Puissances – Cours 2AC
LES PUISSANCES
I. Les puissances de dix
Définition :
Soit n un entier positif.
On note \( 10^n \) le nombre \(\underbrace{10 \times 10 \times … \times 10}_{n}\), c’est-à-dire le produit de n facteurs égaux à 10 :
\[10^n = \underbrace{10 \times 10 \times … \times 10}_{n} = 1000…000\]
(le nombre n est appelé exposant)
Exemple :
\[10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\]
Remarques :
Un million se note \( 10^6 \) et un milliard se note \( 10^9 \).
\[1000 = 10^3\]
\[100 = 10^2\]
\[10 = 10^1\]
\[1 = 10^0\]
Par convention, on convient que : \( 10^0 = 1 \).
\[\frac{1}{10} = 0,1 = 10^{-1}\]
Définition :
Soit n un entier positif non nul.
On note \( 10^{-n} \) l’inverse de \( 10^n \) :
\[10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0,000…001\]
(n chiffres après la virgule)
Exemples :
\[10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01\]
\[10^{-1} = 0,1\]
\[10^{-5} = 0,00001\] (5 chiffres)
II. Puissances entières d’un nombre relatif : exposant entier positif
Définition :
Soit a un nombre relatif et n un entier positif non nul.
On note \( a^n \), le nombre \(\underbrace{a \times a \times … \times a}_{n}\), c’est-à-dire le produit de n facteurs égaux à a :
\[a^n = \underbrace{a \times a \times … \times a}_{n}\]
Exemples :
\[4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024\]
\[(-7)^3 = (-7) \times (-7) \times (-7) = -343\]
\[\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{81}\]
Conventions et remarques :
Par convention, si \( a \neq 0 : a^0 = 1 \).
\[7^0 = 1\]
Remarque : Une puissance s’adresse au symbole qui la précède :
\[(-8)^0 = 1\] mais \[-8^0 = -1\]
Attention !
- Ne pas confondre \( 5^3 \) et \( 5 \times 3 \) :
\[5^3 = 125\] et \[5 \times 3 = 15\]
- Ne pas confondre \( 3^4 \) et \( 4^3 \) :
\[3^4 = 81\] et \[4^3 = 64\]
- Ne pas confondre \( (-3)^4 \) et \( -3^4 \) :
\[(-3)^4 = 81\] et \[-3^4 = -81\]
Remarques :
- Pour tout \( a, a^1 = a \) → \( 7^1 = 7 \)
- Les puissances d’exposants pairs sont toujours positives
\( (-8)^{42} \) est positif → \( (-8)^{42} = 8^{42} \)
III. Puissances entières d’un nombre relatif : exposant entier négatif
Définition :
Soit \( a \) un nombre relatif non nul et n un entier non nul.
On note \( a^{-n} \) l’inverse de \( a^n \) :
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Exemples :
\[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125\]
\[(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}\]
Cas particulier, si \( a \neq 0 : a^{-1} \) est l’inverse de \( a : a^{-1} = \frac{1}{a} \).
\[5^{-1} = \frac{1}{5}\]
\[(-6)^{-1} = -\frac{1}{6}\]
Attention !
Le nombre \( 2^{-3} \) n’est pas égal à 0,002!
\[2^{-3} = \frac{1}{8} = 0,125\]
IV. Notation scientifique d’un nombre
Propriété :
Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme \( a \times 10^n \) dans laquelle a désigne un nombre décimal et n un entier relatif.
Exemples :
\[3 750 000 = 3 750 \times 10^3 = 375 \times 10^4 = 3,75 \times 10^6\]
\[0,00425 = 425 \times 10^{-5} = 42,5 \times 10^{-4} = 4,25 \times 10^{-3}\]
Définition :
L’écriture scientifique d’un nombre est la seule écriture de la forme \( a \times 10^p \) dans laquelle a s’écrit avec un seul chiffre avant la virgule, a étant différent de 0.
Exemples :
L’écriture scientifique de 3 750 000 est \( 3,75 \times 10^6 \)
L’écriture scientifique de 0,00425 est \( 4,25 \times 10^{-3} \)
L’écriture scientifique de -25 000 000 000 est \( -2,5 \times 10^{10} \)
V. Règles de calcul
1. Les puissances de 10
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | \(10^m \times 10^n = 10^{m+n}\) | \(10^2 \times 10^4 = 10^6\) |
| Inverse | \(\frac{1}{10^n} = 10^{-n}\) | \(\frac{1}{10^3} = 10^{-3}\) |
| Quotient | \(\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\) | \(\frac{10^5}{10^2} = 10^3\) |
| Puissance de puissance | \((10^m)^n = 10^{m \times n}\) | \((10^2)^4 = 10^8\) |
2. Les puissances de nombres relatifs
Les mêmes règles s’appliquent pour les puissances de nombres relatifs :
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\)
- \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (pour \(a \neq 0\))
- \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
- \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) (pour \(b \neq 0\))
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