Géométrie dans l’espace – exercices corrigés
📐Exercice : Questions de cours
Quand dit-on qu’une droite est perpendiculaire à un plan ? Donner un exemple tiré du cours.
Quand dit-on qu’une droite est parallèle à un plan ? Donner un exemple du cours.
Enoncer la propriété d’une droite perpendiculaire à un plan.
Définir l’agrandissement et la réduction d’un solide. Que signifie le coefficient \( k \) ?
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport \( k \), comment sont multipliés les longueurs, les aires et les volumes ?
Donner la formule du volume d’une pyramide et celle du volume d’un cylindre.
Écrire la formule de l’aire totale d’un parallélépipède rectangle et celle d’un cube.
Une droite \( (D) \) est perpendiculaire à un plan \( (P) \) en un point \( A \) si elle est perpendiculaire à deux droites distinctes du plan \( (P) \) passant par \( A \).
On écrit : \( (D) \perp (P) \).
Exemple du cours : Dans un cube \( ABCDEFGH \), la droite \( (AE) \) est perpendiculaire au plan \( (EFGH) \).
Une droite \( (D) \) est parallèle à un plan \( (P) \) si elle est parallèle à une droite du plan \( (P) \).
On écrit : \( (D) \parallel (P) \).
Exemple du cours : Dans un cube \( ABCDEFGH \), la droite \( (AB) \) est parallèle au plan \( (EFGH) \).
Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point \( A \), alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan passant par \( A \).
Exemple : Dans un cube, \( (AE) \perp (EFGH) \), donc \( (AE) \perp (EH) \), \( (AE) \perp (EF) \), etc.
En multipliant toutes les arêtes d’un solide par un même nombre positif non nul \( k \), on obtient un agrandissement ou une réduction de ce solide.
\( k \) est appelé coefficient d’agrandissement ou de réduction.
• Si \( k > 1 \), c’est un agrandissement.
• Si \( 0 < k < 1 \), c’est une réduction.
• Les aires sont multipliées par \( k^2 \).
• Les volumes sont multipliés par \( k^3 \).
où \( r \) est le rayon de la base et \( h \) la hauteur.
où \( L \) = longueur, \( l \) = largeur, \( h \) = hauteur.
où \( a \) est l’arête du cube.
⚪Exercice 2 : Perpendicularité dans l’espace
Soit \( (P) \) un plan, et soient \( (L) \), \( (\Delta) \), \( (R) \) trois droites de ce plan. Soit \( (D) \) une droite perpendiculaire à \( (L) \) et \( (\Delta) \) en un point \( A \) de \( (P) \).
Question : Montrer que \( (D) \perp (R) \).
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⚪Exercice 3 : Prisme droit et perpendicularité
Soit \( ABCDEF \) un prisme droit et \( H \) un point de \([BC]\).
Question : Montrer que \( (AH) \perp (AD) \).
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🧊Exercice 4: Cube et théorème de Pythagore
Considérons le cube \( ABCDEFKH \) suivant :
Montrer que \( AC^2 = 2DC^2 \).
Montrer que \( AK^2 = AC^2 + KC^2 \).
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📦Exercice 5: Parallélépipède et théorème de Pythagore
Soit \( ABCDEFGH \) un parallélépipède tel que \( ABCD \) est un carré et \( AB = 4 \) et \( AE = 8 \).
Calculer la distance \( DB \).
Montrer que \( BDH \) est un triangle rectangle.
Calculer \( BH \).
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📦Exercice 6: Parallélisme dans un parallélépipède
Considérons le parallélépipède \( ABCDEFKH \) suivant :
Montrer que la droite \( (BC) \) est parallèle au plan \( (AED) \).
Rappel : Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan.
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🔺Exercice 7: Pyramide et parallélisme
Considérons la pyramide suivante telle que \( (EF) \parallel (BC) \) :
Données : \( AF = 6 \), \( EF = 2 \), \( BC = 6 \), \( AM = 4 \), \( AK = 12 \)
Calculer \( FC \).
En déduire que \( (FM) \) est parallèle au plan \( (BCK) \).
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📐Exercice 8: Réduction et agrandissement
D’après la réduction du rectangle A, on a obtenu le rectangle B.
Déterminer le rapport de cette réduction.
Soit \( ABCD \) un rectangle tel que \( AB = 2 \, cm \) et \( BC = 4 \, cm \), et soit \( A’B’C’D’ \) l’agrandissement de rapport \( 3 \) de ce rectangle.
Calculer l’aire de \( A’B’C’D’ \).
Soit \( ABC \) un triangle rectangle en \( A \) tel que \( AB = 50 \, cm \) et \( AC = 3 \, cm \), et soit \( A’B’C’ \) la réduction de rapport \( \frac{1}{5} \) de ce triangle.
Calculer l’aire de \( A’B’C’ \).
Soit \( C_1 \) un cylindre de révolution de rayon \( 2 \, cm \) et de hauteur \( 5 \, cm \), et soit \( C_2 \) l’agrandissement de rapport \( 2 \) de \( C_1 \).
Calculer le volume de \( C_2 \).
Rappel : Dans un agrandissement/réduction de rapport \( k \) :
Les longueurs sont multipliées par \( k \), les aires par \( k^2 \), les volumes par \( k^3 \).
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📐Exercice 9: Prisme droit et agrandissement
Considérons le prisme droit suivant tel que \( AB = 12 \, cm \) et \( AD = DE = 3 \, cm \) :
Calculer le volume de ce prisme.
Soit \( A’B’C’D’E’F’ \) un prisme qui représente un agrandissement de rapport \( 3 \) de \( ABCDEF \).
Calculer le volume du prisme \( A’B’C’D’E’F’ \).
Rappel : Volume d’un prisme = Aire de la base × Hauteur
Dans un agrandissement de rapport \( k \), le volume est multiplié par \( k^3 \).
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🔺Exercice 10: Pyramide et réduction
Soit \( SABCD \) une pyramide de hauteur \([SA]\) dont la base est un rectangle \( ABCD \), telle que :
\( AB = 4 \, cm \), \( AD = 3 \, cm \) et \( SA = 5 \, cm \).
a) Calculer \( AC \).
b) Montrer que \( SC = 5\sqrt{2} \, cm \).
On a réduit la pyramide \( SABCD \) et on a obtenu une pyramide \( SA’B’C’D’ \) dont l’aire de sa base \( A’B’C’D’ \) est égale à \( 3 \, cm^2 \).
a) Déterminer le rapport de cette réduction.
b) En déduire la distance \( SC’ \).
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📦Exercice 11: Parallélépipède, pyramide, réduction et agrandissement
On considère le parallélépipède \( ABCDEFGH \) suivant tel que \( AB = 4 \, cm \), \( AC = 5 \, cm \) et \( AE = 6 \, cm \) :
Montrer que \( BC = 3 \, cm \).
Montrer que le volume du tétraèdre \( EABD \) est \( 12 \, cm^3 \).
Calculer le volume de la pyramide \( E’A’B’D’ \) obtenue après la réduction de rapport \( \frac{1}{2} \) de la pyramide \( EABD \).
On a agrandi la pyramide \( AEFGH \) et on a obtenu une pyramide \( BCDIK \) de volume \( 81 \, cm^3 \). Déterminer le rapport d’agrandissement.
En déduire l’aire de la base de \( BCDIK \).
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🔺Exercice 12: Pyramide et réduction
On considère la pyramide \( SABCD \) de hauteur \([SA]\), à base carrée de centre \( O \), tel que \( OA = 15 \, cm \) et \( SA = 25 \, cm \).
Calculer \( AB \) puis l’aire de \( ABCD \).
Montrer que \( SO = 20 \, cm \).
Calculer le volume de la pyramide \( SABCD \).
On coupe cette pyramide \( SABCD \) par un plan parallèle à la base tel que \( SI = 4 \, cm \) où \( I \) est le centre de la section \( EFGH \) obtenue.
a) Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide \( SABCD \) en la pyramide \( SEFGH \).
b) Calculer le volume du tronc \( ABCDEFGH \).
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🧊Exercice 13: Cube et théorème de Pythagore
Considérons le cube suivant. Soit \( T \) un point du carré \( ADHE \), tel que \( (AT) \perp (TR) \).
Montrer que :
a) \( AR^2 = AT^2 + RT^2 \)
b) \( BR^2 = AB^2 + AR^2 \)
c) \( TB^2 = AT^2 + AB^2 \)
En déduire que \( BRT \) est un triangle rectangle en \( T \).
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Équation d’une droite exercices corrigés pour 3AC