Examens régionaux corrigés mathématiques 3AC

📐 Examen Régional Normalisé 3-APIC

Mathématiques • Durée : 2 heures

Modèle N°1

Exercice 1 (2,5 pts)

1) Résoudre les équations suivantes : (1 pt)

\((x – \sqrt{7})(2 + x) = 0\)

\(-\frac{x}{3} + 2 = x – 3\)

(0,5 pt chaque équation)

2) Résoudre l’inéquation : (0,75 pt)

\(5x – 7 \leq \sqrt{11}\)

3) Un club des jeux propose deux méthodes d’abonnement annuel : (0,75 pt)

1^ère méthode : 20 DH pour toute visite et un montant annuel de 500 DH.
2^ème méthode : 30 DH pour toute visite et un montant annuel de 300 DH.

Quel est le nombre de visite pour lequel la 1^ère méthode soit la meilleure ?

Exercice 2 (2 pts)

On considère la série statistique représentée par le tableau suivant :

Variable statistique	1	2	3	4	5	6
Effectif	5	4	3	6	7	15
Effectif cumulé

1) Compléter le tableau. (0,5 pt)
2) Calculer la moyenne arithmétique. (0,75 pt)
3) Déterminer le mode et la médiane de cette série statistique. (0,75 pt : mode 0,25 ; médiane 0,5)

Exercice 3 (3 pts)

SABCD est une pyramide de base le carré ABCD et sa hauteur (SO) tel que O est le centre de ABCD et AB = 4cm et OS = 12cm.

1) Montrer que \(AC = 4\sqrt{2}\). (0,5 pt)
2) Calculer le volume de la pyramide SABCD. (0,5 pt)
3) La pyramide SA’B’C’D’ est la réduction de la pyramide SABCD tel que SO’ = 8cm.
a) Calculer le rapport de la réduction. (0,5 pt)
b) Calculer l’aire de la base A’B’C’D’ après la réduction. (0,5 pt)
c) Calculer le volume de la pyramide SA’B’C’D’. (0,5 pt)
d) Calculer le volume du solide ABCDA’B’C’D’. (0,5 pt)

Exercice 4 (1,5 pts)

\( S : \begin{cases} 2x – y + 3 = 0 \\ -x + 3y – 1 = 0 \end{cases} \)

1) Le couple \((1 ; -2)\) est-il solution du système \((S)\) ? Justifier la réponse. (0,5 pt)
2) Résoudre algébriquement le système \((S)\). (1 pt)

Exercice 5 (5 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O ; I ; J)\).
Soit \(f\) une fonction linéaire tel que \(f(-3) = 6\) et \(g\) une fonction affine tel que \(g(1) = -1\) et \(g(2) = -4\). \((D)\) et \((\Delta)\) sont les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) successivement.

1) Construire \((D)\) et \((\Delta)\). (1 pt)
2) Déterminer graphiquement : (1 pt : 0,5 pt chaque)
• \(g(0)\)
• Le nombre dont son image par \(f\) est égal à 4.
3) Montrer que \(f(x) = -2x\) et \(g(x) = -3x + 2\). (1,5 pts : 0,75 pt chaque)
4) Calculer \(f(-1)\). (0,5 pt)
5) Calculer le nombre dont son image par \(g\) est \(-5\). (0,5 pt)
6) Résoudre graphiquement le système : (0,5 pt)
\(\begin{cases} -3x – y + 2 = 0 \\ -2x – y = 0 \end{cases}\)

Exercice 6 (6 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O ; I ; J)\).
On considère les points \(A(-1 ; 2)\) ; \(B(3 ; 1)\) ; \(C(0 ; -1)\).

1) Placer les points \(A , B\) et \(C\). (0,5 pt)
2) Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). (0,5 pt)
3) Calculer la distance \(AB\). (0,75 pt)
4) Calculer les coordonnées du point \(K\) le milieu du segment \([AB]\). (0,75 pt)
5) On considère la translation \(t\) qui transforme \(A\) en \(B\).
a. Construire \(E\) et \(F\) les images des points \(C\) et \(I\) respectivement par \(t\). (0,5 pt + 0,5 pt)
b. Déterminer l’image du triangle \(AIC\) par la translation \(t\). (0,5 pt)
6) Montrer que \(y = -3x – 1\) est l’équation de la droite \((AC)\). (0,75 pt)
7) Soit \((\Delta)\) l’image de la droite \((AC)\) par \(t\). Montrer que \(B \in (\Delta)\). (0,5 pt)
8) Montrer que \(y = -3x + 10\) est l’équation de la droite \((\Delta)\). (0,75 pt)

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📐 Examen Régional Normalisé 3-APIC

Mathématiques • Durée : 2 heures

Modèle N°2

Exercice 1 (2 pts)

L’histogramme suivant représente une série statistique (à compléter à partir du tableau).

1) Compléter le tableau suivant : (0,75 pt)

Variable statistique	1	2	3	4	5
Effectif
Effectif cumulé

2) Déterminer le mode et la médiane. (0,25 pt + 0,5 pt)

3) Calculer la moyenne de cette série. (0,5 pt)

Exercice 2 (2,5 pts)

1) Résoudre les équations suivantes : (0,5 pt × 3)

\( \frac{x}{3} – 2 = x + \sqrt{3} \)

\( x\sqrt{3} – 2 = x + \sqrt{3} \)

\( (4x – 5)(x + \sqrt{3}) = 0 \)

2) Résoudre les inéquations suivantes : (0,5 pt + 0,5 pt)

\( 7x – 5 \leq -2(x + 1) \)

\( \frac{x-3}{2} \leq x + 1 \)

Exercice 3 (1,5 pts)

1) Résoudre algébriquement le système : (0,75 pt)

\( \begin{cases} 2x + y = 13 \\ x – y = 2 \end{cases} \)

2) Ali a acheté 20 romans en arabe et 10 romans en français par 130 DH. Sachant que le prix d’un roman arabe est 2 DH de plus que celui d’un roman français, quel est le prix de chacun des deux romans ? (0,75 pt)

Exercice 4 (3 pts)

(SABC) est une pyramide de base le triangle ABC dont l’aire est égale à 20 cm² et sa hauteur (SO) telle que \(SO = 6\) cm.

1) Calculer le volume de la pyramide (SABC). (0,5 pt)

2) La pyramide (SA’B’C’) est une réduction de la pyramide (SABC) telle que l’aire de la base A’B’C’ est \(\frac{80}{9}\) cm².

a) Calculer le rapport de réduction. (0,75 pt)

b) Calculer SO’. (0,75 pt)

c) Calculer le volume de la pyramide (SA’B’C’) et celui du solide (ABCA’B’C’). (0,5 pt + 0,5 pt)

Exercice 5 (5 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O ; I ; J)\).
Soit \(f\) une fonction linéaire telle que \(f(-5) = -15\) et \(g\) une fonction affine telle que \(g(0) = -4\) et \(g(4) = 16\). \((F)\) et \((G)\) sont les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) respectivement.

1) Montrer que \(f(x) = 3x\) et \(g(x) = 5x – 4\). (0,75 pt + 0,75 pt)

2) Montrer que \(A(-1 ; -3) \in (F)\) et \(B(1 ; 1) \in (G)\). (0,25 pt + 0,25 pt)

3) Construire \((F)\) et \((G)\). (0,5 pt + 0,5 pt)

4) Résoudre graphiquement le système : (1 pt)
\(\begin{cases} 5x – y – 4 = 0 \\ 3x – y = 0 \end{cases}\)

5) Déterminer graphiquement : (0,5 pt)
• \(f(1)\)
• Le nombre dont son image par \(g\) est égal à 6.

Exercice 6 (6 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O ; I ; J)\).
On considère les points \(A(1 ; 1)\), \(B(2 ; -2)\) et \(C(-3 ; 1)\).

1) Placer les points \(A, B\) et \(C\). (0,25 pt × 3)

2) Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). (0,5 pt)

3) Calculer la distance \(AB\). (0,5 pt)

4) Montrer que \(y = -3x + 4\) est l’équation de la droite \((AB)\). (0,75 pt)

5) Construire le point \(D\) l’image de \(B\) par la translation qui transforme \(A\) en \(C\). (0,5 pt)

6) Déterminer en justifiant la réponse l’image de \(A\) par la translation qui transforme \(C\) en \(D\). (0,75 pt)

7) Déterminer l’équation de la droite \((\Delta)\) l’image de la droite \((AB)\) par la translation qui transforme \(A\) en \(C\). (1 pt)

8) a- Calculer les coordonnées \(K\) le milieu du segment \([AB]\). (0,5 pt)
b- Déterminer l’équation de la droite \((L)\) la médiatrice du segment \([AB]\). (0,75 pt)

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