les polynômes – Exercices corrigés
Exercice 1:
Déterminer parmi les expressions suivantes ceux qui sont des polynômes et déterminer si c’est possible leurs degrés : $a \in \mathbb{R}$
$P(x)=\frac{1}{4} x^{3}+\frac{\sqrt{2}}{2} x^{2}-\sqrt{3}$
$ Q(x)=2 x^{2}-x-\sqrt{x}$
$R(x)=5\left|x^{2}\right|+4|x|-5$
$M(x)=\frac{5}{3} x^{2}+x+2-7 x^{4}$
$N(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+3 \quad $
$ O(x)=4 $
$ E(x)=(a-1) x^{4}+x^{2}+x+1$
$P(x)$ est un polynôme et $d^{\circ} P=3$
$Q(x)$ et $R(x)$ et $N(x)$ ne sont pas des polynômes
$M(x)$ est un polynôme et $d^{\circ} M=4$
$O(x)$ est un polynôme et $d^{\circ} O=0$
$E(x)$ est un polynôme :
• Si $a-1 \neq 0$ c.à.d $a \neq 1$ alors $d^{\circ} E=4$
• Si $a-1 \neq 0$ c.à.d $a=1$ alors $d^{\circ} E=2$
Exercice 2:
Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que : $P(0)=P(1)=5$ et $P(-2)=3$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 3:
Lesquels des polynômes ci-dessous sont égaux ? Expliquez
$P(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+x-3$
$Q(x)=2 x^{2}(x-2)+(x-1)(2 x+3) \quad$
$R(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-2 x-3$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 4:
Soit : $P(x)=x^{4}-2 x^{3}+x^{2}-1$ et $Q(x)=a x^{5}+(b+c) x^{4}+(c+d) x^{3}+d x^{2}+e$
Déterminer $a , b , c$ et $d$ pour que: $P=Q$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 5:
Soit les polynômes suivants :
$P(x)=12 x^{4}-36 x^{3}+47 x^{2}-30 x+7$
$Q(x)=\left(2 x^{2}-3 x+1\right)\left(a x^{2}+b x+c\right)$
Déterminer $a , b , c$ pour que: $P=Q$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 6:
Etudier l’égalité des polynômes dans les cas suivants :
1) $P(x)=x^{3}+2 x^{2}(x-1)+x\quad$ et $\quad Q(x)=x^{2}(3 x-2)+x$
2) $P(x)=(x-1)^{3} \quad$ et $\quad Q(x)=x^{3}-3 x^{2}-3 x+1$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 7:
I- Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux polynômes
• Calculer dans chacun des cas suivants :
$P(x)+Q(x) \quad ; \quad P(x)-Q(x) \quad; \quad 3 P(x)-2 Q(x)$
1) $P(x)=x^{3}+2 x^{2}-1 \quad ; \quad Q(x)=3 x^{4}-x^{3}+x$
2) $P(x)=x^{5}-x^{2}+3 \quad ; \quad Q(x)=-x^{5}+x^{2}-5$
II- Calculer $P(x) \times Q(x)$ et $(P(x))^{2}$ dans chacun des cas
suivants et comparer : $\operatorname{deg}(\mathrm{PQ})$ et $deg (P) +deg (Q)$
1) $P(x)=x^{2}-1 \quad ; \quad Q(x)=x^{2}+2 x-3$
2) $P(x)=x^{4}-x^{2}+2 \quad ; \quad Q(x)=3 x+2$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 8:
Soit le polynôme : $P(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 x+6$
Est-ce que les nombres suivants sont des racines du polynôme $P(x)$ (justifier) ? $1 ; 2 ; 3$; -2
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 9:
Effectuer la division euclidienne de $P(x)=x^{3}+3 x^{2}-2 x-6$ par : $x+3$ et déterminer le quotient et le reste.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 10:
Soit le polynôme : $P(x)=2 x^{2}-x-1$
1) Vérifier que 1 est racine du polynôme $P(x)$
2) Factoriser $P(x)$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 11:
Soit le polynôme : $P(x)=x^{3}+3 x^{2}-2 x-6$
1) calculer $P(-3)$ et que peut-on dire ?
2) déterminer le le polynôme $Q(x)$ tel que : $P(x)=(x+3) Q(x)$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 12:
Soit le polynôme : $P(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 x+6$
1) Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $x+2$ et déterminer le quotient $Q(x)$ et le reste.
2) montrer que $Q(x)$ est divisible par $x-3$.
3) en déduire une factorisation du polynôme $P$ on polynômes de 1ere degrés.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 13:
Soit: $P(x)=x^{3}-3 x^{2}-6 x+8$
1) Montrer que1 est racine du polynôme $P$
2) Montrer que $P(x)=(x-1) Q(x)$ Où $Q(x)$ est un polynôme a déterminer
3) Montrer que -2 est racine du polynôme $Q$
4) En déduire une factorisation du polynôme $P$ on polynômes de 1ere degrés
5) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 14:
Soit: $P(x)=2 x^{3}+3 x^{2}+a x+b$
Avec $\quad a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$
1) Déterminer $a$ et $b$ tels que :
a) $P(x)$ soit divisible par $x-2$
b) Le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x-1$ est -12
2) Factoriser $P(x)$ dans ce cas.
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 15:
Soit: $P(x)=x^{3}-3 x+2$
1)a) calculer $P(1)$ et déterminer $Q(x)$ tel que :
$P(x)=(x-1) Q(x)$
b) Vérifier que $P(x)=(x+2)(x-1)^{2}$
2) Soit $\alpha$ un réel tel que : $1<\alpha<2$
Donner un encadrement de $\alpha+2$ et de : $(\alpha-1)^{2}$
Et en déduire que : $0<P(\alpha)<4$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 16:
Soit: $P(x)=2 x^{4}-9 x^{3}+14 x^{2}-9 x+2$
1) Vérifier que 0 n’est pas racine du polynôme $P(x)$
2) Montrer que si $\alpha$ est racine du polynôme $P(x)$ alors $\frac{1}{\alpha}$
Est aussi racine du polynôme $P(x)$
3) Vérifier que 2 est racine du polynôme $P(x)$
4) En Effectuant la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$
Trouver un polynôme $Q(x)$ tel que :
$P(x)=(x-2) Q(x)$
5) En déduire que $Q\left(\frac{1}{2}\right)=0$
6) Déterminer les réels $a ; b ; c$ tel que :
$Q(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(a x^{2}+b x+c\right)$
7) En déduire une factorisation du polynôme $P$ on polynômes de 1ere degrés
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 17:
Soit le polynôme suivant (E) : $P(x)=x^{3}-\sqrt{3} x^{2}-4 x+4 \sqrt{3}$
1) Montrer que -2 est racine du polynôme $P(x)$
2) Montrer que: $P(x)=(x+2)\left(x^{2}-(\sqrt{3}+2) x+2 \sqrt{3}\right)$
3) On pose : $Q(x)=x^{2}-(\sqrt{3}+2) x+2 \sqrt{3} \quad$ et soit $\Delta$ son discriminant
a) Vérifier que : $\Delta=(\sqrt{3}-2)^{2}$
b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $Q(x)=0$
4) En déduire les solutions de l’équation : $x-(\sqrt{3}+2) \sqrt{x}+2 \sqrt{3}=0$
5) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$
6) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x) \geq 0$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
Exercice 18:
Soit le polynôme : $P(x)=2 x^{3}-x^{2}-13 x-6$
1) Quels sont les diviseurs entiers relatifs du terme constant 6 ?
2) Déterminer (en cas d’existence) les racines relatives du polynôme $P(x)$
3) Factoriser le polynôme $P(x)$ en un produit de monômes
4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x) \geq 0$
🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée en texte .
les polynômes – Exercices corrigés