Équations inéquations et systèmes
Exercice 1:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1) $-2 x+22=0$
2) $3(2 x+5)=6 x-1$
3) $4(x-2)=6 x-2(x+4)$
4) $2 x+3)^{2}-(2 x+3)(x-4)=0$
5) $x^{2}-100=0$
6) $\frac{3}{x+2}-\frac{5}{x-2}=0$
7) $\frac{(x-7)(x+3)}{x^{2}-9}=0$
8) $\frac{4 x+2}{x-3}=5$
9) $|7 x-10|=|6+3 x| 10)$
10) $x^{3}-7 x=0$
1) $-2 x+22=0$ ⇔ $-2 x+22-22=-22$ ⇔ $-2 x=-22$ ⇔ $-2 x \times\left(\frac{1}{-2}\right)=-22 \times\left(\frac{1}{-2}\right)$ ⇔ $\quad x=11$
Donc : $S=\{11\}$
2) $3(2 x+5)=6 x-1$ ⇔ $6 x+15=6 x-1$ ⇔
$6 x-6 x=-1-15$
ssi $0 x=-16$ ssi $0=-16$ ceci est impossible Donc l’ensemble de toutes les Solutions est : $S=\varnothing$
3) $4(x-2)=6 x-2(x+4)$
ssi $4 x-8=6 x-2 x-8$ ssi $4 x-4 x+8-8=0$
ssi $0=0$ Donc l’ensemble de toutes les Solutions est : $S=\mathbb{R}$
4) $(2 x+3)^{2}-(2 x+3)(x-4)=0$
ce qui est équivalent à : $(2 x+3)(2 x+3-x+4)=0$
ce qui est équivalent à : $(2 x+3)(x+7)=0$
Les Solutions sont $-3 / 2$ ou -7 .
Donc l’ensemble de toutes les Solutions est:
$S=\{-7 ;-3 / 2\}$
5) $x^{2}-100=0$
$x^{2}-100=0$
$\Longleftrightarrow x^{2}-10^{2}=0$
C’est une identité remarquable de la forme :
$\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})$, donc
$x^{2}-100=0$
$\Longleftrightarrow(x-10)(x+10)=0$
$: \Longleftrightarrow x=10$ ou $x=-10$
D’où : $S=\{-10 ; 10\}$
6) $\frac{3}{x+2}-\frac{5}{x-2}=0$
Cette équation n’existe pas
si $x+2=0$ et si $x-2=0$. Les valeurs interdites de cette équation sont -2 et 2 . L’équation est donc définie $\operatorname{sur} \mathbb{R} \backslash\{-2 ; 2\}$.
On commence par réduire au même dénominateur les deux fractions. Le dénominateur commun est $(x+2)(x-2)$ : Donc : $-2 x-16=0$ car le dénominateur ne peut pas s’annuler.
$\Longleftrightarrow-2 x=16$
$\Longleftrightarrow x=\frac{16}{-2}$
$\Longleftrightarrow x=-8$
D’où : -8 appartient à l’ensemble de définition de l’équation, donc: $S=\{-8\}$
7) $\frac{(x-7)(x+3)}{x^{2}-9}=0$
Cette équation ‘existe si $x^{2}-9 \neq 0$
$x^{2}-9=0$ Équivalent à : $x^{2}-3^{2}=0$ équivalent à :
$(x-3)(x+3)=0$
Équivalent à $x+3=0$ ou $x-3=0$ équivalent à $x=-3$ ou $x=3$
Les valeurs interdites de cette équation sont -3 et 3.
L’équation est donc définie sur $D_{E}=\mathbb{R} \backslash\{-3 ; 3\}$.
$\frac{(x-7)(x+3)}{x^{2}-9}=0$ équivalent à $(x-7)(x+3)=0$
équivalent à $x-7=0$ ou $x+3=0$
Équivalent à $x=-7 \in D_{E} \quad$ ou $\quad x=-3 \notin D_{E}$ :
donc: $S=\{7\}$
8) $\frac{4 x+2}{x-3}=5$ Cette équation n’existe pas si $x-3=0$
$x-3=0$ équivalent à : $x=3$
La valeur interdite de cette équation est 3 . L’équation est donc définie sur $D_{E}=\mathbb{R} \backslash\{3\}$.
$\frac{4 x+2}{x-3}=5$ équivalent à : $4 x+2=5(x-3)$ équivalent à $: 4 x+2=5 x-15$
équivalent à : $-x=-17$ équivalent à : $x=17$
donc : $S=\{17\}$
9) $|7 x-10|=|6+3 x|$ équivalent à $7 x-10=6+3 x$ ou $7 x-10=-(6+3 x)$
équivalent à $4 x=16$ ou $10 x=4$ équivalent à $x=4$ ou $x=2 / 5$
Donc l’ensemble de toutes les Solutions est :
$S=\{4 ; 2 / 5\}$
10) $x^{3}-7 x=0$ équivalent à : $x\left(x^{2}-7\right)=0 \quad$ ssi $x=0$ ou $\quad x^{2}-7=0$
équivalent à $x=0$ ou $x^{2}=7$ ssi $\quad x=0$ ou $x=\sqrt{7}$ ou $x=-\sqrt{7}$
D’où : $S=\{-\sqrt{7} ; 0 ; \sqrt{7}\}$
Équations inéquations et systèmes
Exercice 2:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :
1) $\frac{3 x+5}{x-1}=0$
2) $\frac{(2 x+1)(x-3)}{x-4}=0$
3) $\frac{x^{2}-9}{x+3}=0$
4) $1-\frac{x+3}{x-3}=\frac{2}{2-x}$
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Exercice 3:
Etudier le signe de : $3 x+6$ et $-2 x+12$
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Exercice 4:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
1) $-2 x+12>0$
2) $5 x-15 \leq 0$
3) $4 x^{2}-9 \geq 0$
4) $(1-x)(2 x+4)>0$
5) $\frac{5 x-2}{1+3 x} \geq 0$
6) $\frac{(2 x+1)(5 x-10)}{2 x-6} \leq 0$
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Exercice 5:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
1) $(3-6 x)(x+2)>0$
2) $\frac{2+6 x}{3 x-2} ≤ 0$
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Exercice 6:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1) $x^{2}=16$
2) $x^{2}=-8$
3) $(x+2)^{2}=9$
4) $5 x^{2}-4 x=0$
5) $3 x^{2}-x-2=0$
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Exercice 7:
Déterminer la forme canonique du trinôme $3 x^{2}-x-2$
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Exercice 8:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes et Factoriser les trinômes :
1) $2 x^{2}-x-6=0$
2) $2 x^{2}-3 x+\frac{9}{8}=0$
3) $x^{2}+3 x+10=0$
4) $6 x^{2}-x-1=0$
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Exercice 9:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
1) $6 x^{2}-7 x-5=0$
2) $2 x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$
3) $3 x^{2}+x+2=0$
4) $4 x^{2}-8 x+3=0$
5) $x^{2}-4 x+2=0$
6) $x^{2}+5 x+7=0$
7) $2 x^{2}-4 x+6=0$
8) $x^{2}-4 x-21=0$
9) $3 x^{2}-6 x+3=0$
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Exercice 10:
Soit le trinôme $(T):-2 x^{2}+\sqrt{2} x+2$
1) Prouver que le trinôme $(T)$ admet deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$ sans les calculer
2) Déduire les valeurs suivantes : $\alpha+\beta \quad $; $ \quad \alpha \times \beta \quad $; $ \quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \quad $; $ \quad \alpha^{2}+\beta^{2} \quad $ ; $ \quad \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta} \quad $ ; $\quad \alpha^{3}+\beta^{3}$
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Exercice 11:
Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les inéquations suivantes :
$1)$ $2 x^{2}-3 x+1 \geq 0$
$2)$ $-2 x^{2}+4 x-2 \geq 0$
$3)$ $3 x^{2}+6 x+5<0$
$4)$ $3 x^{2}+6 x-9>0$
$5)$ $x^{2}+3 x-5<-x+2$
$6)$ $\frac{1}{x^{2}-x-6} \geq 2$
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Exercice 12:
$1)$ Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les équations suivantes :
$a)$ $2 x-y+4=0$
$b)$ $x-2 y+1=0$
$2)$ Le plan est rapporté au Repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$.
• Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ l’équation $x-y-2=0$
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Exercice 13:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ l’inéquation: $2 x-y-2<0$
Exercice 14:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ l’inéquation : $x-y-3 \geq 0$
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Exercice 15:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d’inéquations suivant :
$(S)\left\{\begin{array}{l}x+y-1 \geq 0 \\ -x+2 y+2 \leq 0\end{array}\right.$
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Exercice 16:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d’inéquations suivant :
(S) $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-3 \geq 0 \\ -x+y+5 \leq 0 \\ x \leq 4\end{array}\right.$
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Exercice 17:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d’inéquations suivant :
(S) $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-6 < 0 \\ x-2 y+2 < 0 \\ 4 x-3 y+12 > 0\end{array}\right.$
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Exercice 18:
1) Résoudre le système dans $\mathbb{R}^{2}$ par la Méthode de substitution :
$\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ 2 x+3 y=4\end{array}\right.$
2) Résoudre le système dans $\mathbb{R}^{2}$ par la Méthode de combinaison linéaire :
$\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=7 \\ 3 x-2 y=4\end{array}\right.$
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Exercice 19:
Résoudre le système dans $\mathbb{R}^{2}$ :
$\left\{\begin{array}{l}3 x+y=5 \\ 2 x-3 y=-4\end{array}\right.$
Par les 4 Méthodes suivantes :
1) Par la Méthode de substitution
2) Par la méthode des combinaisons linéaires
3) Méthode graphique
4) Méthode des déterminants
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Exercice 20:
Par la Méthode des déterminants résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants:
1) $\left\{\begin{array}{l}3 x-y=5 \\ 2 x+4 y=-6\end{array}\right.$
2) $\left\{\begin{array}{l}8 x+4 y=4 \\ 2 x+y=3\end{array}\right.$
3) $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} x-y=\sqrt{2} \\ 2 x-\sqrt{2} y=2\end{array}\right.$
4) $\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y=-2 \\ x-3 y=-11 \\ 2 x+4 y=8\end{array}\right.$
5) $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=1 \\ 3 x+y=2 \\ x-y=3\end{array}\right.$
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Exercice 21:
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
L’association des Enfants Heureux organise une course. Chaque enfant a un vélo ou un tricycle. L’organisateur a compté 64 enfants et 151 roues.
1) Combien de vélos et combien de tricycles sont engagés dans cette course ?
2) Chaque vélo engagé rapporte 500 DH et chaque tricycle 400 DH . Calculer la somme que l’association des Enfants Heureux recevra.
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Équations inéquations et systèmes