Proportionnalité 2AC exercices corrigés
📐Exercice : Questions de cours – Proportionnalité
Qu’est-ce qu’un tableau de proportionnalité ? Qu’appelle-t-on coefficient de proportionnalité ?
Qu’appelle-t-on quatrième proportionnelle ? Donner la formule permettant de la calculer.
Comment reconnaît-on graphiquement une situation de proportionnalité ?
Comment calcule-t-on un pourcentage ? Donner un exemple tiré du cours.
Définir l’échelle d’un plan. Donner sa formule.
Qu’est-ce qu’un mouvement uniforme ? Quelle relation lie la distance \( d \), la vitesse \( v \) et la durée \( t \) ?
Un tableau (à deux lignes) est dit de proportionnalité lorsqu’il existe un coefficient multiplicateur qui permet de passer d’une ligne à l’autre.
Ce coefficient est appelé coefficient de proportionnalité.
\( \frac{1}{0,2} = \frac{20}{4} = \frac{35}{7} = \frac{55}{11} = 5 \) → le coefficient de proportionnalité est 5.
La quatrième proportionnelle des nombres \( a \), \( b \) et \( c \) est la valeur du nombre \( x \) tel que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
| \( a \) | \( b \) |
| \( c \) | \( x \) |
Dans un repère du plan, si on représente une situation de proportionnalité, alors on obtient des points alignés avec l’origine du repère.
Réciproquement, si on a des points alignés avec l’origine du repère, alors cette représentation graphique illustre une situation de proportionnalité.
Un pourcentage est un rapport de proportionnalité exprimé sur un total de 100. Pour calculer un pourcentage, on utilise un tableau de proportionnalité ou la formule :
Exemple du cours : Dans une classe de 25 élèves, 20 ont la moyenne. Le pourcentage est \( \frac{20}{25} \times 100 = 80\% \).
L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles.
Lorsqu’on agrandit ou réduit une figure géométrique, les longueurs obtenues sont proportionnelles à celles de départ. Le coefficient d’agrandissement ou de réduction est l’échelle.
Le mouvement est dit uniforme si la durée du parcours est proportionnelle à la distance parcourue.
Dans ce cas, le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse moyenne du mobile.
Où \( d \) est la distance parcourue, \( t \) la durée du parcours et \( v \) la vitesse moyenne.
📊Exercice 1: Reconnaître un tableau de proportionnalité
Parmi les tableaux suivants, quel est celui qui représente une situation de proportionnalité ? Justifier votre réponse.
| 5 | 9 | 15 | 23 |
| 7 | 11 | 17 | 25 |
| 4 | 10 | 16 | 24 |
| 5 | 12,5 | 20 | 30 |
| 50 | 80 | 120 | 150 |
| 4 | 6,4 | 9,6 | 12 |
| 5 | 9 | 15 | 23 |
| 7 | 11 | 17 | 25 |
Calcul des coefficients \( k = \frac{\text{second ligne}}{\text{première ligne}} \) :
Les coefficients ne sont pas tous égaux.
✗ Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
| 4 | 10 | 16 | 24 |
| 5 | 12,5 | 20 | 30 |
Calcul des coefficients \( k = \frac{\text{second ligne}}{\text{première ligne}} \) :
Tous les coefficients sont égaux à 1,25.
✓ Ce tableau est un tableau de proportionnalité (coefficient = 1,25).
| 50 | 80 | 120 | 150 |
| 4 | 6,4 | 9,6 | 12 |
Calcul des coefficients \( k = \frac{\text{second ligne}}{\text{première ligne}} \) :
Tous les coefficients sont égaux à 0,08.
✓ Ce tableau est un tableau de proportionnalité (coefficient = 0,08).
Conclusion
Les tableaux n°2 et n°3 représentent des situations de proportionnalité.
Le tableau n°1 ne représente pas une situation de proportionnalité.
🔢Exercice 2: Calcul de la quatrième proportionnelle
Calculer la quatrième proportionnelle dans chaque cas suivant :
| 5 | 2 |
| 60 | x |
x = ?
| 6 | 60 |
| x | 2 |
x = ?
Rappel : Dans un tableau de proportionnalité, on utilise le produit en croix.
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📊Exercice 3: Compléter les tableaux de proportionnalité
Compléter les deux tableaux suivants sachant que les nombres de la première ligne sont proportionnels à ceux de la deuxième ligne :
| 3 | 6 | 12 | …… | 27 |
| 2 | 4 | …… | 14 | …… |
| 3 | …… | 6 | 7,5 | …… |
| …… | 10,5 | 14 | …… | 29,4 |
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📊Exercice 4: Conversion de fractions en pourcentages
Exprimer chaque fraction sous forme de pourcentage :
Rappel : Pour convertir une fraction en pourcentage, on multiplie par 100 :
\( \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \times 100\% \)
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🚗Exercice 5: Mouvement uniforme
Le mouvement est-il uniforme dans les cas suivants ?
| Distance (km) | 0,5 | 1 | 3 | 5 |
| Durée (h) | 50 | 95 | 260 | 455 |
| Distance (km) | 0,341 | 1,705 | 4,092 | 6,82 |
| Durée (h) | 1 | 5 | 12 | 20 |
| Distance (km) | 210 | 310 | 410 | 510 |
| Durée (h) | 2 | 3 | 4 | 5 |
Rappel : Un mouvement est uniforme si la vitesse est constante, c’est-à-dire si le rapport \( v = \frac{d}{t} \) est le même pour toutes les colonnes.
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🗺️Exercice 6: Calculs d’échelles
Compléter le tableau suivant :
| Distance réelle | Échelle | Distance sur la carte | Carte |
|---|---|---|---|
| 25 km | 1/100 000 | …… cm | Carte 1 |
| …… cm | 1/50 000 | 4,5 cm | Carte 2 |
| 4,5 km | 1/25 000 | …… cm | Carte 3 |
| …… cm | 1/200 000 | 7,8 cm | Carte 4 |
| 600 m | 1/5 000 | …… cm | Carte 5 |
Rappel : \( e = \frac{\text{Distance sur la carte}}{\text{Distance réelle}} \) (avec les mêmes unités)
Distance sur la carte = Distance réelle \( \times e \) |
Distance réelle = Distance sur la carte \( \div e \)
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💰Exercice 7: Bénéfice d’un commerçant
Un commerçant a réalisé un bénéfice de 20% sur le prix d’achat d’un réfrigérateur, sachant que le prix de vente de ce réfrigérateur est de 1920 DH.
Déterminer le prix d’achat de ce réfrigérateur.
En déduire le montant du bénéfice réalisé par ce commerçant.
Rappel : Prix de vente = Prix d’achat + Bénéfice
Bénéfice = \( \frac{t}{100} \times \) Prix d’achat (avec \( t = 20\% \))
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⛽Exercice 8: Consommation d’une voiture
Une voiture roule à une vitesse de 80 km/h. Une personne a enregistré la consommation de la voiture après avoir parcouru différentes distances et a obtenu le tableau de proportionnalité suivant :
| Quantité d’essence (L) | 7 | 2,5 | 18,25 |
|---|---|---|---|
| Distance (km) | 98 | 35 | 255,5 |
Déterminer la distance que peut parcourir la voiture avec une consommation de 37,5 L d’essence.
Quelle est la durée du trajet pour une consommation de 12,4 L d’essence ?
Le prix d’un litre d’essence est de 12,34 DH. Déterminer la somme d’argent correspondant à la quantité d’essence consommée pour parcourir 100 km.
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📺Exercice 9: Comparaison de réductions
Pour acheter un téléviseur, Ahmed se retrouve devant un choix entre deux magasins qui proposent le même téléviseur avec des pourcentages de réduction différents (voir le document ci-dessous).
Magasin 1
Prix avant réduction : 2500 DH
Taux de réduction : 30%
Magasin 2
Prix avant réduction : 3000 DH
Taux de réduction : 45%
Question
Aider Ahmed à choisir le magasin le plus avantageux.
Rappel : Prix après réduction = Prix initial × (1 – Taux de réduction)
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⌚Exercice 10: Avance d’une montre
Une montre avance de cinq secondes toutes les 25 minutes.
De combien cette montre avance-t-elle en \( 2h\;5min\;35s \) ?
Rappel : 1 h = 60 min = 3600 s | 1 min = 60 s
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