Parallélogramme – cours 1AC

Parallélogramme – cours 1AC

Exercices corrigés
Évaluations corrigés

LE PARALLÉLOGRAMME
Propriétés et applications

I

Définition du parallélogramme

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Exemple :

Si \(ABCD\) est un parallélogramme, alors :

  • \((AB) \parallel (CD)\)
  • \((AD) \parallel (BC)\)

II

Propriétés du parallélogramme

1. Propriété des diagonales

Propriété directe : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Exemple :

Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\).

Alors : \(AO = OC\) et \(BO = OD\)

Propriété réciproque :

Si dans un quadrilatère, les diagonales se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

2. Propriété des côtés opposés

Propriété directe : Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont isométriques (égaux).

Exemple :

Soit \(ABCD\) un parallélogramme.

Alors : \(AB = DC\) et \(AD = BC\)

Propriété réciproque :

Si dans un quadrilatère, les côtés opposés sont isométriques, alors c’est un parallélogramme.

Propriété réciproque particulière :

Si dans un quadrilatère, deux côtés opposés sont isométriques ET parallèles, alors c’est un parallélogramme.

3. Propriété des angles opposés

Propriété directe : Dans un parallélogramme, les angles opposés sont isométriques (égaux).

Exemple :

Soit \(ABCD\) un parallélogramme.

Alors : \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC}\) et \(\widehat{DAB} = \widehat{DCB}\)

Propriété réciproque :

Si dans un quadrilatère, les angles opposés sont isométriques, alors c’est un parallélogramme.

4. Propriété des angles consécutifs

Propriété directe : Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires.

La somme de leurs mesures vaut \(180^\circ\).

Exemple :

Soit \(ABCD\) un parallélogramme.

Alors : \(\widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 180^\circ\), \(\widehat{BCD} + \widehat{CDA} = 180^\circ\)

\(\widehat{CDA} + \widehat{DAB} = 180^\circ\), \(\widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 180^\circ\)

III

Applications et démonstrations

Méthode pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut utiliser l’une des propriétés réciproques :

  1. Par les côtés opposés parallèles (définition)
  2. Par les côtés opposés égaux
  3. Par les diagonales qui se coupent en leur milieu
  4. Par les angles opposés égaux
  5. Par deux côtés opposés égaux ET parallèles

Exemple de démonstration

Énoncé : \(ABCD\) et \(BEFC\) sont deux parallélogrammes. Démontrer que \(AEFD\) est un parallélogramme.

Données :

  • \(ABCD\) est un parallélogramme \(\Rightarrow AD = BC\) et \((AD) \parallel (BC)\)
  • \(BEFC\) est un parallélogramme \(\Rightarrow BC = EF\) et \((BC) \parallel (EF)\)

Démonstration :

  1. \(AD = BC\) (car \(ABCD\) parallélogramme)
  2. \(BC = EF\) (car \(BEFC\) parallélogramme)
  3. Donc \(AD = EF\) (par transitivité)
  4. \((AD) \parallel (BC)\) (car \(ABCD\) parallélogramme)
  5. \((BC) \parallel (EF)\) (car \(BEFC\) parallélogramme)
  6. Donc \((AD) \parallel (EF)\) (parallélisme transitif)
  7. \(AD = EF\) et \((AD) \parallel (EF) \Rightarrow AEFD\) est un parallélogramme

Conclusion :

\(AEFD\) est un parallélogramme (deux côtés opposés égaux et parallèles)

 

Conclusion

Le parallélogramme est un quadrilatère fondamental en géométrie possédant des propriétés caractéristiques concernant ses côtés, ses angles et ses diagonales. La maîtrise de ses propriétés directes et réciproques permet de résoudre de nombreux problèmes géométriques et de reconnaître d’autres quadrilatères particuliers comme le rectangle, le losange et le carré qui en sont des cas particuliers.

 

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