1 Le paradoxe Le paradoxe d’Achille et de la tortue, formulé par Zénon d’Élée, dit qu’un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. L’argument exposé par Zénon est que Achille ne peut rattraper la tortue car si la tortue a de l’avance sur Achille, celui-ci ne peut jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car pendant qu’Achille court jusqu’au point d’où a démarré la tortue, cette dernière avance, de telle sorte qu’Achille ne pourra jamais annuler l’avance de l’animal.
2 Résolution Achille ne peut rattraper la tortue qu’après une infinité d’étapes. L’erreur consiste à dire que cette infinité d’étapes se fait en un temps infini. Pour simplifier la résolution prenons les valeurs suivantes : Achille se déplace à 10 ms−1 , ce qui en fait un très bon sprinter de 100 m, et la tortue à 0,1 ms−1 soit une vitesse 100 fois inférieure à celle de Achille. Schématisons les étapes suivantes
À chaque étape la tortue effectue une distance 100 fois moindre que Achille car elle va 100 fois moins vite. À chaque étape le temps mis par Achille pour effectuer la distance AT est 100 fois moindre qu’à la précédente. Le temps tn écoulé jusqu’à la n ième étape est :
Pour effectuer une infinité d’étapes, Achille met un peu plus de 10, 10 s. Achille rattrape bien la tortue ce que personne avait douté !
3 Conclusion La notion de limite de suite permet d’expliquer facilement le paradoxe qu’une infinité d’étapes peut se faire en un temps fini. On pourrait transposer ce paradoxe à de nombreux phénomènes usuels. Par exemple le lâcher d’une balle qui rebondit à 80 % de sa hauteur initiale. Elle effectuera une infinité de rebonds en un temps fini.
