Généralités sur les fonctions exercices corrigés
Exercice 1:
Soit la fonction f de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par: $f(x)=3 x^{2}-1$
$1)$ Calculer les images de 1 et $\sqrt{2}$ et -1 par $f$.
$2)$ Déterminer les antécédents éventuels de $2$ par $f$
$1)$ Calcul des images :
$f(1)=3 \times 1^{2}-1=3-1=2$
$f(\sqrt{2})=3 \times(\sqrt{2})^{2}-1=6-1=4$
$f(-1)=3 \times(-1)^{2}-1=3-1=2$
$2)$ $x$ est l’antécédents de $2$ par $f$ signifie que $2$ est l’image de $x$ par $f$
Chercher les réels $x$ tels que : $f(x)=2$
On résout alors dans $\mathbb{R}$ l’équation $f(x)=2$
Équivaut à: $\quad 3 \times x^{2}-1=2$
Équivaut à: $3 \times x^{2}=2+1$
Équivaut à: $\quad 3 \times x^{2}=3$
Équivaut à: $x^{2}=1$
Équivaut à: $\quad x=-1$ ou $x=1$
Finalement les antécédents de $ 2$ par $f$ sont $-1$ et $1$ .
Exercice 2:
Soit la fonction f de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=-x^{2}+2 x+2$
$1)$ Calculer les images de $\frac{-1}{2}$ et $\sqrt{3}$ par $f$.
$2)$ Montrer que : $1+\sqrt{2}$ est un antécédent de $1$ par $f$
$3)$ Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$
$4)$ Donner une interprétation géométrique du résultat de la question $(3)$
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Exercice 3:
On considère la fonction réelle de la variable réelle définie par: $x \stackrel{\ddagger}{\mapsto} \frac{1}{\mathrm{x}-3}$
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par f ? $0 ; 2 ;-3 ; 3$.
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Exercice 4:
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes définies par :
$a.$ $f(x)=x^{2}+4 x-5$
$b.$ $f(x)=\frac{2 x+1}{x}$
$c.$ $f(x)=\frac{3 x}{x^{2}-9}$
$d.$ $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$
$e.$ $f(x)=\sqrt{x^{2}+x+5}$
$f. $$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x-1}$
$g.$ $f(x)=\sqrt{x^{2}-x-2}$
$h.$ $f(x)=3-\sqrt{2-x}$
$i.$ $f(x)=\frac{2 x+1}{\sqrt{x^{2}-6 x+5}}$
$j. $$f(x)=\frac{1}{x-2}$
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Exercice 5:
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes définies par :
$1)$ $f(x)=\frac{2 \sin x}{2 \cos x-1}$
$2)$ $f(x)=\frac{2 \cos x}{2 \sin x+1}$
$3)$ $f(x)=\frac{2 \sin x}{\tan x-\sqrt{3}}$
$4)$ $f(x)=\frac{2 \sin ^{2} x}{\sin (2 x)-\cos (3 x)}$
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Exercice 6:
Soient les deux fonctions $h(x)=\frac{x^{2}-x}{x}$ et $t(x)=x-1$
Est-ce que : $\mathrm{h}=\mathrm{t}$. ? Justifier
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Exercice 7:
Soient les deux fonctions $f(x)=\frac{3 x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}}}$ et $g(x)=\frac{1+3 x^{2}}{|x|}$
Est-ce que : $f=g$. ? Justifier
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Exercice 8:
Les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement par :
$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \text { et } g(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}}$. Sont-elles égales?
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Exercice 9:
Tracer la représentation graphique de la fonction f tel que: $f(x)=|2 x-4|$
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Exercice 10:
$1)$ Déterminer les images des nombres: $-2;-1;0;2;4$ par la fonction f .
$2)$ Déterminer : $f(x)$ en fonction de $x$ sur $[-2,4]$
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Exercice 11:
La courbe ci-dessous représente la fonction $f$ définie sur $[-6 ; 7]$
Répondre par lecture graphique :
$1)$ Quelles sont les images des réels $-5,-3,0$ et 6 ?
$2)$ Quels sont les antécédents de -1 et 0 ?
$3)$ Résoudre graphiquement $f(x)=0$
$4)$ Quel est en fonction de $m$ le nombre de solutions de : $f(x)=m$.
$5)$ Résoudre graphiquement $f(x) \prec 0$
$6)$ Résoudre graphiquement $f(x) \geq 2$
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Exercice 12:
Soit f et g deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=x^{2}-2 x-5$ et $g(x)=-x-3$.
Étudier les positions de $\left(C_{f}\right)$ et $\left(C_{g}\right)$ les courbes représentatives respectives de $f$ et $g$
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Exercice 13:
Etudier la parité des fonctions suivantes définie par :
$1)$ $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}$
$2)$ $f(x)=x^{2}+2 x+\frac{1}{x}$
$3)$ $f(x)=\frac{|x|}{x^{2}-1}$
$4)$ $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$
$5)$ $f(x)=\frac{2 x^{3}}{x^{2}+5}$
$6)$ $f(x)=|x|-\sqrt{2 x^{2}+4}$
$7)$ $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{2}$
$8)$ $f(x)=\frac{x}{x-2}$
$9)$ $g(x)=\frac{2 \sin x}{1-\cos x}$
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Exercice 14:
Soit la fonction définie par : $f(x)=\frac{|x|+1}{2|x|-3}$
$\left(C_{f}\right)$ la courbe de $f$ Dans le repère $(0 ; \vec{i} ; \vec{j})$ orthonormé.
Montrer que $\left(C_{f}\right)$ symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
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Exercice 15:
Soient les fonctions définies par :
$1)$ $f(x)=7 x-5$
$2)$ $g(x)=\frac{2}{x}$
Etudier la monotonie de $f$ et de $g$ ?
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Exercice 16:
Soit la fonction définie par la représentions graphique suivante sur l’intervalle : $[-5 ; 5]$
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Exercice 17:
Soit $f$ une fonction tel que : $f(x)=3 x^{2}+2$
$1)$ Déterminer $D_{f}$
$2)$ Calculer le taux d’accroissement de fonction de $f$ Entre $x_{1}$ et $x_{2}$ tel que : $x_{1} \neq x_{2}$
$3)$ Etudier les variations de $f$ sur les intervalles $[0 ;+\infty[$ et $]-\infty ; 0]$
$4)$ Dresser le tableau de variation de $f$
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Exercice 18:
Soit $f$ une fonction numérique tel que : $f(x)=x^{2}+3 x+1$
$1)$ Préciser le domaine de définition de $f$
$2)$ Montrer que f est strictement croissante sur $\left[\frac{-3}{2} ;+\infty[\right.$et strictement décroissante sur $\left.]-\infty ; \frac{-3}{2}\right]$
$3)$ Dresser le tableau de variation de $f$
$4)$ $a)$ En déduire que : pour tout $x \in[-1 ; 3]$
On a : $-1 \leq f(x) \leq 19$
$b)$ En déduire que : pour tout $x \in[-5 ;-2]$
On a : $-1 \leq f(x) \leq 11$
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Exercice 19:
Soit $g$ une fonction tel que : $g(x)=\frac{x}{x+1}$.
$1)$ Déterminer $D_{g}$.
$2)$ Calculer le taux d’accroissement de fonction de $g$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ tel que: $x_{1} \neq x_{2}$.
$3)$ Etudier les variations de $g$ sur les intervalles $I=]-\infty ;-1[$ et $J=]-1 ;+\infty[$.
$4)$ Dresser son tableau de variation de $f$.
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Exercice 20:
Soit $f$ une fonction tel que : $f(x)=x+\frac{1}{x}$
$1)$ Déterminer $D_{f}$ et étudier la parité de $f$
$2) $ Calculer Le taux d’accroissement $T\left(x_{1} ; x_{2}\right)$ de $f$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ deux éléments de $D_{f}$ tel que : $x_{1} \neq x_{2}$
$3)$ Étudier les variations de $f$ sur $I=] 0 ; 1]$ puis sur $J=[1 ;+\infty[$
$4)$ En déduire les variations de $f$ sur $D_{f}$
$5)$ Dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_{f}$
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Exercice 21:
Soit $f$ une fonction numérique tel que : $f(x)=5 x^{2}+3$.
• Montrer que $f(0)=3$ est un minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$
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Exercice 22:
Soit g une fonction numérique tel que : $g(x)=-4 x^{2}+1$
Montrer que: $g(0)=1$ est un maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$
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Exercice 23:
Soit f une fonction numérique tel que : $f(x)=-4 x^{2}+4 x+5$
$1)$$a)$ Montrer que $f(x)=6-(2 x-1)^{2}$pour tout $x \in \mathbb{R}$
$b)$ Montrer que $f(x) \leq 6$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
$2)$ Calculer : $f\left(\frac{1}{2}\right)$ et en déduire les extrémums de f sur $\mathbb{R}$
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Exercice 24:
Du tableau de variation ,déduire les extrémums de f
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Exercice 25:
Donner le tableau de variations et représenter la courbe des fonctions numériques définies par :
$1)$ $f(x)=\frac{1}{2} x^{2} \quad$
$2)$ $f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}$
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Exercice 26:
Soit f une fonction numérique tel que: $f(x)=2 x^{2}-4 x-2$ ,$\left(C_{f}\right)$ Sa courbe représentative
$1)$ Déterminer $D_{f}$ et déterminer $\alpha$ et $\beta$ tel que : $f(x)=2(x-\alpha)^{2}+\beta$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
$2)$ Déterminer le Tableau de variations de $f$
$3)$ Tracer la courbe représentative $\left(C_{f}\right)$ dans le repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$
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Exercice 27:
Soit f une fonction numérique tel que : $f(x)=\frac{2 x+1}{x-1}$, $\left(C_{f}\right)$ Sa courbe représentative
$1)$ Déterminer $D_{f}$ et déterminer $\alpha$ et $\beta$ et $k$ tel que : $f(x)=\beta+\frac{k}{x-\alpha}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
$2)$ Déterminer le Tableau de variations de $f$
$3)$ Tracer la courbe représentative $\left(C_{f}\right)$ dans le repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$
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Exercice 28:
Soit f une fonction numérique tel que : $f(x)=\frac{-2 x+1}{2 x-4}$, $\left(C_{f}\right)$ Sa courbe représentative
$1) $ Déterminer $D_{f}$
$2)$ Déterminer $\alpha$ et $\beta$ et $k \mathrm{tel}$ que : $f(x)=\beta+\frac{k}{x-\alpha} \quad$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
$3)$ Déterminer le Tableau de variations de $f$
$4)$ Tracer la courbe représentative $\left(C_{f}\right)$ dans le repère ( $O ; i ; j$ )
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Exercice 29:
On considère la fonction $f$ définie par: $f(x)=x^{2}-2 x$
$1)$ Etudier la parité de $f$
$2)$$ a) $Ecrire le plus simplement possible $T=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ pour tout a et $b$ distincts de $D_{f}$
$b)$ Déduire les variations de $f$ sur chacun des deux intervalles $]-\infty ; 1]$ et $[1 ;+\infty[$
$c)$ Dresser le tableau des variations de $f$ sur $D_{f}$
$d)$ Déduire les extremums de $f$ (s’ils existent)
$3)$ Calculer $f(2)$ et $f(3)$ puis tracer $C_{f}$ dans un repère orthonormé.
$4$ On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=x|x|-2 x$
$a) $Etudier la parité de $g$
$b)$ Montrer que $g(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $[0 ;+\infty[$
$c)$Dresser le tableau des variations de $g$ (justifier)
$d)$ Tracer $C_{g}$ dans le même repère (avec une autre couleur)
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Exercice 30:
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par : $f(x)=x^{2}-2 x$ et $g(x)=\frac{x}{x-2}$
$1)$ Déterminer $D_{g}$ et vérifier que pour tout $x$ de $D_{g}: g(x)=1+\frac{2}{x-2}$
$2)$ Donner les tableaux de variations de $f$ et $g$
$3)$ Déterminer les points d’intersection de $\left(C_{f}\right)$ et $\left(C_{g}\right)$ avec les axes du repère
$4)$ Tracer les courbes $\left(C_{f}\right)$ et $\left(C_{g}\right)$ dans le même repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$
$5)$ Déterminer algébriquement les points d’intersection de $\left(C_{f}\right)$ et $\left(C_{g}\right)$
$6)$ Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) \leq g(x)$
$7)$ Soit $h$ la fonction définie par : $h(x)=\frac{|x|}{|x|-2}$
$a)$ Déterminer $D_{h}$
$b)$ Montrer que la fonction $h$ est paire
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