Les équations – Cours
LES ÉQUATIONS
Cours complet avec exercices corrigés
Matière : Mathématiques
Niveau : 1APIC
COMPÉTENCES EXIGIBLES
- Reconnaître l’inconnue dans une situation
- Reconnaître des techniques simples de résolution d’une équation
- Résoudre les équations : \( ax = b \) et \( x + b = c \)
- Vérifier les solutions obtenues
- Mettre un problème en équation
I. Propriétés des égalités
Activité 1 : Propriétés des égalités
On pose que \( a = b \). Est-ce que :
- \( a + 5 = b + 5 \) ? Oui
- \( a – 7 = b – 7 \) ? Oui
- \( a \times (-7) = b \times (-7) \) ? Oui
- \( \frac{a}{3} = \frac{b}{3} \) ? Oui
Propriété 1 : Ajout/soustraction
Si on ajoute (ou soustrait) un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité équivalente.
Exemple 1 :
On a \( -17 = -17 \)
Donc \( -17 + 29 = -17 + 29 \) soit \( 12 = 12 \)
Exemple 2 :
Si \( x + 3 = -7 \)
Alors \( x + 3 + (-3) = -7 + (-3) \)
C’est-à-dire \( x = -10 \)
Propriété 2 : Multiplication/division
Si on multiplie par un même nombre (ou on divise par un même nombre non nul) les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité équivalente.
Exemple 1 :
On a \( 11 = 11 \)
Donc \( 11 \times (-4) = 11 \times (-4) \) soit \( -44 = -44 \)
Exemple 2 :
Si \( 5x = -15 \)
Alors \( 5x \times \frac{1}{5} = -15 \times \frac{1}{5} \)
C’est-à-dire \( x = -3 \)
II. Équations du premier degré à une inconnue
Définition
On appelle équation du 1er degré à une inconnue toute égalité qui peut s’écrire sous la forme \( a + x = b \) ou \( ax = b \) où \( a \) et \( b \) sont deux nombres connus et \( x \) une inconnue.
Exemples :
\( x + 11 = 22 \)
\( 1 – y = 5 \)
\( 3x = 12 \)
\( 4x + 5 = 16 \)
\( 5t = 0 \)
Résoudre une équation
Définition : Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à l’inconnue pour que l’égalité soit vérifiée. Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.
Règle 1 : Équation \( x + b = c \)
La solution de l’équation \( x + b = c \) est le nombre relatif \( x = c – b \).
Exemple 1 :
La solution de \( x + 4 = 2 \) est \( x = 2 – 4 = -2 \)
Exemple 2 :
La solution de \( -5 + x = -9 \) est \( x = -9 + 5 = -4 \)
Exercice d’application :
Résoudre les équations suivantes :
\( x – 3 = 7 \)
\( -3 + x = 3 \)
\( x + 11 = -23 \)
\( 7 + x = -4 \)
Règle 2 : Équation \( ax = b \)
La solution de l’équation \( ax = b \) (avec \( a \neq 0 \)) est le nombre relatif \( x = \frac{b}{a} \).
Exemple 1 :
La solution de \( 5x = 2 \) est \( x = \frac{2}{5} \)
Exemple 2 :
La solution de \( -4x = 8 \) est \( x = \frac{8}{-4} = -2 \)
Exemple 3 :
La solution de \( 3x = 0 \) est \( x = \frac{0}{3} = 0 \)
Exercice d’application :
Résoudre les équations suivantes :
\( 3x = 7 \)
\( -7x = -21 \)
\( -5x = 30 \)
\( -18x = 3 \)
III. Applications et problèmes
Méthodologie pour résoudre un problème
- Choix de l’inconnue
- Mise en équation du problème
- Résolution de l’équation
- Conclusion du problème
- Vérification du résultat
Exemple : Problème d’achat
Problème : Imad a acheté une calculatrice et un livre. Le livre a coûté deux fois plus cher que la calculatrice. Imad a payé tout 45 DH. Calculer le prix de chaque article.
Solution :
Étape 1 : Choix de l’inconnue
Soit \( x \) le prix de la calculatrice.
Donc \( 2x \) est le prix du livre.
Étape 2 : Mise en équation
\( x + 2x = 45 \)
Étape 3 : Résolution
\( x + 2x = 45 \)
\( 3x = 45 \)
\( x = \frac{45}{3} = 15 \)
Étape 4 : Conclusion
Prix de la calculatrice : 15 DH
Prix du livre : \( 2 \times 15 = 30 \) DH
Exercices d’application
Exercice 1 : Résoudre
\( 2 + 3x = -3 \)
\( 2x + 3 = -2x + 1 \)
\( 1 – 5x = 2 + 4x \)
\( 1 + 2x = 4 \)
\( 6 + \frac{3}{2}x = 3 \)
Exercice 2 : Géométrie
Quelle est la longueur (en cm) d’un rectangle de largeur 12 cm sachant que son aire est égale à 36 cm² ?
Exercice 3 : Problème
Quel est le nombre tel que son double augmenté de 5 soit égal à son triple diminué de 7 ?
Exercice 4 :
Dans chaque cas, \( x \) désigne un nombre relatif tel que l’égalité soit vraie :
1) \( x – 1 = 11 \)
2) \( x + \frac{4}{7} = \frac{1}{2} \)
3) \( 2x = x + 9 \)
Corrigés (indications)
Exercice 1 : \( 2 + 3x = -3 \) ⇒ \( 3x = -5 \) ⇒ \( x = -\frac{5}{3} \)
Exercice 2 : \( 12 \times L = 36 \) ⇒ \( L = 3 \) cm
Exercice 3 : Soit \( x \) le nombre ⇒ \( 2x + 5 = 3x – 7 \) ⇒ \( x = 12 \)
Exercice 4 : 1) \( x = 12 \) ; 2) \( x = \frac{1}{2} – \frac{4}{7} = -\frac{1}{14} \) ; 3) \( x = 9 \)
Synthèse et conseils
- Propriété 1 : On peut ajouter/soustraire le même nombre aux deux membres d’une égalité
- Propriété 2 : On peut multiplier/diviser par le même nombre (non nul) les deux membres d’une égalité
- Règle 1 : \( x + b = c \) ⇒ \( x = c – b \)
- Règle 2 : \( ax = b \) ⇒ \( x = \frac{b}{a} \) (avec \( a \neq 0 \))
- Pour les problèmes : Suivre systématiquement les 5 étapes de la méthodologie
Les équations – Cours