I. Équations du premier degré à une inconnue
Définition
Une équation est dite du premier degré à une inconnue \( x \) lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme :
\[ ax + b = cx + d \]
où \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) sont des nombres réels.
Propriété fondamentale
Une équation du premier degré à une inconnue admet une seule solution (sauf cas particuliers).
1. Résolution d’équations simples
Exemple 1 : Équations simples
Résoudre les équations suivantes :
| Équation | Résolution | Solution |
|---|
| \( x + 4 = 1 \) | \( x = 1 – 4 \) | \( x = -3 \) |
| \( x – 2 = -7 \) | \( x = -7 + 2 \) | \( x = -5 \) |
| \( -5x = -2 \) | \( x = \frac{-2}{-5} \) | \( x = \frac{2}{5} \) |
| \( \frac{x}{3} = -4 \) | \( x = -4 \times 3 \) | \( x = -12 \) |
Méthode générale :
Pour résoudre une équation du type \( ax + b = c \) :
- Isoler le terme en \( x \) : \( ax = c – b \)
- Diviser par \( a \) (si \( a \neq 0 \)) : \( x = \frac{c – b}{a} \)
2. Équations avec parenthèses
Exemple 2 : Équations avec parenthèses
Résoudre : \( 2(x + 3) – 5 = 3x – 1 \)
Étape 1 : Développer
\( 2x + 6 – 5 = 3x – 1 \)
\( 2x + 1 = 3x – 1 \)
Étape 2 : Regrouper les termes
\( 2x – 3x = -1 – 1 \)
\( -x = -2 \)
Étape 3 : Isoler \( x \)
\( x = 2 \)
Vérification :
Pour \( x = 2 \) : \( 2(2 + 3) – 5 = 2 \times 5 – 5 = 10 – 5 = 5 \)
\( 3 \times 2 – 1 = 6 – 1 = 5 \) ✓
3. Équations « produit nul »
Propriété du produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.
Si \( A \times B = 0 \), alors \( A = 0 \) ou \( B = 0 \)
Exemple 3 : Résolution d’équations produit nul
Résoudre : \( (x + 3)(x – 7) = 0 \)
D’après la propriété du produit nul :
\( x + 3 = 0 \) ou \( x – 7 = 0 \)
\( x = -3 \) ou \( x = 7 \)
Important
La propriété du produit nul ne s’applique qu’à un produit égal à zéro.
II. Inéquations du premier degré à une inconnue
Définition
Une inéquation à une inconnue \( x \) est une inégalité entre deux expressions algébriques.
1. Résolution d’inéquations
Exemple 4 : Résolution d’inéquation
Résoudre : \( 3x + 1 \geq x – 7 \)
\( 3x – x \geq -7 – 1 \)
\( 2x \geq -8 \)
\( x \geq \frac{-8}{2} \)
\( x \geq -4 \)
Représentation graphique :
──────────[●======================>
-4
Règle importante
Lorsqu’on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.
III. Mettre en équation un problème
Méthodologie
- Choix de l’inconnue
- Mise en équation
- Résolution
- Interprétation
- Vérification
Exemple 5 : Problème
Énoncé : Déterminer deux nombres consécutifs dont la somme est 2021.
Étape 1 : Soit \( x \) le premier nombre
Étape 2 : \( x + (x + 1) = 2021 \)
Étape 3 : \( 2x + 1 = 2021 \)
\( 2x = 2020 \)
\( x = 1010 \)
Étape 4 : Les nombres sont 1010 et 1011
Étape 5 : \( 1010 + 1011 = 2021 \) ✓
Exercices d’application
Exercice 1 : Équations simples
Résoudre :
a) \( x + 3 = 5 \)
b) \( x – 7 = 3 \)
c) \( 3x = 4 \)
Exercice 2 : Problème
Safae a 11 ans et son frère a 26 ans. Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Safae ?
Corrigés (extraits) :
Exercice 1 : a) \( x = 2 \) ; b) \( x = 10 \) ; c) \( x = \frac{4}{3} \)
Exercice 2 : Soit \( x \) le nombre d’années : \( 26 + x = 2(11 + x) \) ⇒ \( x = 4 \) ans
Synthèse
- Simplifier chaque membre
- Regrouper les termes en \( x \)
- Isoler \( x \)
- Attention au sens des inégalités
