La droite dans le plan

La droite dans le plan – Cours

La droite dans le plan

I- Repère dans le plan

1. Définitions

Un repère du plan est noté $ (O; \vec{i}; \vec{j}) $ où :

$ O $ est l’origine du repère
$ \vec{i} $ et $ \vec{j} $ sont les vecteurs de base

Si $ \vec{i} \perp \vec{j} $ : repère orthogonal

Si $ \vec{i} \perp \vec{j} $ et $ \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| $ : repère orthonormal

2. Coordonnées

Point

$ M(x, y) $ signifie :

\[ \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \]

Vecteur

$ \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ signifie :

\[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \]

Exemple : Identification de repère

Dans un repère $ (O; \vec{i}; \vec{j}) $, on donne $ \|\vec{i}\| = 3 $ et $ \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $. Ce repère est-il orthonormal ?

Correction :

Conditions pour un repère orthonormal :

\[ \vec{i} \perp \vec{j} \quad \text{et} \quad \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1 \]

Ici :

\[ \|\vec{i}\| = 3 \neq 1 \quad \text{et} \quad \|\vec{j}\| = 2 \neq 1 \]

Conclusion : Le repère n’est pas orthonormal.

II- Propriétés vectorielles

1. Égalité vectorielle

\[ \vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} x = x’ \\ y = y’ \end{cases} \]

2. Somme vectorielle

\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x + x’ \\ y + y’ \end{pmatrix} \]

3. Multiplication par un scalaire

\[ k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \]

4. Vecteur AB

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} \]

Exemple :

Soit $A(2;3)$ et $B(5;-1) $:

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \]

5. Milieu d’un segment

\[ I \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]

Avec $A(2;3)$ et $B(5;-1)$ :

\[ I(3.5, 1) \]

6. Distance AB

\[ AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Avec $A(2;3)$ et $B(5;-1)$ :

\[ AB = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

III- Condition de colinéarité

1. Déterminant de deux vecteurs

\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & y \\ x’ & y’ \end{vmatrix} = xy’ – yx’ \]

2. Théorème de colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires ssi :

\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \]

Exemple :

Pour $ \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $ et $ \vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ k \end{pmatrix} $, trouver k pour qu’ils soient colinéaires.

\[ 2k – (3 \times -4) = 0 \implies k = -6 \]

Vérification : $ \vec{v} = -2\vec{u} $

IV- Détermination d’une droite

1. Droite définie par un point et un vecteur directeur

Soit $ A(x_0, y_0) $ un point et $ \vec{u} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} $ un vecteur non nul :

\[ d(A, \vec{u}) = \{ M \in P \mid \overrightarrow{AM} = k\vec{u} \text{ avec } k \in \mathbb{R} \} \]

$ M \in d(A, \vec{u}) $ si et seulement si $ \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0 $

Exemple

Soit $ A(2, -1) $ et $ \vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $. Déterminer si $ M(5, 1) $ appartient à $ d(A, \vec{u}) $.

Calculons $ \overrightarrow{AM} $ :

\[ \overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Calcul du déterminant :

\[ \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (3×2) – (2×3) = 0 \]

Conclusion : $ M \in d(A, \vec{u}) $ car les vecteurs sont colinéaires.

V- Représentation paramétrique

Théorème

La droite $ D = d(A, \vec{u}) $ admet la représentation paramétrique :

$\left\{\begin{array}{l}x = x_0 + k\alpha \\ y = y_0 + k\beta\end{array}\right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

Exemple :

Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $ B(1, 4) $ de vecteur directeur $ \vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} $.

Application directe du théorème :

$\left\{\begin{array}{l}x=1-2k \\ y=4+5k\end{array}\right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

Vérification : Pour $ k=0 $ on retrouve le point B, et pour $ k=1 $ on obtient $ (-1, 9) $ qui appartient bien à la droite.

VI- Équation cartésienne

Théorème

Toute droite admet une équation cartésienne de la forme :

\[ ax + by + c = 0 \quad \text{avec} \quad (a,b) \neq (0,0) \]

Le vecteur directeur est alors $ \vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} $.

Droite verticale : $ x = a $

Droite horizontale : $ y = b $

Équation réduite (si $ b \neq 0 $) : $ y = mx + p $

où $ m $ est la pente et $ p $ l’ordonnée à l’origine

Exemple

Soit la droite d’équation $ 2x – 3y + 6 = 0 $. Trouver :

Un vecteur directeur
L’équation réduite
Un point appartenant à la droite

a) Vecteur directeur :

\[ \vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{(car } -b=3 \text{ et } a=2\text{)} \]

b) Équation réduite :

\[ -3y = -2x – 6 \implies y = \frac{2}{3}x + 2 \]

c) Point particulier :

Pour $ x = 0 $: $ -3y + 6 = 0 \implies y = 2 $

\[ A(0, 2) \in D \]

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