Le cercle– exercices corrigés
📐Exercice 1 : Compléter les phrases
Compléter les phrases suivantes en utilisant les mots : cercle – corde – rayon – centre – diamètre – milieu
Considérons la figure suivante (Cercle de centre E) :
Cercle de centre E passant par A, B, C, D et F
1. Le de E passe par les points A, B, C, D et F.
2. Le segment [EF] est un de ce cercle.
3. Le segment [AC] est un de ce cercle.
4. E est le du [AD].
1. Le cercle de E passe par les points A, B, C, D et F.
2. Le segment [EF] est un rayon de ce cercle.
3. Le segment [AC] est un diamètre de ce cercle.
4. E est le milieu du [AD].
📏Exercice 2 : Identifier les éléments du cercle
Soit le cercle suivant de centre \( O \) :
1. Comment s’appelle le segment \( [HG] \) ?
2. Comment s’appelle le segment \( [DE] \) ?
3. Comment s’appelle la partie du cercle tracée en pointillés (entre \( H \) et \( G \)) ?
4. Comment s’appelle le point \( O \) ?
5. Comment s’appelle le segment \( [CF] \) ?
⚪Exercice 3 : Symétrie et cercle
Considérons un cercle \( (C) \) de centre \( O \) et de rayon \( 3 \, \text{cm} \) :
1) Construire \( N \) le symétrique de \( F \) par rapport à \( O \).
2) Montrer que \( N \) appartient à \( (C) \).
📐Exercice 4 : Calcul d’angle dans un cercle
Considérons le cercle \( (C) \) suivant de centre \( K \) :
Sachant que \( \widehat{BKA} = 50^\circ \), calculer \( \widehat{KBA} \).
📐Exercice 5 : Tangentes à un cercle
Soit \( (C) \) un cercle de centre \( I \), et soit \( [EH] \) un diamètre de ce cercle.
1) Construire \( (D) \) et \( (L) \) les tangentes à \( (C) \) en \( E \) et \( H \) respectivement.
2) Démontrer que les droites \( (D) \) et \( (L) \) sont parallèles.
🔧Exercice 6 : Construction du centre d’un cercle
Considérons la figure suivante, telle que les droites \( (D) \) et \( (\Delta) \) sont tangentes au cercle \( (C) \) aux points \( K \) et \( B \).
Construire le centre de \( (C) \) en utilisant \( (D) \) et \( (\Delta) \).
📐Exercice 7 : Cercle et tangente dans un triangle
Soit \( EFG \) un triangle tel que \( FG = 3 \, \text{cm} \),
\[ \widehat{FEG} = 36^\circ, \quad \widehat{EGF} = 54^\circ. \]
1) Construire le cercle \( (C) \) de centre \( G \) et de rayon \( 3 \, \text{cm} \).
2) Montrer que la droite \( (EF) \) est la tangente au cercle \( (C) \) en \( F \).
📐Exercice 8 :
Soit \( (C) \) un cercle de centre \( O \) et de diamètre \([EF]\), et soit \( G \) un point de \( (C) \) tel que \( \widehat{GOF} = 57^\circ \).
La tangente au cercle \( (C) \) en \( G \) coupe \( (EF) \) en \( H \).
1) Faire une figure.
2) Calculer la mesure de l’angle \( \widehat{GHE} \).
⚪Exercice 9 : Intersection de deux cercles
Soit \( (C) \) un cercle de centre \( G \), et soit \( E \) un point de \( (C) \). Soit \( (C’) \) un cercle de centre \( E \) qui passe par \( G \) et qui coupe le cercle \( (C) \) en \( F \) et \( H \).
\( (C) \)
\( (C’) \)
\( G \)
\( E \)
\( F \)
\( H \)
\( (EG) \)
Cercles \( (C) \) (centre \( G \)) et \( (C’) \) (centre \( E \)) sécants en \( F \) et \( H \)
1) Construire une figure.
2) Montrer que \( (EG) \) est la médiatrice de \( [FH] \).
3) a) Montrer que \( EF = FG \).
b) En déduire la nature du quadrilatère \( EFGH \).
📐Exercice 10 : Tangentes et bissectrice
Soit \([AB]\) une corde d’un cercle \((C)\) de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\) tel que \(\widehat{AOB} = 70^\circ\).
\((L)\) est la tangente au cercle \((C)\) en \(A\) et \((D)\) sa tangente en \(B\). \((D)\) et \((L)\) se coupent au point \(E\).
1) Construire la figure.
2) Déterminer la mesure de \(\widehat{OAB}\), puis montrer que \(AEB\) est un triangle isocèle.
3) Montrer que \([EO]\) est la bissectrice de \(\widehat{AEB}\).
📐Exercice 11 : Cas général – Tangentes et bissectrice
Remarque : cet exercice représente le cas général de l’exercice précédent.
Soit \([AB]\) une corde d’un cercle \((C)\) de centre \(O\).
\((L)\) est la tangente au cercle \((C)\) en \(A\) et \((D)\) sa tangente en \(B\). \((D)\) et \((L)\) se coupent au point \(E\).
\( (C) \)
\( O \)
\( A \)
\( B \)
\( E \)
\( (L) \)
\( (D) \)
\( \widehat{AOB} \)
Cercle \((C)\) de centre \(O\), corde \([AB]\), tangentes \((L)\) et \((D)\) se coupant en \(E\)
1) Construire la figure.
2) Montrer que \([EO]\) est la bissectrice de \(\widehat{AEB}\).
⬛Exercice 12 : Cercle, tangentes et carré
Soit \( (C) \) un cercle de centre \( E \), et soient \( F \) et \( H \) deux points de ce cercle tels que \( \widehat{FEH} = 90^\circ \). Les droites tangentes au cercle \( (C) \) en \( F \) et \( H \) se coupent en \( G \).
Montrer que \( EFGH \) est un carré.
Le cercle– exercices corrigés