L’ordre dans IR
Exercice 1:
1) Comparer $a \quad $ et $ \quad b$
$a=2+\sqrt{3} \quad $ et $ \quad b=2 \sqrt{3}$
2) Comparer $2 a $ et $a^{2}+1$ avec $ \quad a \in \mathbb{R}$
1) Comparer $a$ et $b$
$a=2+\sqrt{3} \quad$ et $ \quad b=2 \sqrt{3}$
$a-b=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$ nombre positif
c.à.d. : $a-b \in \mathbb{R}^{+}$
Donc : $a \succ b$
2) Comparer $2 a $ et $ a^{2}+1$ avec $a \in \mathbb{R}$
$\left(a^{2}+1\right)-2 a=a^{2}-2 a+1=(a-1)^{2} \geq 0$
Donc: $a^{2}+1 \geq 2 a$ si $a \in \mathbb{R}$
Exercice 2:
I) soient $a$ et $b$ deux réels tel que : $a \leq b$ comparer :
1) $5 a$ et $5 b$
2) $-13 a$ et $-13 b$
II ) soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tel que : $a \leq b$ comparer:
1) $a^{2}$ et $b^{2}$
2) $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$
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Exercice 3:
Soit $n$ un entier naturel non nul, comparer $a$ et $b$ dans les cas suivants :
1) $a=\frac{1}{n} \quad ; \quad b=\frac{2}{n+1}$
2) $a=\frac{n}{n+1} \quad ；\quad b=\frac{n+1}{n+2}$
3) $a=\frac{n}{\sqrt{n+1}} \quad ; \quad b=\sqrt{n+1}$
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Exercice 4:
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
1) Montrer que $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$
2) Développer $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$
3) En déduire que $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geq 4$
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Exercice 5:
I) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \geq 1$ et $b \geq 1$.
• Montrer que $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1} \leq \sqrt{a b}$
II) Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $x+y=1$
1) Montrer que $x y \leq \frac{1}{4}$
2) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}:\left(1+\frac{1}{x^{n}}\right)\left(1+\frac{1}{y^{n}}\right) \geq\left(1+2^{n}\right)^{2}$
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Exercice 6:
$x$ et $y$ deux réels tels que : $0<x<y$
1) Montrer que $x^{2}<x y<y^{2}$
2) Montrer que si $x y=15$ alors $x<\sqrt{15}<y$
3) Montrer que $\frac{931}{241}<\sqrt{15}<\frac{3615}{931}$
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Exercice 7:
$x \in[1 ; 3]$ et $y \in[2 ; 4]$
1) Trouver un encadrement de : $x^{2}$ et $y^{2}$ et $2 x$ et $3 y$ et $-x$ et $-y$ et $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ et $\frac{x}{y}$
2)Trouver un encadrement de: $A=x^{2}+y^{2}+2 x-3 y$ et $B=\frac{2 x-1}{x+1}$
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Exercice 8:
$x \in[-3 ; 1]$ et $y \in[-6 ;-2]$
Trouver un encadrement de :
1) $ x+y $
2) $ x-y $
3) $ x^{2}$
4) $y^{2}$
5) $x \times y$
6) $\frac{x}{y}$
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Exercice 9:
Représenter chaque inégalité ou encadrement par l’intervalle qui convient ;
1) $x \geq-3$
2) $ x<5$
3) $1 \leq 2 x \leq 4$
4) $0<6 x-2 \leq 10$
5) $-8 \leq 2-2 x \leq 6$
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Exercice 10:
Simplifier si c’est possible :
1) $[2 ; 5] \cap[4 ; 6]$
2) $[2 ; 5] \cup[4 ; 6]$
3) $]-\infty ; 2] \cap[-1 ;+\infty[$
4) $]-\infty ; 2] \cup[-1 ;+\infty[$
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Exercice 11:
calculer $I \cap J$ et $I \cup J$ dans les cas suivants :
• $I =[-1,+\infty[ \quad $ et $ \quad J=]-3,7]$
• $I =[4,10] \quad $ et $ \quad J=]-\infty,5[$
• $I =[0,10[ \quad $ et $ \quad J=[-5,-1]$
• $I =[-\frac{2}{3},2] \quad $ et $ \quad J=]-1,\frac{3}{2}[$
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Exercice 12:
On considéré l’intervalle $I=[-3 ; 4]$
Trouver le milieu et l’amplitude et le rayon de intervalle $I$
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Exercice 13:
Calculer les expressions suivantes (éliminer le signe de valeur absolue)
1) $|-3|$
2) $|3|$
3) $\left|-\frac{3}{5}\right|$
4) $|\sqrt{5}-2|$
5) $|1-\sqrt{3}|$
6) $|\pi-4|$
7) $|\sqrt{2}-\sqrt{7}|$
8) $|3-2 \sqrt{3}|$
9) $A=|4-2 \sqrt{3}|-|5-3 \sqrt{3}|+|9-5 \sqrt{3}|$
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Exercice 14:
Résoudre les équations suivantes :
1) $|x-1|=5$
2) $|2 x+1|=|x-3|$
3) $|x+2|=-1$
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Exercice 15:
1) Calculer $(3 \sqrt{2}-5)^{2}$
2) Comparer : $3 \sqrt{2}$ et 5
3) Simplifier $\sqrt{43-30 \sqrt{2}}$
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Exercice 16:
Résoudre les inéquations suivantes :
1) $|x-1| \leq 2$
2) $|x+2| \geq 3$
3) $|2 x+1| \prec 6$
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Exercice 17:
Soit $x$ et $y$ deux réels tq : $x \geq \frac{1}{2}$ et $y \leq 1$ et $x-y=3$
1) Calculer: $E=\sqrt{(2 x-1)^{2}}+\sqrt{(2 y-2)^{2}}$
2) Montrer que: $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$
3) Calculer: $F=|x+y-5|+|x+y+2|$
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Exercice 18:
Soit $x$ un nombre réel.
1) Vérifier que : $x^{2}-2 x=(x-1)^{2}-1$
2) Soit $x$ de l’intervalle $[1 ; 3]$
Montrer que: $-1 \leq x^{2}-2 x \leq 3$
3) a) Sachant qu’on a : $x \in[1 ; 3]$
Montrer que : $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{x^{2}-2 x+3} \leq \frac{3}{2}$
b) En déduire que : $\left|\frac{3}{x^{2}-2 x+3}-1\right| \leq \frac{1}{2}$
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Exercice 19:
Sachant que: $2,645 \leq \sqrt{7} \leq 2,646$
a) Que représente 2,645 pour $\sqrt{7}$ ?
b) Que représente 2,646. pour $\sqrt{7}$ ?
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Exercice 20:
Sachant que : $1,38<\sqrt{2}<1,42$
Montrer que : $|\sqrt{2}-1,40|<0,02$ , Que peut-on déduire ?
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Exercice 21:
Soit $a \geq 1$ on pose : $A=\sqrt{1+\frac{1}{a}}$
1) Montrer que : $a(A+1)(A-1)=1$
2) a) Montrer que: $2 \leq A+1 \leq 3$
b) En déduire que : $1+\frac{1}{3 a} \leq A \leq 1+\frac{1}{2 a}$
3) Montrer que : 1,1 est une valeur approchée de $\sqrt{1,2}$ a $\frac{1}{30}$ prés
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Exercice 22:
Soit $x$ un nombre réel .
On pose $E=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
1) Montrer que : $E-1=\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}}$
2) En déduire que : $|E-1| \leq \frac{1}{2} x^{2}$
3) Trouver une valeur approchée du nombre $\frac{1}{\sqrt{1,0004}}$ d’amplitude $2 \times 10^{-4}$
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Exercice 23:
1) a) Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}-\{1\}$ on a : $\frac{1}{1-x}=1+x+\frac{x^{2}}{1-x}$
b) En déduire que : si $|x| \leq \frac{1}{2}$ alors $\left|\frac{1}{1-x}-(1+x)\right| \leq 2 x^{2}$
2) Donner une valeur approchée du nombre : $\frac{1}{0,99}$ à $2 \times 10^{-4}$ près
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Exercice 24:
Soient $a$ et $b$ deux réels tel que : $a \in[0 ; 2]$ et $b \in[0 ; 2]$
1) Montrer que : $\frac{3}{16}|a-b| \leq\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right| \leq \frac{3}{4}|a-b|$
2) Sachant que : $0.866 \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \leq 0.867$ et $0.707 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0.708$
Donner une valeur approchée du réel $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Par défaut et excès à $2 \times 10^{-3}$ près
3) En déduire que : $\left|\frac{3}{2+\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{3}{2+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right| \leq 1,2 \times 10^{-1}$
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