La droite dans le plan – Exercices corrigés
Exercice 1:
Le plan est rapporté au Repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ ) ,Construire les points :
$A(-4 ; 2) \quad ; \quad B(-2 ; 3) \quad ; \quad C(-3 ; 3) \quad E(0 ; 4) ; \quad F(-3 ; 0)$ et les vecteurs $\vec{u}(3 ; 2) \quad $ ; $ \quad \vec{v}(-2 ;-4)$
Soit $M$ tel que $\overrightarrow{O M}=\vec{u}$ donc $M(3 ; 2)$ et soit N tel que $\overrightarrow{O N}=\vec{v}$ donc $N(-2 ;-4)$
Exercice 2:
Le plan rapporté au repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )
Soient les points $\mathrm{A}(-2 ; 1)$ et $\mathrm{B}(1 ;-1)$.
$1)$ Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $A$ soit le milieu du segment $[BM]$
$2)$ Calculer les coordonnées du point $N$, symétrique de $A$ par rapport à $B$.
$3)$ Démontrer que $[A B]$ et $[M N]$ ont même milieu.
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Exercice 3:
On considère le réel $k$ et les vecteurs : $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$
• $\vec{u}=\vec{v}$ si et seulement si $…….$
• Les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ sont $……..$
• Les coordonnées de $k u$ sont $……..$
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Exercice 4:
On considère les vecteurs : $\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}(-6,4)$
Est-ce que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires?
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Exercice 5:
Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )
Soient les points : $A\left(\frac{1}{2} ; 3\right) ; B(-2 ;-2) ; C(1 ; 4)$ et le vecteur $\vec{u}(1 ; 3)$
$1)$ Déterminer le réel $x$ pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}(x-2,5)$ soient colinéaires
$2)$ Montrer que les points $A$; $B$ et $C$ sont alignés
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Exercice 6:
Le plan est rapporté au Repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )
Donner une représentation paramétrique de la droite $D(A ; \vec{u})$ qui passe par $A(3 ;-5)$ et $\vec{u}(-2 ; 3)$ un vecteur directeur.
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Exercice 7:
Le plan rapporté au repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )
Soient les points $\mathrm{A}(1 ; 2)$ et $\mathrm{B}(-3 ; 0)$
$1)$ Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
$2)$ Déterminer si chacun des points suivants appartient ou non à la droite $(AB)$ : $C(0 ; 2) ; D(-1 ; 1) ; E(9 ; 6)$
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Exercice 8:
Le plan rapporté au repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )
Dans chacun des cas, dire si le point $A$ appartient à la droite $(D)$
$1)$ Une équation cartésienne de $(D)$ est : $2 x+4 y-5=0$ et $A(-1 ; 2)$
$2)$ Une équation cartésienne de $(D)$ est : $3 x-2 y+4=0$ et $A(-2 ;-1)$
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Exercice 9:
le plan rapporté au repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )
Déterminer deux vecteurs directeurs à coordonnées entières pour chacune de ces droites.
$1)$ Une équation cartésienne de $(D)$ est: $3 x-5 y+1=0$
$2)$ Une équation cartésienne de $(D)$ est : $-7 x+9 y+4=0$
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Exercice 10:
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par les points : A $(2 ; 4)$ et B $(5 ;-1)$
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Exercice 11:
Représenter graphiquement les droites suivantes :
$1)$ $(D)$ la droite d’équation cartésienne ( $D$ ): $2 x+y-3=0$
$2)$ $\left(D^{\prime}\right)$ la droite de représentation paramétrique: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2+3 t\end{array}(t \in \mathbb{R})\right.$
$3)$ $(\Delta)$ ) la droite d’équation cartésienne ( $\Delta$ ) : $x=3$
$4)$ $\left(\Delta^{\prime}\right)$ la droite d’équation cartésienne $\left(\Delta^{\prime}\right): y=2$
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Exercice 12:
Étudier la position relative des deux droites $(D )$ et $( D ‘)$ dans chaque cas suivant :
$1)$ $(D): 2 x-4 y+3=0 \quad$ et $\quad\left(D^{\prime}\right):-x+2 y+5=0$
$2)$ $(D): 2 x+5 y-2=0 \quad$ et $\quad\left(D^{\prime}\right): x+3 y-2=0$
$3)$ $(D): 10 x+35 y-15=0 \quad$ et $\quad\left(D^{\prime}\right): 14 x+49 y-21=0$
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Exercice 13:
Dans le plan est rapporté au Repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ ) on considère les points suivants : $A(-2 ; 1) ; B(3 ;-2) ; C(4 ;-1)$ et $E(-3 ; 0)$
$1)$ Soit ( $\Delta$ ) la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(5 ;-3)$
$a)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite ( $\Delta$ )
$b)$ Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( $\Delta$ )
$c)$ Montrer que : $B \in(\Delta)$
$d)$ Déterminer les coordonnées du point $F$ d’intersection de la droite ( $\Delta$ ) et l’axe des ordonnées.
$e)$ Déterminer les coordonnées du point $G$ d’intersection de la droite ( $\Delta$ ) et l’axe des abscisses.
$2)$ Soit ( $D$ )la droite définie par la représentation paramétrique suivante: ( $D$ ) $\left\{\begin{array}{l}x=6 t-3 \\ y=2 t\end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$
$a)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite ( $D$ )
$b)$ Montrer que les droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes, puis déterminer leurs points d’intersection.
$3)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite ( $D^{\prime}$ ) parallèles a ( $D$ ) passant par $C(4 ;-1)$
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Exercice 14:
Dans le plan est rapporté au Repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ on considère les points suivants : $A(-2 ; 1) ; B(2 ; 4)$
$1)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite ( $D$ ) passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(5 ; 2)$
$2)$ On associe à chaque nombre réel m la droite $\left(D_{m}\right):(m-1) x-2 m y+3=0$ Et soit ( $D^{\prime}$ ) la droite définie par l’équation cartésienne suivante : $\left(D^{\prime}\right):-\frac{2}{3} x+y-\frac{1}{3}=0$
$a)$ Donner la valeur de m pour que ( $D_{m}$ ) soit parallèle a ( $D^{\prime}$ )
$b)$ Donner la valeur de $m$ pour que $B$ soit un point de $\left(D_{m}\right)$
$c)$ Montrer que tous les droites $\left(D_{m}\right)$ passent par un point fixe $E$, dont vous déterminez les coordonnées.
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La droite dans le plan – Exercices corrigés