La droite et ses parties
📋Exercice : Questions de cours (Droites dans le plan)
Combien de droites passent par deux points distincts ? Énoncer la propriété correspondante.
Combien de droites passent par un seul point ? Justifier.
Qu’est-ce que deux demi-droites opposées ? Donner les trois conditions nécessaires.
Que signifie le symbole \(M \in (D)\) ? Donner un exemple.
Définir ce que sont des points alignés. Donner un exemple.
Définir le milieu d’un segment. Quelle condition doit vérifier le milieu ?
Définir deux droites sécantes. Combien de points communs ont-elles ?
Définir deux droites perpendiculaires. Quelle propriété les caractérise ?
Définir deux droites parallèles. Quelle notation utilise-t-on ?
Énoncer les quatre propriétés relatives aux droites parallèles et perpendiculaires.
Que signifie l’expression « projection orthogonale » d’un point sur une droite ?
Par deux points distincts \(M\) et \(N\), il passe une unique droite, notée \((MN)\) ou \((NM)\).
Par un point, il passe une infinité de droites.
Deux demi-droites sont opposées si elles vérifient les trois conditions suivantes :
- Elles ont la même origine
- Elles ont le même support (la même droite)
- Elles ont un seul point commun qui est l’origine
Le symbole \(M \in (D)\) signifie que le point \(M\) appartient à la droite \((D)\), c’est-à-dire que \(M\) est situé sur cette droite.
Des points sont dits alignés s’ils appartiennent tous à la même droite.
Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est équidistant de ses extrémités.
Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point commun (elles se coupent).
Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et forment quatre angles droits.
Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes (elles ne se coupent pas). Deux droites confondues sont aussi considérées comme parallèles.
- Propriété 1 : Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
\((K) // (L)\) et \((D) \perp (L)\) ⇒ \((D) \perp (K)\) - Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
\((K) // (L)\) et \((D) // (L)\) ⇒ \((K) // (D)\) - Propriété 3 : Si deux droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
\((K) \perp (D)\) et \((L) \perp (D)\) ⇒ \((K) // (L)\) - Propriété 4 : Si deux droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.
\((K) // (L)\) et \((D) \perp (K)\) ⇒ \((D) \perp (L)\)
La projection orthogonale d’un point sur une droite est le point d’intersection de cette droite avec la droite perpendiculaire passant par ce point.
📐
Exercice 1 : Droites, segments et points alignés
O
S
R
P
M
Figure de l’exercice
Tracer au crayon noir la droite \((OP)\).
Tracer en rouge le segment \([OR]\).
Mesurer la longueur du segment \([OR]\) :
\(OR = \text{…………….}\)
Placer le point \(I\) milieu du segment \([OR]\).
\(OI = IR = \text{…………….}\)
Les points \(O\), \(S\) et \(P\) sont …………….
Les points \(O\), \(S\) et \(R\) ne sont pas …………….
Compléter à l’aide des symboles \(\in\) ou \(\notin\) :
\(R \text{ …. } (OP)\)
\(O \text{ …. } (SP)\)
\(O \text{ …. } [SP]\)
\(P \text{ …. } [SO)\)
Exercice 1:
$1)$Tracer au crayon noir la droite $(OP)$.
$2)$Tracer en rouge le segment $[OR]$.
$3)$Mesurer la longueur du segment $[OR]$ :
$OR = ………….$
$4)$ Placer le point $I$ milieu du segment $[OR]$ :
Alors : $OI = IR = ……….$
$5)$Les points $O$, $S$ et $P$ sont ………..
Les points $O$, $S$ et $R$ ne sont pas ……….
$6)$Compléter à l’aide des symboles $∈$ ou $∉$ :
$R …. (OP)$
$O …. (SP)$
$O ….[SP]$
$P ….[SO)$ ✅
Corrigé : Exercice 1 (Droites, segments et points alignés)
O
S
R
P
M
I
Figure : (OP) en noir, [OR] en rouge, I milieu de [OR]
Les points O, S et P sont alignés sur la droite (OP)
Le point \(I\) est le milieu du segment \([OR]\). Il est à égale distance de \(O\) et de \(R\).
Des points sont alignés s’ils appartiennent tous à la même droite.
Les points \(O\), \(S\) et \(P\) sont alignés.
Les points \(O\), \(S\) et \(R\) ne sont pas alignés.
Rappel : \(\in\) signifie « appartient à » et \(\notin\) signifie « n’appartient pas à ».
\(R \text{ \(\notin\) } (OP)\)
\(O \text{ \(\in\) } (SP)\)
\(O \text{ \(\notin\) } [SP]\)
\(P \text{ \(\notin\) } [SO)\)
- \(R \notin (OP)\) : le point \(R\) n’est pas sur la droite \((OP)\).
- \(O \in (SP)\) : le point \(O\) est sur la droite \((SP)\) (la droite \((SP)\) est la même que \((OP)\)).
- \(O \notin [SP]\) : le point \(O\) n’est pas sur le segment \([SP]\) (le segment est limité par \(S\) et \(P\)).
- \(P \notin [SO)\) : le point \(P\) n’est pas sur la demi-droite d’origine \(S\) passant par \(O\) (car \(P\) est de l’autre côté de \(S\)).
📐Exercice 2 : Appartenance à une droite, un segment ou une demi-droite
Après avoir observé la figure ci-dessous, recopie et complète les pointillés en utilisant
\(\in\) ou \(\notin\) :
Rappel : \(\in\) signifie « appartient à » et \(\notin\) signifie « n’appartient pas à ».
\(M \text{ …. } [AC]\)
\(L \text{ …. } [CM)\)
\(L \text{ …. } (AM)\)
\(P \text{ …. } [AL]\)
\(P \text{ …. } (AL)\)
\(A \text{ …. } [LC)\)
\(A \text{ …. } (ML)\)
\(A \text{ …. } [AM]\)
📐Exercice 3 : Reproduction de figure et points d’intersection
Reproduis cette figure sur ta copie en respectant le nombre de carreaux.
Les droites \((LN)\) et \((MS)\) sont sécantes en \(O\). Place \(O\).
Le point d’intersection des droites \((LM)\) et \((SN)\) est le point \(R\). Place \(R\).
Les points \(L\), \(S\) et \(T\) sont alignés ainsi que les points \(M\), \(N\) et \(T\). Place \(T\).
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
📐Exercice 4 : Codage des droites perpendiculaires
En utilisant tes instruments de géométrie, indique par un codage les droites qui sont perpendiculaires :
📐Exercice 5 : Construction de droites sécantes et perpendiculaires
Dessine sur ta copie les figures suivantes :
Dessine deux droites \((xy)\) et \((uv)\) sécantes en \(F\) et qui ne sont pas perpendiculaires.
Dessine deux droites \((D)\) et \((D’)\) perpendiculaires. Appelle \(E\) leur point d’intersection.
📐Exercice 6 : Tracé de droites et angle droit
Trace en rouge la droite \((AP)\).
Trace en vert la droite \((AR)\).
Vérifie avec ton équerre qu’il y a un angle droit. Indique-le sur le dessin.
📐
Exercice 7 : Recherche de droites perpendiculaires
Sur le dessin ci-dessous, on a tracé cinq droites.
Cherche à l’aide de tes instruments de géométrie celles qui sont perpendiculaires.
📐Exercice 8 : Tracer une perpendiculaire passant par un point
Sur chaque dessin, trace à l’aide de tes instruments de géométrie, la droite \((D_2)\) perpendiculaire en \(A\) à la droite \((D_1)\).
📐
Exercice 9 : Tracé de parallèles et perpendiculaires
1) Tracer la droite \((d’)\) parallèle à la droite \((d)\) passant par \(H\).
À réaliser sur la copie…
2) Tracer la droite \((d_1)\) parallèle à la droite \((\Delta)\) passant par \(A\), et la droite \((d_2)\) perpendiculaire à la droite \((\Delta)\) passant par \(A\).
À réaliser sur la copie…
Que peut-on dire de \((d_1)\) et \((d_2)\) ?
3) Tracer la droite \((\Delta_1)\) perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par \(A\), et la droite \((\Delta_2)\) perpendiculaire à la droite \((d)\) passant par \(B\).
À réaliser sur la copie…
Que peut-on dire de \((\Delta_1)\) et \((\Delta_2)\) ?
📐Exercice 10 : Construction d’un triangle, parallèles, perpendiculaires et losange
Réalise les constructions suivantes sur ta copie :
Trace un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 5\text{ cm}\), \(AC = 8\text{ cm}\) et \(BC = 10\text{ cm}\).
Trace la droite \((d)\) parallèle à \((BC)\) passant par \(A\).
Trace la droite \((d’)\) perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(B\).
On note \(I\) le point d’intersection des droites \((d)\) et \((d’)\).
Place le point \(D\) tel que \(I\) soit le milieu du segment \([AD]\).
Place le point \(E\) tel que \(ABED\) soit un losange.
Rappel : Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte et en vidéo.
La droite et ses parties