L’ordre dans IR
Exercice 1:
1) Comparer $a \quad $ et $ \quad b$
$a=2+\sqrt{3} \quad $ et $ \quad b=2 \sqrt{3}$
2) Comparer $2 a $ et $a^{2}+1$ avec $ \quad a \in \mathbb{R}$
1) Comparer $a$ et $b$
$a=2+\sqrt{3} \quad$ et $ \quad b=2 \sqrt{3}$
$a-b=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$ nombre positif
c.à.d. : $a-b \in \mathbb{R}^{+}$
Donc : $a \succ b$
2) Comparer $2 a $ et $ a^{2}+1$ avec $a \in \mathbb{R}$
$\left(a^{2}+1\right)-2 a=a^{2}-2 a+1=(a-1)^{2} \geq 0$
Donc: $a^{2}+1 \geq 2 a$ si $a \in \mathbb{R}$
Exercice 2:
I) soient $a$ et $b$ deux réels tel que : $a \leq b$ comparer :
1) $5 a$ et $5 b$
2) $-13 a$ et $-13 b$
II ) soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tel que : $a \leq b$ comparer:
1) $a^{2}$ et $b^{2}$
2) $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$
I ) soient $a$ et $b$ deux réels tel que : $a \leq b$
1) on compare $5 a$ et $5 b$
On a : $5 a-5 b=5(a-b)$
Et puisque $a \leq b$
Alors $a-b \leq 0$
Et on a : $5>0$
Donc $5 a \leq 5 b$
2) on compare $-13 a$ et $-13 b$
On a : $-13 a-(-13 b)=-13 a+13 b=-13(a-b)$
Et puisque $a \leq b$
Alors $a-b \leq 0$
Et on a : $-13<0$
Alors $-13(a-b)>0$
Donc $-13 a \geq-13 b$
II ) soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tel que : $a \leq b$
1) On compare : $a^{2}$ et $b^{2}$
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
On a : $a$ et $b$ deux réels strictement positifs donc $a+b \geq 0$
Et puisque $a \leq b$
Alors $a-b \leq 0$
Alors : $(a-b)(a+b) \leq 0$
D’où $\quad a^{2} \leq b^{2}$
2) on compare : $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$
$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}^{2}-\sqrt{b}^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
On a : $a \leq b$ alors $a-b \leq 0$
Et puisque $\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq 0$ car c’est la somme de deux nombres positifs
Donc $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \leq 0$
D’où $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$
Exercice 3:
Soit $n$ un entier naturel non nul, comparer $a$ et $b$ dans les cas suivants :
1) $a=\frac{1}{n} \quad ; \quad b=\frac{2}{n+1}$
2) $a=\frac{n}{n+1} \quad ；\quad b=\frac{n+1}{n+2}$
3) $a=\frac{n}{\sqrt{n+1}} \quad ; \quad b=\sqrt{n+1}$
Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
1) $a-b=\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}=\frac{n+1-2 n}{n(n+1)}=\frac{1-n}{n(n+1)}$
On a $n \in \mathbb{N}^{*}$ donc $n>0$ et $n \geq 1$
Donc $n(n+1)>0$ et $1-n \leq 0$
Donc $\frac{1-n}{n(n+1)} \leq 0$
Donc $a-b \leq 0$
Et par suite $a \leq b$
2) $a-b=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n(n+2)-(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^{2}+2 n-n^{2}-2 n-1}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}$
On a $n \in \mathbb{N}^{*}$ donc $n>0$
Donc $(n+1)(n+2)>0$
Donc $\frac{-1}{(n+1)(n+2)}<0$
Donc $a-b<0$
Et par suite $a<b$
3) $a-b=\frac{n}{\sqrt{n+1}}-\sqrt{n+1}=\frac{n-n-1}{\sqrt{n+1}}=\frac{-1}{\sqrt{n+1}}$
On a $\sqrt{n+1}>0$
Donc $\frac{-1}{\sqrt{n+1}}<0$
Exercice 4:
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
1) Montrer que $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$
2) Développer $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$
3) En déduire que $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geq 4$
1) Soient a et b deux réels strictement positifs
$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-2= \frac{a^{2}+b^{2}-2 a b}{a b} =\frac{(a-b)^{2}}{a b}$
On a $(a-b)^{2} \geq 0$ et $a b>0$
Donc $\frac{(a-b)^{2}}{a b} \geq 0$
Donc $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-2 \geq 0$
Et pare suite $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$ pour tous a et b deux réels strictement positifs.
2) $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2$
3) Soient a et $b$ deux réels strictement positifs
D’après le résultat de la question (1), on a : $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$
Donc $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2 \geq 4$
Et par suite $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geq 4$ pour tous a et b deux réels strictement positifs.
Exercice 5:
I) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \geq 1$ et $b \geq 1$.
• Montrer que $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1} \leq \sqrt{a b}$
II) Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $x+y=1$
1) Montrer que $x y \leq \frac{1}{4}$
2) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}:\left(1+\frac{1}{x^{n}}\right)\left(1+\frac{1}{y^{n}}\right) \geq\left(1+2^{n}\right)^{2}$
I) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \geq 1$ et $b \geq 1$.
$(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}-(\sqrt{a b})^{2} =a-1+2 \sqrt{(a-1)(b-1)}+b-1-a b$
$=a-a b+b-1+2 \sqrt{(a-1)(b-1)}-1 $
$= a(1-b)-(1-b)+2 \sqrt{(a-1)(b-1)}-1 $
$ =-(a-1)(b-1)+2 \sqrt{(a-1)(b-1)}-1 $
$= -[(a-1)(b-1)-2 \sqrt{(a-1)(b-1)}+1] $
$ =-[\sqrt{(a-1)(b-1)}-1]^{2}$
Puisque $-[\sqrt{(a-1)(b-1)}-1]^{2} \leq 0$
Alors $(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}-(\sqrt{a b})^{2} \leq 0$
Donc $(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2} \leq(\sqrt{a b})^{2}$
Et par suite $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1} \leq \sqrt{a b}$ pour tous a et b deux réels strictement positifs.
$(\mathrm{Rq}: \sqrt{a-1}+\sqrt{b-1} \geq 0$ et $\sqrt{a b} \geq 0)$
II) -1) Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $x+y=1$
On a $0 \leq(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}$
Donc $0 \leq x+y-2 \sqrt{x y}$
Donc $2 \sqrt{x y} \leq x+y$
Et puisque $x+y=1$
Alors $2 \sqrt{x y} \leq 1$
Donc $4 x y \leq 1$
D’où $x y \leq \frac{1}{4}$
2) Soit $n \in \mathbb{N}$ :
On a : $\left(1+\frac{1}{x^{n}}\right)\left(1+\frac{1}{y^{n}}\right)=1+\frac{1}{x^{n}}+\frac{1}{y^{n}}+\frac{1}{(x y)^{n}}=1+\frac{x^{n}+y^{n}}{(x y)^{n}}+\frac{1}{(x y)^{n}}$
$\checkmark$ D’après le résultat de la question (1) on $\mathrm{a}: x y \leq \frac{1}{4}$
Donc $\frac{1}{(x y)^{n}} \geq 2^{2 n}$ $\checkmark$
On sait que $\left(\sqrt{x^{n}}-\sqrt{y^{n}}\right)^{2} \geq 0$
Donc $x^{n}+y^{n} \geq 2 \sqrt{(x y)^{n}}$
Donc $\frac{x^{n}+y^{n}}{(x y)^{n}} \geq \frac{2}{\sqrt{(x y)^{n}}}$
Et en utilisant ( $*$ ) : Il est clair que : $\frac{2}{\sqrt{(x y)^{n}}} \geq 2 \times 2^{n}$
D’où $\frac{x^{n}+y^{n}}{(x y)^{n}} \geq 2 \times 2^{n}$ (**)
$\checkmark$ D’après ( $*$ )et ( $* *): 1+\frac{x^{n}+y^{n}}{(x y)^{n}}+\frac{1}{(x y)^{n}} \geq 1+2 \times 2^{n}+2^{2 n}$
D’où $\left(1+\frac{1}{x^{n}}\right)\left(1+\frac{1}{y^{n}}\right) \geq\left(1+2^{n}\right)^{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exercice 6:
$x$ et $y$ deux réels tels que : $0<x<y$
1) Montrer que $x^{2}<x y<y^{2}$
2) Montrer que si $x y=15$ alors $x<\sqrt{15}<y$
3) Montrer que $\frac{931}{241}<\sqrt{15}<\frac{3615}{931}$
1) Soient $x$ et $y$ deux réels tels que : $0<x<y$
On a $x<y$ et $x>0$
donc $x \times x<x \times y$
donc $x^{2}<x y$
et on a $x<y$ et $y>0$
donc $x \times y<y \times y$
donc $x y<y^{2}$
et par suite $x^{2}<x y<y^{2}$
2) Supposons que $x y=15$
D’après le résultat de la question 1), on a $x^{2}<x y<y^{2}$
Donc $x^{2}<15<y^{2}$
Donc $\sqrt{x^{2}}<\sqrt{15}<\sqrt{y^{2}}$
Donc $|x|<\sqrt{15}<|y|$
Et puisque $x>0$ et $y>0$
Alors $x<\sqrt{15}<y$
3) Posons $x=\frac{931}{241}$ et $y=\frac{3615}{931}$
On a $0<x<y$ et $x y=\frac{931}{241} \times \frac{3615}{931}=15$
Donc d’après le résultat de la question (2), on a : $\frac{931}{241}<\sqrt{15}<\frac{3615}{931}$.
Exercice 7:
$x \in[1 ; 3]$ et $y \in[2 ; 4]$
1) Trouver un encadrement de : $x^{2}$ et $y^{2}$ et $2 x$ et $3 y$ et $-x$ et $-y$ et $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ et $\frac{x}{y}$
2)Trouver un encadrement de: $A=x^{2}+y^{2}+2 x-3 y$ et $B=\frac{2 x-1}{x+1}$
1) $x \in[1 ; 3]$ ssi $1 \leq x \leq 3$ et $y \in[2 ; 4]$ ssi $2 \leq y \leq 4$
• On a $1 \leq x \leq 3$ donc $1^{2} \leq x^{2} \leq 3^{2}$ donc $1 \leq x^{2} \leq 9$
• On a $2 \leq y \leq 4$ donc $2^{2} \leq y^{2} \leq 4^{2}$ donc $4 \leq y^{2} \leq 16$
• On a $1 \leq x \leq 3$ donc $2 \times 1 \leq 2 x \leq 2 \times 3$ donc $2 \leq 2 x \leq 6$
• On a $2 \leq y \leq 4$ donc $3 \times 2 \leq 3 \times y \leq 3 \times 4$
Donc $6 \leq 3 y \leq 12$
• On a $1 \leq x \leq 3$ donc $-3 \leq-x \leq-1$
• On a $2 \leq y \leq 4$ donc $-4 \leq-y \leq-2$
• On a $1 \leq x \leq 3$ donc $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x} \leq 1$
• On a $2 \leq y \leq 4$ donc $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}$
• On a $\frac{x}{y}=x \times \frac{1}{y}$
Donc $1 \times \frac{1}{4} \leq x \times \frac{1}{y} \leq 3 \times \frac{1}{2}$
Donc $\frac{1}{4} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{3}{2}$
2) Encadrement de $A=x^{2}+y^{2}+2 x-3 y$
On a : $6 \leq 3 y \leq 12$
Donc $-12 \leq-3 y \leq-6$
On fait la somme membre a membre on trouve :
$1+4+2-12 \leq x^{2}+y^{2}+2 x-3 y \leq 9+16+6-6$
Donc $-5 \leq A \leq 25$ .
Encadrement de $B=\frac{2 x-1}{x+1}$
On a $B=\frac{2 x-1}{x+1}=(2 x-1) \times \frac{1}{x+1}$
et on a $1 \leq x \leq 3$ ⇒ $2 \leq 2 x \leq 6$
Donc $2-1 \leq 2 x-1 \leq 6-1$
Alors $1 \leq 2 x-1 \leq 5$
et on a $1 \leq x \leq 3$
Donc $2 \leq x+1 \leq 4$
Donc $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{x+1} \leq \frac{1}{2} $
On fait la produit membre a membre de (3) et 4 on trouve :
$1 \times \frac{1}{4} \leq(2 x-1) \times \frac{1}{x+1} \leq 5 \times \frac{1}{2}$
Donc $\frac{1}{4} \leq B \leq \frac{5}{2}$ est un encadrement du réel $B$.
Exercice 8:
$x \in[-3 ; 1]$ et $y \in[-6 ;-2]$
Trouver un encadrement de :
1) $ x+y $
2) $ x-y $
3) $ x^{2}$
4) $y^{2}$
5) $x \times y$
6) $\frac{x}{y}$
1) $x \in[-3 ; 1]$ ssi $-3 \leq x \leq 1$
$y \in[-6 ;-2]$ ssi $-6 \leq y \leq-2$
donc $(-3)+(-6) \leq x+y \leq 1+(-2)$
donc $-9 \leq x+y \leq-1$
2) On a $x-y=x+(-y)$ et on a $-6 \leq y \leq-2$
Donc $2 \leq-y \leq 6$
Donc $(-3)+2 \leq x+(-y) \leq 1+6$
Donc $-1 \leq x-y \leq 7$
3) On a $-3 \leq x \leq 1$
Alors $0 \leq x \leq 1$ ou $-3 \leq x \leq 0$
Donc $0^{2} \leq x^{2} \leq 1^{2}$ ou $0^{2} \leq x^{2} \leq(-3)^{2}$
Donc $0 \leq x^{2} \leq 1$ ou $0 \leq x^{2} \leq 9$
Donc $0 \leq x^{2} \leq 9$
4) On a $-6 \leq y \leq-2$ donc $(-2)^{2} \leq y^{2} \leq(-6)^{2}$
Donc $4 \leq y^{2} \leq 36$
5) Encadrement de : $x \times y$
$-3 \leq x \leq 1$ et $-6 \leq y \leq-2$
Si $\quad 0 \leq x \leq 1$
On a $-6 \leq y \leq-2$ alors on a $2 \leq-y \leq 6$
donc $0 \leq-x y \leq 6$ donc $-6 \leq x y \leq 0$ (1)
Si $-3 \leq x \leq 0$ alors $0 \leq-x \leq 3$ et on a $2 \leq-y \leq 6$ donc $0 \leq x y \leq 18$ (2)
D’après (1) et (2) on déduit que: $-6 \leq x y \leq 18$
6) Encadrement de : $\frac{x}{y} \quad-3 \leq x \leq 1 \quad$
On a $-6 \leq y \leq-2$ donc $-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{y} \leq-\frac{1}{6}$ donc $\frac{1}{6} \leq-\frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}$
Si $0 \leq x \leq 1$
On a $\frac{1}{6} \leq-\frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}$ alors $0 \leq x \times\left(-\frac{1}{y}\right) \leq \frac{1}{2}$
donc $0 \leq-\frac{x}{y} \leq \frac{1}{2}$ donc $-\frac{1}{2} \leq \frac{x}{y} \leq 0$ (3)
Si $-3 \leq x \leq 0$ alors $0 \leq-x \leq 3$
et on a $\frac{1}{6} \leq-\frac{1}{y} \leq \frac{1}{2}$ donc $0 \leq \frac{x}{y} \leq \frac{3}{2}$ (4)
D’après (3) et (4) on déduit que : $-\frac{1}{2} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{3}{2}$
Exercice 9:
Représenter chaque inégalité ou encadrement par l’intervalle qui convient ;
1) $x \geq-3$
2) $ x<5$
3) $1 \leq 2 x \leq 4$
4) $0<6 x-2 \leq 10$
5) $-8 \leq 2-2 x \leq 6$
1) $x \geq-3 \quad$ si et seulement si $\quad x \in[-3,+\infty[$
2) $x<5$ ssi $\quad x \in]-\infty, 5]$
3) $1 \leq 2 x \leq 4 \quad$
ssi $\quad \frac{1}{2} \times 1 \leq \frac{1}{2} \times 2 x \leq 4 \times \frac{1}{2}$
ssi $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$
ssi $x \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$
4) $0<6 x-2 \leq 10$ ssi $0+2<6 x-2+2 \leq 10+2$
ssi $2<6 x \leq 12$
ssi $\quad 2 \times \frac{1}{2}<6 x \times \frac{1}{2} \leq 12 \times \frac{1}{2}$
ssi $\quad 1<3 x \leq 6$
ssi $1 \times \frac{1}{3}<3 x \times \frac{1}{3} \leq 6 \times \frac{1}{3}$
ssi $\quad \frac{1}{3}<x \leq 2$
ssi $\left.\left.\quad x \in\right] \frac{1}{3}, 2\right]$
5) $-8 \leq 2-2 x \leq 6$
ssi $-8-2 \leq 2-2 x-2 \leq 6-2$
ssi $-10 \leq-2 x \leq 4$
ssi $-10 \times \frac{1}{2} \leq-2 x \times \frac{1}{2} \leq 4 \times \frac{1}{2}$
ssi $-5 \leq-x \leq 2$ ssi $-2 \leq x \leq 5$
ssi $\quad x \in[-2,5]$
Exercice 10:
Simplifier si c’est possible :
1) $[2 ; 5] \cap[4 ; 6]$
2) $[2 ; 5] \cup[4 ; 6]$
3) $]-\infty ; 2] \cap[-1 ;+\infty[$
4) $]-\infty ; 2] \cup[-1 ;+\infty[$
1) $[2 ; 5] \cap[4 ; 6]=[4 ; 5]$
2) $[2 ; 5] \cup[4 ; 6]=[2 ; 6]$.
3) $]-\infty ; 2] \cap[-1 ;+\infty[=[-1 ; 2]$
4) $]-\infty ; 2] \cup[-1 ;+\infty[=]-\infty ;+\infty[$
Exercice 11:
calculer $I \cap J$ et $I \cup J$ dans les cas suivants :
• $I =[-1,+\infty[ \quad $ et $ \quad J=]-3,7]$
• $I =[4,10] \quad $ et $ \quad J=]-\infty,5[$
• $I =[0,10[ \quad $ et $ \quad J=[-5,-1]$
• $I =[-\frac{2}{3},2] \quad $ et $ \quad J=]-1,\frac{3}{2}[$
• $I \cap J=]-1,7] \quad $ et $ \quad I \cup J=]-3 ;+\infty[$
• $I \cap J=[4,5[\quad$ et $ \quad I \cup J=]-\infty ; 10]$
• $I \cap J=\varnothing \quad$ et $\quad I \cup J=[-5 ; 10[$
• $I \cap J=\left[-\frac{2}{3} ; \frac{3}{2}[\right. \quad $ et $\left.\quad I \cup J=]-1,2\right]$
Exercice 12:
On considéré l’intervalle $I=[-3 ; 4]$
Trouver le milieu et l’amplitude et le rayon de intervalle $I$
$\frac{-3+4}{2}=\frac{1}{2}$ est le milieu de l’intervalle $I$
$4-(-3)=7$ est le amplitude de l’intervalle $I$
$\frac{4-(-3)}{2}=\frac{7}{2}$ est le rayon de l’intervalle $I$
Exercice 13:
Calculer les expressions suivantes (éliminer le signe de valeur absolue)
1) $|-3|$
2) $|3|$
3) $\left|-\frac{3}{5}\right|$
4) $|\sqrt{5}-2|$
5) $|1-\sqrt{3}|$
6) $|\pi-4|$
7) $|\sqrt{2}-\sqrt{7}|$
8) $|3-2 \sqrt{3}|$
9) $A=|4-2 \sqrt{3}|-|5-3 \sqrt{3}|+|9-5 \sqrt{3}|$
1) $|-3|=-(-3)=3$
2) $|3|=3$
3) $\left|-\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5}$
4) $|\sqrt{5}-2| \quad$ on compare $: \sqrt{5}$ et 2
On a $(\sqrt{5})^{2}=5$ et $(2)^{2}=4 \quad$
donc $\sqrt{5}>2$
par suite $(\sqrt{5}-2) \in \mathbb{R}^{+*}$
Donc $|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$
5) $|1-\sqrt{3}| \quad$ on compare : $\sqrt{3}$ et 1
On a $(\sqrt{3})^{2}=3$ et $(1)^{2}=1 \quad$
donc $\sqrt{3}>1$
par suite $(1-\sqrt{3}) \in \mathbb{R}^{-*}$
Donc : $|1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}$
6) $|\pi-4|=-(\pi-4)=-\pi+4 \quad$ car $4>\pi$
7) $|\sqrt{2}-\sqrt{7}|$ on compare : $\sqrt{7}$ et $\sqrt{2}$
On a $(\sqrt{7})^{2}=7$ et $(\sqrt{2})^{2}=2 \quad$
Donc $\sqrt{7}>\sqrt{2}$
Par suite $\sqrt{2}-\sqrt{7}<0$
Donc $|\sqrt{2}-\sqrt{7}|=-(\sqrt{2}-\sqrt{7})=-\sqrt{2}+\sqrt{7}$
8) on a $3<2 \sqrt{3} \quad$ car $3^{2}<(2 \sqrt{3})^{2}$
Donc: $3-2 \sqrt{3} \in \mathbb{R}^{-}$
Donc ; $|3-2 \sqrt{3}|=-(3-2 \sqrt{3})=-3+2 \sqrt{3}$
9) On a : $\sqrt{5}>\sqrt{2}$
Donc : $\sqrt{5}-\sqrt{2} \in \mathbb{R}^{+}$
Donc : $|\sqrt{5}-\sqrt{2}|=\sqrt{5}-\sqrt{2}$
$A=|4-2 \sqrt{3}|-|5-3 \sqrt{3}|+|9-5 \sqrt{3}|$
$A=4-2 \sqrt{3}–(5-3 \sqrt{3})+(5 \sqrt{3}-9)$
$A=4-2 \sqrt{3}+5-3 \sqrt{3}+5 \sqrt{3}-9=0$
Exercice 14:
Résoudre les équations suivantes :
1) $|x-1|=5$
2) $|2 x+1|=|x-3|$
3) $|x+2|=-1$
1) $|x-1|=5$
$|x-1|=5$ ssi $\quad x-1=5 \quad$ ou $x-1=-5$
ssi $x=6$ ou $x=-4$
Donc: $S=\{-4 ; 6\}$
2) $|2 x+1|=|x-3|$ ssi $2 x+1=x-3$ ou $2 x+1=-(x-3)$ ssi $2 x+1=x-3$ ou $2 x+1=-x+3$
ssi $\quad x=-4$ ou $x=\frac{2}{3} \quad$
Donc: $\quad S=\left\{-4 ; \frac{2}{3}\right\}$
3) $|x+2|=-1$ s= $\varnothing \quad$ car $|x+2| \geq 0$
Exercice 15:
1) Calculer $(3 \sqrt{2}-5)^{2}$
2) Comparer : $3 \sqrt{2}$ et 5
3) Simplifier $\sqrt{43-30 \sqrt{2}}$
1) $(3 \sqrt{2}-5)^{2}=(3 \sqrt{2})^{2}-2 \times 3 \sqrt{2} \times 5+(5)^{2}=18-30 \sqrt{2} \times 5+25$
$(3 \sqrt{2}-5)^{2}=43-30 \sqrt{2}$
2) $(3 \sqrt{2})^{2}=18$ et $\quad(5)^{2}=25$
Donc $3 \sqrt{2}>5$
Donc $3 \sqrt{2}-5 \in \mathbb{R}^{-}$
3) $\sqrt{43-30 \sqrt{2}}=\sqrt{(3 \sqrt{2}-5)^{2}}=|3 \sqrt{2}-5|=-(3 \sqrt{2}-5)$
car $3 \sqrt{2}-5 \in \mathbb{R}^{-}$
Donc $\sqrt{43-30 \sqrt{2}}=-3 \sqrt{2}+5$
Exercice 16:
Résoudre les inéquations suivantes :
1) $|x-1| \leq 2$
2) $|x+2| \geq 3$
3) $|2 x+1| \prec 6$
1) $|x-1| \leq 2 \quad$ ssi $\quad-2 \leq x-1 \leq 2 \quad$ ssi $-2+1 \leq x-1+1 \leq 2+1$ ssi $-1 \leq x \leq 3$
Donc $S=[-1 ; 3]$
2) $|x+2| \geq 3$ ssi $x+2 \geq 3$ ou $x+2 \leq-3$
Ssi $x \geq 1$ ou $x \leq-5$
Ssi $x \in[1 ;+\infty[$ ou $x \in]-\infty ;-5]$
Donc $S=]-\infty ;-5] \cup[1 ;+\infty[$
3) $|2 x+1|<6 \quad$ ssi $\quad-6<2 x+1<6$
ssi $-6-1<2 x+1-1<6-1$ ssi $-7<2 x<5$ ssi $-7 \times \frac{1}{2}<2 x \times \frac{1}{2}<5 \times \frac{1}{2}$ ssi $\frac{-7}{2}<x<\frac{5}{2}$
Donc : $\left.S=\right]-\frac{7}{2} ; \frac{5}{2}[$
Exercice 17:
Soit $x$ et $y$ deux réels tq : $x \geq \frac{1}{2}$ et $y \leq 1$ et $x-y=3$
1) Calculer: $E=\sqrt{(2 x-1)^{2}}+\sqrt{(2 y-2)^{2}}$
2) Montrer que: $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$
3) Calculer: $F=|x+y-5|+|x+y+2|$
1) $E=\sqrt{(2 x-1)^{2}}+\sqrt{(2 y-2)^{2}}=|2 x-1|+|2 y-2|$
On a $x \geq \frac{1}{2}$ donc $2 x \geq 1$ donc $2 x-1 \geq 0$
Et on a $y \leq 1$ donc $2 y \leq 2$ donc $2 y-2 \leq 0$
donc $E=|2 x-1|+|2 y-2|=2 x-1-(2 y-2)$
donc $E=2 x-2 y+1=2(x-y)+1$
et on a $x-y=3$ donc $E=2 \times 3+1=7$
2) on montre que $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$ ???
On a $x-y=3$ donc $x=y+3$
Et on a $x \geq \frac{1}{2}$ donc $y+3 \geq \frac{1}{2}$ donc $y \geq \frac{1}{2}-3$ donc $y \geq \frac{-5}{2}$
Et on a $\quad y \leq 1$ donc $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$
On montre que $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ ????
On a $x-y=3$ donc $y=x-3$
Et On a $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$ donc $-\frac{5}{2} \leq x-3 \leq 1$ donc $-\frac{5}{2}+3 \leq x-3+3 \leq 1+3$
D’où $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$
3) $F=|x+y-5|+|x+y+2|$ ?????
On cherche le signe de : $x+y-5$
On a $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$ et $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ donc $\frac{1}{2}-\frac{5}{2} \leq x+y \leq 1+4$ donc $-2 \leq x+y \leq 5$
Donc $-2-5 \leq x+y-5 \leq 5-5$ donc $-7 \leq x+y-5 \leq 0$ donc $x+y-5 \leq 0$
On cherche le signe de : $x+y+2$
On a $-2 \leq x+y \leq 5$ donc $-2+2 \leq x+y+2 \leq 5+2$
donc $0 \leq x+y+2 \leq 7$
donc $x+y+2 \geq 0$
donc $F=|x+y-5|+|x+y+2|=-(x+y-5)+x+y+2$
$F=-x-y+5+x+y+2=-x-y+5+x+y+2=7$
Exercice 18:
Soit $x$ un nombre réel.
1) Vérifier que : $x^{2}-2 x=(x-1)^{2}-1$
2) Soit $x$ de l’intervalle $[1 ; 3]$
Montrer que: $-1 \leq x^{2}-2 x \leq 3$
3) a) Sachant qu’on a : $x \in[1 ; 3]$
Montrer que : $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{x^{2}-2 x+3} \leq \frac{3}{2}$
b) En déduire que : $\left|\frac{3}{x^{2}-2 x+3}-1\right| \leq \frac{1}{2}$
1) Soit $x \in \mathbb{R}$
$(x-1)^{2}-1=x^{2}-2 x+1-1=x^{2}-2 x$
2) On a $1 \leq x \leq 3$
Donc $0 \leq x-1 \leq 2$
Donc $0 \leq(x-1)^{2} \leq 4$
Donc $-1 \leq(x-1)^{2}-1 \leq 3$
d’ou $-1 \leq x^{2}-2 x \leq 3$
3) a) on a $-1 \leq x^{2}-2 x \leq 3$
donc $2 \leq x^{2}-2 x+3 \leq 6$
donc $\frac{1}{6} \leq \frac{1}{x^{2}-2 x+3} \leq \frac{1}{2}$
donc $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{x^{2}-2 x+3} \leq \frac{3}{2}$
b) on a $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{x^{2}-2 x+3} \leq \frac{3}{2}$
donc $-\frac{1}{2} \leq \frac{3}{x^{2}-2 x+3}-1 \leq \frac{1}{2}$
d’où $\left|\frac{3}{x^{2}-2 x+3}-1\right| \leq \frac{1}{2}$
Exercice 19:
Sachant que: $2,645 \leq \sqrt{7} \leq 2,646$
a) Que représente 2,645 pour $\sqrt{7}$ ?
b) Que représente 2,646. pour $\sqrt{7}$ ?
a) 2,645 est une valeur approchée du réel $\sqrt{7}$ par défaut à $10^{-3}$ près
b) 2,645 est une valeur approchée du réel $\sqrt{7}$ par excès à $10^{-3}$ près
Exercice 20:
Sachant que : $1,38<\sqrt{2}<1,42$
Montrer que : $|\sqrt{2}-1,40|<0,02$ , Que peut-on déduire ?
• On a donc $1,40-0,02<\sqrt{2}<1,40+0,02$ $-0,02<\sqrt{2}-1,40<0,02$
Donc $|\sqrt{2}-1,40|<0,02$
Donc 1,40 est une valeur approchée du nombre $\sqrt{2}$ à 0,02 près
• On a $1,40 \leq \sqrt{2}<1,40+0,02$
Donc 1,40 est une valeur approchée par défaut du nombre $\sqrt{2}$ à 0,02 près
• On a $1,42-0,02<\sqrt{2}<1,42$
Donc 1,42 est une valeur approchée par excès du nombre $\sqrt{2}$ à 0,02 près
Exercice 21:
Soit $a \geq 1$ on pose : $A=\sqrt{1+\frac{1}{a}}$
1) Montrer que : $a(A+1)(A-1)=1$
2) a) Montrer que: $2 \leq A+1 \leq 3$
b) En déduire que : $1+\frac{1}{3 a} \leq A \leq 1+\frac{1}{2 a}$
3) Montrer que : 1,1 est une valeur approchée de $\sqrt{1,2}$ a $\frac{1}{30}$ prés
1) $a \geq 1$ et $A=\sqrt{1+\frac{1}{a}}$
Montrons que : $a(A+1)(A-1)=1$ ?
On a : $(A+1)(A-1)=A^{2}-1=\left(\sqrt{1+\frac{1}{a}}\right)^{2}-1$
$(A+1)(A-1)=1+\frac{1}{a}-1=\frac{1}{a}$
Donc $:(A+1)(A-1)=\frac{1}{a}$
Donc: $a(A+1)(A-1)=1$
2) Montrons que : $2 \leq A+1 \leq 3$ ?
On a : $a \geq 1>0$
Alors $: \frac{1}{a} \geq 0$
c.a.d. : $\frac{1}{a}+1 \geq 1$
Donc: $A \geq 1$
Donc: $A+1 \geq 2$ (1)
On a : $a \geq 1$
Alors : $\frac{1}{a} \leq 1$
Donc : $1+\frac{1}{a} \leq 2$
Donc: $A \leq \sqrt{2}$
D’ou: $A+1 \leq \sqrt{2}+1 \leq 3$ (2)
De (1) et (2) en déduit que : $2 \leq A+1 \leq 3$
Et on a : $a(A+1)(A-1)=1$
Donc : $A-1=\frac{1}{a(A+1)}$
d’autre part on a : $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{A+1} \leq \frac{1}{2}$
Alors : $\frac{1}{3 a} \leq \frac{1}{a(A+1)} \leq \frac{1}{2 a}$
Donc : $\frac{1}{3 a} \leq A-1 \leq \frac{1}{2 a}$
Donc: $\frac{1}{3 a}+1 \leq A \leq \frac{1}{2 a}+1$
3) On a $1,2=1+0,2=1+\frac{1}{5}$
Donc $A=\sqrt{1,2}=\sqrt{1+\frac{1}{5}}$
Donc: $a=5$
$\frac{1}{15}+1 \leq \sqrt{1,2} \leq \frac{1}{10}+1$ ssi $\frac{16}{15} \leq \sqrt{1,2} \leq \frac{11}{10}$
Ssi $\frac{32}{30} \leq \sqrt{1,2} \leq \frac{33}{30}$ et on a $\frac{33}{30}-\frac{32}{30}=\frac{1}{30} \quad\left(\frac{33}{30}=1,1\right)$
1,1 est une valeur approchée de $\sqrt{1,2}$ a $\frac{1}{30}$ prés
Exercice 22:
Soit $x$ un nombre réel .
On pose $E=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
1) Montrer que : $E-1=\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}}$
2) En déduire que : $|E-1| \leq \frac{1}{2} x^{2}$
3) Trouver une valeur approchée du nombre $\frac{1}{\sqrt{1,0004}}$ d’amplitude $2 \times 10^{-4}$
1) Soit $x \in \mathbb{R}$
$ E-1 \quad=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-1 $
$ =\frac{1-\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} $
$ =\frac{\left(1-\sqrt{1+x^{2}}\right)\left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}\left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)} $
$ =\frac{1-\left(1+x^{2}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}} $
$ =\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}}$
2) On a $|E-1|=\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}}$
On a $x^{2} \geq 0$
Donc $1+x^{2} \geq 1$ et $\sqrt{1+x^{2}} \geq 1$
Donc $\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2} \geq 2$
Donc $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}} \leq \frac{1}{2}$
Donc $\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}} \leq \frac{1}{2} x^{2}$
D’où $|E-1| \leq \frac{1}{2} x^{2}$
3) On a pour tout $x$ de $\mathbb{R}|E-1| \leq \frac{1}{2} x^{2}$
Donc $\left|\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-1\right| \leq \frac{1}{2} x^{2}$
Prenons $x=0,02$
Donc $\left|\frac{1}{\sqrt{1+(0,02)^{2}}}-1\right| \leq \frac{1}{2}(0,02)^{2}$
Donc $\left|\frac{1}{\sqrt{1,0004}}-1\right| \leq 2 \times 10^{-4}$
D’où 1 est une valeur approchée du nombre $\frac{1}{\sqrt{1,0004}}$ d’amplitude $2 \times 10^{-4}$
Exercice 23:
1) a) Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}-\{1\}$ on a : $\frac{1}{1-x}=1+x+\frac{x^{2}}{1-x}$
b) En déduire que : si $|x| \leq \frac{1}{2}$ alors $\left|\frac{1}{1-x}-(1+x)\right| \leq 2 x^{2}$
2) Donner une valeur approchée du nombre : $\frac{1}{0,99}$ à $2 \times 10^{-4}$ près
1) a) Soit : $x \in \mathbb{R}-\{1\}$;
$1+x+\frac{x^{2}}{1-x}=\frac{(1+x)(1-x)+x^{2}}{1-x}=\frac{1^{2}-x^{2}+x^{2}}{1-x}=\frac{1}{1-x}$
b) Soit : $x \in \mathbb{R}-\{1\}$ tel que : $|x| \leq \frac{1}{2}$
On a : $\frac{1}{1-x}=1+x+\frac{x^{2}}{1-x}$
Donc : $\frac{1}{1-x}-(1+x)=\frac{x^{2}}{1-x}$
Donc : $\left|\frac{1}{1-x}-(1+x)\right|=\left|\frac{x^{2}}{1-x}\right|$
C’est-à-dire : $\left|\frac{1}{1-x}-(1+x)\right|=\frac{x^{2}}{|1-x|}$
Car : $x^{2} \geq 0$
On a : $|x| \leq \frac{1}{2}$ Donc : $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$
C’est-à-dire : $-\frac{1}{2} \leq-x \leq \frac{1}{2}$
Donc : $1-\frac{1}{2} \leq 1-x \leq 1+\frac{1}{2}$ c’est-à-dire $\frac{1}{2} \leq 1-x \leq \frac{3}{2}$
Et par suite : $\frac{2}{3} \leq \frac{1}{1-x} \leq 2$
Donc : $-2 \leq \frac{2}{3} \leq \frac{1}{1-x} \leq 2$
Par suite : $\frac{1}{|1-x|} \leq 2$ et puisque : $x^{2} \geq 0$
Alors : $\frac{x^{2}}{|1-x|} \leq 2 x^{2}$ et d’après l’égalité (1)
On a donc : $\left|\frac{1}{1-x}-(1+x)\right| \leq 2 x^{2}$
2) Déterminons une valeur approchée du nombre : $\frac{1}{0,99}$ à $2 \times 10^{-4}$ près ???
D’après 1)b) on donne à $x$ la valeur : $x=10^{-2}$
et puisque $\left|10^{-2}\right| \leq \frac{1}{2}$
Alors : $\left|\frac{1}{1-10^{-2}}-\left(1+10^{-2}\right)\right| \leq 2 \times\left(10^{-2}\right)^{2}$
C’est-à-dire on a : $\left|\frac{1}{1-0,01}-(1+0,01)\right| \leq 2 \times 10^{-4}$
Donc: $\left|\frac{1}{0,99}-1,01\right| \leq 2 \times 10^{-4}$
Et par suite : 1,01 est une valeur approchée du nombre : $\frac{1}{0,99}$ à
$2 \times 10^{-4}$ près
Exercice 24:
Soient $a$ et $b$ deux réels tel que : $a \in[0 ; 2]$ et $b \in[0 ; 2]$
1) Montrer que : $\frac{3}{16}|a-b| \leq\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right| \leq \frac{3}{4}|a-b|$
2) Sachant que : $0.866 \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \leq 0.867$ et $0.707 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0.708$
Donner une valeur approchée du réel $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Par défaut et excès à $2 \times 10^{-3}$ près
3) En déduire que : $\left|\frac{3}{2+\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{3}{2+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right| \leq 1,2 \times 10^{-1}$
1) $\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right|=\left|\frac{3(2+b)-3(2+a)}{(2+b)(2+a)}\right|=\left|\frac{6+3 b-6-3 a}{(2+b)(2+a)}\right|$
Donc : $\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right|=\left|\frac{3 b-3 a}{(2+b)(2+a)}\right|=\left|\frac{3(b-a)}{(2+b)(2+a)}\right|$
Donc:
$\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right|=\frac{|3||b-a|}{|(2+b)(2+a)|}=\frac{3|a-b|}{|(2+b)(2+a)|}$
Car : $|b-a|=|a-b|$
Or on a : $a \in[0 ; 2]$ signifie $0 \leq a \leq 2$
Et on a : $b \in[0 ; 2]$ signifie $0 \leq b \leq 2$
Donc: $2 \leq 2+a \leq 4$ et $2 \leq 2+b \leq 4$
Par suite : $4 \leq(2+b)(2+a) \leq 16$
C’est-à-dire : $|(2+b)(2+a)|=(2+b)(2+a)$
Et on a aussi : $\frac{1}{16} \leq \frac{1}{(2+b)(2+a)} \leq \frac{1}{4}$
Donc : $\frac{3|a-b|}{16} \leq \frac{3|a-b|}{(2+b)(2+a)} \leq \frac{3|a-b|}{4}$
car: $3|a-b| \geq 0$
Par suite : $\frac{3}{16}|a-b| \leq\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right| \leq \frac{3}{4}|a-b|$
2) On a : $0.866 \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \leq 0.867$ et $0.707 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0.708$
On a $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Et on a : $-0.708 \leq-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq-0.707$
Donc : $0.866-0.708 \leq \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \leq 0.867-0.707$
Donc : $0.158 \leq \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0.16$ et $0.16-0.158=2 \times 10^{-3}$
Par suite : 0,16 est une valeur approchée du réel $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ par excès à : $2 \times 10^{-3}$ près
0,158 : Est une valeur approchée du réel $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ par défaut à : $2 \times 10^{-3}$ près
3) D’après 1) on a $\left|\frac{3}{2+a}-\frac{3}{2+b}\right| \leq \frac{3}{4}|a-b|$
Donc: $\left|\frac{3}{2+\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{3}{2+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right| \leq \frac{3}{4}\left|\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|$
Et on a : $0.158 \leq \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0.16$
Donc : $0 \leq \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0.16$
Par suite : $\frac{3}{4}\left|\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right| \leq \frac{3}{4} \times 0.16=0.12$
Finalement : $\left|\frac{3}{2+\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{3}{2+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right| \leq 0.12$
C’est-à-dire : $\left|\frac{3}{2+\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{3}{2+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right| \leq 1,2 \times 10^{-1}$
L’ordre dans IR