Ordre et opérations 2AC exercices corrigés

Comparaison de deux nombres rationnels

Exercice 1:  

Comparer les nombres suivants:

$1)$ $\frac{5}{6}$ et $\frac{1}{3}$

$2) $$\frac{-6}{7}$ et $\frac{-3}{14}$

$3)$ $\frac{13}{14}$ et $\frac{5}{11}$

$4)$ $\frac{-7}{9}$ et $\frac{-9}{13}$

$5) $$\frac{13}{4}$ et $\frac{-31}{8}$

$6)$ $\frac{7}{8}$ et $\frac{8}{9}$

$1)$ On a : $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}$

Comme : $\frac{3}{6}>0$

Donc : $\frac{5}{6}>\frac{1}{3}$

$2)$ On a : $\frac{-6}{7}-\frac{-3}{14}=\frac{-12}{14}+\frac{3}{14}=\frac{-9}{14}$

Comme : $\frac{-9}{14}<0$

Donc : $\frac{-6}{7}<\frac{-3}{14}$

$3)$ On a : $\frac{13}{14}-\frac{5}{11}=\frac{143}{154}-\frac{60}{154}=\frac{83}{154}$

Comme : $\frac{83}{154}>0$

Donc : $\frac{13}{14}>\frac{5}{11}$

$4)$ On a : $\frac{-7}{9}-\frac{-9}{13}=\frac{-91}{117}+\frac{81}{117}=\frac{-10}{117}$

Comme : $\frac{-10}{117}<0$

Donc : $\frac{-7}{9}<\frac{-9}{13}$

$5)$ On a : $\frac{13}{4}>\frac{-31}{8}$

Car un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif.

$6)$ On a : $\frac{7}{8}-\frac{8}{9}=\frac{63}{72}-\frac{64}{72}=\frac{-1}{72}$

Comme : $\frac{-1}{72}<0$

Donc : $\frac{7}{8}<\frac{8}{9}$

Exercice 2:

Compléter les pointillés par $>, <$ ou $= $:

 

Exercice 3:  

Compléter les pointillés par $> 0$ ou $< 0$ :

Exercice 4:  

Soit $x$ un nombre rationnel positif $ (x≥0)$.

Comparer les nombres suivants:

$1)$ $x+7$ et $x+9$

$2)$ $4 x-1$ et $3 x-2$

$3)$ $x^{2}-x+1$ et $(x+1)^{2}$

$1)$ On a : $(x+7)-(x+9)=x+7-x-9=-2$, comme $-2<0$, donc $x+7<x+9$

$2)$ On a : $(4 x-1)-(3 x-2)=4 x-1-3 x+2=x+1$, comme $x \geq 0$, alors $x+1 \geq 0$, d’où $4 x-1 \leq 3 x-2$

$3)$ On a : $\left(x^{2}-x+1\right)-(x+1)^{2}=x^{2}-x+1-\left(x^{2}+2 x+1\right)=x^{2}-x+1-x^{2}+-2 x-1=-3 x$ comme $x \geq 0$, alors $-3 x \leq 0$, donc $x^{2}-x+1 \leq(x+1)^{2}$

Exercice 5:  

Soient a et b deux nombres rationnels tel que : $a≤b$.

Comparer les nombres suivants:

$1)$ $a+5$ et $b+5$

$2)$ $2 a-1$ et $2 b-1$

$3)$ $a+3$ et $b+4$

$4)$ $3 a+5$ et $3 b+2$

$1)$ On a : $a \leq b$, alors $a+5 \leq b+5$

$2)$ On a : $a \leq b$, alors $2 a \leq 2 b$.

D’où : $2 a-1 \leq 2 b-1$

$3)$ On a : $\left\{\begin{array}{l}a \leq b \\ 3 \leq 4\end{array}\right.$ donc $a+3<b+4$

$4)$ On a : $a \leq b$, donc $3 a \leq 3 b$, comme $2<5$. D’où : $3 a+2 \leq 3 b+5$

Ordre et opérations

Exercice 6:  

Exercice 7:  

Exercice 8:

Soit $a$ un nombre rationnel tel que : $a \geq-\frac{4}{5}$.

$1)$ Montrer que : $5 a+4 \geq 0$

$3)$ Montrer que : $\frac{5}{2} a-2 \geq-4$

$2)$ Montrer que : $10 a+1 \geq-7$

$4)$ Montrer que : $5(1+a) \geq 1$ 

$1)$ On a : $a \geq-\frac{4}{5}$, donc $5 \times a \geq-\frac{4}{5} \times 5$, alors $5 a \geq-4$, alors $5 a+4 \geq-4+4$, d’où : $5 a+4 \geq 0$

$2)$ On a : $a \geq-\frac{4}{5}$, donc $10 \times a \geq-\frac{4}{5} \times 10$, alors $10 a \geq-8$, alors $10 a+1 \geq-8+1$, d’où : $10 a+1 \geq-7$

$3)$ On a : $a \geq-\frac{4}{5}$, donc $\frac{5}{2} \times a \geq-\frac{4}{5} \times \frac{5}{2}$, alors $\frac{5}{2} a \geq-2$, alors $\frac{5}{2} a-2 \geq-2-2$, d’où : $\frac{5}{2} a-2 \geq-4$

$4)$ On a : $a \geq-\frac{4}{5}$, donc $a+1 \geq-\frac{4}{5}+1$, alors $a+1 \geq \frac{1}{5}$, alors $5 \times(a+1) \geq \frac{1}{5} \times 5$, d’où : $5(a+1) \geq 1$

Exercice 9:  

Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels tels que : $a \leq 6$ et $b \leq-3$.

$1)$ Montrer que : $a+b-3 \leq 0$

$2)$ Montrer que : $5 a+2 b-24 \leq 0$

Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels tels que : $a \leq 6$ et $b \leq-3$.

$1)$ On a : $\left\{\begin{array}{l}a \leq 6 \\ b \leq-3\end{array}\right.$ donc $a+b \leq 6+(-3)$, donc $a+b \leq 3$, donc $a+b-3 \leq 3-3$.

D’où : $a+b-3 \leq 0$

$2)$ On a : $\left\{\begin{array}{l}a \leq 6 \\ b \leq-3\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{l}5 \times a \leq 5 \times 6 \\ 2 \times b \leq 2 \times(-3)\end{array}\right.$

Donc $\left\{\begin{array}{l}5 a \leq 30 \\ 2 b \leq-6\end{array}\right.$ donc $5 a+2 b \leq 30+(-6)$, donc $5 a+2 b \leq 24$, donc $5 a+2 b-24 \leq 24-24$

D’où : $5 a+2 b-24 \leq 0$

Exercice 10:  

$1)$ Sachant que $–2 < x < 3$, encadrer les expressions suivantes :  $ x + 8 $   ;    $3x $     ;    $6x – 7$

$2)$ Sachant que $1 < 2x – 5 < 3$, encadrer $x$.

$3)$ Sachant que $-3 < 2 + 5x < 7$, encadrer $x$.

$1)$ Sachant que $\mathbf{- 2}<\mathbf{x}<3$ :

• $-2+8<x+8<3+8$

$6<x+8<11$

• $-2 \times 3<x \times 3<3 \times 3$

$-6<3 x<9$

• $-2 \times 6<x \times 6<3 \times 6$ $-12<6 x<18$

$-12-7<6x-7<18-7$

$-19<6 x-7<11$

$2)$ Sachant que $\mathbf{1}<\mathbf{2 x – 5}<\mathbf{3}$ :

$1+5< 2 x-5+5<3+5 $

$6  <2 x<8 $

$\frac{6}{2} <\frac{2 x}{2}<\frac{8}{2} $

$3 <x<4$

$3)$ Sachant que $-\mathbf{3}<\mathbf{2 + 5 x}<7$ :

$-3-2<2+5 x-2<7-2 $

$-5<5 x<5 $

$\frac{-5}{5}<\frac{5 x}{5}<\frac{5}{5} $

$-1<x<1$

Exercice 11:  

Soit $x$ et $y$ deux nombres rationnels tels que : $3 \leq x \leq 7$ et $1 \leq \frac{y+4}{5} \leq 4$.

$1)$ Encadrer : $5 x$ et $2 x-3$

$2)$ Montrer que : $1 \leq y \leq 16$

$1)$ On a : $3 \leq x \leq 7$

Donc : $5 \times 3 \leq 5 \times x \leq 5 \times 7$
Donc : $15 \leq 5 x \leq 35$
On a : $3 \leq x \leq 7$
Donc : $2 \times 3 \leq 2 \times x \leq 2 \times 7$
Donc : $6 \leq 2 x \leq 14$
Donc : $6-3 \leq 2 x-3 \leq 14-3$
Donc : $3 \leq 2 x-3 \leq 11$

$2)$ On a : $1 \leq \frac{y+4}{5} \leq 4$

Donc : $5 \times 1 \leq 5 \times \frac{y+4}{5} \leq 5 \times 4$
Donc : $5 \leq y+4 \leq 20$
Donc : $5-4 \leq y+4-4 \leq 20-4$
Donc : $1 \leq y+4-4 \leq 16$

Exercice 12:

La société $ALO$ propose un abonnement téléphonique de $220 DH$ par mois et $3 DH $ la minute de communication.

La société $LAO$ propose un abonnement téléphonique de $210DH$ par mois et $4DH$ la minute de communication.

On désigne par $x$ le nombre de minutes de communication par mois.

$1)$ Exprimer en fonction de $x$ le montant d’une facture de $ALO$, puis le montant d’une facture de $LAO$.

$2)$ Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir $ALO$ ?


$1)$

Montant $ALO$ : $3 \times x+220$

Montant $LAO$ : $4×x +210$

$2)$ Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir $ALO$ ?

On veut que :

$3 \times x+220  <4 \times x+210 $

$3 x+220-210 <4 x+210-210 $

$3 x+10 <4 x $

$3 x+10-3 x <4 x-3 x $

$10 < x $

Le forfait $ALO$ est plus intéressant si $x>1 0$, soit un temps de communication supérieur à $10$ minutes.

Ordre et opérations 2AC exercices corrigés