La droite et ses parties
📋 Exercice : Questions de cours (Droites dans le plan)
Combien de droites passent par deux points distincts ? Énoncer la propriété correspondante.
Combien de droites passent par un seul point ? Justifier.
Qu’est-ce que deux demi-droites opposées ? Donner les trois conditions nécessaires.
Que signifie le symbole \(M \in (D)\) ? Donner un exemple.
Définir ce que sont des points alignés. Donner un exemple.
Définir le milieu d’un segment. Quelle condition doit vérifier le milieu ?
Définir deux droites sécantes. Combien de points communs ont-elles ?
Définir deux droites perpendiculaires. Quelle propriété les caractérise ?
Définir deux droites parallèles. Quelle notation utilise-t-on ?
Énoncer les quatre propriétés relatives aux droites parallèles et perpendiculaires.
Que signifie l’expression « projection orthogonale » d’un point sur une droite ?
Par deux points distincts \(M\) et \(N\), il passe une unique droite, notée \((MN)\) ou \((NM)\).
Propriété : Par deux points distincts, il passe une et une seule droite.
Par un point, il passe une infinité de droites.
Justification : On peut tracer autant de droites que l’on veut qui passent toutes par ce même point, dans des directions différentes.
Deux demi-droites sont opposées si elles vérifient les trois conditions suivantes :
- Elles ont la même origine
- Elles ont le même support (la même droite)
- Elles ont un seul point commun qui est l’origine
Exemple : \([AB)\) et \([AC)\) sont opposées si \(A\) est l’origine, \(B\) et \(C\) sont sur la même droite de part et d’autre de \(A\).
Le symbole \(M \in (D)\) signifie que le point \(M\) appartient à la droite \((D)\), c’est-à-dire que \(M\) est situé sur cette droite.
Exemple : Si \(A\) est un point sur la droite \((D)\), on note \(A \in (D)\).
Contre-exemple : Si \(B\) n’est pas sur la droite \((D)\), on note \(B \notin (D)\).
Des points sont dits alignés s’ils appartiennent tous à la même droite.
Exemple : Si les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont tous sur la droite \((D)\), alors \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est équidistant de ses extrémités.
\(M\) est le milieu de \([AB]\) signifie que \(M \in [AB]\) et \(MA = MB\).
Conditions : Le milieu doit appartenir au segment et être à égale distance des deux extrémités.
Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point commun (elles se coupent).
\((D) \cap (L) = \{C\}\)
Exemple : Deux droites qui se croisent en un point \(O\) sont sécantes en \(O\).
Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et forment quatre angles droits.
On note : \((D) \perp (L)\)
Propriété : Par un point donné, il passe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.
Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes (elles ne se coupent pas). Deux droites confondues sont aussi considérées comme parallèles.
On note : \((D) // (L)\)
Propriété : Par un point donné, il passe une unique droite parallèle à une droite donnée.
- Propriété 1 : Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
\((K) // (L)\) et \((D) \perp (L)\) ⇒ \((D) \perp (K)\) - Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
\((K) // (L)\) et \((D) // (L)\) ⇒ \((K) // (D)\) - Propriété 3 : Si deux droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
\((K) \perp (D)\) et \((L) \perp (D)\) ⇒ \((K) // (L)\) - Propriété 4 : Si deux droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.
\((K) // (L)\) et \((D) \perp (K)\) ⇒ \((D) \perp (L)\)
La projection orthogonale d’un point sur une droite est le point d’intersection de cette droite avec la droite perpendiculaire passant par ce point.
Explication : Si \(C\) est un point et \((L)\) une droite, la projection orthogonale de \(C\) sur \((L)\) est le point \(H\) tel que \(H \in (L)\) et \((CH) \perp (L)\).
Distance : La longueur \(CH\) est la distance du point \(C\) à la droite \((L)\).
📐 Exercice 1 : Droites, segments et points alignés
Figure de l’exercice
Tracer au crayon noir la droite \((OP)\).
Tracer en rouge le segment \([OR]\).
Mesurer la longueur du segment \([OR]\) :
\(OR = \text{…………….}\)
Placer le point \(I\) milieu du segment \([OR]\).
\(OI = IR = \text{…………….}\)
Les points \(O\), \(S\) et \(P\) sont …………….
Les points \(O\), \(S\) et \(R\) ne sont pas …………….
Compléter à l’aide des symboles \(\in\) ou \(\notin\) :
\(R \text{ …. } (OP)\)
\(O \text{ …. } (SP)\)
\(O \text{ …. } [SP]\)
\(P \text{ …. } [SO)\)
Réponse : Voir la figure ci-dessus. La droite \((OP)\) est tracée en noir et le segment \([OR]\) en rouge.
Réponse : \(OR = 4 \text{ cm}\)
Le point \(I\) est le milieu du segment \([OR]\). Il est à égale distance de \(O\) et de \(R\).
Réponse : \(OI = IR = 2 \text{ cm}\)
(car \(OR = 4 \text{ cm}\) et \(I\) est le milieu, donc \(OI = IR = \dfrac{OR}{2} = 2 \text{ cm}\))
Des points sont alignés s’ils appartiennent tous à la même droite.
Les points \(O\), \(S\) et \(P\) sont alignés.
Les points \(O\), \(S\) et \(R\) ne sont pas alignés.
Réponse :
Les points \(O\), \(S\) et \(P\) sont alignés.
Les points \(O\), \(S\) et \(R\) ne sont pas alignés.
Rappel : \(\in\) signifie « appartient à » et \(\notin\) signifie « n’appartient pas à ».
\(R \text{ \(\notin\) } (OP)\)
\(O \text{ \(\in\) } (SP)\)
\(O \text{ \(\notin\) } [SP]\)
\(P \text{ \(\notin\) } [SO)\)
Explication :
- \(R \notin (OP)\) : le point \(R\) n’est pas sur la droite \((OP)\).
- \(O \in (SP)\) : le point \(O\) est sur la droite \((SP)\) (la droite \((SP)\) est la même que \((OP)\)).
- \(O \notin [SP]\) : le point \(O\) n’est pas sur le segment \([SP]\) (le segment est limité par \(S\) et \(P\)).
- \(P \notin [SO)\) : le point \(P\) n’est pas sur la demi-droite d’origine \(S\) passant par \(O\) (car \(P\) est de l’autre côté de \(S\)).
Réponse : \(R \notin (OP)\) · \(O \in (SP)\) · \(O \notin [SP]\) · \(P \notin [SO)\)
📐 Exercice 2 : Appartenance à une droite, un segment ou une demi-droite
Après avoir observé la figure ci-dessous, recopie et complète les pointillés en utilisant
\(\in\) ou \(\notin\) :
Rappel : \(\in\) signifie « appartient à » et \(\notin\) signifie « n’appartient pas à ».
\(M \text{ …. } [AC]\)
\(L \text{ …. } [CM)\)
\(L \text{ …. } (AM)\)
\(P \text{ …. } [AL]\)
\(P \text{ …. } (AL)\)
\(A \text{ …. } [LC)\)
\(A \text{ …. } (ML)\)
\(A \text{ …. } [AM]\)
📐 Exercice 3 : Reproduction de figure et points d’intersection
Reproduis cette figure sur ta copie en respectant le nombre de carreaux.
Les droites \((LN)\) et \((MS)\) sont sécantes en \(O\). Place \(O\).
Le point d’intersection des droites \((LM)\) et \((SN)\) est le point \(R\). Place \(R\).
Les points \(L\), \(S\) et \(T\) sont alignés ainsi que les points \(M\), \(N\) et \(T\). Place \(T\).
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📐 Exercice 4 : Codage des droites perpendiculaires
En utilisant tes instruments de géométrie, indique par un codage les droites qui sont perpendiculaires :
📐 Exercice 5 : Construction de droites sécantes et perpendiculaires
Dessine sur ta copie les figures suivantes :
Dessine deux droites (xy) et (uv) sécantes en F et qui ne sont pas perpendiculaires.
Dessine deux droites (D) et (D’) perpendiculaires. Appelle E leur point d’intersection.
📐 Exercice 6 : Tracé de droites et angle droit
Trace en rouge la droite (AP).
Trace en vert la droite (AR).
Vérifie avec ton équerre qu’il y a un angle droit. Indique-le sur le dessin.
📐 Exercice 7 : Recherche de droites perpendiculaires
Sur le dessin ci-dessous, on a tracé cinq droites.
Cherche à l’aide de tes instruments de géométrie celles qui sont perpendiculaires.
📐 Exercice 8 : Tracer une perpendiculaire passant par un point
Sur chaque dessin, trace à l’aide de tes instruments de géométrie, la droite (D₂) perpendiculaire en A à la droite (D₁).
📐 Exercice 9 : Tracé de parallèles et perpendiculaires
1) Tracer la droite (d’) parallèle à la droite (d) passant par H.
2) Tracer la droite (d₁) parallèle à la droite (Δ) passant par A, et la droite (d₂) perpendiculaire à la droite (Δ) passant par A.
Que peut-on dire de (d₁) et (d₂) ?
3) Tracer la droite (Δ₁) perpendiculaire à la droite (d) passant par A, et la droite (Δ₂) perpendiculaire à la droite (d) passant par B.
Que peut-on dire de (Δ₁) et (Δ₂) ?
📐 Exercice 10 : Construction d’un triangle, parallèles, perpendiculaires et losange
Réalise les constructions suivantes sur ta copie :
Trace un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm.
Trace la droite (d) parallèle à (BC) passant par A.
Trace la droite (d’) perpendiculaire à (BC) passant par B.
On note I le point d’intersection des droites (d) et (d’).
Place le point D tel que I soit le milieu du segment [AD].
Place le point E tel que ABED soit un losange.
Rappel : Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
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