Puissances exercices corrigés 2AC

Puissances de 10

Exercice 1: 

Calculer mentalement :

$10^{5}=100000$

$10^{6}=$

$10^{9}=$

$10^{4}=$

$10^{1}=$

$10^{7}=$

$10^{8}=$

$10^{0}=$

$10^{5}=\mathbf{1 0 0 0 0 0} $

$10^{6}=1000000$

$10^{9}=1000000000$

$10^{4}=10000$

$10^{1}=10$

$10^{7}=10000000$

$10^{8}=100000000$

$10^{0}=1$

Exercice 2: 

Calculer mentalement :

$10^{-3}=\mathbf{0 , 0 0 1}$

$10^{-5}=$

$10^{-6}=$

$10^{-4}=$

$10^{-9}=$

$10^{-1}=$

$10^{-8}=$

$10^{-2}=$

$10^{-7}=$

$10^{-0}=$

$10^{-3}=\mathbf{0 , 0 0 1}$

$10^{-5}=0,00001$

$10^{-6}=\mathbf{0 , 0 0 0} 001$

$10^{-4}=0,0001$

$10^{-9}=\mathbf{0 , 0 0 0} 000001$

$10^{-1}=\mathbf{0 , 1}$

$10^{-8}=\mathbf{0 , 0 0 0} 00001$

$10^{-2}=\mathbf{0 , 0 1}$

$10^{-7}=\mathbf{0}, 0000001$

$10^{-0}=\mathbf{1}$

Exercice 3: 

Écrire chaque résultat sous la forme $« 10^{a} »$ :

$ 10^{-2} \times 10^{-9}= $

$ 10^{4} \times 10^{-5}= $

$\frac{10^{-8}}{10^{2}}= $

$\frac{10^{5}}{10^{-4}}= $

$\left(10^{-4}\right)^{2}= $

$\left(10^{-9}\right)^{-1}= $

$ 10^{-2} \times 10^{-9}=10^{-2-9}=10^{-11} $

$ 10^{4} \times 10^{-5}=10^{4-5}=10^{-1} $

$\frac{10^{-8}}{10^{2}}=10^{-8-2}=10^{-10} $

$\frac{10^{5}}{10^{-4}}=10^{5-(-4)} =10^{5+4}=10^{9} $

$\left(10^{-4}\right)^{2}=10^{-4 \times 2}=10^{-8} $

$\left(10^{-9}\right)^{-1}=10^{-9 \times(-1)}=10^{9} $

Exercice 4: 

Écrire chaque résultat sous la forme $« 10^{a} »$ :

$ A=10^{4} \times 10^{-8} \times 10^{5}$

$ B=\left(10^{-2}\right)^{3} \times\left(10^{3}\right)^{4} $

$ C=\frac{10^{4} \times 10^{-1} \times 10^{-5}}{10^{-7} \times 10^{6} \times 10^{-3}}$

$ \mathrm{D}=\frac{\left(10^{-5}\right)^{6}}{\left(10^{4}\right)^{-8}} $

$ E=\frac{\frac{10^{4}}{10^{-5}}}{\frac{10^{-3}}{10^{2}}} $

$\mathrm{~F}=\left(\left(\left(10^{-2}\right)^{3}\right)^{-4}\right)^{-1} $

$ A=10^{4} \times 10^{-8} \times 10^{5}=10^{4-8+5}=10^{1}$

$ B=\left(10^{-2}\right)^{3} \times\left(10^{3}\right)^{4}=10^{-2 \times 3} \times 10^{3 \times 4}=10^{-6} \times 10^{12}=10^{6} $

$ C=\frac{10^{4} \times 10^{-1} \times 10^{-5}}{10^{-7} \times 10^{6} \times 10^{-3}}=\frac{10^{4-1-5}}{10^{-7+6-3}}=\frac{10^{-2}}{10^{-4}}=10^{-2-(-4)}=10^{2} $

$ \mathrm{D}=\frac{\left(10^{-5}\right)^{6}}{\left(10^{4}\right)^{-8}}=\frac{10^{-5 \times 6}}{10^{4 \times(-8)}}=\frac{10^{-30}}{10^{-32}}=10^{-30-(-32)}=10^{2} $

$ E=\frac{\frac{10^{4}}{10^{-5}}}{\frac{10^{-3}}{10^{2}}}=\frac{10^{4}}{10^{-5}} \times \frac{10^{2}}{10^{-3}}=\frac{10^{4+2}}{10^{-5-3}}=\frac{10^{6}}{10^{-8}}=10^{6-(-8)}=10^{14} $

$\mathrm{~F}=\left(\left(\left(10^{-2}\right)^{3}\right)^{-4}\right)^{-1}=\left(\left(10^{-2 \times 3}\right)^{-4}\right)^{-1}=\left(10^{-6 \times(-4)}\right)^{-1}=10^{24 \times(-1)}=10^{-24} $

Exercice 5: 

Écrire chaque résultat sous la forme $« 10^{a} »$ :

$ \mathrm{A}=10^{-2} \times 10^{9} \times 10 \times 10^{2} \times 10^{-5}$

$ \mathrm{~B}=\frac{10^{6}}{10^{-2}} \times \frac{10^{-2}}{10^{-5}} \times \frac{10^{-5}}{10^{4}}$

$ \mathrm{C}=10^{4} \times \frac{10^{6}}{10^{9}} \times \frac{10^{-4}}{10^{0}} \times \frac{1}{10^{5}}$

$\mathrm{D}=\frac{\left(10^{-2}\right)^{3}}{\left(10^{-1}\right)^{4}} \times \frac{\left(10^{-8}\right)^{-2}}{\left(10^{-5}\right)^{3}}$

$ \mathrm{E}=\left(10^{-9} \times 10^{-3} \times 10^{14} \times 10 \times 0,1\right)^{-2} $

$ \mathrm{A}=10^{-2} \times 10^{9} \times 10 \times 10^{2} \times 10^{-5}=10^{-2+9+1+2-5}=10^{5} $

$ \mathrm{~B}=\frac{10^{6}}{10^{-2}} \times \frac{10^{-2}}{10^{-5}} \times \frac{10^{-5}}{10^{4}}$

$\mathrm{~B}=10^{6-(-2)} \times 10^{-2-(-5)} \times 10^{-5-4}$

$\mathrm{~B}=10^{6+2} \times 10^{-2+5} \times 10^{-9}$

$\mathrm{~B}=10^{8} \times 10^{3} \times 10^{-9}$

$\mathrm{~B}=10^{2} $

$ \mathrm{C}=10^{4} \times \frac{10^{6}}{10^{9}} \times \frac{10^{-4}}{10^{0}} \times \frac{1}{10^{5}}$

$ \mathrm{C}=10^{4} \times 10^{6-9} \times 10^{-4-0} \times 10^{-5} $

$\mathrm{C} =10^{4} \times 10^{6-9} \times 10^{-4-0} \times 10^{-5}$

$ \mathrm{C}=10^{4} \times 10^{>} \times 10^{-4} \times 10^{-5} $

$ \mathrm{C}=10^{4-3-4-5} $

$\mathrm{C}=10^{-8} $

$\mathrm{D}=\frac{\left(10^{-2}\right)^{3}}{\left(10^{-1}\right)^{4}} \times \frac{\left(10^{-8}\right)^{-2}}{\left(10^{-5}\right)^{3}}$

$\mathrm{D}=\frac{10^{-2 \times 3}}{10^{-1 \times 4}} \times \frac{10^{-8 \times(-2)}}{10^{-5 \times 3}}$

$\mathrm{D} =\frac{10^{-6}}{10^{-4}} \times \frac{10^{16}}{10^{-15}}$

$\mathrm{D}=10^{-6-(-4)} \times 10^{16-(-15)} $

$ \mathrm{D}=10^{-6+4} \times 10^{16+15}$

$\mathrm{D}=10^{-2} \times 10^{31}$

$\mathrm{D}=10^{-2+31}$

$\mathrm{D}=10^{29} $

$ \mathrm{E}=\left(10^{-9} \times 10^{-3} \times 10^{14} \times 10 \times 0,1\right)^{-2}$

$\mathrm{E}=\left(10^{-9-3+14} \times 1\right)^{-2} $

$ \mathrm{E}=\left(10^{2}\right)^{-2}$

$\mathrm{E}=10^{2 \times(-2)}$

$\mathrm{E}=10^{-4}$

Exercice 6: 

Compléter les pointillés : 

$ 10^{4} \times 10^{\cdots}=10^{-1} $

$ 10^{-5} \times 10^{\cdots} \times 10^{-2}=10^{3} $

$ \frac{1}{10^{\cdots}}=10^{6} $

$ \frac{10^{-3}}{10^{\cdots}}=10^{-5} $

$ \frac{10^{-4} \times 10^{9}}{10^{\cdots} \times 10^{-2}}=10^{8}$

$ \frac{10^{-1} \times 10^{5} \times 10^{\cdots}}{10^{-3} \times 10^{7} \times 10^{2}}=10^{-3} $

$\left(10^{3}\right)^{\cdots}=10^{-6} $

$ \left(10^{\cdots}\right)^{-4}=10^{12} $

$\left[\left(10^{-1}\right)^{-3}\right]^{\cdots}=10^{-9}$

$10^{11} \times 10^{\cdots}=10^{-5} \times 10^{9}$

$ \frac{1}{\left(10^{-5}\right)^{\cdots}}=10^{15} $

$ \frac{10^{-3}}{10^{\cdots}}=\frac{10^{-5}}{10^{-9}} $

$ 10^{4} \times 10^{-5}=10^{-1} $

$ 10^{-5} \times 10^{10} \times 10^{-2}=10^{3} $

$ \frac{1}{10^{-6}}=10^{6} $

$ \frac{10^{-3}}{10^{2}}=10^{-5} $

$ \frac{10^{-4} \times 10^{9}}{10^{-1} \times 10^{-2}}=10^{8}$

$ \frac{10^{-1} \times 10^{5} \times 10^{-1}}{10^{-3} \times 10^{7} \times 10^{2}}=10^{-3} $

$\left(10^{3}\right)^{-2}=10^{-6} $

$ \left(10^{-3}\right)^{-4}=10^{12} $

$\left[\left(10^{-1}\right)^{-3}\right]^{-3}=10^{-9}$

$10^{11} \times 10^{-7}=10^{-5} \times 10^{9}$

$ \frac{1}{\left(10^{-5}\right)^{3}}=10^{15} $

$ \frac{10^{-3}}{10^{-7}}=\frac{10^{-5}}{10^{-9}} $

Exercice 7: 

Calculer :

$a.$ $54321,09876 \times 10^{2}=5432109,876$

$b.$ $54321,09876 \times 10^{-2}=$

$c.$ $54321,09876 \times 10^{4}=$

$d.$ $54321,09876 \times 10^{-3}=$

$e.$ $54321,09876 \times 10^{5}=$

$f.$ $54321,09876 \times 10^{-4}=$

$g.$ $54321,09876 \times 10^{-1}=$

$h.$ $54321,09876 \times 10^{7}=$

$i.$ $54321,09876 \times 10^{-6}=$

$j.$ $54321,09876 \times 10^{0}=$

$a.$ $54321,09876 \times 10^{2}=5432109,876$

$b.$ $54321,09876 \times 10^{-2}=543,2109876$

$c.$ $54321,09876 \times 10^{4}=543210 987,6$

$d.$ $54321,09876 \times 10^{-3}=54,32109876$

$e.$ $54321,09876 \times 10^{5}=5432109876$

$f.$ $54321,09876 \times 10^{-4}=5,432109876$

$g.$ $54321,09876 \times 10^{-1}=5432,109876$

$h.$ $54321,09876 \times 10^{7}=543210987600$

$i.$ $54321,09876 \times 10^{-6}=0,05432109876$

$j.$ $54321,09876 \times 10^{0}=54321,09876$

Exercice 8: 

Compléter les pointillés :

$a.$ $6,08 \times 10^{. .5 . .}=608000$

$\boldsymbol{b}, 87,52 \times 10 \cdots \cdots=875,2$

$c.$ $764,987 \times 10 \cdots \cdots=7,64987$

$d.$ $9875 \times 10 \cdots \cdots=98750000$

$e,$ $49518 \times 10 \cdots \cdots=0,49518$

$f.$ $642,063 2 \times 10 \cdots \cdots=642063200$

$g.$ $40328,16 \times 10 \cdots \cdots=0,00004032816$

$h.$ $923,923 \times 10 \cdots \cdots=9239230000000$

$i.$ $328143,684 \times 10 \cdots \cdots=0,0000000328143684$

$j.$ $32,81 \times 10^{\cdots \cdots}=3281000000000000000000$


$a.$ $6,08 \times 10^{5 }=608000$

$b.$ $87,52 \times 10^{1}=875,2$

$c.$ $764,987 \times 10^{-2}=7,64987$

$d.$ $9875 \times 10^{4}=98750000$

$e. $$49518 \times 10^{-5}=0,49518$

$f. $$642,0632 \times 10^{6}=642063200$

$g.$ $40328,16 \times 10^{-9}=0,00004032816$

$h.$ $923,923 \times 10^{10}=9239230000000$

$i. $$328143,684 \times 10^{-13}=0,0000000328143684$

$j.$ $32,81 \times 10^{20}=3281000000000000000000$

Puissances entières d'un nombre relatif

Exercice 9: 

Calculer :

$a.$ $(-4)^{3}=(-4) \times(-4) \times(-4)=-64$

$b.$  $5^{4}=$

$c.$  $(-6)^{3}=$

$ d.$  $2^{6}=$

$ e. $ $(-10)^{3}=$

$ f.$  $2^{8}=$

$ g.$  $(-3)^{4}=$

$ h.$  $(0,1)^{3}=$

$ i.$ $(-5)^{5}=$

$ j.$  $(-100)^{5}=$ 

$a.$ $(-4)^{3}=(-4) \times(-4) \times(-4)=-64$

$b.$  $5^{4}=5 \times 5 \times 5 \times 5=625$

$c.$  $(-6)^{3}=(-6) \times(-6) \times(-6)=-216$

$ d.$  $2^{6}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=64$

$ e. $ $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=-1000$

$ f.$  $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

$ g.$  $(-3)^{4}=(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)=81$

$ h.$  $(0,1)^{3}=0,1 \times 0,1 \times 0,1=0,001$

$ i.$ $(-5)^{5}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=-3125$

$ j.$  $(-100)^{5}=(-100) \times(-100) \times(-100) \times(-100) \times(-100)=-10000000000$ 

Exercice 10: 

Calculer :

$ a. $ $ 4^{-3}=\frac{1}{4 \times 4 \times 4}=\frac{1}{64}$

$ b. $ $ (-2)^{-5}=$

$ c. $ $ 3^{-4}=$

$ d. $ $ (-10)^{-4}=$

$ e. $ $(-0,2)^{5}=$

$ f .$ $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=$

$ g. $ $\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}=$

$ h. $ $\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=$

$ i. $ $\left(-\frac{1}{5}\right)^{-3}=$

$ j. $ $ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-4}=$

$ a. $ $ 4^{-3}=\frac{1}{4 \times 4 \times 4}=\frac{1}{64}$

$ b. $ $ (-2)^{-5}=\frac{1}{(-2)^{5}}=\frac{1}{(-2) \times(-2) \times(-2) \times(-2) \times(-2)}=\frac{1}{-32}=-\frac{1}{32}$

$ c. $ $ 3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{1}{81} $

$ d. $ $ (-10)^{-4}=\frac{1}{(-10)^{4}}=\frac{1}{(-10) \times(-10) \times(-10) \times(-10)}=-\frac{1}{10000}$

$ e. $ $(-0,2)^{5}=(-0,2) \times(-0,2) \times(-0,2) \times(-0,2) \times(-0,2)=-0,00032$

$ f .$ $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{64}$

$ g. $ $\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}=\left(-\frac{2}{3}\right) \times\left(-\frac{2}{3}\right) \times\left(-\frac{2}{3}\right) \times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{81}$

$ h. $ $\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{4}\right) \times\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{16}$

$ i. $ $\left(-\frac{1}{5}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{5}\right)^{3}}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{5}\right) \times\left(-\frac{1}{5}\right) \times\left(-\frac{1}{5}\right)}=-\frac{1}{\frac{1}{125}}=-125$

$ j. $ $ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-4}=\frac{1}{\left(-\frac{2}{5}\right)^{4}}=\frac{1}{\left(-\frac{2}{5}\right) \times\left(-\frac{2}{5}\right) \times\left(-\frac{2}{5}\right) \times\left(-\frac{2}{5}\right)}=\frac{1}{\frac{16}{625}}=\frac{625}{16}$

Exercice 11: 

Donner le résultat des calculs suivants sous la forme $« n^{a} »$ :

 $5^{2} \times 5^{4}=5^{6}$

$4^{-3} \times 4^{8}=$

$(-6)^{-7} \times(-6)^{2}=$

$(-3)^{7} \times(-3)^{-4}=$

$5^{-3} \times 5^{-1} \times 5^{8}=$

$7^{9} \times 7^{-8} \times 7^{-3}=$

$(-8)^{2} \times(-8)^{-5} \times(-8)^{-1}=$

$9^{2} \times 9^{-1} \times 9^{-7} \times 9^{-4}=$

$\frac{5^{7}}{5^{3}}=$

$\frac{7^{-4}}{7^{3}}=$

$\frac{(-6)^{-6}}{(-6)^{-1}} =$

$\frac{(-5)^{6}}{(-5)^{-16}}  =$

$\frac{(-1)^{-12}}{(-1)^{-8}}  =$

$\frac{23^{-14}}{23^{-21}} =$

 $\frac{(-3)^{-9}}{(-3)^{6}}=$

$\frac{2^{-3}}{2^{3}}=$

 $\left(3^{-2}\right)^{7}=$ 

$\left((-5)^{-7}\right)^{-1}  =$

 $\left((-2)^{4}\right)^{-3}=$

$\left(12^{7}\right)^{3}=$

$\left(8^{-8}\right)^{8}=$

$\left((-9)^{-7}\right)^{-2}  =$

$\left((-0,6)^{-11}\right)^{-3}  =$

$\left(7^{-8}\right)^{0}=$ 

 $5^{2} \times 5^{4}=5^{6}$

$4^{-3} \times 4^{8}=4^{-3+8}=4^{5}$

$(-6)^{-7} \times(-6)^{2}=(-6)^{-7+2}=(-6)^{-5}$

$(-3)^{7} \times(-3)^{-4}=(-3)^{7-4}=(-3)^{3}$

$5^{-3} \times 5^{-1} \times 5^{8}=5^{-3-1+8}=5^{4}$

$7^{9} \times 7^{-8} \times 7^{-3}=7^{9-8-3}=7^{-2}$

$(-8)^{2} \times(-8)^{-5} \times(-8)^{-1}=(-8)^{-4}$

$9^{2} \times 9^{-1} \times 9^{-7} \times 9^{-4}=9^{2-1-7-4}=9^{-10}$

$\frac{5^{7}}{5^{3}}=5^{4}$

$\frac{7^{-4}}{7^{3}}=7^{-4-3}=7^{-7}$

$\frac{(-6)^{-6}}{(-6)^{-1}} =(-6)^{-6-(-1)}  =(-6)^{-6+1}=(-6)^{-5}$

$\frac{(-5)^{6}}{(-5)^{-16}}  =(-5)^{6-(-16)}  =(-5)^{6+16}=(-5)^{22}$

$\frac{(-1)^{-12}}{(-1)^{-8}}  =(-1)^{-12-(-8)} =(-1)^{-4}$

$\frac{23^{-14}}{23^{-21}} =23^{-14-(-21)}  =23^{-14+21}=23^{7}$

 $\frac{(-3)^{-9}}{(-3)^{6}}=(-3)^{-9-6}=(-3)^{-15}$

$\frac{2^{-3}}{2^{3}}=2^{-3-3}=2^{-6}$

 $\left(3^{-2}\right)^{7}=3^{-14}$ 

$\left((-5)^{-7}\right)^{-1}  =(-5)^{-7 \times(-1)}  =(-5)^{7}$

 $\left((-2)^{4}\right)^{-3}=(-2)^{4 \times(-3)}=(-2)^{-12}$

$\left(12^{7}\right)^{3}=12^{7 \times 3}=12^{21}$

$\left(8^{-8}\right)^{8}=8^{-8 \times 8} =8^{-64}$

$\left((-9)^{-7}\right)^{-2}  =(-9)^{-7 \times(-2)} =(-9)^{14}$

$\left((-0,6)^{-11}\right)^{-3}  =(-0,6)^{-11 \times(-3)}  =(-0,6)^{33}$

$\left(7^{-8}\right)^{0}=1$ 

Opérations et priorité des calculs

Exercice 12: 

Calculer en respectant les priorités :

$A=3\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

$B=5\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$

$\mathrm{C}=\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^{3}$

$\mathrm{D}=-\frac{5}{2}\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$

$E=-\frac{7}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}$

$\mathrm{F}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$

$ \mathrm{A}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=3 \times \frac{1^{3}}{2^{3}}$

$ =3 \times \frac{1}{8}=\frac{3}{8} $

$\mathrm{~B}=5\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=5 \times \frac{3^{2}}{4^{2}} $

$ =5 \times \frac{9}{16}=\frac{45}{16} $

$ \mathrm{C}=\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{2}{3} \times \frac{3^{3}}{2^{3}} $

$=\frac{2 \times 3^{3}}{3 \times 2^{3}}=\frac{3^{3}}{3} \times \frac{2}{2^{3}}$

$ =3^{3-1} \times 2^{1-3}=3^{2} \times 2^{-2} $

$ \mathrm{D}=-\frac{5}{2}\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{5}{2} \times \frac{4^{2}}{5^{2}} $

$=-\frac{5}{2} \times \frac{16}{25}=-\frac{5}{2 \times 5 \times 5} \times \frac{5}{5}$

$ =-\frac{2 \times 2 \times 4}{2 \times 5}=-\frac{8}{5}$

$ \mathrm{E}=-\frac{7}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} $

$ =-\frac{7}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)^{+2}=-\frac{7}{3} \times \frac{3^{2}}{2^{2}}$

$ =-\frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 2}=-\frac{21}{4} $

$ \mathrm{~F}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$

$=-\frac{2^{3}}{3^{3}} \times \frac{1^{2}}{4^{2}}=-\frac{8}{27} \times \frac{1}{16} $

$ =-\frac{8 \times 1}{27 \times 8 \times 2}=-\frac{1}{54}$

Exercice 13: 

Calculer en respectant les priorités :

$A=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{3}{4}\right)^{3}$

$B=\frac{5}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$

$C=-\frac{4}{5}\left(\frac{10}{3}\right)^{2}-\frac{7}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}$

$ A=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{3}{4}\right)^{3} $

$ =\frac{1^{3}}{2^{3}}-\frac{3^{3}}{4^{3}}

$=\frac{1}{8}-\frac{27}{64} $

$ =\frac{1 \times 8}{8 \times 8}-\frac{27}{64}$

$ =\frac{8}{64}-\frac{27}{64}=-\frac{19}{64} $

$ \mathrm{B}=\frac{5}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}\left(\frac{5}{2}\right)^{2} $

$ =\frac{5}{4} \times \frac{2^{2}}{3^{2}}-\frac{1}{9} \times \frac{5^{2}}{2^{2}} $

$ =\frac{5}{4} \times \frac{4}{9}-\frac{1}{9} \times \frac{25}{4} $

$ =\frac{5 \times 4}{4 \times 9}-\frac{1 \times 25}{9 \times 4} $

$ =\frac{20}{36}-\frac{25}{36}$

$=-\frac{5}{36} $

$\mathrm{C}=-\frac{4}{5}\left(\frac{10}{3}\right)^{2}-\frac{7}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)^{3} $

$ =-\frac{4}{5} \times \frac{10^{2}}{3^{2}}-\frac{7}{3} \times\left(-\frac{3^{3}}{2^{3}}\right) $

$ =-\frac{4}{5} \times \frac{100}{9}+\frac{7}{3} \times \frac{27}{8} $

$ =-\frac{4 \times 20 \times 5}{5 \times 9}+\frac{7 \times 9 \times 3}{3 \times 8} $

$ =-\frac{80}{9}+\frac{93}{8}$

$=-\frac{80 \times 8}{9 \times 8}+\frac{93 \times 9}{8 \times 9} $

$ =-\frac{640}{72}+\frac{837}{72}

$=\frac{197}{72}$

Exercice 14:

Calculer mentalement en utilisant astucieusement la « distributivité des puissances » :

$ A=2^{7} \times 5^{7}$

$B=4^{3} \times 5^{3} $

$ C=5^{-3} \times 2^{-3}$

$ D=0,5^{-13} \times 2^{-13} $

$ E=2^{-6} \times 10^{6} \times(-5)^{-6}$

$ F=(-20)^{3} \times 100^{-3} \times 5^{3} $

$\mathrm{A}=2^{7} \times 5^{7}=(2 \times 5)^{7}  =10^{7} $

$ B=4^{3} \times 5^{3}=(4 \times 5)^{3} =20^{3}$

$ \mathrm{C}=5^{-3} \times 2^{-3}=(5 \times 2)^{-3}  =10^{-3} $

$ \mathrm{D}=0,5^{-13} \times 2^{-13}  =(0,5 \times 2)^{-13}=1^{-13}=1 $

$ \mathrm{E}=2^{-6} \times 10^{6} \times(-5)^{-6}$

$ =2^{-6} \times(-5)^{-6} \times 10^{6} $

$ =[2 \times(-5)]^{-6} \times 10^{6}$

$ =(-10)^{-6} \times 10^{6} $

$ =\frac{1}{(-10)^{6}} \times 10^{6} $

$=\frac{1}{10^{6}} \times 10^{6}=1$

$ \mathrm{~F}=(-20)^{3} \times 100^{-3} \times 5^{3} $

$ =(-20)^{3} \times 5^{3} \times 100^{-3} $

$ =[(-20) \times 5]^{3} \times 100^{-3} $

$ =(-100)^{3} \times 100^{-3} $

$ =-100^{3} \times 100^{-3} $

$ =-1$

Exercice 15:

Calculer mentalement en utilisant astucieusement la « distributivité des puissances » :

$A=\frac{4^{7}}{8^{7}}$

$B=\frac{(-15)^{-3}}{5^{-3}}$

$C=6^{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

$D=\left(-\frac{7}{3}\right)^{-9} \times\left(\frac{6}{14}\right)^{-9}$ 

$E=\frac{4^{4} \times 3^{4}}{2^{4} \times 12^{4}} \times 6^{4}$

$F=\frac{7^{-3} \times 10^{3} \times 14^{3} \times 2^{-3}}{3^{3} \times 5^{3} \times 6^{-3}}$

$\mathrm{A}  =\frac{4^{7}}{8^{7}}=\left(\frac{4}{8}\right)^{7} =\left(\frac{1}{2}\right)^{7}=2^{-7} $

$\mathrm{~B}=\frac{(-15)^{-3}}{5^{-3}}=\left(\frac{-15}{5}\right)^{-3} =(-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^{3}}=-\frac{1}{3^{3}} $

$\mathrm{C}=6^{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3} =\left(6 \times \frac{1}{2}\right)^{3}=3^{3}$

$\mathrm{D}  =\left(-\frac{7}{3}\right)^{-9} \times\left(\frac{6}{14}\right)^{-9} =\left(-\frac{7}{3} \times \frac{6}{14}\right)^{-9}=\left(-\frac{7}{3} \times \frac{3×2}{7×2}\right)^{-9}=-1^{-9}$

Notation scientifique

Exercice 16:

Parmi les nombres suivants, entourer ceux qui sont en écriture scientifique :

Exercice 17:

Compléter le tableau :

 

Exercice 18:

Retrouver la bonne écriture scientifique :

Exercice 19:

$1)$ Compléter le tableau :

$2)$ Compléter le tableau :

$1)$ Compléter le tableau :

$2)$ Compléter le tableau :

Exercice 20:

$1)$ Comparer ces nombres en écriture scientifique :

$2)$ Donner l’écriture scientifique des deux nombres puis les comparer :

$1)$ Comparer ces nombres en écriture scientifique :

$2)$ Donner l’écriture scientifique des deux nombres puis les comparer :

Ordre de grandeur

Exercice 21:

$1)$ Retrouver le résultat le plus proche :

$2)$ Retrouver le résultat le plus proche :

$1)$ Retrouver le résultat le plus proche :

$2)$ Retrouver le résultat le plus proche :

Exercice 22:

La lumière parcourt $300 000 000$ mètres par seconde $(m/s)$ environ.

Une année est constituée d’environ $32 000 000$ de secondes $(s)$.

$1)$ Exprimer ces deux quantités en écriture scientifique.

$2)$ Calculer une année lumière, c’est à dire la distance que parcourt la lumière en une année.

$1)$ La lumière parcourt $300000000$ mètres par seconde ( $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ) environ: $300000000 \mathrm{~m}=\mathbf{3 \times 1 0 ^ { 8 }} \mathbf{~ m}$

Une année est constituée d’environ 32000000 de secondes (s) : $32000000 \mathrm{~s}=\mathbf{3 , 2} \times \mathbf{1 0}^{\mathbf{7}} \mathrm{s}$

$2)$ Calcul d’une année lumière:

$\mathbf{D}=\mathbf{V} \times \mathbf{T}$ 1 a.l $=\mathbf{3} \times 10^{8} \times \mathbf{3 , 2} \times 10^{7}=3 \times \mathbf{3 , 2} \times 10^{8} \times 10^{7}=9,6 \times 10^{8+7}=9,6 \times 10^{15}$ mètres

Donc la distance que parcourt la lumière en une année est $\mathbf{9} \mathbf{6 0 0}$ milliards de kilomètres

Puissances exercices corrigés 2AC

Évaluations corrigés

Modèle N°1

Exercice 1：(3,5pts)

Ecrire sous forme $10^{n}$

✭ $\left(10^{-2}\right)^{-6} \times 10^{11} \times 10^{-7} $

✭ $ 10^{5} \times 100 \times 10^{-2}$

✭ $\frac{\left(10^{-5}\right)^{6}}{\left(10^{4}\right)^{7}}$

✭ $\frac{\left(10^{2}\right)^{-6}}{\left(10^{-3}\right)^{4}}$

✭ $ 10^{4} \times \frac{10^{7}}{10^{-2}} \times \frac{10^{-3}}{10^{8}}$

✭ $0,00001 \times \frac{10^{11}}{10^{-2}}$

✭ $ 100000 \times 10^{-6} \times 10^{8}$

Exercice 2：(5pts)

Calculer les expressions suivantes:

$\mathrm{A}=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-3^{-2}\right]^{-3}$

$\mathrm{B}=\left[\left(\frac{16}{5}\right)^{-1}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\right]^{-1}$

 $\mathrm{C}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{7}{4} \quad$

$  \mathrm{D}=3^{2} \times 8-6 \times\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$

$E=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

$ \mathrm{F}=\left(\frac{-2}{3}\right)^{2}+\frac{5}{9} $

$ \mathrm{G}=\left(1-3^{-1}\right)^{2}$

$H=(-97)^{0}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}-\frac{9}{16}$

$I=\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{14}\right)^{-2}\right]^{100} $

$J=2^{-2}-\frac{3}{4} \times 3^{-1}$ 

Exercice 3：(3pts)

Ecrire sous forme de puissance:

$A=\left(\frac{7}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{7}{3}\right)^{-2} $

$B=-\frac{7}{9} \times\left(-\frac{7}{9}\right)^{13} $

$C=\left(\frac{7}{5}\right)^{4} \times \frac{7}{5} \times\left(\frac{7}{5}\right)^{-2} $

$E=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{6} $

$F=\left(\frac{2}{7}\right)^{8} \times\left(\frac{7}{3}\right)^{8} $

$ G=\left(\frac{3}{4}\right)^{-5} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{-5} $

Exercice 4：(4,5pts)

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$A=35600000$

$ B=-2530000$

$ C=450 \times 10^{4} $

$D=0,01230 \times 10^{17} $

$ E=-0,0000265 $

$F=5000000 \times 0,00003 $

$G=\frac{128000000}{0,0000064} $

$H=\frac{240000}{0,000002}$

$I=\frac{2,5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-6}}$

Exercice 5：(4pts)

Simplifier les expressions suivantes:

$A=\left(a^{-2} \times a\right)^{4} \times\left(a^{5}\right)^{-2}$

$ B=\frac{a^{2} \times a^{3}}{a^{-4}}$

$C=\frac{a^{2} b^{3} \times\left(a^{-2} b^{-5}\right)^{4}}{\left(a^{-2} b^{-3}\right) \times a^{5} b^{7}}$

$ D=\frac{27 a^{-3} \times(4 b)^{2} \times 3 a b}{64 b^{3} \times 3^{4} a^{-2}}$

Exercice 1：(3,5pts)

Ecrire sous forme $10^{n}$

✭ $\left(10^{-2}\right)^{-6} \times 10^{11} \times 10^{-7} $

$=(10^{-12} \times 10^{11} \times 10^{-7} $

$=10^{-12+11-7} $

$=10^{-8} $

✭ $ 10^{5} \times 100 \times 10^{-2}$

$ =10^{5} \times 10^{2} \times 10^{-2}$

$ =10^{5} $

✭ $\frac{\left(10^{-5}\right)^{6}}{\left(10^{4}\right)^{7}}$

$= \frac{10^{-30}}{10^{28}}$

$= 10^{-30-28}$

$= 10^{-58}$

✭ $\frac{\left(10^{2}\right)^{-6}}{\left(10^{-3}\right)^{4}}$

$= \frac{10^{-12}}{10^{-12}}$

$= 10^{-12+12}$

$= 10^{0}$

$= 1$

✭ $ 10^{4} \times \frac{10^{7}}{10^{-2}} \times \frac{10^{-3}}{10^{8}}$

$=10^{4} \times 10^{7+2} \times 10^{-3-8} $

$ =10^{4} \times 10^{9} \times 10^{-11} $

$ =10^{4+9-11} $

$ =10^{2} $

✭ $0,00001 \times \frac{10^{11}}{10^{-2}}$

$ =10^{-5} \times 10^{11+2} $

$ =10^{-5} \times 10^{13} $

$ =10^{8} $

✭ $ 100000 \times 10^{-6} \times 10^{8}$

$ =10^{5} \times 10^{-6} \times 10^{8} $

$ =10^{7}$

Exercice 2：(5pts)

Calculer les expressions suivantes:

$\mathrm{A}=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-3^{-2}\right]^{-3}$

$ =\left(\frac{4}{9}-\frac{1}{3^{2}}\right)^{-3} $
$ =\left(\frac{4}{9}-\frac{1}{9}\right)^{-3} $
$ =\left(\frac{3}{9}\right)^{-3} $
$ =\left(\frac{9}{3}\right)^{3} $
$ =3^{3} $
$ =27 $

$\mathrm{B}=\left[\left(\frac{16}{5}\right)^{-1}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\right]^{-1}$

$=\left[\frac{5}{16}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\right]^{1} $
$ =\left(\frac{5}{16}+\frac{25}{16}\right)^{-1} $
$ =\left(\frac{30}{16}\right)^{-1} $
$ =\frac{16}{30} $
$ =\frac{8}{15}$

 $\mathrm{C}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{7}{4} \quad$

$ =\frac{9}{4}-\frac{7}{4} $
$ =\frac{2}{4} $
$=\frac{1}{2} $

$  \mathrm{D}=3^{2} \times 8-6 \times\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$

$ =9 \times 8-6 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} $
$=72-6 \times \frac{4}{9} $
$ =72-\frac{8 \times 2 \times 4}{8 \times 3} $
$ =72-\frac{8}{3} $
$ =\frac{216}{3}-\frac{8}{3} $
$ =\frac{208}{3} $

$E=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

$ =\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2} $
$ =\frac{1}{4}+\frac{9}{4} $
$ =\frac{10}{4} $
$ =\frac{5}{2} $

$ \mathrm{F}=\left(\frac{-2}{3}\right)^{2}+\frac{5}{9} $

$ =\frac{4}{9}+\frac{5}{9}  $
$ =\frac{9}{9} $
$ =1 $

$ \mathrm{G}=\left(1-3^{-1}\right)^{2}$

$ =\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}$
$ =\left(\frac{3}{3}-\frac{1}{3}\right) $
$=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9} $

 

$H=(-97)^{0}+\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}-\frac{9}{16}$

$=9+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}  $
$ =1+\frac{25}{16}-\frac{9}{16} $
$ =1+\frac{10}{16} $
$ =1+1 $
$ =2 $

$I=\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{14}\right)^{-2}\right]^{100} $

$=\left(\frac{4}{9}-\frac{1}{3^{2}}\right)^{-3} $
$ =\left(\frac{4}{9}-\frac{1}{9}\right)^{-3} $
$ =\left(\frac{3}{9}\right)^{-3} $
$ =\left(\frac{9}{3}\right)^{3} $
$ =3^{3} $
$ =27 $

$J=2^{-2}-\frac{3}{4} \times 3^{-1} $

$=\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} $

$=\frac{1}{4}-\frac{1}{4} $

$=0  $ 

Exercice 3：(3pts)

Ecrire sous forme de puissance:

$A=\left(\frac{7}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{7}{3}\right)^{-2} $

$A =\left(\frac{7}{3}\right)^{2+(-2)}$

$A=\left(\frac{7}{3}\right)^{0}$

$A =1 $

$B=-\frac{7}{9} \times\left(-\frac{7}{9}\right)^{13} $

$ B=\left(\frac{7}{9}\right)^{1+13} $

$ B=\left(-\frac{7}{9}\right)^{14}$

$C=\left(\frac{7}{5}\right)^{4} \times \frac{7}{5} \times\left(\frac{7}{5}\right)^{-2} $

$C =\left(\frac{7}{5}\right)^{5-2^{2}} $

$ C=\left(\frac{7}{5}\right)^{3} $

$E=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{6} $

$E =\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$

$F=\left(\frac{2}{7}\right)^{8} \times\left(\frac{7}{3}\right)^{8} $

$F =\left(\frac{2}{7} \times \frac{\pi}{3}\right)^{8} $

$F =\left(\frac{2}{3}\right)^{3} $

$ G=\left(\frac{3}{4}\right)^{-5} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{-5} $

$ G=\left(\frac{3}{4} \times \frac{4}{5}\right)^{-5}$

$ G=\left(\frac{3}{5}\right)^{-5} $

Exercice 4：(4,5pts)

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$A=35600000=3,56 \times 10^{7}$

$ B=-2530000=-2,53 \times 10^{6}$

$ C=450 \times 10^{4} =4,5 \times 10^{2} \times 10^{4}=4,5 \times 10^{6}$

$D=0,01230 \times 10^{17}=1,23 \times 10^{-2} \times 10^{17}=1,23 \times 10^{15} $

$ E=-0,0000265 =-2,65 \times 10^{-5}$

$F=5000000 \times 0,00003 $

$F=5 \times 10^{6} \times 3 \times 10^{-5}$

$F=5 \times 3 \times 10^{6} \times 10^{-5}$

$F=15 \times 10$

$F=1,5 \times 10^{2}$

$G=\frac{128000000}{0,0000064} $

$G=\frac{1,28 \times 10^{8}}{6,4 \times 10^{-7}}$

$G=\frac{1,28}{6,4} \times \frac{10^{8}}{10^{-7}}$

$G=0,2 \times 10^{15}$

$G=2 \times 10^{-1} \times 10^{15}$

$G=2 \times  10^{14}$

$H=\frac{240000}{0,000002}$

$H=\frac{24 \times 10^{5}}{2 \times 10^{-6}}$

$H=1,2 \times 10^{-1}$

$I=\frac{2,5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-6}}$

$I=\frac{2,5}{5} \times 10^{-7-(-6)}$

$I=0,5 \times 10^{-1}$

$I=5 \times 10^{-1} \times 10^{-1}$

$I=5 \times 10^{-2}$

Exercice 5：(4pts)

Simplifier les expressions suivantes:

$A=\left(a^{-2} \times a\right)^{4} \times\left(a^{5}\right)^{-2}$

$ A=a^{-8} \times a^{4} \times a^{-10} $

$ A=a^{-8+4-10} $

$A  =a^{-14} $

$ B=\frac{a^{2} \times a^{3}}{a^{-4}}$

$ B=\frac{a^{5}}{a^{-4}} $

$B =a^{5-(-4)}$

$B=a^{9}$

$C=\frac{a^{2} b^{3} \times\left(a^{-2} b^{-5}\right)^{4}}{\left(a^{-2} b^{-3}\right) \times a^{5} b^{7}}$

$C=\frac{a^{2} b^{3} \times a^{-8} \times b^{-20}}{a^{-2} b^{-3} \times a^{5} b^{7}}$

$C=\frac{a^{2} \times a^{-8}}{a^{-2} \times a^{5}} \times \frac{b^{3} \times b^{-20}}{b^{-3} \times b^{7}}$

$C=\frac{a^{-6}}{a^{3}} \times \frac{b^{-17}}{b^{4}}$

$C=a^{-6-3} \times b^{-17-14}$

$C=a^{-9} \times b^{-29}$

$ D=\frac{27 a^{-3} \times(4 b)^{2} \times 3 a b}{64 b^{3} \times 3^{4} a^{-2}}$

$D=\frac{27 a^{-3} \times(4 b)^{2} \times 3 a b}{64 b^{3} \times 3^{4} \times a^{-2}} $

$D =\frac{3^{3} \times a^{-3} \times 4^{2} \times b^{2} \times 3 a b}{2^{6} \times b^{3} \times 3^{4} \times a^{-2}}$

$D =\frac{3^{3} \times 3 \times\left(2^{2}\right)^{2} \times a^{-3} \times a \times b^{2} \times b}{3^{4} \times 2^{6} \times a^{-2} \times b^{3}}$

$D =\frac{3^{4} \times 2^{4} \times a^{-2} \times b^{3}}{3^{4} \times 2^{6} \times a^{-2} \times b^{-3}} $

$D =\frac{2^{4}}{2^{6}} $

$D=2^{4-6} $

$D =2^{-2}$

Trigonométrie 3AC – Évaluations corrigés