Puissances – Cours 1AC
Puissances
I – Puissance d’un nombre relatif
Définition 1
a est un nombre relatif, et n un nombre entier non nul.
\( a \)
La base de la puissance \( a^n \)
\( n \)
L’exposant de la puissance \( a^n \)
\( a^n \): se lit « a exposant n » ou bien « a puissance n »
Exemple :
\[ (-2,5) \times (-2,5) \times (-2,5) = (-2,5)^3 \]
\( (-2,5)^3 \): se lit « -2,5 exposant 3 » ou bien « -2,5 puissance 3 »
Cas particuliers
a un nombre relatif :
\[ a^1 = a \]
\[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \]
\[ a^2 = a \times a \]
Carré de a
\[ a^3 = a \times a \times a \]
Cube de a
2. Le signe d’une puissance
Règle 1:
a est un nombre relatif, et n un nombre entier non nul.
- Si l’exposant n est pair alors la puissance \( a^n \) est positive
- Si l’exposant n est impair alors la puissance \( a^n \) prend le signe de a
Exposant pair
\( (-3)^4 = 81 \)
\( 2^6 = 64 \)
\( (-5)^2 = 25 \)
Exposant impair
\( (-2)^3 = -8 \)
\( 3^5 = 243 \)
\( (-4)^3 = -64 \)
Tableau récapitulatif
| Cas | Résultat | Exemple |
|---|---|---|
| \( a^1 \) | a | \( (-5)^1 = -5 \) |
| \( a^0 \) (a≠0) | 1 | \( 7^0 = 1 \) |
| n pair | Toujours positif | \( (-3)^2 = 9 \) |
| n impair | Même signe que a | \( (-2)^3 = -8 \) |
Exemples de signe
\( (-5)^8 \): positif car l’exposant est pair
\( 7^{28} \): positif car l’exposant est pair
\( (-5,8)^3 \): négatif car l’exposant 3 est impair et -5,8 est négatif
\( 7^{11} \): positif car la base 7 est positive
Remarque I
Si \( n \) est un nombre pair, alors \( (-a)^n = a^n \)
Exemple :
\[ (-5)^{10} = 5^{10} \]
Car 10 est pair, donc le signe négatif disparaît
II- Les opérations sur les puissances
1. Produit de deux puissances de même base
Règle 2 :
Soit \( a \) un nombre relatif, et \( n \), \( m \) deux nombres entiers naturels non nuls.
Exemple :
\[ 5^2 \times 5^{13} = 5^{2+13} = 5^{15} \]
Autre exemple : \( (-3)^4 \times (-3)^7 = (-3)^{11} \)
2. Puissance d’une puissance
Règle 3 :
Soit \( a \) un nombre relatif, \( n \) et \( m \) deux nombres entiers naturels non nuls.
\( (a^n)^m \): puissance d’une puissance
Exemples :
\[ (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} \]
\[ ((-5)^2)^3 = (-5)^{6} = 5^6 \] (car 6 est pair)
Résumé des règles
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Produit même base | \( a^n \times a^m = a^{n+m} \) | \( 4^3 \times 4^5 = 4^8 \) |
| Puissance de puissance | \( (a^n)^m = a^{n \times m} \) | \( (7^2)^3 = 7^6 \) |
| Signe (n pair) | \( (-a)^n = a^n \) | \( (-3)^4 = 3^4 \) |
3. Produit de deux puissances de même exposant
Règle 4 :
Soient a et b deux nombres relatifs, et n un nombre entier naturel non nul.
Exemple :
\( 5^3 \times 2^3 = (5 \times 2)^3 = 10^3 \)
4. Quotient de deux puissances de même base
Règle 5 :
Soit a un nombre relatif non nul et n, m deux nombres entiers naturels non nuls.
Exemple :
\( \frac{(-5)^9}{(-5)^4} = (-5)^{9-4} = (-5)^5 \)
Résumé des règles opératoires
| Opération | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Puissance de puissance | \( (a^n)^m = a^{n \times m} \) | \( (2^3)^4 = 2^{12} \) |
| Produit même exposant | \( a^n \times b^n = (a \times b)^n \) | \( 3^4 \times 5^4 = 15^4 \) |
| Quotient même base | \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) | \( \frac{7^8}{7^3} = 7^5 \) |
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