La droite dans le plan – évaluations corrigés

Modèle $N°1$

Exercice 1：$(9pts)$  (Les questions sont indépendantes)

Le plan rapporté au repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ )

$1)$ Soient les points $A(-2,1) ; B(3,7)$

Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ et déterminer les points d’intersections de la droite $(A B)$ avec les axes du repère.

$2)$ Dans chacun des cas, dire si le point $A$ appartient à la droite $(D)$

$a)$ Une équation cartésienne de $(D)$ est : $-x+3 y+1=0$ et $A(4 ; 1)$

$b)$ Une équation cartésienne de $(D)$ est : $6 x-y-2=0$ et $A(2 ; 12)$

$3)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par le point $A(1 ;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1 ; 3)$.

$4)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ tracée ci-dessous :

$5)$ On donne les points $A(-2 ;-1), B(5 ; 3)$ et $C(7 ; 4)$.

Les point $A, B$ et $C$ sont-ils alignés ?

$6)$ On considère les droites ( $D_{1}$ ) ; ( $D_{2}$ ) et ( $D_{3}$ )

$\left(D_{1}\right): x+2 y-1=0$  ;    $\left(D_{2}\right): y=-\frac{x}{2}+3 \quad$ et $\quad\left(D_{3}\right):-2 x+3 y+5=0$

$a)$ Les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

$b)$ Les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{3}\right)$ sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

Exercice 2：$(4pts)$

À partir du triangle $A B C$ on construit les points $I ; J$ tel que : $\overrightarrow{A I}=2 \overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A J}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$

$1)$ Déterminer les coordonnées des points : $A$; $B ; C ; I ; J$ dans le repère : $(A, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$

$2)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite $(I J)$

$3)$ Démontrer que la droite $(I J)$ passe par le milieu $O$ du segment $[B C]$

Exercice 3：$(7pts)$

Dans le plan est rapporté au Repère orthonormé ( $O ; \vec{i} ; \vec{j}$ ) on considère les points Suivants : $A(-1 ; 2) ; B(5 ;-2) ; C(6 ; 3)$ et $E(-2 ;-3)$

$1)$ Soit $(\Delta)$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3 ;-2)$

$a)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite ( $\Delta$ )

$b)$ Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( $\Delta$ )

$c)$ Montrer que : $B \in(\Delta)$

$d)$ Déterminer les coordonnées du point $F$ d’intersection de la droite ( $\Delta$ ) et l’axe des ordonnées.

$e)$ Déterminer les coordonnées du point $G$ d’intersection de la droite ( $\Delta$ ) et l’axe des abscisses.

$2)$ Soit $(D)$ la droite définie par la représentation paramétrique suivante: $(D)\left\{\begin{array}{l}x=8 t-2 \\ y=6 t-3\end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$

$a)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite ( $D$ )

$b)$ Montrer que les droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes, puis déterminer leurs points d’intersection.

$3)$ Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D^{\prime}\right)$ parallèles a $(D)$ passant par $C(6 ; 3)$