Équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe – exercices corrigés
Exercice 1: (Questions de cours)
Choisir la bonne réponse pour chaque question
Un corps solide est en rotation autour d’un axe fixe (Δ) si tous ses points dans un mouvement:
La force \(\vec{F}\) a un effet de rotation si sa ligne d’action:
Lorsqu’on éloigne de l’axe. La force:
\(\vec{F}_1\) et \(\vec{F}_2\) forment un couple de deux forces capable de tourner un corps au même sens, si:
Un cycliste exerce sur la pédale de son vélo une force de 360N. la longueur de la manivelle du pédalier est 18cm. Le moment de la force par rapport à l’axe de rotation (Δ) est:
\(M_Δ(\vec{F}) = 64,8\,N.m\)
\(M_Δ(\vec{F}) = 6,48\,N.m\)
\(M_Δ(\vec{F}) = 648\,N.m\)
Un corps solide est en rotation autour d’un axe fixe (Δ) si tous ses points dans un mouvement:
Explication : Lorsqu’un solide tourne autour d’un axe fixe, tous ses points décrivent des trajectoires circulaires centrées sur cet axe.
La force \(\vec{F}\) a un effet de rotation si sa ligne d’action:
Explication : Pour qu’une force ait un effet de rotation, elle ne doit pas être parallèle à l’axe et sa ligne d’action ne doit pas passer par l’axe (bras de levier non nul).
Lorsqu’on éloigne de l’axe. La force:
Explication : L’intensité de la force ne change pas lorsqu’on l’éloigne de l’axe. C’est le moment de la force (produit F × d) qui augmente avec la distance.
\(\vec{F}_1\) et \(\vec{F}_2\) forment un couple de deux forces capable de tourner un corps au même sens, si:
Explication : Un couple est formé de deux forces opposées (\(\vec{F}_1 = -\vec{F}_2\)) mais appliquées en des points différents (lignes d’action différentes), ce qui crée un moment de rotation.
Un cycliste exerce sur la pédale de son vélo une force de 360N. la longueur de la manivelle du pédalier est 18cm. Le moment de la force par rapport à l’axe de rotation (Δ) est:
\(M_Δ(\vec{F}) = 6,48\,N.m\)
\(M_Δ(\vec{F}) = 648\,N.m\)
Explication : Le moment d’une force se calcule par \(M = F \times d\). Ici, \(F = 360\,N\) et \(d = 18\,cm = 0,18\,m\), donc \(M = 360 \times 0,18 = 64,8\,N.m\). La notation \(M_Δ(\vec{F}) \) représente le moment de la force.
Exercice 2:
On considère une barre homogène OA de longueur L=1,2m et de masse m=2kg capable de se mettre en rotation autour d’un axe (A) horizontal et passant son extrémité O.
On suspend à l’aide d’un fil de masse négligeable au point A un corps solide (S) de masse M=3kg. On fixe au point B qui se trouve à la distance \( OB = \frac{L}{4} \) du point O de la barre un fil métallique BC dont l’autre extrémité est fixée à un mur vertical de telle façon qu’il reste perpendiculaire à la barre (voir schéma).
L’ensemble se trouve en équilibre lorsque \( \alpha = 30^\circ \). On donne \( g=10N/kg \)
1
Étudier l’équilibre du solide (S) puis en déduire la tension \( T_1 \) du fil au point C.
2
Faites le bilan des forces qui s’exercent sur la barre.
3
En appliquant le théorème des moments, calculer l’intensité de la force \( F \) Exercée par le fil BC sur la barre.
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Exercice 3 :
On considère une tige OA homogène de longueur \( \ell \) et de masse m = 1 kg capable de tourner autour d’un axe fixe \( \Delta \) horizontal passant par le point O.
L’équilibre de la tige est établi à l’aide d’un fil lié à un ressort par l’intermédiaire d’une poulie comme l’indique la figure suivante :
La constante de raideur du ressort est \( K = 25 \, N/m \), \( \alpha = 30^\circ \).
1
Faites l’inventaire des forces qui s’exercent sur la barre OA. Puis représentez ces forces.
2
En appliquant la deuxième condition d’équilibre, déterminer l’intensité de la force \( T \) exercée par le fil.
3
En déduire l’allongement du ressort.
💡Information importante
Le système comprend une tige homogène articulée en O, maintenue en équilibre par un ressort via une poulie.
La tension du fil est transmise au ressort qui s’allonge pour contrebalancer le moment du poids de la tige.
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Exercice 4 :
Une poulie P à deux gorges, capable de tourner autour d’un axe fixe et horizontal (A) passant par son centre O, sans frottement. La poulie est en équilibre sous l’action de deux fils inextensibles :
- Au premier fil enroulé sur la poulie de grand rayon r est suspendu un corps (C)
- Le deuxième fil horizontal fixé au point C est enroulé sur la poulie de petit rayon \( r’ = \frac{r}{2} \)
1
En étudiant l’équilibre du corps (C) déterminez l’intensité \( T_1 \) du fil (1)
2a
Faites le bilan des forces qui s’exercent sur la poulie (à deux gorges)
2b
En appliquant le théorème des moments montrez que \( T_2 = 2 \cdot T_1 \) puis calculez la valeur de \( T_2 \) et celle de \( T_1 \)
💡Caractéristiques du système
La poulie possède deux rayons différents : grand rayon r pour le fil supportant le corps (C),
et petit rayon r’ = r/2 pour le fil horizontal. Cette différence de rayons crée un effet de levier
qui modifie l’équilibre des tensions dans les fils.
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Exercice 5 :
Un enrouleur est constitué d’un cylindre de rayon \( r = 7 \, \text{cm} \) capable de tourner autour d’un axe fixe et horizontal (Δ) passant par son centre O à l’aide d’une manivelle OA de longueur \( \ell = OA = 35 \, \text{cm} \).
On enroule sur le cylindre un câble de masse négligeable et on suspend à son extrémité inférieure un corps (C) de masse \( m = 10 \, \text{kg} \). Le câble est inextensible.
Calculez l’intensité de la force \( \vec{F} \) qu’on doit appliquer à l’extrémité A du manivelle pour que le corps (C) reste en équilibre lorsque l’angle \( \alpha \) prend la valeur \( \alpha_1 = 30^\circ \) puis lorsque \( \alpha_2 = 90^\circ \)
💡Principe de l’enrouleur
L’enrouleur fonctionne sur le principe du levier : une force F appliquée sur la manivelle de longueur ℓ
doit équilibrer le moment créé par le poids du corps suspendu agissant sur le rayon r du cylindre.
L’angle α influence le bras de levier effectif de la force F.
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Exercice 6 :
Dans la figure suivante, une boule homogène de masse \( m = 0,2 \, \text{kg} \) et de rayon \( r = 2 \, \text{cm} \) suspendue à un fil de masse négligeable fixé en un point O et de longueur \( L = 48 \, \text{cm} \), la boule est maintenue en équilibre sous l’action d’une force horizontale \( \vec{F} \).
On donne \( \alpha = 45^\circ \) et \( g = 10 \, \text{N/kg} \).
1
Faites le bilan des forces qui s’exercent sur la boule. En appliquant la première condition d’équilibre et en utilisant la méthode graphique déterminer l’intensité de la force \( \vec{F} \)
2
Sachant que la boule peut tourner autour d’un axe (Δ) horizontal passant par O, montrer que la somme des moments des forces qui s’exercent sur la boule est nulle
💡Caractéristiques du système
La boule est suspendue par un fil et maintenue en équilibre par une force horizontale F.
Le système forme un triangle rectangle avec l’angle α entre le fil et la verticale.
La méthode graphique consiste à construire le triangle des forces pour déterminer F.
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Exercice 7 :
Une barre homogène AB de masse \( m = 2 \, \text{kg} \) et de longueur \( \ell \), son extrémité supérieure est maintenue par un fil horizontal de masse négligeable alors que son extrémité inférieure s’appuie sur un plan horizontal \( \pi \).
Lorsque l’équilibre est établi l’angle \( \alpha = 45^\circ \). On donne \( g = 10 \, \text{N/kg} \).
1
Faites l’inventaire des forces qui s’exercent sur la barre AB
2
Donner la nature du contact entre la barre et le plan \( \pi \) au point A
3a
Donnez l’expression du moment de chacune des forces qui s’exercent sur la barre par rapport à l’axe (Δ)
3b
En appliquant la deuxième condition d’équilibre, déterminer l’intensité de la force \( \vec{T} \) exercée par le fil
3c
Déterminer l’intensité de la réaction \( \vec{R} \) du plan exercée sur la barre
💡Caractéristiques du système
La barre est en équilibre sous l’action de trois forces : son poids, la tension du fil et la réaction du plan.
L’axe (Δ) passe par le point A et est perpendiculaire au plan de la barre. La nature du contact influence
la direction de la réaction du plan
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Exercice 8 :
Une barre homogène AB de masse m = 3 kg et de longueur ℓ, son extrémité supérieure est maintenue par un fil vertical de masse négligeable alors que son extrémité inférieure s’appuie sur un plan horizontal π.
Lorsque l’équilibre est établi l’angle \( \alpha = 30^\circ \). On donne \( g = 10 \, \text{N/kg} \).
1
Faites l’inventaire des forces qui s’exercent sur la barre AB
2
En appliquant la deuxième condition d’équilibre, déterminer l’intensité de la force T exercée par le fil
3
En déduire l’intensité de la réaction R du plan π sur la barre AB au point A
💡Caractéristiques du système
La barre est en équilibre sous l’action de trois forces : son poids, la tension du fil vertical et la réaction du plan horizontal.
Le contact avec le plan se fait sans frottement, ce qui simplifie la direction de la réaction.
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Exercice 9 :
Une barre homogène AB de masse m = 4 kg, de longueur 60 cm est mobile autour d’un axe horizontal Δ passant par le point O tel que OA = 10 cm. Cette barre est maintenue en équilibre par la tension \( \vec{T} \) d’un ressort et la tension \( \vec{F}_1 \) d’un fil tendue par le poids \( \vec{P}_1 \) d’une masse m₁ = 1 kg.
On néglige les frottements sur l’axe. La direction du ressort est perpendiculaire à la barre et cette dernière est inclinée d’un angle α = 60° par rapport à l’horizontale.
1
Faire l’inventaire des forces extérieures s’exerçant sur la barre
2
Calculer T sachant que la direction du ressort est perpendiculaire à la barre et que cette dernière est inclinée d’un angle α = 60° par rapport à l’horizontale
3
Déterminer les caractéristiques de la réaction \( \vec{R} \) qui s’applique sur la barre
💡Caractéristiques du système
La barre est en équilibre sous l’action de quatre forces : son poids, la tension du ressort,
la tension du fil du contrepoids, et la réaction de l’axe. Le point O n’est pas au centre de la barre,
ce qui influence la répartition des moments.
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Exercice 10 :
La figure ci-contre schématise une pédale d’accélérateur d’automobile. Elle est mobile autour de l’axe horizontal O. Le ressort AB, perpendiculaire à la pédale, la maintient en équilibre dans la position correspondant à l’angle :
\( \alpha = A\hat{O}B = 45^\circ \)
1
Déterminer la tension T du ressort à l’équilibre
2
Déterminer l’intensité de la réaction R de l’axe de la pédale
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Équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe – exercices corrigés