On appelle fonction linéaire toute fonction \(f\) dont l’expression peut s’écrire sous la forme \(f(x) = a x\) où \(a\) est une constante.

Ce nombre \(a\) est alors appelé coefficient de linéarité de la fonction linéaire \(f\).

Remarque : lien avec la proportionnalité

• On considère deux grandeurs \(x\) et \(y\) telles que \(y\) soit proportionnelle à \(x\). En conséquence, il existe un nombre \(a\) tel que : \(y = a x\). La fonction qui, à la grandeur \(x\), associe la grandeur \(y\) est donc linéaire.

• Réciproquement, toute fonction linéaire représente une situation de proportionnalité.

Soit \(f\) une fonction linéaire de coefficient \(a\).

• Le coefficient d’une fonction linéaire est l’image de 1 par cette fonction, soit : \(a = f(1)\).

• Pour tout nombre \(x\) non nul : \(a = \frac{f(x)}{x}\).

On considère un repère du plan.

• Si une fonction est linéaire, alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.

• Réciproquement, si la représentation graphique d’une fonction est une droite qui passe par l’origine du repère, alors cette fonction est linéaire.

1er cas : on connaît l’expression

Soit la fonction \(f\) définie pour tout nombre \(x\) par : \(f(x) = \frac{2}{3}x\).

On reconnaît une expression de la forme \(f(x) = a x\) avec : \(a = \frac{2}{3}\).

Donc \(f\) est linéaire. Par conséquent sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.

Par ailleurs : \(f(3) = 2\). Donc la droite passe par le point de coordonnées \((3 ; 2)\).

Représentation graphique : droite passant par \((0,0)\) et \((3,2)\).

2ème cas : on connaît un nombre et son image

Soit la fonction \(g\) définie par sa représentation graphique (droite passant par l’origine et par le point \((5 ; -2)\)).

La représentation graphique de \(g\) est une droite qui passe par l’origine.

Donc \(g\) est une fonction linéaire et son expression est de la forme \(g(x) = k x\).

La droite passe par le point de coordonnées \((5 ; -2)\) ; par conséquent : \(g(5) = -2\).

Or, pour tout nombre \(x\) non nul : \(k = \frac{g(x)}{x}\). Donc, pour \(x = 5\) : \(k = \frac{g(5)}{5} = \frac{-2}{5}\).

Conclusion : pour tout nombre \(x\), \(g(x) = -\frac{2}{5}x\).

On appelle fonction affine toute fonction \(f\) dont l’expression peut s’écrire sous la forme \(f(x) = a x + b\) où \(a\) et \(b\) sont des constantes.

Ce nombre \(a\) est appelé coefficient directeur de la fonction affine \(f\).

Ce nombre \(b\) est appelé ordonnée à l’origine de la fonction affine \(f\).

Remarques

• Si \(b = 0\), l’expression devient \(f(x) = a x\). On retrouve alors une fonction linéaire. Donc toute fonction linéaire est aussi une fonction affine.

• Si \(a = 0\), l’expression devient \(f(x) = b\). On obtient alors une fonction constante. Donc toute fonction constante est aussi une fonction affine.

• Si \(a = b = 0\), l’expression devient \(f(x) = 0\). On obtient alors la fonction nulle, qui est linéaire, constante et donc affine.

On considère un repère du plan.

• Si une fonction est affine, alors sa représentation graphique est une droite (qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées).

• Réciproquement, si la représentation graphique d’une fonction est une droite (qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées), alors cette fonction est affine.

Remarque : la représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Soit \(f\) une fonction affine de coefficient directeur \(a\) et d’ordonnée à l’origine \(b\).

• L’ordonnée à l’origine d’une fonction affine est l’image de 0 par cette fonction, soit : \(b = f(0)\).

• Pour tous nombres \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1 \neq x_2\) :

\(f(x_1) – f(x_2) = (a x_1 + b) – (a x_2 + b) = a(x_1 – x_2)\)

Donc : \(\frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2} = a\)

Le coefficient directeur est le taux d’accroissement de la fonction affine.

1er cas : on connaît l’expression

Soit la fonction \(f\) définie pour tout nombre \(x\) par : \(f(x) = 2x – 3\).

On reconnaît une expression de la forme \(f(x) = a x + b\) avec : \(a = 2\) et \(b = -3\).

Donc \(f\) est une fonction affine. Par conséquent sa représentation graphique est une droite.

Par ailleurs : \(f(0) = -3\) et \(f(1) = -1\).

Donc la droite passe par les points de coordonnées \((0 ; -3)\) et \((1 ; -1)\).

2ème cas : on connaît un nombre et son image (lecture graphique)

Soit la fonction \(g\) définie par sa représentation graphique (droite passant par les points \((0,3)\) et \((6,-1)\)).

La représentation graphique de \(g\) est une droite, donc \(g\) est une fonction affine.

Son expression est de la forme \(g(x) = m x + p\).

Par lecture graphique : \(m = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\) et \(p = +3\).

Par conséquent : \(g(x) = -\frac{2}{3}x + 3\).

3ème cas : on connaît deux images (par calcul)

Soit la fonction affine \(f\) telle que : \(f(2) = 1\) et \(f(5) = -5\).

On sait que \(f\) est une fonction affine, donc son expression est de la forme \(f(x) = a x + b\).

\(f(2) = 1\) donne : \(2a + b = 1\).

\(f(5) = -5\) donne : \(5a + b = -5\).

On résout le système :

\((5a + b) – (2a + b) = -5 – 1 \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2\).

En remplaçant : \(2(-2) + b = 1 \Rightarrow -4 + b = 1 \Rightarrow b = 5\).

Par conséquent : \(f(x) = -2x + 5\).