frac{5}{3} \quad S=\left\{\frac{5}{3} ;-\frac{5}{3}\right\}$
$x^{2}=180$
$180>0$ donc $x=\sqrt{180}=\sqrt{36 \times 5}=\sqrt{36} \times \sqrt{5}=6 \sqrt{5} \quad$ ou $x=-6 \sqrt{5}$
$S=\{6 \sqrt{5} ;-6 \sqrt{5}\}$
$(5 x+8)(4 x+5)(x-7)=0$
$5 x+8=0$ ou $4 x+5=0$ ou $x-7=0$
$x=-\frac{8}{5}$ ou $x=-\frac{5}{4}$ ou $x=7$
Les solutions de cette équation sont $-\frac{5}{4} ; \frac{8}{5}$ et 7 .
$(3 x-1)(3 x+1)-(3 x-1)^{2}=0$
$(3 x-1)[(3 x+1)-(3 x-1)]=0$
$(3 x-1) \times 2=0$
$3 x-1=0$
$x=\frac{1}{3}$
La solution de cette équation est $\frac{1}{3}$.
$9 x^{2}+6 x+1=0$
$(3 x+1)^{2}=0$
$x=-\frac{1}{3}$
La solution de cette équation est $-\frac{1}{3}$.
$x^{2}-5=20$ $ \rightarrow x^{2}=25 \rightarrow x=-5$ ou $x=5$
Les solutions de cette équation sont $-5$ et $5$ .
Exercice 6:
$1)$ Tester (mentalement) les 4 nombres pour chaque inéquation et cocher les solutions :
$2) $ Tester l’inéquation $4x – 3 > 9 – 2x$ pour les différentes valeurs de $x$.
• Si $x=1$
• Si $x=2$
• Si $x=3$
$3) $ Tester l’inéquation $4 – 3x ≤ 4x + 18$ pour les différentes valeurs de $x$.
• Si $x=2$
• Si $x=-5$
• Si $x=-2$
$1)$ Tester (mentalement) les 4 nombres pour chaque inéquation et cocher les solutions :
$2 )$ Tester l’inéquation $4x – 3 > 9 – 2x$ pour les différentes valeurs de $x$.
• Si $x=1$
D’une part:
$\quad 4 x-3=4 \times 1-3=4-3=1$
D’autre part :
$9-2 x=9-2 \times 2=9-2=7$
Puisque $1<7$, alors $1$ n’est pas une solution de l’inéquation
• Si $x=2$
D’une part:
$\quad 4 x-3=4 \times 2-3=8-3=5$
D’autre part :
$9-2 x=9-2 \times 2=9-4=5$
Puisque $5=5$, alors $2$ n’est pas une solution de l’inéquation
• Si $x=3$
D’une part:
$\quad 4 x-3=4 \times 3-3=12-3=9$
D’autre part :
$9-2 x=9-2 \times 3=9-6=3$
Puisque $9>3$, alors $ 3$ est une solution de l’inéquation
$3 )$ Tester l’inéquation $4 – 3x ≤ 4x + 18$ pour les différentes valeurs de $x$.
• Si $x=2$
D’une part:
$\quad 4-3x=4-3 \times 2=4-6=-2$
D’autre part :
$4x + 18=4 \times 2+18=8+18=26$
Puisque $-2<26$, alors $2$ est une solution de l’inéquation
• Si $x=-5$
D’une part:
$\quad 4-3x=4-3 \times (-5)=4+15=19$
D’autre part :
$4x + 18=4 \times (-5)+18=-20+18=-2$
Puisque $19>-2$, alors $2$ n’est pas une solution de l’inéquation
• Si $x=-2$
D’une part:
$\quad 4-3x=4-3 \times (-2)=4+6=10$
D’autre part :
$4x + 18=4 \times (-2)+18=-8+18=10$
Puisque $10≤10$, alors $-2$ n’est pas une solution de l’inéquation
Exercice 7:
$1)$ Résoudre les inéquations suivantes :
$5 x>-2$
$7 x<-3$
$x+2 \geq 5$
$x-5 \leq 7$
$-2 x>5$
$3 x \leq-4$
$-3 x \geq-12$
$28 \leq-7 x$
$42<6 x$
$-5 x \geq-35$
$2)$ Résoudre les inéquations suivantes :
$3 x+5>-2$
$7 x+5<-3$
$4-3 x \geq 2$
$8 x+3 \leq 6$
$-3>-5 x+7$
$8-7 x \leq 4$
$7 x+2>x+6$
$-4 x+7 \leq 5-x$
$1)$ Résoudre les inéquations suivantes :
$5 \mathrm{x}>-2$ $ \Rightarrow$ $\mathrm{x}>-\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}$
$7 \mathrm{x}<-3$ $ \Rightarrow$ $x<-\frac{3}{7}$
$\mathrm{x}+2 \geq 5$ $ \Rightarrow$ $x\geq 5-2$ $ \Rightarrow$ $x\geq 3$
$\mathrm{x}-5 \leq 7$ $ \Rightarrow$ $\mathrm{x} \leq 7+5$ $ \Rightarrow$ $\mathrm{x} \leq 12$
$-2 \mathrm{x}>5$ $ \Rightarrow$ $ \mathrm{x}<-\frac{5}{2}$
$3 \mathrm{x} \leq-4$ $ \Rightarrow$ $x \leq-\frac{4}{3}$
$-3 \mathrm{x} \geq-12$ $ \Rightarrow$ $-3 \mathrm{x} \geq \frac{-12}{-3}$ $ \Rightarrow$ $\mathrm{x} \geq 4$
$28 \leq-7x$ $ \Rightarrow$ $\frac{\mathbf{2 8}}{-7} \geq \frac{-7 x}{-7}$ $ \Rightarrow$ $x \leq -4$
$42<6 \mathrm{x}$ $ \Rightarrow$ $x>7$
$-5 \mathrm{x} \geq-35$ $ \Rightarrow$ $x≤7$
$2)$ Résoudre les inéquations suivantes :
$3 \mathrm{x}+5>-2$ $ \Rightarrow$ $3 \mathrm{x}>-2-5$ $ \Rightarrow$ $3 \mathrm{x}>- 7$ $ \Rightarrow$ $x >\frac{-7}{3}$
$7 \mathrm{x}+5<-3$ $ \Rightarrow$ $7 \mathrm{x}<-3-5$ $ \Rightarrow$ $x < \frac{-8}{7}$
$4-3 \mathrm{x} \geq 2$ $ \Rightarrow$ $-3 \mathrm{x} \geq 2-4$ $ \Rightarrow$ $x ≤\frac{2}{3}$
$8 \mathrm{x}+3 \leq 6$ $ \Rightarrow$ $8 \mathrm{x} \leq 6-3$ $ \Rightarrow$ $x \leq\frac{3}{8}$
$-3>-5 \mathrm{x}+7$ $ \Rightarrow$ $-3-7>-5 \mathrm{x}$ $ \Rightarrow$ $x >2$
$8-7 x \leq 4$ $ \Rightarrow$ $-7 x \leq 4-8$ $ \Rightarrow$ $x ≥\frac{4}{7}$
$7 x+2>x+6$ $ \Rightarrow$ $7 x-x>6-2$ $ \Rightarrow$ $6 x>4$ $ \Rightarrow$ $x >\frac{2}{3}$
$-4 x+7 \leq 5-x$ $ \Rightarrow$ $-4 x+x \leq 5-7$ $ \Rightarrow$ $-3 x \leq -2$ $ \Rightarrow$ $x ≥\frac{2}{3}$
Exercice 8:
Repasser en couleur la partie de l’axe décrite par chaque inéquation :
Exercice 9:
Résoudre chaque inéquation puis hachurer sur l’axe gradué la partie qui ne convient pas.
Exercice 10:
Résoudre les inéquations suivantes et représenter leur ensemble de solutions sur une droite graduée :
$a)$ $3 ( 2 x-1)>3 x+2$
$b)$ $3 x-8 \leq 8(x-2)$
$c)$ $-2(3 x+1) \geq-x-3$
$d)$ $\frac{2 x+1}{3}-\frac{x-1}{2} \leq 1$
$e)$ $\frac{3+2 x}{6}-\frac{3+x}{8}<0$
$a)$ $ 3(2 x-1)>3 x+2 \Rightarrow 6 x-3>3 x+2 \Rightarrow 6 x-3 x>2+3 \quad \Rightarrow \quad 3 x>5 \quad \Rightarrow \quad x>\frac{5}{3} $
$b)$ $3 x-8 \leq 8(x-2)$
$3 x-8 \leq 8 x-16$
$3 x-8 x \leq 8-16$
$-5 x \leq-8$
$x \geq \frac{8}{5} $
$c)$ $-2(3 x+1) \geq-x-3 \Rightarrow-6 x-2 \geq-x-3 \Rightarrow-6 x+x \geq-3+2 \Rightarrow-5 x \geq-1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{5} $
$d)$ $\frac{2 x+1}{3}-\frac{x-1}{2} \leq 1 \Rightarrow \frac{2(2 x+1)}{6}-\frac{3(x-1)}{6} \leq \frac{6}{6} \Rightarrow 2(2 x+1)-3(x-1) \leq 6 \Rightarrow 4 x+2-3 x+3 \leq 6 \Rightarrow 4 x-3 x \leq 6-2-3 \Rightarrow x \leq 1$
$e)$ $ \frac{3+2 x}{6}-\frac{3+x}{8}<0 $
$ \frac{4(3+2 x)}{24}-\frac{3(3+x)}{24}<0 $
$ 4(3+2 x)-3(3+x)<0 $
$ 12+8 \mathrm{x}-9-3 \mathrm{x}<0 $
$ 5 \mathrm{x}<-3 $
$\text { donc } \mathrm{x}<\frac{-3}{5}$
Exercice 11:
$1)$ On considère l’inéquation : $4x + 7 > 2 – 3x$.
$a)$ Le nombre $0$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
$b)$ Le nombre $(-1)$ est-il solution de cette inéquation ?Justifier la réponse.
$c)$ Résoudre l’inéquation $4x + 7 > 2 – 3x$ et représenter ses solutions sur une droite graduée.
$2)$ $a)$ Parmi les nombres :$0;(-4);(-5)$ retrouver ceux qui sont solutions de l’inéquation $1 – 5x ≤ 21$.
$b)$ Résoudre l’inéquation $3x – 2 ≥ x – 4$. Représenter graphiquement sur une droite graduée, les solutions de cette inéquation (hachurer la partie qui ne convient pas).
$1)$ $a)$ Le nombre $0$ est-il solution de cette inéquation?
$4 x+7=4 \times 0+7=7 $
$ 2-3 x=2-3 \times 0=2$
$7>2$ donc 0 est solution de cette inéquation.
$b)$ Le nombre (-1) est-il solution de cette inéquation?
$ 4 x+7=4 \times(-1)+7=3 $
$ 2-3 x=2-3 \times(-1)=5$
$3<5$ donc $\mathbf{- 1}$ n’est pas solution de cette inéquation.
$c)$ $4 \mathrm{x}+7>2-3 \mathrm{x}$
$ 7 x>-5 $
$ x>\frac{-5}{7}$
$2)$$a)$ Parmi les nombres: $0 ;(-4) ;(-5)$ retrouver ceux qui sont solutions de l’inéquation $1-5 x \leq 21$ :
$1-5 \times 0=1 \rightarrow 1 \leq 21 $
$1-5 \times(-4)=21 \rightarrow 21 \leq 21 $
$1-5 \times(-5)=26 \rightarrow 26 > 21 $
$0$ et $-4$ sont les solutions de cette inéquation.
$a)$ $3 \mathrm{x}-2 \geq \mathrm{x}-4$
$2 x \geq-2 $
$x \geq-1$
Exercice 12:
Dans une classe de $30$ élèves, la moyenne des filles est $13$ ; celle des garçons, $10,5$.
La moyenne de la classe est $11,5$.
Combien y a-t-il de garçons ?
Coup de pouce : Soit x le nombre de garçons, le nombre de filles est donc …..
Le nombre de filles est $30 – x$ , on a :
La somme des notes des filles est alors $13×(30-x)$
La somme des notes des garçons est alors $10,5x$
La somme de toutes les notes est $30×11,5$
On a donc : $10,5x + 13(30 – x) = 30 × 11,5$
$10,5x + 390 – 13x = 345$
$10,5x – 13x = 345 – 390$
$- 2,5x = – 45$
$x = \frac{45}{2,5} = 18$
Le nombre de garçons est $18$.
Exercice 13:
La moyenne d’une classe à un contrôle est $10,2$. L’un des élèves n’a rien su faire et a obtenu $0$.
Le professeur décide de recalculer la moyenne sans compter cet élève.
La nouvelle moyenne est $10,8$.
Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?
Soit n le nombre d’élèves.
Soit S la somme de toutes les notes.
On a $10,2 = \frac{S}{n}$ et $10,8 = \frac{S}{n-1}$
Soit $S = 10,2×n$ et $S = 10,8×(n – 1)$
Donc $10,2×n = 10,8×(n – 1)$
Equation du premier degré dont l’inconnue est n.
$10,2×n = 10,8×(n – 1)$
$10,2n = 10,8n – 10,8 $
$10,8n – 10,2n = 10,8 $
$n = \frac{10,8}{0,6} = 18.$
Il y a $18$ élèves dans la classe.
Exercice 14:
Amal possède des pièces de $20 DH$ et des billets de $100 DH$ dans son porte-monnaie.
Elle a $560 DH$ en tout, et a deux fois plus de pièces que de billets.
Combien a-t-elle de billets dans son porte-monnaie ?
En déduire le nombre de pièces.
Soit $x$ le nombre de billets de 100 DH
Le nombre de pièces de $20 DH$ est égal à $2x$.
Les $x$ billets de $100 DH$ représentent la somme de $100x DH$.
Les $2x$ pièces de $20 DH $ représentent la somme de $2x × 20 =40x DH $
La somme totale est égale à $560 DH $.
On obtient donc l’équation : $100x + 40x = 560$
$140x = 560$
$x = \frac{560}{140}= 4$
$S = {4}$
Amal possède $4$ billets de $100 DH$ et $8$ pièces de $20 DH $.
Exercice 15:
Je pense à un nombre.
Si je lui enlève $3$, j’obtiens la moitié du nombre initial augmentée de $1$.
A quel nombre ai-je pensé ?
Soit $x$ le nombre auquel j’ai pensé.
Si on lui enlève $3$, on obtient le nombre $x-3$
La moitié du nombre $x$ augmentée de $1$ est égale à : $ \frac{x}{2}+1$
On obtient donc l’équation : $x-3=\frac{x}{2}+1$
$ x-\frac{x}{2}=1+3 $
$ \frac{2 x}{2}-\frac{x}{2}=4 $
$ \frac{x}{2}=4 $
$ x=2 \times 4=8$
J’ai pensé au nombre $8$.
Exercice 16:
Samir a acheté deux C.D. coûtant le même prix et il lui reste $95 DH$.
Si chaque C.D. avait coûté $10 DH$ de moins, il aurait pu en acheter un de plus en dépensant toutes ses économies.
Quel est le prix d’un C.D. ?
Soit $ x $ le prix d’un C.D.
Deux C.D. coûtent $2x DH$.
Arnaud possède la somme de $2x + 95 DH$
Si un C.D. coûtait $10 DH$ de moins, il coûterait $x – 10DH$.
Samir pourrait s’acheter $3$ C.D. qui représentent la somme de $3(x – 1) DH $.
On obtient donc l’équation : $2x + 95 = 3(x – 10)$
$2x + 95 = 3x – 30$
$2x – 3x = – 30– 95$
$– x = – 125$
$x = 125$
$S = {125}$
Le prix d’un C.D. est de $125 DH$.
Exercice 17:
La somme de trois entiers consécutifs est comprise entre $12$ et $27$.
Quelles sont les valeurs possibles du plus grand de ces trois nombres ?
Soit $x$ le plus grand des trois entiers consécutifs.
Le précédent est égal à $x – 1$ et le plus petit est égal à $x – 2$.
La somme de ces trois entiers est égale à : $(x – 2) + (x – 1) + x = 3x – 3$
$12<3 x-3<27$
$12+3<3 x-3+3<27+3$
$15<3 x<30$
$\frac{15}{3}<\frac{3 x}{3}<\frac{30}{3}$
$5<x<10$
Le plus grand de ces trois entiers est $6 , 7, 8$ ou $9$.
Exercice 18:
Le périmètre d’un rectangle est inférieur ou égal à $37 cm$.
Sachant que sa largeur est égale à $5,3 cm$, déterminer les valeurs possibles pour la longueur de ce rectangle.
(La longueur doit être supérieure à la largeur)
Soit $L$ la longueur de ce rectangle.
$L > 5,3 cm$
Le périmètre de ce rectangle est égal à : $2L + 2 × 5,3 = 2L + 10,6$
$12<3 x-3<27$
$12+3<3 x-3+3<27+3$
$15<3 x<30$
$\frac{15}{3}<\frac{3 x}{3}<\frac{30}{3}$
$5<x<10$
Conclusion : la longueur de ce rectangle est comprise entre $5,3 cm$ et $13,2 cm$.
Exercice 19:
Une salle rectangulaire, représentée par le rectangle $ABCD$ sur le dessin, peut être partagée en deux parties rectangulaires au moyen d’une cloison mobile, représentée par le segment $[MN]$.
Les dimensions, exprimées en mètres, sont portées sur le dessin :$ AD = 10$ ; $DC = 30$ ;$ MB = x$.
La valeur de $x$ permet de repérer la position de la cloison mobile.
$1)$ Que représente l’expression $10 (30 – x)$ exprimée en $m^{2} $?
$2)$ Que représente l’expression $10x$ exprimée en $m^{2} $?
$3)$ Résoudre l’inéquation $300 – 10x < 40x$
$4)$ Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles l’aire de la partie $AMND$ est inférieure à quatre fois l’aire de la partie $MBCN$
$1)$ Que représente l’expression $10 (30 – x)$ exprimée en $m^{2}$
l’aire de la partie $AMND$
$2)$ Que représente l’expression $10x$ exprimée en $m^{2}$
l’aire de la partie $MBCN$
$3)$ Résoudre l’inéquation $300 – 10x < 40x$
$300 < 40x + 10x$
$300 < 50x$
$x > \frac{300}{50} $
$x > 6 $
$4)$ Trouver les valeurs de x pour lesquelles l’aire de la partie $AMND$ est inférieure à quatre fois l’aire de la partie $MBCN$.
Il faut que $x > 6 $
Exercice 20:
Sonia a eu $11$ notes dont la moyenne est $13,7$ sur $20$.
Quelles notes à son prochain devoir lui permettront d’obtenir une moyenne supérieure ou égale à $14$ ?
Si elle a eu $11$ notes et sa moyenne est de $\frac{13.7}{20}$ cela signifie qu’elle a eu $11$ fois $13.7$
Soit x la future note de Sonia :
donc on peut l’écrire $\frac{(11×13.7+x)}{12}$ (pour faire une moyenne) $14$
$\frac{(11×13.7+x)}{12} ≥ 14$
$\frac{(150.7+x)}{12} ≥ 14$
$150.7+x ≥ 12×14$
$150.7+x ≥ 168$
$150.7+x ≥ 168-150.7$
$x ≥ 17.3$
Il faut qu’elle ait au minimum $17.3$ pour que sa moyenne soit supérieure ou égale à $ 14$
Équations et inéquations exercices corrigés