Les équations 2AC exercices corrigés
Exercice 1:
Résoudre ces équations :
$x+5=9$
$x-4=13$
$-7=x-3$
$7 x=21$
$-3 x=12$
$5 x=-3$
$x+5 =9 $
$x+5-5 =9-5 $
$x =4$
$x-4 =13 $
$x-4+4 =13+4 $
$x =17$
$-7 =x-3 $
$-7+3 =x-3+3 $
$-4 =x$
$7 x=21 $
$\frac{7 x}{7}=\frac{21}{7} $
$x=3$
$-3 x =12 $
$\frac{-3 x}{-3} =\frac{12}{-3} $
$x =-4$
$5 x =-3 $
$\frac{5 x}{5} =\frac{-3}{5} $
$x =\frac{-3}{5}$
Exercice 2:
Résoudre ces équations:
$5 x-25=0$
$3 x+1=7$
$7 x+13=-2$
$4 x-3=0$
$4-3 x=11$
$5-x $=7$
$ 5 x-25=0$
$ 5 x=25$
$ \frac{5 x}{5}=\frac{25}{5} $
$ x=5$
$3 x+1 =7 $
$3 x+1-1 =7-1 $
$3 x =6 $
$\frac{3 x}{3} =\frac{6}{3} $
$x =2$
$ 7 x+13=-2 $
$ 7 x+13-13=-2-13 $
$ 7 x=-15 $
$ \frac{7 x}{7}=\frac{-15}{7} $
$ x=\frac{-15}{7}$
$4 x-3 =0 $
$4 x-3+3 =0+3 $
$4 x =3 $
$\frac{4 x}{4} =\frac{3}{4} $
$x =\frac{3}{4}$
$4-3 x =11 $
$4-3 x-4 =11-4 $
$-3 x =7 $
$\frac{-3 x}{-3} =\frac{7}{-3} $
$x =-\frac{7}{3}$
$5-x =7 $
$5-x-5 =7-5 $
$-x =2 $
$-x \times(-1) =2 \times(-1) $
$x =-2$
Exercice 3:
Résoudre ces équations:
$3 x=2 x+5$
$4-5 x=9x$
$4 x+2=x+11$
$3 x-7=-2 x-9$
$5 x-1=7 x-1$
$3 x-2+x=6+4 x$
$3 x =2 x+5 $
$3 x-2 x =2 x+5-2 x $
$x =5$
$4-5 x =9 x $
$4-5 x-9 x =9 x-9 x$
$4-14 x =0 $
$4-14 x-4 =0-4 $
$-14 x =-4 $
$\frac{-14 x}{-14} =\frac{-4}{-14} $
$x=\frac{4}{14} =\frac{2}{7}$
$ 4 x+2 =x+11 $
$4 x+2-x =x+11-x $
$3 x+2 =11 $
$3 x+2-2 =11-2 $
$3 x =9$
$\frac{3 x}{3} =\frac{9}{3}$
$x =3$
$ 3 x-7 =-2 x-9 $
$3 x-7+2 x =-2 x-9+2 x $
$5 x-7 =-9 $
$5 x-7+7 =-9+7 $
$5 x =-2 $
$\frac{5 x}{5} =\frac{-2}{5} $
$x =\frac{-2}{5}$
$ 5 x-1 =7 x-1 $
$5 x-1-7 x =7 x-1-7 x $
$-2 x-1 =-1 $
$-2 x-1+1 =-1+1 $
$-2 x =0 $
$\frac{-2 v}{-2} =\frac{0}{-2} $
$x =0$
$ \mid f .3 x-2+x=6+4 x $
$4 x-2=6+4 x $
$ 4 x-2-4 x=6+4 x-4 x $
$-2=6 \quad(!!!) $
Aucune valeur de $x$ ne convient, il n’y a pas de solution.
Exercice 4:
Résoudre ces équations:
$4x=\frac{3}{5}$
$\frac{2}{3}x=7$
$\frac{6}{5}x=\frac{-7}{11}$
$-7 x=\frac{4}{-3}$
$\frac{-3}{2} x=5$
$\frac{-5}{7} x=\frac{-2}{-3}$
$4 x=\frac{3}{5}$
$4 x \times \frac{1}{4}=\frac{3}{5} \times \frac{1}{4}$
$\mathbf{x}=\frac{3}{20}$
$\frac{2}{3} x=7$
$\frac{2}{3} x \times \frac{3}{2}=7 \times \frac{3}{2}$
$\mathrm{x}=\frac{21}{2}$
$\frac{6}{5} x=\frac{-7}{11}$
$\frac{6}{5} x \times \frac{5}{6}=\frac{-7}{11} \times \frac{5}{6}$
$\mathrm{x}=\frac{-35}{66}$
$-7 x=\frac{4}{-3}$
$-7 x \times \frac{1}{-7}=\frac{4}{-3} \times \frac{1}{-7}$
$\mathbf{x}=\frac{4}{21}$
$\frac{-3}{2} x=5$
$\frac{-3}{2} x \times \frac{-2}{3}=5 \times \frac{-2}{3}$
$\mathbf{x}=\frac{-10}{3}$
$\frac{-5}{7} x=\frac{-2}{-3}$
$\frac{-5}{7} x \times \frac{-7}{5}=\frac{-2}{-3} \times \frac{-7}{5}$
$\mathbf{x}=-\frac{14}{15}$
Exercice 5:
Traduire chaque phrase par une équation, puis trouver le nombre $x$:
«Le double de x vaut $6$ » :
«Le triple de $x$ vaut $33$ » :
« $9$ retranché de $x$ vaut $4$ »:
«Le double de x ajouté à $6 $ vaut $0$ »:
« $6$ retranché du triple de $x$ vaut $9$ »:
«Le quintuple de x ajouté à $2$ vaut $x$ » :
«Le double de la somme de $x$ et de $3$ vaut $x$ » :
«La somme de x et de 6 vaut le triple de la somme de $ x $ et de $1$ »:
Traduire chaque phrase par une équation, puis trouver le nombre $x$:
«Le double de x vaut $6$ » . $\rightarrow 2 x=6$
«Le triple de $x$ vaut $33$ » . $\rightarrow 3 x=33$
« $9$ retranché de $x$ vaut $4$ ». $\rightarrow x-9=4$
«Le double de x ajouté à $6 $ vaut $0$ »: $2 x+6=0$
« $6$ retranché du triple de $x$ vaut $9$ »: $3 x-6=9$
«Le quintuple de x ajouté à $2$ vaut $x$ » $5 x+2=x$
«Le double de la somme de $x$ et de $3$ vaut $x$ » :$2(x+3)=x$
«La somme de x et de 6 vaut le triple de la somme de $ x $ et de $1$ »: $x+6=3(x+1)$
Exercice 6:
«Tester» cette égalité pour retrouver des solutions de l’équation: $5 x-22=34-3 x$.
$a.$ «Tester » pour $x=5$ :
$b.$ «Tester» pour $x=6$ :
$c.$ «Tester» pour $x=7$ :
$a.$ «Tester» pour $x=5$ :
Dans le membre de gauche : $5 x-22=5 \times 5-22=25-22=3$
Dans le membre de droite : $34-3 x=34-3 \times 5=34-15=19$
Les résultats sont différents, la valeur $x=5$ n’est pas solution de cette équation.
$b.$ 《Tester» pour $x=6$ :
Dans le membre de gauche : $5 x-22=5 \times 6-22=30-22=8$
Dans le membre de droite : $34-3 x=34-3 \times 6=34-18=16$
Les résultats sont différents, la valeur $x=6$ n’est pas solution de cette équation.
$c.$ «Tester» pour $x=7$ :
Dans le membre de gauche : $5 x-22=5 \times 7-22=35-22=13$
Dans le membre de droite : $34-3 x=34-3 \times 7=34-21=13$
Les résultats sont égaux, la valeur $x=7$ est solution de cette équation.
Exercice 7:
$1)$ Résoudre les équations suivantes:
$3-2 x-3-x=5-x+18$
$7+5 x=7 x-13$
$2 x=13-4 x$
$2)$ Résoudre les équations suivantes :
$3(x+1)-(x-9)+(x+3)=(x+4)+(x+2)-(11-x)$
$6(x-3)-3(x-2)=4(3-x)+5$
$4(x-4)+25(x+1)=10(2 x+3)+15$
$7(2 x-5)-5(3 x+1)=6(x-4)-7$
$(x-1)(x+3)=(x+4)(x-2)$
$(x+3)(x+5)=(x+1)(x+9)$
$3(x-3)=(x-4)(x+1)-(x-5)(x-1)$
$1)$
• $3-2 x-3-x=5-x+18$
$-2 x-x+x =5+18+3-3 $
$-2 x =23 $
$x =\frac{23}{-2} $
$x =-\frac{23}{2}$
$s =\left\{-\frac{23}{2}\right\}$
• $7+5 x=7 x-13$
$5 x-7 x =-13-7 $
$-2x =-20 $
$x =\frac{-20}{-2} $
$x =10$
$ s=\{10\}$
• $2 x=13-4 x$
$2 x+4 x =13 $
$6 x =13 $
$x =\frac{13}{6}$
$ s=\{\frac{13}{6}\}$
$2)$
• $3(x+1)-(x-9)+(x+3)=(x+4)+(x+2)-(11-x)$
$3 x+3-x+9+x+3=x+4+x+2-11+x$
$3 x+15 =3 x-5 $
$3 x-3 x =-5-15 $
$0 x =-20 $
$0 =-20 $
$ s=\varnothing$
L’équation n’admet pas de solution.
• $6(x-3)-3(x-2)=4(3-x)+5$
$6 x-18-3 x+6=12-4 x+5$
$3 x-12=-4 x+17$
$3 x+4 x=17+12$
$7 x=29$
$x=\frac{29}{7}$
$s=\left\{\frac{29}{7}\right\}$
• $4(x-4)+25(x+1)=10(2 x+3)+15$
$4 x-16+25 x+25 =20 x+30+15 $
$29 x+9 =20 x+45 $
$29 x-20 x =45-9 $
$9 x =36 $
$x =\frac{36}{9} $
$x =4 $
$ s=\{4\}$
• $7(2 x-5)-5(3 x+1)=6(x-4)-7 $
$ 1 4 x – 3 5 – 1 5 x – 5=6 x-24-7 $
$-x-40=6 x-31 $
$-x-6 x=-31+40 $
$-7 x=9 $
$ x=\frac{9}{-7} $
$ x=-\frac{9}{7} $
$ s=\left\{-\frac{9}{7}\right\} $
• $(x-1)(x+3)=(x+4)(x-2) $
$ x^{2}+3 x-x-3=x^{2}-2 x+4 x-8 $
$ x^{2}+2 x-3=x^{2}+2 x-8 $
$ x^{2}-x^{2}+2 x-2 x=-8+3 $
$ 0 x=-5 $
$ 0=-5 $
$ s=\varnothing$
L’équation n’admet pas de solution.
• $(x+3)(x+5) =(x+1)(x+9) $
$x^{2}+5 x+3 x+15 =x^{2}+9 x+x+9 $
$x^{2}+8 x+15 =x^{2}+10 x+9 $
$x^{2}-x^{2}+8 x-10 x =9-15 $
$-2 x =-6$
$x=\frac{-6}{-2}$
$x=\mathbf{3}$
$\mathrm{s}=\{3\}$
• $3(x-3)=(x-4)(x+1)-(x-5)(x-1)$
$3 x-9 =x^{2}+x-4 x-4-\left(x^{2}-x-5 x+5\right) $
$3 x-9 =x^{2}-3 x-4-x^{2}+6 x-5 $
$3 x-9= 3 x-9 $
$3 x-3 x= -9-9 $
$0 x= 0 $
L’équation admet une infinité de solutions.
Exercice 8:
Résoudre les équations suivantes:
$a)$ $\frac{2 x}{3}+5=\frac{2 x}{5}+6$
$b)$ $\frac{3 x}{5}-\frac{2 x-7}{15}+\frac{x}{3}=0$
$c)$ $\frac{3 x-1}{2}-\frac{5 x-2}{3}+\frac{7 x-3}{4}=\frac{24}{5}$
$d)$ $\frac{5 x+1}{5}-\frac{3 x-1}{4}=\frac{2(4 x+1)}{5}$
$e)$ $\frac{2 x+1}{3}-\frac{x-1}{5}=\frac{7 x-12}{15}$
$a)$ $\frac{2 x}{3}+5=\frac{2 x}{5}+6$
$\frac{2 \mathrm{x} \times 5}{15}+\frac{5 \times 15}{15}=\frac{2 \mathrm{x} \times 3}{15}+\frac{6 \times 15}{15}$
$10 x+75=6 x+90$
$10 x-6 x=90-75$
$4 x=15$
$x=\frac{15}{4}$
$s=\left\{\frac{15}{4}\right\}$
$b)$ $\frac{3 x}{5}-\frac{2 x-7}{15}+\frac{x}{3}=0$
$\frac{3 x \times 3}{15}-\frac{2 x-7}{15}+\frac{5 \times x}{15}=0$
$9 x-(2 x-7)+5 x=0$
$9 x-2 x+7+5 x=0$
$12 x=-7$
$x=-\frac{7}{12}$
$s=\left\{-\frac{7}{12}\right\}$
$ c)$ $ \frac{3 x-1}{2}-\frac{5 x-2}{3}+\frac{7 x-3}{4}=\frac{24}{5} $
$\frac{30 \times(3 x-1)}{60}-\frac{20 \times(5 x-2)}{60}+ \frac{15 \times(7 x-3)}{60}=\frac{24 \times 12}{60}$
$ 30(3 x-1)-20(5 x-2)+15(7 x-3)=288 $
$ 90 x-30-100 x+40+105 x-45=288 $
$95 x=288+30+45-40 $
$ 95 x=323 $
$ x=\frac{323}{95} $
$ s=\left\{\frac{323}{95}\right\}$
$d) $ $\frac{5 x+1}{5}-\frac{3 x-1}{4}=\frac{2(4 x+1)}{5} $
$ \frac{4 \times(5 x+1)}{20}-\frac{5 \times(3 x-1)}{20}=\frac{4 \times 2(4 x+1)}{20} $
$ 4(5 x+1)-5(3 x-1)=8(4 x+1) $
$ 20 x+4-15 x+5=32 x+8 $
$ 5 x+9=32 x+8 $
$ 5 x-32 x=8-9 $
$-27 x=-1 $
$ x=\frac{-1}{-27} $
$ x=\frac{1}{27} $
$ S=\left\{\frac{1}{27}\right\}$
$ e)$ $\frac{2 x+1}{3}-\frac{x-1}{5}=\frac{7 x-12}{15} $
$ \frac{5 \times(2 x+1)}{15}-\frac{3 \times(x-1)}{15}=\frac{7 x-12}{15}$
$ 5(2 x+1)-3(x-1)=7 x-12 $
$ 10 x+5-3 x+3=7 x-12$
$ 7 x+8=7 x-12 $
$ 7 x-7 x=-12-8 $
$ 0 x=-20 $
$ 0=-20 $
$ \mathrm{~s}=\varnothing$
Exercice 9:
Un bouquiniste vend des livres à un prix unique de $120 DH$. A la fin de la journée, la recette est de $10200 DH$.
Combien de livres a-t-il vendu aujourd’hui ?
$\rightarrow$ Soit $x$ le nombre de livres vendus. On obtient :
$ x \times 120=10200 $
$ x \times 12=1020 $
$ \frac{x \times 12}{12}=\frac{1020}{12} $
$ x=85$
Le bouquiniste a vendu $85$ livres.
Exercice 10:
Fatima mesure aujourd’hui $1,54 \mathrm{~m}$. Elle a grandi de 7 cm depuis l’été dernier.
Combien mesurait-elle l’été dernier?
$\rightarrow$ Soit $x$ la taille de Fatima l’été dernier :
$x+\mathbf{0 , 0 7} =\mathbf{1}, 54$ \quad(\text { car } 7 $\mathrm{~cm}=0,07 \mathrm{~m}) $
$x+\mathbf{0 , 0 7 – 0 , 0 7} =1,54-0,07 $
$x =1,47$
Fatima mesurait $1,47 \mathrm{~m}$.
Exercice 11:
Driss achète un blouson à $990 DH$, et comme il lui reste de l’argent, il achète 2 T -Shirts. Il dépense $1270 DH$ en tout.
Combien coûte un T-Shirt ?
$\rightarrow$ Soit $x$ le prix d’un T-shirt. On obtient :
$2 x+990 =1270 $
$2 x+990-990 =1270-990$
$2 x =280 $
$\frac{2 x}{2} =\frac{280}{2} $
$x =140$
Un T-shirt coûte $140 DH $
Exercice 12:
Omar voulait s’acheter $3$ bandes dessinées mais une fois au magasin, il en a choisi $ 5$. Cela lui coûtera $180 DH $ de plus que ce qu’il avait prévu.
Combien coûte une bande dessinée ?
$\rightarrow$ Soit $x$ le prix d’une bande dessinée.
5 BD coûtent : $5 x$, et 3 BD coûtent $3 x$.
$5 x =3 x+180 $
$5 x-3 x =3 x+180-3 x $
$2 x =180 $
$\frac{2 x}{2} =\frac{180}{2} $
$x =90$
Une bande dessinée coûte $90 DH$.
Exercice 13:
La somme de deux nombres décimaux est $24$.
Sachant que l’un des nombres est le double de l’autre, trouver ces deux nombres.
$\rightarrow$ Soit $x$ et $yv les nombres cherchés, on décide que $x>y$ (le plus grand de ces deux nombres est $x$ ).
$x+y=24$ ( 1 ère équation)
et $\mathbf{x}=2 \mathbf{y} \quad $ (2 ème équation)
Dans la 1ère équation, on remplace $x$ par la valeur $2y$ (puisque $x=2 y$ ):
$ 2 y+y=24 $
$ 3 y=24 $
$ \frac{3 y}{3}=\frac{24}{3} $
$ y=8$
Or $x=2 y$
donc : $x=2 y=2 \times 8=16$
Les nombres cherchés sont $8$ et $16$.
Exercice 14:
La somme de trois nombres consécutifs est $24$.
Trouver ces trois nombres.
$\rightarrow$ Soit $x$ le premier nombre.
Le suivant de $x$ est : $x+1$.
Le suivant du suivant de $x$ est : $x+2$.
Ainsi :
$x+(x+1)+(x+2) =24 $
$x+x+1+x+2 =24 $
$3 x+3 =24 $
$3 x+3-3 =24-3 $
$3 x =21 $
$\frac{3 x}{3} =\frac{21}{3} $
$x =7$
Les nombres consécutifs cherchés sont $7,8,9$.
Exercice 15:
Voici la règle d’un jeu :
$\rightarrow$ Si on gagne, on reçoit $100DH$.
$\rightarrow$ Si on perd, on donne $40DH$.
J’ai joué à ce jeu $25$ fois, et j’ai perdu $20 DH$ en tout.
Combien de fois ai-je gagné ?
$\rightarrow$ Soit $x$ le nombre de fois où j’ai gagné.
A $100 DH$ la victoire, cela m’a rapporté : $x \times 100 DH$
J’ai joué 25 fois, donc j’ai perdu : $25-x$ fois.
A $40 DH$ la défaite, cela m’a coûté : $-(25-x) \times 40DH$
En tout j’ai perdu $20 DH$, donc mon bilan est : $-20 DH$
Ainsi :
$x \times 100-(25-x) \times 40 =-20 $
$100 x-1000+40 x =-20 $
$140 x-1000 =-20 $
$140 x-1000+1000 =-20+1000 $
$140 x =980 $
$\frac{140 x}{140} =\frac{980}{140} $
$x =70$
En tout, j ‘ai gagné $7$ fois et perdu $18$ fois.
Les équations 2AC exercices corrigés