Fonction linéaire et fonction affine exercices corrigés
Exercice 1:
Soit la fonction linéaire $f(x)= 2x$.
$1)$ Quelle est l’image de $3$ ?
$2)$ Quel nombre a pour image $-8$ ?
$3)$ Compléter :
$f(20) = ….$
$f(….) = 20$
$1)$
$f(x) = 2x$
$f(3) = 2 × 3$
$f(3) = 6$
L’image de $3$ est : $6$
$2)$
$f(x) = 2x$
$-8 = 2x$
$-4 = x$
Le nombre a pour image $-8$ est : $-4$
$3)$ Compléter :
$f(20) = 40$
$f(10) = 20$
Exercice 2:
Soit la fonction linéaire $g(x)= -3x$.
$1)$ Quelle est l’image de $-2$ ?
$2)$ Quel nombre a pour image $-15$ ?
$3)$ Compléter :
$g(5) = ….$
$g(….) = 18$
$1)$
$g(x) = -3x$
$g(-2) = -3 ×(- 2)$
$g(-2) = 6$
L’image de $-2$ est : $6$
$2)$
$g(x) = 3x$
$-15 = 3x$
$-5 = x$
Le nombre a pour image $-15$ est : $-5$
$3)$ Compléter :
$g(5) = -15$
$g(-6) = 18$
Exercice 3:
Soit la fonction linéaire $f(x)= ax$.
$1)$ Déterminer le coefficient de cette fonction pour que $f(2) = -4$.
$2)$ Déterminer le coefficient de cette fonction pour que $f(12) = -4$.
$3)$ Déterminer le coefficient de cette fonction pour que $f(2) = 7$.
$1)$ Si $f(2) = -4$, alors : $f(2) = a×2 = -4$
Ce qui donne : $a = -2$ et $f(x) = -2x$
$2)$ Si $f(12) = -4$, alors :$ f(12) = a×12 = -4$
Ce qui donne : $a = -\frac{1}{3}$
Et $f(x) = -\frac{1}{3}x$
$3)$ Si $f(2) = 7$, alors : $f(2) = a×2 = 7$
Ce qui donne : $a = \frac{7}{2}$
Et $f(x) = \frac{1}{2}x$
Exercice 4:
Rappel : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction $f(x)= ax$ est La droite passant par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; a).
Représenter dans ce repère les fonctions linéaires suivantes :
– En bleu la fonction $f(x)= 2x$
– En rouge la fonction $g(x)= -3x$
– En vert la fonction $h(x)= \frac{3}{2}x$
– En gris la fonction $k(x)= -\frac{1}{4}x$
Exercice 5:
On a représenté dans un repère la fonction linéaire $f(x)= ax$
$1)$ Compléter en lisant sur le graphique :
$f(4) = ……$
$f(……) = 1$
$f(-2) = ……$
$2)$ Compléter : $f(1) = ……$
$3)$ En déduire la définition de $f(x)$
$1)$
$f(4) = 2$
$f(2) = 1$
$f(-2) = -1$
$2)$ Compléter : $f(1) = \frac{1}{2}$
$3)$ En déduire la définition de $f(x)$
Si $f(2) = 1$, alors : $f(2) = a×2 = 1$
Ce qui donne : $a = \frac{1}{2}$ et $f(x) = \frac{1}{2}x$
Exercice 6:
On a représenté dans un repère les fonctions linéaires $f, g $et $h$ :
$1)$ Compléter en lisant sur le graphique :
$f(\frac{1}{6}) = ……$
$g(2) = …..$
$h(-2) = ….$
$f(…..) = -\frac{2}{3}$
$g(…..) = \frac{3}{2}$
$h(…..) = 1$
$2)$ Déterminer les coefficients des fonctions linéaires $f, g$ et $h$ :
$f (x)=….x$
$g(x)= ….x$
$h(x)=….x$
$1)$
$f(\frac{1}{6}) = \frac{2}{6}$
$g(2) = 1$
$h(-2) = \frac{4}{6}$
$f(-\frac{2}{6}) = -\frac{2}{3}$
$g(3) = \frac{3}{2}$
$h(-3) = 1$
$2)$ Coefficients des fonctions linéaires $f, g$ et $h$ :
$f (x)=2x$
$g(x)= \frac{1}{2}x$
$h(x)=-\frac{1}{3}x$
Exercice 7:
$1)$ Retrouver la fonction linéaire qui correspond à chaque phrase :
$a.$ « Prendre$ 5 %$ de $x$ » $f(x )= 0,05x$
$b.$ « Augmenter x de $5 %$ » $f(x)= …………$
$c.$ « Diminuer x de $5 %$ » $f(x)= …………$
$2)$ Retrouver la phrase (« Augmenter $x$ de … $%$ » ou « Diminuer vx$ de … $%$ ») qui correspond à chaque fonction linéaire :
$a.$ $f(x)= 0,97 x$ « …………….. x de …… $% $»
$b.$$ f(x)= 1,08 x $« …………….. x de ……$ %$ »
$c.$ $f(x)= 0,5 x $« …………….. x de …… $% $»
$3)$ Calculer (résultats arrondis à l’unité) :
$a.$ $267$ augmenté de $25 %$ :
$b.$ $267$ diminué de $41 %$ :
$1)$
$a.$ « Prendre$ 5 %$ de $x$ » $f(x )= 0,05x$
$b.$ « Augmenter x de $5 %$ » $f(x)=1,05x$
$c.$ « Diminuer x de $5 %$ » $f(x)= 0,95$
$2)$
$a.$ $f(x)= 0,97 x$ « diminuer x de 3 $% $»
$b.$$ f(x)= 1,08 x $« augmenter x de 4 $ %$ »
$c.$ $f(x)= 0,5 x $« diminuer x de 50 $% $»
$3)$
$a.$ $267$ augmenté de $25 %$ : $267 × 1,25 = 333,75 $
$b.$ $267$ diminué de $41 %$ : $267 × 0,59 = 157,63$
Exercice 8:
$1)$ A l’occasion des soldes, un commerçant décide d’une baisse de $25 %$ sur tous les textiles.
$a.$ Définir la fonction linéaire qui permet de transformer le prix initial $ « x »$ en prix soldé
$b. $Recalculer le nouveau prix des étiquettes suivantes après la baisse de $25 %$
T-Shirt : $149 DH$
Polo : $199 DH$
Survêtement : $999 DH$
$2)$ Une paire de chaussure coûtait $890DH$ avant les soldes, et coûte désormais $690DH$.
$a.$ Calculer le coefficient de la fonction linéaire $g(x) = ………$ sachant que $g(890)= 690$
$b.$ En déduire le pourcentage de la réduction.
$1)$
a. $ f(x)=0,75x $
b. Recalculer le nouveau prix des étiquettes suivantes après la baisse de $25 %$
T-Shirt : $112 DH$
Polo : $149 DH$
Survêtement : $750 DH$
$2)$
a. $g(x) = ax$ , donc : $g(890) = a × 890 = 690$
Ainsi :$a=\frac{690}{890}≈ 0,78$
Donc : $g(x) = 0,78x$
b.
$ 0,78 = 1 – 0,22 = 1 -\frac{22}{100}= 1 – 22 %$
Le pourcentage de la réduction est 22 %.
Exercice 9:
$f$ est une fonction affine de la forme : $f(x)= ax + b$
$1)$ Déterminer $a$ et $b$ sachant que : $f(2) = 5$ et $f(7) = 15$
$2)$ Déterminer $a$ et $b$ sachant que : $f(3) = 1$ et $f(5) = 9$
$1)$
Calculons $a$ :
On sait que : $ a=\frac{f(x)-f(x’)}{x-x’}$
Alors : $ a=\frac{f(2)-f(7)}{2-7}=\frac{5-15}{2-7}=\frac{-10}{-5}=2$
Calculons $b$ :
On a : $f(x)= 2x + b$ et $f(2)=5$
Alors : $f(2)= 2×2 + b=5$
Donc : $ 4 + b=5$
Donc : $ b=1$
D’où : $f(x)= 2x +1$
$2)$
Calculons $a$ :
Alors : $ a=\frac{f(3)-f(5)}{3-5}=\frac{1-9}{3-5}=\frac{-8}{-2}=4$
Calculons $b$ :
On a : $f(x)= 4x + b$ et $f(3)=1$
Alors : $f(3)= 4×3 + b=1$
Donc : $ 12 + b=1$
Donc : $ b=-11$
D’où : $f(x)= 4x -11$
Exercice 10:
Rappel : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine $g(x)= ax + b$ est la droite :
• parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée ;
• passant par le point de coordonnées $(0 ; b)$
Représenter dans ce repère les fonctions linéaires suivantes :
– En bleu la fonction $f(x)= 2x+1$
– En rouge la fonction $g(x)= -3x+2$
– En vert la fonction $h(x)= \frac{3}{2}x+1$
– En gris la fonction $k(x)= -\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$
Exercice 11:
On a représenté dans un repère la fonction affine.
$1)$ Compléter en lisant sur le graphique :
$f(2) = ……$
$f(….) = 1$
$f(-2) = ….$
$f(…..) = \frac{3}{2}$
$f(-3) = …..$
$f(…..) = -\frac{5}{4}$
$2)$ Déterminer $f (0)$ et $f (1)$
$3)$ Déterminer l’expression de la fonction $f(x)$
$1)$
$f(2) = -\frac{3}{2}$
$f(-3) = 1$
$f(-2) = \frac{1}{2}$
$f(-4) = \frac{3}{2}$
$f(-3) =1$
$f(\frac{3}{2}) = -\frac{5}{4}$
$2)$ $f (0)=-\frac{1}{2}$ et $f (1)=-1$
$3)$
Calculons $a$ :
Alors : $ a=\frac{f(0)-f(1)}{0-1}=\frac{-\frac{1}{2}+1}{-1}=-\frac{1}{2}$
Calculons $b$ :
On a : $f(x)= -\frac{1}{2}x + b$ et $f(1)=-1$
Alors : $f(1)= -\frac{1}{2}×1 + b=-1$
Donc : $ -\frac{1}{2} + b=-1$
Donc : $ b=-\frac{1}{2}$
D’où : $f(x)= -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}$
Exercice 12:
Le graphique ci-contre représente deux fonctions $f$ et $g$.
$1)$ Quelle est la nature de $f$ ? Trouve l’expression de $f$ en expliquant ta démarche.
$2)$ Quelle est la nature de $g$ ? Trouve l’expression de $g$ en expliquant ta démarche.
$1)$ $f$ est une fonction affine car sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l’origine.
$f$ est donc de la forme $f(x)=a x+b$.
Rappel : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine $g(x)= ax + b$ est la droite :
• parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée ;
• passant par le point de coordonnées $(0 ; b)$
Par lecture graphique, on trouve $b=3$ et $a=\frac{+2}{+1}=2$.
Donc $f(x)=2 x+3$.
$2)$ $g$ est une fonction linéaire car représentation graphique est une droite passant par l’origine.
$g$ est donc de la forme $g(x)=a x$.
Par lecture graphique, on trouve que $g(+1)=-1$
Donc $a=-1$ et $f(x)=-x$.
Exercice 13:
$1)$ On considère la fonction $h$ est définie par $h(x)=-5 x$.
$a)$ Détermine les images, par la fonction $h$, des nombres $-3$ et $\frac{1}{2,5}$.
$b)$ Calcule $h(-1)$ et $h(0,5)$.
$c)$ Détermine les antécédents, par la fonction $h$, des nombres $55 ;-\frac{10}{7}$.
$2)$ La fonction $g$ est définie par $g(x)=-3 x+1$.
$a)$ Quelle est l’image de $ 7$ par la fonction $g$ ?
$b)$ Détermine $g(0) ; g(-7)$.
$c)$Détermine les antécédents, par la fonction $g$ des nombres $-14$ et $0$ (justifie!).
$1)$ $h(x)= -5 x$.
$a)$ $h(-3)=-5 \times(-3)=15 ; h\left(\frac{1}{2,5}\right)=-5 \times \frac{1}{2,5}=\frac{-5}{2,5}=-2$.
$b)$ $h(-1)=-5 \times(-1)=5 ; h(0,5)=-5 \times 0,5=-2,5$.
$c)$ Pour calculer un antécédent, il suffit de diviser par le coefficient.
L’antécédent de 55 est donc $\frac{55}{-5}=-11$
Et celui de $\frac{-10}{7}$ est $\frac{-10}{7} \div(-5)=\frac{-10}{7} \times \frac{1}{-5}=\frac{5 \times 2 \times 1}{7 \times 5}=\frac{2}{7}$.
$2)$ $g(x)=-3 x+1$.
$a)$ $g(7)=-3 \times 7+1=-21+1=-20$.
$b)$ $g(0)=-3 \times 0+1=1 ; g(-7)=-3 \times(-7)+1=21+1=22$.
$c)$ L’antécédent de -14 est le nombre $x$ tel que :
$g(x)=-14 $
$-3 x+1=-14 $
$-3 x=-14-1 $
$-3 x=-15 $
$x=5$
De même, l’antécédent de $0$ est $x=\frac{1}{3}$ (à vérifier tout seul !).
Exercice 14:
Le plan est rapporté $d^{\prime}$ un repère orthonormé $(0, I, J)$.
On considère la fonction affine $f$ définie par : $f(x)=2 x-4$ et soit $\left(D_{1}\right)$ est sa représentation graphique dans le repère $(0, I, J)$.
$1)$ $a)$ Calcule $f(0)$ et $f(1)$
$b)$ Déterminer le nombre a qui a pour image 2 par $f$
$c)$ Le point $H(1 ; 2)$ appartient -il à $\left(D_{1}\right)$ ? justifie ta réponse
$d)$ Déterminer l’abscisse du point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et l’axe des abscisses
$2)$ Soient g la fonction linéaire telle que sa représentation graphique $\left(D_{2}\right)$ passe par le point $P(-1 ; 2)$.
$a)$ Montre que : $g(x)=-2 x$
$b)$ Déterminer l’abscisse du point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$
$c)$ Construis $\left(D_{1}\right)$ et ( $D_{2}$ ) dans un même repère $(O, I, J)$.
$1)$ $f(x)=2 x-4$
$a)$ $f(0)=2 \times 0-4=0-4=-4$ et $f(1)=2 \times 1-4=2-4=-2$
Alors: $f(0)=-4$ et $f(1)=-2$
$b)$ Le nombre $a$, a pour image 2 par $f$
Signifie que : $f(a)=2$
Alors : $2 a-4=2$
Par suite : $2 a=6$
D’où : $a=\frac{6}{2}=3$
Le nombre a qui a pour image 2 par $f$ est $a=3$.
$c)$ Le point $H(1 ; 2)$ appartient -il à $\left(D_{1}\right)$ ?
Comme $f(1)=-2 \neq 2$ alors le point $H n^{\prime}$ appartient pas à la droite $\left(D_{1}\right)$.
$d)$ Déterminer l’abscisse du point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et l’axe des abscisses
On note $K\left(x_{K}, y_{k}\right)$ le point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et l’axe des abscisses alors $y_{K}=0$.
$K ∈\left(D_{1}\right)$
Alors : $f\left(x_{K}\right)=y_{k}$
Par suite : $2 x_{K}-4=0$
Donc : $x_{K}=\frac{4}{2}=2$.
$l^{\prime}$ abscisse du point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et l’axe des abscisses est $2$ .
$2)$ $\left(D_{2}\right)$ passe par le point $P(-1 ; 2)$
$a)$ $g$ est une fonction linéaire alors $g(x)= ax$.
Puisque $\left(D_{2}\right)$ passe par le point $P(-1 ; 2)$
Alors : $g(-1)=2$
D’où : $a=\frac{g(-1)}{-1}=\frac{2}{-1}=-2 $
Donc :$ g(x)=-2 x$.
$b)$ Déterminer l’abscisse du point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$
Soit $L\left(x_{L} ; y_{L}\right)$ le point d’intersection de $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$
Alors : $f\left(x_{L}\right)=g\left(x_{L}\right)$
Donc : $2 x_{L}-4=-2 x_{L}$
Par suite :$2 x_{L}+2 x_{L}=4$
Alors : $4 x_{L}=4$
D’où $x_{L}=1$.
$c)$
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