Équations inéquations et systèmes
Exercice 1:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1) $-2 x+22=0$
2) $3(2 x+5)=6 x-1$
3) $4(x-2)=6 x-2(x+4)$
4) $2 x+3)^{2}-(2 x+3)(x-4)=0$
5) $x^{2}-100=0$
6) $\frac{3}{x+2}-\frac{5}{x-2}=0$
7) $\frac{(x-7)(x+3)}{x^{2}-9}=0$
8) $\frac{4 x+2}{x-3}=5$
9) $|7 x-10|=|6+3 x| 10)$
10) $x^{3}-7 x=0$
1) $-2 x+22=0$ ⇔ $-2 x+22-22=-22$ ⇔ $-2 x=-22$ ⇔ $-2 x \times\left(\frac{1}{-2}\right)=-22 \times\left(\frac{1}{-2}\right)$ ⇔ $\quad x=11$
Donc : $S=\{11\}$
2) $3(2 x+5)=6 x-1$ ⇔ $6 x+15=6 x-1$ ⇔
$6 x-6 x=-1-15$
ssi $0 x=-16$ ssi $0=-16$ ceci est impossible Donc l’ensemble de toutes les Solutions est : $S=\varnothing$
3) $4(x-2)=6 x-2(x+4)$
ssi $4 x-8=6 x-2 x-8$ ssi $4 x-4 x+8-8=0$
ssi $0=0$ Donc l’ensemble de toutes les Solutions est : $S=\mathbb{R}$
4) $(2 x+3)^{2}-(2 x+3)(x-4)=0$
ce qui est équivalent à : $(2 x+3)(2 x+3-x+4)=0$
ce qui est équivalent à : $(2 x+3)(x+7)=0$
Les Solutions sont $-3 / 2$ ou -7 .
Donc l’ensemble de toutes les Solutions est:
$S=\{-7 ;-3 / 2\}$
5) $x^{2}-100=0$
$x^{2}-100=0$
$\Longleftrightarrow x^{2}-10^{2}=0$
C’est une identité remarquable de la forme :
$\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})$, donc
$x^{2}-100=0$
$\Longleftrightarrow(x-10)(x+10)=0$
$: \Longleftrightarrow x=10$ ou $x=-10$
D’où : $S=\{-10 ; 10\}$
6) $\frac{3}{x+2}-\frac{5}{x-2}=0$
Cette équation n’existe pas
si $x+2=0$ et si $x-2=0$. Les valeurs interdites de cette équation sont -2 et 2 . L’équation est donc définie $\operatorname{sur} \mathbb{R} \backslash\{-2 ; 2\}$.
On commence par réduire au même dénominateur les deux fractions. Le dénominateur commun est $(x+2)(x-2)$ : Donc : $-2 x-16=0$ car le dénominateur ne peut pas s’annuler.
$\Longleftrightarrow-2 x=16$
$\Longleftrightarrow x=\frac{16}{-2}$
$\Longleftrightarrow x=-8$
D’où : -8 appartient à l’ensemble de définition de l’équation, donc: $S=\{-8\}$
7) $\frac{(x-7)(x+3)}{x^{2}-9}=0$
Cette équation ‘existe si $x^{2}-9 \neq 0$
$x^{2}-9=0$ Équivalent à : $x^{2}-3^{2}=0$ équivalent à :
$(x-3)(x+3)=0$
Équivalent à $x+3=0$ ou $x-3=0$ équivalent à $x=-3$ ou $x=3$
Les valeurs interdites de cette équation sont -3 et 3.
L’équation est donc définie sur $D_{E}=\mathbb{R} \backslash\{-3 ; 3\}$.
$\frac{(x-7)(x+3)}{x^{2}-9}=0$ équivalent à $(x-7)(x+3)=0$
équivalent à $x-7=0$ ou $x+3=0$
Équivalent à $x=-7 \in D_{E} \quad$ ou $\quad x=-3 \notin D_{E}$ :
donc: $S=\{7\}$
8) $\frac{4 x+2}{x-3}=5$ Cette équation n’existe pas si $x-3=0$
$x-3=0$ équivalent à : $x=3$
La valeur interdite de cette équation est 3 . L’équation est donc définie sur $D_{E}=\mathbb{R} \backslash\{3\}$.
$\frac{4 x+2}{x-3}=5$ équivalent à : $4 x+2=5(x-3)$ équivalent à $: 4 x+2=5 x-15$
équivalent à : $-x=-17$ équivalent à : $x=17$
donc : $S=\{17\}$
9) $|7 x-10|=|6+3 x|$ équivalent à $7 x-10=6+3 x$ ou $7 x-10=-(6+3 x)$
équivalent à $4 x=16$ ou $10 x=4$ équivalent à $x=4$ ou $x=2 / 5$
Donc l’ensemble de toutes les Solutions est :
$S=\{4 ; 2 / 5\}$
10) $x^{3}-7 x=0$ équivalent à : $x\left(x^{2}-7\right)=0 \quad$ ssi $x=0$ ou $\quad x^{2}-7=0$
équivalent à $x=0$ ou $x^{2}=7$ ssi $\quad x=0$ ou $x=\sqrt{7}$ ou $x=-\sqrt{7}$
D’où : $S=\{-\sqrt{7} ; 0 ; \sqrt{7}\}$
Équations inéquations et systèmes
Exercice 2:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :
1) $\frac{3 x+5}{x-1}=0$
2) $\frac{(2 x+1)(x-3)}{x-4}=0$
3) $\frac{x^{2}-9}{x+3}=0$
4) $1-\frac{x+3}{x-3}=\frac{2}{2-x}$
1) L’équation n’est pas définie pour $x=1$.
Pour $x \neq 1$, l’équation $\frac{3 x+5}{x-1}=0$ équivaut à : $3 x+5=0$.
D’où $x=-\frac{5}{3}$.
c.à.d.: $S=\{-5 / 3\}$
2) L’équation n’est pas définie pour $x=4$.
Pour $x \neq 4$, l’équation $\frac{(2 x+1)(x-3)}{x-4}=0$
équivaut à : $(2 x+1)(x-3)=0$ Soit : $2 x+1=0$ ou $x-3=0$
Les Solutions sont : $x=-\frac{1}{2}$ et $x=3$.
c.à.d.: $S=\{-1 / 2 ; 3\}$
3) L’équation n’est pas définie pour $x=-3$.
Pour $x \neq-3$, l’équation $\frac{x^{2}-9}{x+3}=0$ équivaut à : $x^{2}-9=0$,
Alors : $x^{2}=9$
Donc : $x=3$ ou $x=-3$.
Comme $x \neq-3$, l’équation a pour unique Solution : $x=3$.
C.à.d.: $S=\{3\}$
4) L’équation n’est pas définie pour $x=2$ et $x=3$.
Pour $x \neq 2$ et $x \neq 3$,
l’équation $1-\frac{x+3}{x-3}=\frac{2}{2-x}$ équivaut à : $1-\frac{x+3}{x-3}-\frac{2}{2-x}=0$
On réduit au même dénominateur dans le but de se ramener à une équation quotient :
$\frac{(x-3)(2-x)}{(x-3)(2-x)}-\frac{(x+3)(2-x)}{(x-3)(2-x)}-\frac{2(x-3)}{(x-3)(2-x)}=0$
$\frac{(x-3)(2-x)-(x+3)(2-x)-2(x-3)}{(x-3)(2-x)}=0 \quad$
On développe :
$\frac{2 x-x^{2}-6+3 x-2 x+x^{2}-6+3 x-2 x+6}{(x-3)(2-x)}=0$
$\frac{4 x-6}{(x-3)(2-x)}=0$
Ce qui équivaut à $4 x-6=0$ et $(x-3)(2-x) \neq 0$
D’où $x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
c.à.d. : $\quad S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$
Exercice 3:
Etudier le signe de : $3 x+6$ et $-2 x+12$
• $3 x+6=0$ Équivalent à : $x=-2$
$3 x+6>0$ Équivalent à : $x>-2$
$3 x+6<0$ Équivalent à : $x<-2$
On résume ces résultats dans le tableau de signe suivant :
• le signe de: $-2 x+12$ (coefficient de $x$ négatif)
$-2 x+12$ Équivalent à: $x=6$
$-2 x+12>0$ Équivalent à: $x<6$
$-2 x+12<0$ Équivalent à : $x>6$
On résume ces résultats dans le tableau de signe suivant :
Équations inéquations et systèmes
Exercice 4:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
1) $-2 x+12>0$
2) $5 x-15 \leq 0$
3) $4 x^{2}-9 \geq 0$
4) $(1-x)(2 x+4)>0$
5) $\frac{5 x-2}{1+3 x} \geq 0$
6) $\frac{(2 x+1)(5 x-10)}{2 x-6} \leq 0$
1) $-2 x+12>0$
$-2 x+12=0$ équivalent à : $x=6$ et $a<0 (a=-2) $ coefficient de $x$ négatif
On a le tableau de signe suivant :
Donc: $S=]-\infty ; 6[$
2) $5 x-15 \leq 0$
$5 x-15=0$ Équivalent à: $x=3 $ et $a>0 \quad (a=5)$ coefficient de x positif
Donc: $S=]-\infty ; 3[$
3) $4 x^{2}-9 \geq 0$
$4 x^{2}-9=0$ équivalent à : $(2 x)^{2}-3^{2}=0$ ssi $(2 x-3)(2 x+3)=0$
équivalent à $2 x+3=0$ ou $2 x-3=0$
ssi $x=\frac{-3}{2}$ ou $x=\frac{3}{2}$
On a le tableau de signe suivant :
Donc: $\left.S=]-\infty ;-\frac{3}{2}\right] \cup\left[\frac{3}{2} ;+\infty[\right.$
4) $(1-x)(2 x+4)>0$
$(1-x)(2 x+4)=0$ Équivalent à :
$2 x+4=0$ ou $1-x=0$ ssi $\quad x=-2$ ou $x=1$
On a le tableau de signe suivant :
Donc : $S=]-2 ; 1[$
5) $\frac{5 x-2}{1+3 x} \geq 0 \quad$ (Signe d’un quotient méthode)
– Donner l’ensemble de définition.
– Rechercher les valeurs de x annulant chacun des facteurs et Dresser un tableau de signes :
Cette inéquation existe si $1+3 x \neq 0$
$1+3 x=0$ équivalent à : $x=-\frac{1}{3}$
$5 x-2=0$ Équivalent à : $x=\frac{2}{5}$
La valeur interdite de cette inéquation est $-\frac{1}{3}$. L’inéquation est donc définie $ D_{I}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}$
On a le tableau de signe suivant :
Attention à ne pas oublier la double barre pour la valeur interdite
Donc: $S=]-\infty ;-\frac{1}{3}\left[\cup\left[\frac{2}{5} ;+\infty[\right.\right.$
6) $\frac{(2 x+1)(5 x-10)}{2 x-6} \leq 0$
$2 x-6 \neq 0$ Équivalent à : $x \neq 3$
L’inéquation est donc définie sur $ D_{I}=\mathbb{R}-\{3\}$
On a le tableau de signe suivant: $ D_{I}=\mathbb{R}-\{3\}$
$2 x+1=0$ équivalent à : $x=-\frac{1}{2}$
$5 x-10=0$ équivalent à : $x=2$
Donc : $S=]-2 ; 1[$
Équations inéquations et systèmes
Exercice 5:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
1) $(3-6 x)(x+2)>0$
2) $\frac{2+6 x}{3 x-2} ≤ 0$
1) Le signe de $(3-6 x)(x+2)$ dépend du signe de chaque facteur $3-6 x$ et $x+2$.
$3-6 x=0 \text { ou } x+2=0 $
$6 x=3 \text { ou } x=-2 $
$x=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \text { ou } x=-2$
Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux facteurs.
En appliquant la règle des signes, on en déduit le signe du produit $(3-6 x)(x+2)$
On en déduit que $(3-6 x)(x+2)>0$ pour $x \in ]-2 ; \frac{1}{2}[$.
L’ensemble des Solutions de l’inéquation $(3-6 x)(x+2)>0$ est :
$S=]-2 ; \frac{1}{2}[$.
2) $\frac{2+6 x}{3 x-2} ≤ 0$.
L’inéquation n’est pas définie pour $3 x-2=0$
Soit $\mathrm{x}=\frac{2}{3}$.
Il faudra éventuellement exclure cette valeur de l’ensemble des Solutions.
Le signe de $\frac{2+6 x}{3 x-2}$ dépend du signe des expressions $2+6 x$ et $3 x-2$.
$2+6 x=0$ équivaut à $x=\frac{-1}{3}$.
Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux expressions.
La double-barre dans le tableau signifie que le quotient n’est pas défini pour $x=\frac{2}{3}$.
On en déduit que $\frac{2+6 x}{3 x-2} ≤ 0$ pour $\left.\left.\left.x \in\right]-\infty ; \frac{-1}{3}\right] \cup\right] \frac{2}{3} ;+\infty[$.
L’ensemble des Solutions de l’inéquation $\frac{2+6 x}{3 x-2} ≤ 0$ est:
$S=\left.\left.]-\infty ; \frac{-1}{3}\right] \cup\right] \frac{2}{3} ;+\infty[$.
Exercice 6:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1) $x^{2}=16$
2) $x^{2}=-8$
3) $(x+2)^{2}=9$
4) $5 x^{2}-4 x=0$
5) $3 x^{2}-x-2=0$
1) L’équation $x^{2}=16$.
16 est positif donc l’équation admet deux solutions $x=\sqrt{16}=4$ et $x=-\sqrt{16}=-4$.
Donc l’ensemble de toutes les solutions est: $S=\{-4 ; 4\}$
2) L’équation $x^{2}=-8$.
-8 est négatif donc l’équation n’a pas de solution
Dans $\mathbb{R}$. Donc : $S=\varnothing$
3) L’équation $(x+2)^{2}=9$.
On a alors $x+2=3$ ou $x+2=-3$.
L’équation admet deux solutions $x=3-2=1$ et $x=-3-2=-5$.
Donc l’ensemble de toutes les solutions est : $S=\{-5 ; 1\}$
4) $5 x^{2}-4 x=0 \quad$ ssi $x(5 x-4)=0$
Soit: $x=0$ ou $5 x-4=0$
Soit : $x=0$ ou $x=\frac{4}{5}$
Donc l’ensemble de toutes les solutions est :
$S=\left\{0 ; \frac{4}{5}\right\}$
5) $3 x^{2}-x-2=0$
On va d’abord Factoriser les trinômes $3 x^{2}-x-2$
$3 x^{2}-x-2=3\left(x^{2}-\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}\right)=3\left(x^{2}-2 \frac{1}{2 \times 3} x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-\frac{2}{3}\right)$
$3 x^{2}-x-2=3\left(x^{2}-\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}\right)=3\left(\left(x-\left(\frac{1}{6}\right)\right)^{2}-\frac{25}{36}\right)$
$3 x^{2}-x-2=3\left(\left(x-\left(\frac{1}{6}\right)\right)^{2}-\frac{25}{36}\right)$ Cette écriture s’appelle la forme canonique
$3 x^{2}-x-2=3\left(x-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}\right)\left(x-\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\right)=3(x-1)\left(x+\frac{2}{3}\right)$
Donc : $3 x^{2}-x-2=3(x-1)\left(x+\frac{2}{3}\right)$ la forme factorisée
$3 x^{2}-x-2=0$ ssi $\quad(x-1)\left(x+\frac{2}{3}\right)=0$
On a alors $x-1=0$ ou $x+\frac{2}{3}=0$
L’équation admet deux solutions $x=1$ et. $x=-\frac{2}{3}$
Donc l’ensemble de toutes les solutions est : $S=\left\{-\frac{2}{3} ; 1\right\}$
Exercice 7:
Déterminer la forme canonique du trinôme $3 x^{2}-x-2$
Calculons le discriminant :
$\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=-1$ et $\mathrm{c}=-2$
Donc: $\Delta=b^{2}-4 \mathrm{ac}=(-1)^{2}-4 \times 3 \times(-2)=1+24=25$
la forme canonique est:
$3 x^{2}-x-2=3\left[(x-\alpha)^{2}+\beta\right]$
$\alpha=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-1}{2 \times 3}=\frac{1}{6} \quad$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4 a^{2}}=-\frac{25}{4 \times 3^{2}}=-\frac{25}{36}$
$3 x^{2}-x-2=3\left[\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}-\frac{25}{36}\right]$ la forme canonique .
Équations inéquations et systèmes
Exercice 8:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes et Factoriser les trinômes :
1) $2 x^{2}-x-6=0$
2) $2 x^{2}-3 x+\frac{9}{8}=0$
3) $x^{2}+3 x+10=0$
4) $6 x^{2}-x-1=0$
1) Calculons le discriminant de l’équation $2 x^{2}-x-6=0$ :
$ \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=-1$ et $\mathrm{c}=-6$
Donc $\Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=(-1)^{2}-4 \times 2 \times(-6)=49$.
Comme $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes :
$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2 \times 2}=-\frac{3}{2}$
$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{-(-1)+\sqrt{49}}{2 \times 2}=2$
$S=\left\{-\frac{3}{2} ; 2\right\}$
Et le trinôme $2 x^{2}-x-6$ a une forme factorisée : $2 x^{2}-x-6=a\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)(x-2)$
c.à.d. $2 x^{2}-x-6=a\left(x+\frac{3}{2}\right)(x-2)$
2) Calculons le discriminant de l’équation $2 x^{2}-3 x+\frac{9}{8}=0$ :
$ \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=-3$ et $\mathrm{c}=\frac{9}{8}$
donc $\Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=(-3)^{2}-4 \times 2 \times \frac{9}{8}=0$
Comme $\Delta=0$, l’équation possède une seule solution (dite double):
$x_{0}=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-3}{2 \times 2}=\frac{3}{4}$
c.à.d. : $S=\left\{\frac{3}{4}\right\}$ et le trinôme $2 x^{2}-3 x+\frac{9}{8}$ a une forme factorisée :
$2 x^{2}-3 x+\frac{9}{8}=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}$
3) Calculons le discriminant de l’équation $x^{2}+3 x+10=0$ $: a=1, b=3$ et $c=10$
donc $\Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=3^{2}-4 \times 1 \times 10=-31$.
Comme $\Delta<0$, l’équation ne possède pas de solution réelle $\mathrm{c.à.d.}: S=\varnothing$
4) $6 x^{2}-x-1=0$
$\Delta=1+24=25$
$x_{1}=\frac{1+5}{12}=\frac{1}{2}$ et $\quad x_{2}=\frac{1-5}{12}=-\frac{1}{3}$
Donc : $S=\left\{-\frac{1}{3} ; \frac{1}{2}\right\}$
$R(x)=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$
Exercice 9:
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
1) $6 x^{2}-7 x-5=0$
2) $2 x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$
3) $3 x^{2}+x+2=0$
4) $4 x^{2}-8 x+3=0$
5) $x^{2}-4 x+2=0$
6) $x^{2}+5 x+7=0$
7) $2 x^{2}-4 x+6=0$
8) $x^{2}-4 x-21=0$
9) $3 x^{2}-6 x+3=0$
1) $a=6$ et $b=-7$ et $c=-5$
$6 x^{2}-7 x-5=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-7)^{2}-4 \times 6 \times(-5)=49+120=169=(13)^{2}>0$
Comme $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes :
$x_{1}=\frac{-(-7)+\sqrt{169}}{2 \times 6}=\frac{7+13}{12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$
$x_{2}=\frac{7-13}{12}=\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$
Donc : $S=\left\{\frac{5}{3},-\frac{1}{2}\right\}$
2) $a=2$; $b=-2 \sqrt{2} ; c=12 x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-2 \sqrt{2})^{2}-4 \times 2 \times 1=8-8=0$
Comme $\Delta=0$, l’équation possède une seule solution (dite double):
$x=\frac{-b}{2 a}=\frac{-(-2 \sqrt{2})}{2 \times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
donc : $S=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$
3) $3 x^{2}+x+2=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(1)^{2}-4 \times 3 \times 2=1-24=-23<0$
Comme $\Delta<0$, l’équation ne possède pas de solution réelle c.à.d :
$S=\varnothing$
4) $4 x^{2}-8 x+3=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-8)^{2}-4 \times 3 \times(4)=84-8=16=(4)^{2}>0$
Comme $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes :
$x_{1}=\frac{-(-8)+\sqrt{16}}{2 \times 4}=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$
$x_{2}=\frac{-(-8)-\sqrt{16}}{2 \times 4}=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$S=\left\{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right\}$
5) $x^{2}-4 x+2=0 $
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-4 \times 2 \times(1)=16-8=8>0$
Comme $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes
$x_{1}=\frac{-(-4)+\sqrt{8}}{2 \times 1}$
$x_{2}=\frac{-(-4)-\sqrt{8}}{2 \times 1}$
$x_{1}=\frac{4+2 \sqrt{2}}{2}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{2}=2+\sqrt{2}$
$x_{2}=\frac{4-2 \sqrt{2}}{2}=\frac{2(2-\sqrt{2})}{2}=2-\sqrt{2}$
Donc : $S=\{2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}\}$
6) $x^{2}+5 x+7=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=5^{2}-4 \times 1 \times 7=25-28=-3<0$
Comme $\Delta<0$, l’équation ne possède pas de solution réelle c.à.d :
$S=\varnothing$
7) $2 x^{2}-4 x+6=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-4 \times 2 \times 6=16-48=-32<0$
Comme $\Delta<0$, l’équation ne possède pas de solution réelle c.à.d :
$S=\varnothing$
8) $x^{2}-4 x-21=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-4 \times 1 \times(-21)=16+84=100=(10)^{2}>0$
Comme $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes:
$x_{1}=\frac{-(-4)+\sqrt{100}}{2 \times 1}$
$x_{2}=\frac{-(-4)-\sqrt{100}}{2 \times 1}$
$x_{1}=\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}=7 \quad$
$x_{2}=\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
Donc: $S=\{-3,7\}$
9) $3 x^{2}-6 x+3=0$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(-6)^{2}-4 \times 3 \times 3=36-36=0$
Comme $\Delta=0$, l’équation possède une seule solution (dite double):
$x=\frac{-(-6)}{2 \times 3}=\frac{6}{6}=1 S=\{1\}$
Équations inéquations et systèmes
Exercice 10:
Soit le trinôme $(T):-2 x^{2}+\sqrt{2} x+2$
1) prouver que le trinôme $(T)$ admet deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$ sans les calculer
2) Déduire les valeurs suivantes : $\alpha+\beta \quad $; $ \quad \alpha \times \beta \quad $; $ \quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \quad $; $ \quad \alpha^{2}+\beta^{2} \ quad ; \quad \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta} \quad ; \quad \alpha^{3}+\beta^{3}$
1) : $a=-2$ et et $b=\sqrt{2}$ et $c=2$
$\Delta=b^{2}-4 a c=(\sqrt{2})^{2}-4 \times 2 \times(-2)=2+16=18>0$
Comme $\Delta>0$ : le trinôme $(T)$ admet deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$
2) on a: $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ et $\alpha \times \beta=\frac{c}{a}$
donc $\alpha+\beta=-\frac{\sqrt{2}}{-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\alpha \times \beta=\frac{2}{-2}=-1$
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\beta+\alpha}{\alpha \beta}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
On a : $(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2 \alpha \beta+\beta^{2}$
donc $(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta=\alpha^{2}+\beta^{2}$
donc $\alpha^{2}+\beta^{2}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$
On a: $\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\beta^{2}+\alpha^{2}}{\alpha \beta}$
donc $\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\frac{5}{2}}{-1}=-\frac{5}{2}$
On a : $(\alpha+\beta)^{3}=\alpha^{3}+3 \alpha^{2} \beta+3 \alpha \beta^{2}+\beta^{3}$
⇒ $\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha^{2} \beta-3 \alpha \beta^{2}$
⇒ $\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta)$
⇒ $\alpha^{3}+\beta^{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}-3(-1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Donc $\alpha^{3}+\beta^{3}=\frac{\sqrt{2}^{3}}{2^{3}}+\frac{3 \sqrt{2}}{2}=\frac{2 \sqrt{2}}{8}+\frac{3 \sqrt{2}}{2}=\frac{2 \sqrt{2}+12 \sqrt{2}}{8}=\frac{14 \sqrt{2}}{8}=\frac{7 \sqrt{2}}{4}$
Exercice 11:
Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les équations suivantes :
1) $2 x-y+4=0$
2) $x-2 y+1=0$
1) Résolvons dans $\mathbb{R}^{2}$ l’équation : $2 x-y+4=0$
On a $2 x-y+4=0$ équivalent à : $y=2 x+4$
Donc : $S=\{(x ; 2 x+4) / x \in \mathbb{R}\}$
2) Résolvons dans $\mathbb{R}^{2}$ l’équation: $x-2 y+1=0$
On a $x-2 y+1=0$ équivalent à : $x=2 y-1$
Donc: $S=\{(2 y-1 ; y) / y \in \mathbb{R}\}$
Exercice 12:
Le plan est rapporté au Repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$.
• Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ l’équation $x-y-2=0$
Résolvons graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ l’équation: $x-y-2=0$
On trace la droite (D)d’équation cartésienne : $x-y-2=0$
$S=\left\{(x ; y) \in \mathbb{R}^{2} / M(x ; y) \in(D)\right\}$
Pour tracer la droite (D) il suffit de trouver deux points qui appartiennent à $(D)$
Si $x=1$ alors : $1-y-2=0$ c.à.d $y=-1$ donc $A(1 ;-1) \in(D)$
Si $y=0$ alors : $x-0-2=0$ c.à.d $\quad x=2$
donc $B(2 ; 0) \in(D)$
Exercice 13:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ l’inéquation: $2 x-y-2<0$
De l’inéquation précédente on en déduit L’équation de la droite $(D): 2 x-y-2=0$
Cette droite passe par les points $A(0 ;-2)$ et $B(1 ; 0)$ détermine deux demi-plans $P_{1}$ et $P_{2}$
(Il nous reste à trouver lequel des deux demi plans qui est la Solution de l’inéquation.)
(Nous choisissons un point pris dans l’un des demi-plans, relevons ses coordonnées et nous contrôlons si ce point vérifie l’inéquation.
Conseil : On choisit, de référence, le point « O » de coordonnées $(0 ; 0)$; c’est-à-dire $\mathrm{x}=0$ et $\mathrm{y}=0$.
Les calculs sont donc simplifiés. (Si la droite passe par « O », on prendra un autre point…)
Soit $O(0 ; 0)$ On a $2 \times 0-0-2<0$
Donc: les coordonnes ( $0 ; 0$ ) vérifie l’inéquation.
Donc les Solution de l’inéquation $2 x-y-2<0$ est l’ensemble des couple $(x ; y)$ des points $M(x ; y) \mathrm{du}$ demi- plan $P_{1}$ hachuré qui contient le point $O(0 ; 0)$ privé de la droite $(D)$
Exercice 14:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ l’inéquation : $x-y-3 \geq 0$
De l’inéquation précédente on en déduit l’équation de la droite $(D): x-y-3=0$
détermine Deux demi-plans $P_{1}$ et $P_{2}$
Cette droite passe par les points $A(0 ;-3)$ et $B(1 ;-2)$
On a $0-0-3 \geq 0$ cad $-3 \geq 0$ on constate que le résultat est impossible.
Donc: les coordonnées ( $0 ; 0$ ) ne vérifie pas l’inéquation.
Alors les Solutions de l’inéquation $x-y-3 \geq 0$ est l’ensemble des couple $(x ; y)$ des points $M(x ; y)$ du demi- plan $P_{1}$ hachuré qui ne contient pas le point $O(0 ; 0)$
Exercice 15:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d’inéquations suivant :
$(S)\left\{\begin{array}{l}x+y-1 \geq 0 \\ -x+2 y+2 \leq 0\end{array}\right.$
L’équation de la droite $\left(D_{1}\right): x+y-1=0$
L’équation de la droite $\left(D_{2}\right):-x+2 y+2=0$
Soit $O(0 ; 0)$ On a $0+0-1 \geq 0$ ssi $-1 \geq 0$
Donc: les coordonnes $O(0 ; 0)$ ne vérifie pas l’inéquation.
$x+y-1 \geq 0$
Soit $O(0 ; 0)$ On a $-0+2 \times 0+2 \leq 0$ ssi $2 \leq 0$
Donc : les coordonnes $O(0 ; 0)$ ne vérifie pas l’inéquation. $-x+2 y+2 \leq 0$
Donc les Solutions du système est l’ensemble des couple $(x ; y)$ des points $M(x ; y)$ du plan colorés
Exercice 16:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d’inéquations suivant :
(S) $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-3 \geq 0 \\ -x+y+5 \leq 0 \\ x \leq 4\end{array}\right.$
L’équation de la droite $\left(D_{1}\right): 2 x+y-3=0$
L’équation de la droite $\left(D_{2}\right):-x+y+5=0$
L’équation de la droite $\left(D_{3}\right): x-4=0$
Soit $O(0 ; 0)$ On a $2 \times 0+0-3 \geq 0$ ssi $-3 \geq 0$
Donc: les coordonnes $O(0 ; 0)$ ne vérifie pas l’inéquation. $2 x+y-3 \geq 0$
Soit $O(0 ; 0)$ On a $-0+0+5 \leq 0$ ssi $5 \leq 0$
Donc: les coordonnes $O(0 ; 0)$ ne vérifie pas l’inéquation.
$-x+y+5 \leq 0$
Soit $O(0 ; 0)$ On a $0 \leq 4$
Donc: les coordonnes $O(0 ; 0)$ vérifie l’inéquation. $x \leq 4$
Donc les Solutions du système est l’ensemble des couple $(x ; y)$ des points $M(x ; y)$ du plan colorés
Exercice 17:
Résoudre Dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d’inéquations suivant :
(S) $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-6 < 0 \\ x-2 y+2 < 0 \\ 4 x-3 y+12 > 0\end{array}\right.$
Etant donnés deux axes de coordonnées « Ox » et « Oy » nous allons déterminer dans quelle région du plan se trouvent les points « M » dont les coordonnées satisfont à ces trois inéquations.
Pour cela construisons les droites qui ont respectivement pour équations :
(1) $3 x+2 y-6=0$ (D)
(2) $x-2 y+2=0$ (D’)
(3) $4 x-3 y+12=0$ (D”)
Pour que l’inéquation (1) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine (car pour $«x »=0$; $« y » =0$ l’inéquation est satisfaite).
Pour que l’inéquation (2) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui ne contient pas l’origine (car pour $«x »=0$; $« y » =0$ l’inéquation n’est pas satisfaite).
Enfin pour que l’inéquation (3) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine (car pour $«x »=0$; $« y » =0$ l’inéquation est satisfaite).
Finalement, on voit que « M » doit être à l’intérieur du triangle ABC formé par les 3 droites (D) ; (D’) ; (D’’).
Exercice 18:
1) Résoudre le système dans $\mathbb{R}^{2}$ par la Méthode de substitution :
$\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ 2 x+3 y=4\end{array}\right.$
2) Résoudre le système dans $\mathbb{R}^{2}$ par la Méthode de combinaison linéaire :
$\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=7 \\ 3 x-2 y=4\end{array}\right.$
1) Dans le système $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ 2 x+3 y=4\end{array}\right.$, on exprime $x$ en fonction de $y$ dans la première équation et on obtient le système équivalent : $\left\{\begin{array}{l}x=3-2 y \\ 2 x+3 y=4\end{array}\right.$.
On remplace ensuite $x$ par $3-2 y$ dans la seconde équation, ce qui donne le système :
$\left\{\begin{array}{l}x=3-2 y \\ 2(3-2 y)+3 y=4\end{array}\right.$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}x=3-2 y \\ -y+6=4\end{array}\right.$
Soit encore à $\left\{\begin{array}{l}x=3-2 y \\ y=2\end{array}\right.$ et on remplace $y$ par 2 dans la première équation on trouve $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=2\end{array}\right.$
On obtient ainsi le couple solution donc: $S=\{(-1,2)\}$
2) Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l’une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l’on peut résoudre.
Dans le système $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=7 \\ 3 x-2 y=4\end{array}\right.$, on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : $\left\{\begin{array}{l}4 x+6 y=14 \\ 9 x-6 y=12\end{array}\right.$.
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par le résultat ; on obtient le système $\left\{\begin{array}{l}4 x+6 y=14 \\ 13 x=26\end{array}\right.$
équivalent: $\left\{\begin{array}{l}8+6 y=14 \\ x=2\end{array}\right.$, soit $\left\{\begin{array}{l}6 y=6 \\ x=2\end{array}\right.$ encore ou $\left\{\begin{array}{l}y=1 \\ x=2\end{array}\right.$
On en déduit le couple solution : $S=\{(2,1)\}$.
Exercice 19:
Résoudre le système dans $\mathbb{R}^{2}$ :
$\left\{\begin{array}{l}3 x+y=5 \\ 2 x-3 y=-4\end{array}\right.$
Par les 4 Méthodes suivantes :
1) Par la Méthode de substitution
2) Par la méthode des combinaisons linéaires
3) Méthode graphique
4) Méthode des déterminants
1) Par la Méthode de substitution
A l’aide de l’équation $3 x+y=5$ on peut écrite que $y=5-3 x$
On obtient alors le système : $\left\{\begin{array}{l}y=5-3 x \\ 2 x-3 y=-4\end{array}\right.$
On va maintenant remplacer le $y$ de la seconde équation par son expression en fonction de $x$ qu’on vient de trouver.
Cela donne alors : $\left\{\begin{array}{l}y=5-3 x \\ 2 x-3(5-3 x)=-4\end{array}\right.$
On développe et on simplifie l’écriture de la deuxième équation : $\left\{\begin{array}{l}y=5-3 x \\ 11 x=11\end{array}\right.$
On résout maintenant l’équation du premier degré pour trouver la valeur de $x$ :
$\left\{\begin{array}{l}y=5-3 x \\ x=1\end{array}\right.$
Maintenant qu’on connaît la valeur de $x$, il ne nous reste plus qu’à remplacer $x$ par sa valeur dans la première équation.
$\left\{\begin{array}{l}y=5-3 \times 1=2 \\ x=1\end{array}\right.$
On finit les calculs :
$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$
La solution de notre système est donc : $S=\{(1,2)\}$
Il peut être utile de procéder à une vérification. Pour cela, on remplace les inconnues par les valeurs qu’on vient de trouver dans chacune des équations et on vérifie si on retrouve bien l’égalité :
$\left\{\begin{array}{l}3 \times 1+2=3+2=5 \\ 2 \times 1-3 \times 2=2-6=-4\end{array}\right.$
2) Par la méthode combinaison linéaire ou méthode par addition.
Le but de cette méthode est de multiplier les équations par des nombres judicieusement choisis pour qu’en additionnant ou soustrayant les équations on n’ait plus qu’une seule inconnue.
On va chercher, par exemple, à “éliminer” l’inconnue $x$. Pour cela on va :
Multiplier la première équation par 2 qui est le coefficient de l’inconnue de la seconde équation.
Multiplier la seconde équation par 3 qui est le coefficient de l’inconnue de la première équation.
On obtient alors le système : $\left\{\begin{array}{l}6 x+2 y=10 \\ 6 x-9 y=-12\end{array}\right.$
On va maintenant soustraire nos deux équations pour ainsi ne plus avoir de termes en $x$.
$(6 x+2 y)-(6 x-9 y)=10-(-12)$
$6x + 2y – 6x + 9y = 22 $
$11 y = 22 $
donc $y = 2 $
On remplace maintenant cette valeur dans l’une des deux équations :
Si on choisit la première équation $3 x+2=5$ soit $3 x=3$ et donc $x=1$.
La solution du système est donc: $S=\{(1,2)\}$
3) Méthode graphique
Résoudre graphiquement le système $\left\{\begin{array}{l}3 x+y=5 \\ 2 x-3 y=-4\end{array}\right.$
Les équations du type $a x+b y=c$ correspondent en fait à des équations de droite.
La solution du système correspond aux coordonnées, dans un repère, du point d’intersection des deux droites. on a tracé les deux droites associées au système.
On lit les coordonnées du point d’intersection $(1,2)$
Donc $S=\{(1,2)\}$
On distingue alors trois cas dans la résolution des systèmes graphiquement :
– Si les droites sont parallèles et distinctes, le système (S) n’admet aucun couple solution.
– $\quad$ Si les droites) sont sécantes, le système (S) admet une solution unique.
– $\quad$ Si les droites sont confondues, alors le système (S) admet une infinité de couples solutions.
4) Méthode des déterminants
On calcule le déterminant du système (I) inconnues suivant :
(I) $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=7 \\ 3 x-2 y=4\end{array}\right.$
$\Delta=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & -2\end{array}\right|=2 \times(-2)-3 \times 3=-13 \neq 0$
Alors le système $(I)$ admet un couple solution unique.
$x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{cc}7 & 3 \\ 4 & -2\end{array}\right|}{-13}=\frac{-26}{-13}=2$ et $y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{ll}2 & 7 \\ 3 & 4\end{array}\right|}{-13}=\frac{-13}{-13}=1$
donc: $S=\{(1,2)\}$
Exercice 20:
Par la Méthode des déterminants résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants:
1) $\left\{\begin{array}{l}3 x-y=5 \\ 2 x+4 y=-6\end{array}\right.$
2) $\left\{\begin{array}{l}8 x+4 y=4 \\ 2 x+y=3\end{array}\right.$
3) $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} x-y=\sqrt{2} \\ 2 x-\sqrt{2} y=2\end{array}\right.$
4) $\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y=-2 \\ x-3 y=-11 \\ 2 x+4 y=8\end{array}\right.$
5) $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=1 \\ 3 x+y=2 \\ x-y=3\end{array}\right.$
1) Le déterminant est : $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 4\end{array}\right|=3 \times 4-(-1) \times 2=14 \neq 0$
Alors le système $(I)$ admet un couple solution unique
$x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{cc}5 & -1 \\ -6 & 4\end{array}\right|}{14}=\frac{5 \times 4-(-6) \times(-1)}{14}=\frac{20-6}{14}=\frac{14}{14}=1$
$y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 2 & -6\end{array}\right|}{14}=\frac{3 \times(-6)-5 \times 2}{14}=\frac{-18-10}{14}=\frac{-28}{14}=-2$
On en déduit le couple solution : $S=\{(1,-2)\}$.
2) Le déterminant est : $\Delta=\left|\begin{array}{ll}8 & 4 \\ 2 & 1\end{array}\right|=8-8=0$
Alors on calcule $\Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll}4 & 4 \\ 3 & 1\end{array}\right|=4-12=-8 \neq 0$
Donc $S=\varnothing$
3) $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} x-y=\sqrt{2} \\ 2 x-\sqrt{2} y=2\end{array}\right.$
Le déterminant est : $\Delta=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2} & -1 \\ 2 & -\sqrt{2}\end{array}\right|=-2+2=0$
Alors on calcule $\Delta_{x}=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2} & -1 \\ 2 & -\sqrt{2}\end{array}\right|=-2+2=0$
Alors on calcule $\Delta_{y}=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 2 & 2\end{array}\right|=2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=0$
Donc les deux équations $\sqrt{2} x-y=\sqrt{2}$ et $2 x-\sqrt{2} y=2$ sont équivalentes .
Dans ce cas résoudre le système c’est résoudre l’une des équations par exemple :
En choisi $\sqrt{2} x-y=\sqrt{2}$ c ad $\sqrt{2} x-\sqrt{2}=y$
Alors on a : $S=\{(x ; \sqrt{2} x-\sqrt{2}) / x \in \mathbb{R}\}$
4) $(I)\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y=-2 \\ x-3 y=-11 \\ 2 x+4 y=8\end{array}\right.$
Soit le système $\left(I^{\prime}\right)\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y=-2 \\ x-3 y=-11\end{array}\right.$
Le déterminant est : $\Delta=\left|\begin{array}{cc}4 & 2 \\ 1 & -3\end{array}\right|=-12-2=-14 \neq 0$
Alors le système $\left(I^{\prime}\right)$ admet une solution unique.
$x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ -11 & -3\end{array}\right|}{-14}=\frac{28}{-14}=-2$
$y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right|}{1}=\frac{2}{1}=2$
Donc $(-2,3)$ est une solution du système $\left(I^{\prime}\right)$
On remplace dans la dernière équations c.à.d. $2x+4y=8$
On a $2 \times(-2)+4 \times 3=-4+12=8$
Donc $(-2,3)$ vérifie toutes les équations
On en déduit que : $S=\{(-2,3)\}$
5) $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=1 \\ 3 x+y=2 \\ x-y=3\end{array}\right.$
Soit le système $\left(I^{\prime}\right)\left\{\begin{array}{l}x-2 y=1 \\ x-y=3\end{array}\right.$
Le déterminant est : $\Delta=\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 1 & -1\end{array}\right|=-1+2=1 \neq 0$
Alors le système ( $I^{\prime}$ ) admet une solution unique.
$x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 3 & -1\end{array}\right|}{1}=\frac{5}{1}=5$
$y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}=\frac{\left|\begin{array}{cc}4 & -2 \\ 1 & -11\end{array}\right|}{-14}=\frac{-42}{-14}=3$
Donc $(-2,3)$ est une solution du système $\left(I^{\prime}\right)$
On remplace dans la deuxième équations c a d $3 x+y=2$
Donc a $3 \times 5+2=17 \neq 2$
Donc $(-2,3)$ ne vérifie pas toutes les équations
On en déduit que : $S=\varnothing$
Exercice 21:
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
L’association des Enfants Heureux organise une course. Chaque enfant a un vélo ou un tricycle. L’organisateur a compté 64 enfants et 151 roues.
1) Combien de vélos et combien de tricycles sont engagés dans cette course ?
2) Chaque vélo engagé rapporte 500 DH et chaque tricycle 400 DH . Calculer la somme que l’association des Enfants Heureux recevra.
1)
• Première étape : on identifie ce que nos inconnues vont représenter.
On cherche le nombre de vélos et le nombre de tricycle engagés.
On va donc appeler $V$ le nombre de vélos et $T$ le nombre de tricycles.
• Deuxième étape : on met en équation le problème donné.
On a 64 enfants. Cela signifie donc que $V+T=64$.
On a compté 151 roues. Chaque vélo possède 2 roues et chaque tricycle possède 3 roues.
On a donc L’équation $2 V+3 T=151$.
• Troisième étape : On résout le système : $\left\{\begin{array}{l}V+T=64 \\ 2 V+3 T=151\end{array}\right.$
A l’aide de la méthode par substitution.
$\left\{\begin{array}{l}V=64-T \\ 2 V+3 T=151\end{array}⇒\left\{\begin{array}{l}V=64-T \\ 2(64-T)+3 T=151\end{array}\right.\right.$
$\left\{\begin{array}{l}V=64-T \\ 128-2 T+3 T=151\end{array} ⇒\quad\left\{\begin{array}{l}V=64-T \\ T=23\end{array}\right.\right.$
$\left\{\begin{array}{l}T=23 \\ V=64-23\end{array} ⇒\quad\left\{\begin{array}{l}T=23 \\ V=41\end{array}\right.\right.$
On vérifie que le couple $(41,23)$ est bien solution du système.
$\left\{\begin{array}{l}41+23=64 \\ 2 \times 41+3 \times 23=82+69=151\end{array}\right.$
Conclusion : 41 vélos et 23 tricycles étaient engagés dans cette course.
2) On utilise ces valeurs pour répondre à la question posée.
$41 \times 500+23 \times 400=29700$
L’association recevra donc 29700 DH grâce à cette course.
Équations inéquations et systèmes